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Calcul du coefficient d’équivalence

Calcul du Coefficient d’Équivalence en Béton Armé

Calcul du Coefficient d’Équivalence en Béton Armé

Contexte : Comment faire travailler ensemble deux matériaux si différents ?

Le béton armé est un matériau composite : il associe le béton, bon en compression, et l'acier, bon en traction. Pour analyser le comportement d'une section en béton armé à l'état de service (avant d'atteindre la rupture), on doit pouvoir traiter cette section hétérogène comme une section homogène fictive. Pour cela, on utilise un coefficient d'équivalenceRapport entre le module d'élasticité de l'acier et celui du béton. Il permet de convertir une section d'acier en une section de béton fictive ayant le même comportement., noté \(n\). Ce coefficient permet de transformer la section d'acier en une section de béton "équivalente" qui produirait les mêmes effets. Ce calcul est fondamental car il est la base de l'analyse des contraintes et des déformations en service.

Remarque Pédagogique : Cet exercice se concentre sur le calcul de ce coefficient \(n\). Nous verrons qu'il n'a pas une valeur unique : il dépend de la classe du béton et, surtout, de la durée d'application des charges à cause d'un phénomène propre au béton : le fluage.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la notion de module d'élasticité pour le béton et l'acier.
  • Calculer le module d'élasticité moyen du béton à partir de sa résistance caractéristique.
  • Calculer le coefficient d'équivalence pour des charges de courte durée.
  • Comprendre l'influence du fluage du béton sur son module d'élasticité à long terme.
  • Calculer le coefficient d'équivalence pour des charges de longue durée.

Données de l'étude

On s'intéresse à une structure en béton armé réalisée avec un béton de classe C30/37. On souhaite déterminer le coefficient d'équivalence acier-béton pour les calculs à l'État Limite de Service (ELS).

Matériaux en collaboration
Béton (E_cm) Acier (E_s) + n = E_s / E_cm = ?

Caractéristiques des matériaux et de l'usage :

  • Béton : Classe C30/37 (\(f_{\text{ck}} = 30 \, \text{MPa}\))
  • Acier : Module d'élasticité (module de Young) \(E_s = 200 \, 000 \, \text{MPa}\)
  • Le coefficient de fluage du béton pour des charges de longue durée est estimé à : \(\phi(t_{\infty}, t_0) = 2.0\)

Questions à traiter

  1. Calculer le module d'élasticité sécant moyen du béton, \(E_{\text{cm}}\).
  2. Déterminer le coefficient d'équivalence \(n\) pour des charges de courte durée.
  3. Calculer le module d'élasticité effectif du béton \(E_{\text{c,eff}}\) pour des charges de longue durée.
  4. En déduire le coefficient d'équivalence \(n\) pour des charges de longue durée.

Correction : Calcul du Coefficient d’Équivalence en Béton Armé

Question 1 : Calcul du module d'élasticité moyen du béton (\(E_{\text{cm}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
ε (déformation) σ (contrainte) Pente = E_cm

Contrairement à l'acier, le béton n'a pas un comportement élastique parfaitement linéaire. Son module d'élasticitéAussi appelé module de Young, il mesure la rigidité d'un matériau. C'est le rapport entre la contrainte appliquée et la déformation qui en résulte dans le domaine élastique. (la pente de sa courbe contrainte-déformation) varie. Pour les calculs, les normes définissent un module moyen, dit "sécant", qui représente une rigidité moyenne. Ce module dépend directement de la résistance du béton : un béton plus résistant est aussi plus rigide.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le module d'élasticité sécant \(E_{\text{cm}}\) est la pente de la droite reliant l'origine à un point de la courbe contrainte-déformation correspondant à 40% de la résistance moyenne en compression (\(f_{\text{cm}}\)). La valeur de \(f_{\text{cm}}\) est elle-même déduite de la résistance caractéristique \(f_{\text{ck}}\) par la formule \(f_{\text{cm}} = f_{\text{ck}} + 8 \, \text{MPa}\). L'Eurocode 2 fournit une formule empirique directe pour calculer \(E_{\text{cm}}\) à partir de \(f_{\text{ck}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Retenez que la rigidité du béton n'est pas une constante universelle comme pour l'acier. Elle est directement liée à la qualité du béton, représentée par sa classe de résistance (C25/30, C30/37, etc.).

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2, dans son tableau 3.1, fournit les valeurs des propriétés des bétons en fonction de leur classe de résistance, y compris la formule pour calculer le module d'élasticité sécant moyen \(E_{\text{cm}}\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les formules données par l'Eurocode 2, qui sont basées sur des bétons de granulats courants (quartzites).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance moyenne en compression :

\[ f_{\text{cm}} = f_{\text{ck}} + 8 \, (\text{MPa}) \]

Module d'élasticité sécant moyen :

\[ E_{\text{cm}} = 22000 \cdot \left(\frac{f_{\text{cm}}}{10}\right)^{0.3} \, (\text{MPa}) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Classe de béton : C30/37 \(\Rightarrow f_{\text{ck}} = 30 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la résistance moyenne :

\[ \begin{aligned} f_{\text{cm}} &= 30 + 8 \\ &= 38 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul du module d'élasticité :

\[ \begin{aligned} E_{\text{cm}} &= 22000 \cdot \left(\frac{38}{10}\right)^{0.3} \\ &= 22000 \cdot (3.8)^{0.3} \\ &= 22000 \cdot 1.44 \\ &= 31680 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

On arrondit généralement à la centaine la plus proche : \(E_{\text{cm}} \approx 32000 \, \text{MPa}\).

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le module d'élasticité du béton (environ 32 GPa) est bien plus faible que celui de l'acier (200 GPa). Cela montre que pour une même déformation, l'acier subira une contrainte beaucoup plus élevée. C'est cette différence de rigidité qui est au cœur de la notion de coefficient d'équivalence.

Point à retenir : Le module d'élasticité du béton n'est pas une constante ; il se calcule à partir de la résistance caractéristique \(f_{\text{ck}}\) du béton.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul de \(E_{\text{cm}}\) est une étape préliminaire indispensable pour déterminer le coefficient d'équivalence, qui est l'objectif principal de l'exercice.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Confondre \(f_{\text{ck}}\) et \(f_{\text{cm}}\) : La formule du module d'élasticité utilise la résistance moyenne \(f_{\text{cm}}\), et non la résistance caractéristique \(f_{\text{ck}}\). Il faut toujours penser à ajouter les 8 MPa.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le module d'élasticité du béton dépend aussi du type de granulats utilisés. Les bétons fabriqués avec des granulats basaltiques ou de calcaire dense peuvent avoir un module jusqu'à 20% plus élevé que ceux faits avec des granulats silico-calcaires.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la formule est-elle à la puissance 0.3 ?

C'est une formule empirique, c'est-à-dire qu'elle est issue de l'ajustement d'une courbe sur un grand nombre de résultats d'essais en laboratoire. Elle n'a pas de justification théorique directe mais donne une très bonne approximation du comportement réel.

Résultat Final : Le module d'élasticité moyen du béton C30/37 est \(E_{\text{cm}} \approx 32000 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Pour un béton C25/30, le module \(E_{\text{cm}}\) serait-il plus faible ou plus élevé ?

Question 2 : Coefficient d'équivalence (\(n\)) pour charges de courte durée

Principe avec image animée (le concept physique)
Acier (As) = Béton (n x As)

Le coefficient d'équivalence \(n\) est simplement le rapport des rigidités des deux matériaux. Il nous dit "combien de fois" l'acier est plus rigide que le béton. Pour des charges de courte durée (dites "instantanées"), on utilise le module d'élasticité moyen du béton \(E_{\text{cm}}\) que nous venons de calculer.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'hypothèse fondamentale derrière ce coefficient est que l'adhérence entre l'acier et le béton est parfaite. Cela signifie qu'à un niveau donné dans la poutre, la déformation de l'acier (\(\epsilon_s\)) est la même que celle du béton environnant (\(\epsilon_c\)). Comme la contrainte \(\sigma = E \cdot \epsilon\), on a \(\sigma_s / E_s = \sigma_c / E_c\), d'où \(\sigma_s = (E_s/E_c) \cdot \sigma_c = n \cdot \sigma_c\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le coefficient \(n\) est un nombre sans dimension. Il est souvent arrondi à l'entier le plus proche pour les calculs manuels, mais il est préférable de garder sa valeur précise pour les calculs informatisés.

Normes (la référence réglementaire)

La définition du coefficient d'équivalence est donnée dans la section 7 de l'Eurocode 2, relative aux États Limites de Service. La valeur du module de l'acier \(E_s\) est fixée à 200 GPa.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère des charges appliquées rapidement, sans laisser le temps au fluage de se développer. C'est le cas par exemple pour la part instantanée des charges d'exploitation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Coefficient d'équivalence instantané :

\[ n = \frac{E_s}{E_{\text{cm}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(E_s = 200000 \, \text{MPa}\)
  • \(E_{\text{cm}} = 32000 \, \text{MPa}\) (valeur calculée et arrondie à la question 1)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du coefficient :

\[ \begin{aligned} n &= \frac{200000}{32000} \\ &= 6.25 \end{aligned} \]

Pour les calculs à l'ELS, il est courant de prendre une valeur de \(n=15\). Cette valeur forfaitaire est une simplification historique qui tient compte de manière approximative des effets du fluage à long terme. Cependant, le calcul précis est celui que nous menons ici.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un coefficient de 6.25 signifie que pour des charges rapides, 1 cm² d'acier est équivalent, en termes de rigidité, à 6.25 cm² de béton. L'acier est donc plus de 6 fois plus "efficace" que le béton pour reprendre des efforts à déformation égale.

Point à retenir : Le coefficient d'équivalence instantané est le rapport des modules d'élasticité de l'acier et du béton.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette valeur de \(n\) est utilisée pour tous les calculs de contraintes et de déformations sous charges de courte durée (par exemple, pour vérifier les contraintes sous l'effet total de la charge d'exploitation Q).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la valeur forfaitaire de 15 sans réfléchir : La valeur \(n=15\) est une simplification. L'Eurocode 2 demande de calculer la valeur réelle en fonction de la classe du béton et de la durée de chargement. Utiliser systématiquement 15 peut conduire à des résultats imprécis.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La méthode de la section homogénéisée a été développée au début du 20ème siècle. C'est une astuce de calcul brillante qui permet d'utiliser les formules simples de la résistance des matériaux (conçues pour des matériaux uniques) pour analyser des sections composites complexes.

FAQ (pour lever les doutes)
Le module de l'acier est-il toujours 200 000 MPa ?

Oui, pour les aciers de construction courants (béton armé, charpente métallique), cette valeur est considérée comme une constante physique très fiable, indépendante de la nuance de l'acier (S235, S500, etc.).

Résultat Final : Le coefficient d'équivalence pour les charges de courte durée est \(n = 6.25\).

À vous de jouer : Pour un béton C50/60 (\(E_{\text{cm}} \approx 37000\) MPa), le coefficient \(n\) serait-il plus faible ou plus élevé ?

Question 3 : Module d'élasticité effectif du béton (\(E_{\text{c,eff}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Charge constante Déformation différée (Fluage)

Le béton a une particularité : sous une charge constante, il continue de se déformer avec le temps. Ce phénomène s'appelle le fluageDéformation différée d'un matériau soumis à une contrainte constante. Pour le béton, cela signifie qu'il continue de se tasser lentement même si la charge n'augmente pas.. Pour tenir compte de cette déformation supplémentaire à long terme, on utilise un "module d'élasticité effectif" \(E_{\text{c,eff}}\), qui est plus faible que le module instantané. Sa valeur dépend du module instantané et d'un coefficient de fluage \(\phi\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le coefficient de fluage \(\phi(t_{\infty}, t_0)\) représente le rapport entre la déformation de fluage à long terme et la déformation élastique initiale. Une valeur de \(\phi=2.0\) signifie que la déformation différée sera deux fois plus grande que la déformation instantanée. La déformation totale à long terme est donc \(\epsilon_{\text{tot}} = \epsilon_{\text{inst}} + \epsilon_{\text{fluage}} = \epsilon_{\text{inst}} \cdot (1+\phi)\). Le module effectif est celui qui relie la contrainte initiale à cette déformation totale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le fluage est un concept essentiel pour le calcul des déformations à long terme (les flèches des poutres) et pour l'analyse des contraintes sous charges permanentes. Il "ramollit" le béton avec le temps.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2 définit la méthode de calcul du module d'élasticité effectif dans sa section 7.4.3 (7). Le coefficient de fluage \(\phi\) est donné dans la section 3.1.4 et ses annexes.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère les charges de longue durée, ce qui correspond à la totalité des charges permanentes (G) et à la fraction quasi-permanente des charges d'exploitation (\(\psi_2 Q\)). Pour simplifier, on utilise ici le coefficient de fluage final donné.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Module d'élasticité effectif :

\[ E_{\text{c,eff}} = \frac{E_{\text{cm}}}{1 + \phi(t_{\infty}, t_0)} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(E_{\text{cm}} = 32000 \, \text{MPa}\)
  • \(\phi(t_{\infty}, t_0) = 2.0\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du module effectif :

\[ \begin{aligned} E_{\text{c,eff}} &= \frac{32000}{1 + 2.0} \\ &= \frac{32000}{3} \\ &= 10667 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le fluage a un effet drastique sur la rigidité du béton : son module d'élasticité effectif est divisé par trois ! Cela signifie qu'à long terme, pour une même contrainte, le béton se déformera trois fois plus. L'acier, qui ne flue pas, devra donc reprendre une part plus importante de l'effort.

Point à retenir : Le fluage réduit la rigidité apparente du béton à long terme, ce qui est modélisé par un module d'élasticité effectif plus faible.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul du module effectif est nécessaire pour déterminer le coefficient d'équivalence de longue durée, qui est utilisé pour analyser les effets des charges permanentes (qui, par définition, sont toujours présentes).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier le "1" au dénominateur : La déformation totale est la somme de la déformation instantanée et de la déformation de fluage. La formule contient donc bien \(1 + \phi\) et non juste \(\phi\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le coefficient de fluage dépend de nombreux facteurs : l'humidité ambiante (un béton qui sèche flue plus), la taille de l'élément (les pièces massives fluent moins) et l'âge du béton au moment du chargement (un béton jeune flue beaucoup plus).

FAQ (pour lever les doutes)
Le fluage s'arrête-t-il un jour ?

Pratiquement, oui. La plus grande partie du fluage se produit durant les premières années de la vie de l'ouvrage. La valeur \(\phi(t_{\infty}, t_0)\) est le coefficient de fluage "final" ou "à l'infini", qui représente la déformation totale après plusieurs décennies, lorsque le phénomène s'est stabilisé.

Résultat Final : Le module d'élasticité effectif à long terme est \(E_{\text{c,eff}} = 10667 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Si le coefficient de fluage \(\phi\) était de 2.5, le module effectif \(E_{\text{c,eff}}\) serait...

Question 4 : Coefficient d'équivalence (\(n\)) pour charges de longue durée

Principe avec image animée (le concept physique)
Acier (As) = Béton long terme (n_eff x As)

Le principe est le même que pour les charges de courte durée, mais cette fois, on utilise le module d'élasticité effectif du béton \(E_{\text{c,eff}}\) qui tient compte du fluage. Comme ce module est plus faible, le rapport des rigidités sera plus grand, et le coefficient d'équivalence à long terme sera donc plus élevé.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce coefficient d'équivalence de longue durée est utilisé pour analyser les effets des charges qui sont présentes pendant une longue période, typiquement les charges permanentes G. Il montre qu'avec le temps, le béton "se décharge" sur l'acier, qui est plus rigide et ne flue pas. Les contraintes dans l'acier dues aux charges permanentes augmentent donc avec le temps.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : On a donc deux coefficients d'équivalence : un "petit" pour les charges rapides (comme le vent ou la part variable de Q) et un "grand" pour les charges permanentes (G et la part quasi-permanente de Q). Dans un calcul de contraintes complet, on doit utiliser le bon coefficient pour chaque type de charge.

Normes (la référence réglementaire)

Le concept de module effectif et de coefficient d'équivalence à long terme est une application directe de la section 7.4.3 de l'Eurocode 2 pour le calcul des contraintes et des déformations à l'ELS.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise le module effectif calculé à la question précédente, qui correspond à l'état final à temps infini.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Coefficient d'équivalence de longue durée :

\[ n_{\text{eff}} = \frac{E_s}{E_{\text{c,eff}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(E_s = 200000 \, \text{MPa}\)
  • \(E_{\text{c,eff}} = 10667 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du coefficient effectif :

\[ \begin{aligned} n_{\text{eff}} &= \frac{200000}{10667} \\ &= 18.75 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le coefficient d'équivalence passe de 6.25 (courte durée) à 18.75 (longue durée). Il est multiplié par 3, tout comme le module du béton a été divisé par 3. Cela signifie qu'à long terme, 1 cm² d'acier devient équivalent à 18.75 cm² de béton. L'acier reprend une part beaucoup plus importante des efforts permanents.

Point à retenir : Le coefficient d'équivalence à long terme est plus élevé que celui à court terme car il doit prendre en compte la perte de rigidité du béton due au fluage.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est indispensable pour évaluer correctement la répartition des contraintes et les déformations différées sous l'effet des charges permanentes, qui constituent la majorité du chargement d'une structure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser le mauvais coefficient : Appliquer le coefficient de courte durée pour des charges permanentes (ou inversement) est une erreur conceptuelle qui fausse complètement l'analyse des contraintes et des déformations à l'ELS.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les structures mixtes acier-béton, comme les ponts à poutres latérales métalliques avec un tablier en béton, le calcul du coefficient d'équivalence et la prise en compte du fluage et du retrait du béton sont encore plus cruciaux pour maîtriser la répartition des efforts entre les deux matériaux au cours du temps.

FAQ (pour lever les doutes)
La valeur de 15 est-elle donc complètement fausse ?

Ce n'est pas qu'elle est fausse, mais c'est une simplification issue d'anciennes réglementations. Elle correspond approximativement à un coefficient de longue durée pour un béton de qualité moyenne. L'approche de l'Eurocode, en calculant la valeur exacte, est plus précise et s'adapte mieux à la grande variété de bétons performants utilisés aujourd'hui.

Résultat Final : Le coefficient d'équivalence pour les charges de longue durée est \(n_{\text{eff}} = 18.75\).

À vous de jouer : Si le béton était de meilleure qualité (Ecm plus élevé) mais fluait davantage (\(\phi\) plus grand), l'impact sur \(n_{\text{eff}}\) serait...

Mini Fiche Mémo : Coefficient d'Équivalence

Étape Formule Clé & Objectif
1. Module du Béton \( E_{\text{cm}} = 22000 \cdot ( (f_{\text{ck}}+8)/10 )^{0.3} \)
Déterminer la rigidité instantanée du béton à partir de sa classe.
2. Coeff. Courte Durée \( n = E_s / E_{\text{cm}} \)
Calculer le rapport de rigidité pour les charges rapides.
3. Module Effectif \( E_{\text{c,eff}} = E_{\text{cm}} / (1+\phi) \)
Calculer la rigidité à long terme du béton en tenant compte du fluage.
4. Coeff. Longue Durée \( n_{\text{eff}} = E_s / E_{\text{c,eff}} \)
Calculer le rapport de rigidité pour les charges permanentes.

Outil Interactif : Calculateur de Coefficient d'Équivalence

Modifiez la classe du béton et le coefficient de fluage pour voir leur influence.

Paramètres
30 MPa
2.0
Résultats
Coeff. Courte Durée (n) -
Coeff. Longue Durée (n_eff) -

Le Saviez-Vous ?

Dans les structures mixtes acier-béton, comme les ponts à poutres latérales métalliques avec un tablier en béton, le calcul du coefficient d'équivalence et la prise en compte du fluage et du retrait du béton sont encore plus cruciaux pour maîtriser la répartition des efforts entre les deux matériaux au cours du temps.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le fluage est-il toujours un inconvénient ?

Principalement, oui, car il cause des déformations non désirées. Cependant, dans certains cas, il peut être bénéfique. Par exemple, en béton précontraint, le fluage aide à "relaxer" les contraintes et à mieux répartir les efforts, ce qui peut réduire les pics de contrainte locaux.

La valeur de 15 est-elle donc complètement fausse ?

Ce n'est pas qu'elle est fausse, mais c'est une simplification issue d'anciennes réglementations. Elle correspond approximativement à un coefficient de longue durée pour un béton de qualité moyenne. L'approche de l'Eurocode, en calculant la valeur exacte, est plus précise et s'adapte mieux à la grande variété de bétons performants utilisés aujourd'hui.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un béton avec une résistance \(f_{\text{ck}}\) plus élevée aura un module \(E_{\text{cm}}\) :

2. Le coefficient d'équivalence de longue durée est toujours :

Coefficient d'Équivalence (n)
Rapport entre le module d'élasticité de l'acier et celui du béton (\(n = E_s / E_c\)). Il permet de convertir une section d'acier en une section de béton fictive ayant le même comportement mécanique pour simplifier les calculs.
Module d'Élasticité (E)
Aussi appelé module de Young, il mesure la rigidité d'un matériau. C'est le rapport entre la contrainte appliquée et la déformation qui en résulte dans le domaine élastique.
Fluage
Déformation différée d'un matériau soumis à une contrainte constante. Pour le béton, cela signifie qu'il continue de se tasser lentement au fil des mois et des années, même si la charge n'augmente pas.
Module Effectif (\(E_{\text{c,eff}}\))
Module d'élasticité fictif du béton qui prend en compte les déformations instantanées et les déformations différées dues au fluage. Il est utilisé pour les calculs sous charges de longue durée.
Fondamentaux du Génie Civil : Calcul du Coefficient d’Équivalence en Béton Armé

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