Études de cas pratique

EGC

Calcul du coefficient d’équivalence

Calcul du Coefficient d’Équivalence Acier-Béton

Comprendre le Coefficient d'Équivalence

Dans les calculs élastiques du béton armé (notamment à l'État Limite de Service - ELS), il est souvent utile de transformer la section hétérogène (béton + acier) en une section homogène fictive constituée uniquement de béton. Pour cela, on multiplie la section d'acier par un coefficient appelé "coefficient d'équivalence" (\(n\)), qui représente le rapport des rigidités des deux matériaux (modules d'Young). Ce coefficient dépend de la durée d'application des charges en raison du fluage du béton.

Données de l'étude

On considère une section en béton armé dont les caractéristiques des matériaux sont les suivantes :

Matériaux :

  • Béton : C30/37
  • Acier : B500B

Modules d'Young :

  • Module d'Young de l'acier (\(E_s\)) : \(200 \, \text{GPa} = 200000 \, \text{MPa}\)
  • Module d'Young sécant moyen du béton (\(E_{cm}\)) pour C30/37 : \(33 \, \text{GPa} = 33000 \, \text{MPa}\) (valeur pour charges de courte durée)
  • Coefficient de fluage final (\(\varphi(\infty, t_0)\)) : \(\varphi = 2.0\) (valeur indicative dépendant de nombreux facteurs : humidité, dimensions, âge de chargement...)

Hypothèse : On calcule le coefficient d'équivalence pour les charges de courte durée et de longue durée.

Schéma : Section Homogénéisée (Concept)
Section Réelle As n = Es/Ec Section Homogénéisée n * As

Concept de la transformation d'une section réelle en section homogénéisée.

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient d'équivalence à court terme (\(n_{ct}\)), correspondant aux charges instantanées ou de courte durée.
  2. Calculer le module d'Young effectif du béton à long terme (\(E_{c,eff}\)) en tenant compte du fluage. Utiliser la formule \(E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1 + \varphi(\infty, t_0)}\).
  3. Calculer le coefficient d'équivalence à long terme (\(n_{lt}\)), correspondant aux charges permanentes ou de longue durée.
  4. Discuter brièvement dans quels types de calculs (ELS) on utiliserait préférentiellement \(n_{ct}\) ou \(n_{lt}\).

Correction : Calcul du Coefficient d'Équivalence

Question 1 : Coefficient d'Équivalence à Court Terme (\(n_{ct}\))

Principe :

Le coefficient d'équivalence à court terme est le rapport entre le module d'Young de l'acier et le module d'Young sécant moyen du béton.

Formule(s) utilisée(s) :
\[n_{ct} = \frac{E_s}{E_{cm}}\]
Données spécifiques :
  • \(E_s = 200000 \, \text{MPa}\)
  • \(E_{cm} = 33000 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} n_{ct} &= \frac{200000}{33000} \\ &\approx 6.06 \end{aligned} \]

Souvent, pour simplifier les calculs manuels rapides ou en l'absence de données précises, une valeur forfaitaire (comme n=15) est utilisée, mais elle ne reflète pas le rapport réel des modules, surtout à court terme.

Résultat Question 1 : Le coefficient d'équivalence à court terme calculé est \(n_{ct} \approx 6.06\).

Question 2 : Module d'Young Effectif à Long Terme (\(E_{c,eff}\))

Principe :

Le fluage du béton (déformation différée sous charge constante) réduit sa rigidité apparente à long terme. On modélise cet effet en utilisant un module d'Young effectif, calculé à partir du module à court terme et du coefficient de fluage.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1 + \varphi(\infty, t_0)}\]
Données spécifiques :
  • \(E_{cm} = 33000 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de fluage (\(\varphi\)) : \(2.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{c,eff} &= \frac{33000 \, \text{MPa}}{1 + 2.0} \\ &= \frac{33000}{3} \, \text{MPa} \\ &= 11000 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le module d'Young effectif du béton à long terme est \(E_{c,eff} = 11000 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Coefficient d'Équivalence à Long Terme (\(n_{lt}\))

Principe :

Le coefficient d'équivalence à long terme est le rapport entre le module d'Young de l'acier et le module d'Young effectif du béton à long terme.

Formule(s) utilisée(s) :
\[n_{lt} = \frac{E_s}{E_{c,eff}}\]
Données spécifiques :
  • \(E_s = 200000 \, \text{MPa}\)
  • \(E_{c,eff} = 11000 \, \text{MPa}\) (calculé)
Calcul :
\[ \begin{aligned} n_{lt} &= \frac{200000}{11000} \\ &\approx 18.18 \end{aligned} \]

Cette valeur est plus proche de la valeur forfaitaire \(n=15\) souvent utilisée, car cette dernière intègre implicitement une partie des effets du fluage.

Résultat Question 3 : Le coefficient d'équivalence à long terme calculé est \(n_{lt} \approx 18.18\).

Question 4 : Utilisation des Coefficients d'Équivalence

Principe :

Le choix du coefficient d'équivalence dépend de la durée d'application des charges considérées dans la vérification ELS.

Discussion :
  • Coefficient à court terme (\(n_{ct} \approx 6\)) : Il est utilisé pour analyser les effets des charges appliquées sur une courte durée (ex: vérification des contraintes sous charges totales G+Q juste après construction, calcul de déformations instantanées).
  • Coefficient à long terme (\(n_{lt} \approx 18\)) : Il est utilisé pour analyser les effets des charges permanentes ou de longue durée. Typiquement, on l'utilise pour :
    • Le calcul des contraintes sous charges permanentes (\(G\)) pour les vérifications de décompression ou de limitation des contraintes à long terme.
    • Le calcul des flèches différées (dues au fluage).
  • Coefficient forfaitaire (\(n=15\)) : C'est une valeur simplifiée, souvent admise dans les règlements plus anciens ou pour des calculs rapides. Elle représente une valeur intermédiaire qui prend en compte implicitement une partie du fluage. Son usage est moins précis que l'utilisation distincte de \(n_{ct}\) et \(n_{lt}\) selon la nature de la charge.
Résultat Question 4 : \(n_{ct}\) est utilisé pour les effets à court terme, \(n_{lt}\) pour les effets à long terme (dus au fluage sous charges permanentes). La valeur forfaitaire \(n=15\) est une simplification.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Que représente le coefficient d'équivalence \(n\) ?

2. Pourquoi le coefficient d'équivalence à long terme (\(n_{lt}\)) est-il généralement plus grand que celui à court terme (\(n_{ct}\)) ?

3. Pour calculer la flèche totale (instantanée + différée) d'une poutre sous charges permanentes et d'exploitation, quelle approche est la plus rigoureuse ?

Glossaire

Coefficient d'Équivalence (n)
Rapport entre le module d'élasticité de l'acier (\(E_s\)) et celui du béton (\(E_c\)). Il permet de transformer une section d'acier en une section équivalente de béton dans les calculs élastiques.
Module d'Young (E)
Module d'élasticité longitudinale, représentant la rigidité d'un matériau (\(\sigma = E \epsilon\)). \(E_s\) pour l'acier, \(E_{cm}\) pour le module sécant moyen du béton.
Fluage du Béton (\(\varphi\))
Déformation différée du béton sous l'effet d'une charge constante appliquée dans le temps.
Coefficient de Fluage (\(\varphi(\infty, t_0)\))
Rapport entre la déformation de fluage à temps infini et la déformation élastique instantanée initiale. Dépend de nombreux paramètres.
Module d'Young Effectif (\(E_{c,eff}\))
Module d'élasticité apparent du béton à long terme, réduit pour tenir compte des effets du fluage. \(E_{c,eff} = E_{cm} / (1 + \varphi)\).
Charges de Courte Durée
Charges dont la durée d'application est suffisamment courte pour que les effets du fluage soient négligeables (ex: charges d'exploitation variables, vent).
Charges de Longue Durée
Charges appliquées pendant une période significative, provoquant le fluage du béton (ex: charges permanentes G).
Section Homogénéisée
Section fictive composée d'un seul matériau (béton) où l'acier est remplacé par une aire équivalente \(n A_s\), utilisée pour les calculs élastiques (ELS).
État Limite de Service (ELS)
État limite relatif aux conditions normales d'utilisation (fissuration, déformations).
Calcul du Coefficient d’Équivalence - Exercice d'Application

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