Dimensionnement d'une Poutre en Béton Précontraint (BP)
Contexte : Ouvrage d'art (Pont routier) de moyenne portée (20m).
Le béton est un matériau remarquable en compression, mais sa résistance en traction est très faible (de l'ordre de 3 à 4 MPa). Dans une poutre fléchie classique en béton armé, le béton se fissure en partie inférieure (zone tendue), et ce sont les aciers passifs qui reprennent les efforts.
Le béton précontraintTechnique consistant à comprimer le béton avant sa mise en service pour augmenter sa résistance à la traction. (BP) vise à pallier cette faiblesse. L'idée est d'introduire artificiellement des contraintes de compression permanentes dans la structure, généralement à l'aide de câbles d'acier haute résistance tendus. Cette compression initiale va "tuer" la traction générée par les charges d'exploitation. Si le dimensionnement est correct, le béton reste comprimé (ou très peu tendu) même sous chargement maximal, empêchant ainsi la fissuration et protégeant les aciers de la corrosion.
Remarque Pédagogique : Dans cet exercice, nous allons vérifier les contraintes normales à l'Etat Limite de Service (ELS) en milieu de travée (section la plus sollicitée). La convention de signe utilisée est celle de la RDM classique : Traction (+) et Compression (-).
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le mécanisme physique de la précontrainte par post-tension.
- Calculer les sollicitations (Moment fléchissant) dues aux charges extérieures sur une poutre isostatique.
- Décomposer les effets de la précontrainte (Effort Normal + Moment de flexion induit).
- Vérifier le diagramme des contraintes résultantes sur la section et conclure sur la validité du dimensionnement.
Données de l'étude
On étudie une poutre rectangulaire isostatique (sur deux appuis simples) destinée à un pont routier.
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Portée de la poutre \(L\) | 20 m |
| Section \(b \times h\) | 0,40 m \(\times\) 0,80 m |
| Charge totale répartie \(p\) (Poids propre + Exploitation) | 25 kN/m (soit 0,025 MN/m) |
| Excentricité du câble \(e\) (au milieu) | 0,30 m (vers le bas) |
| Force de précontrainte initiale \(P\) | 2000 kN (soit 2 MN) |
Schéma de la Poutre et du Câble
Variables Mathématiques
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force de précontrainte | \(P\) | 2 | \(\text{MN}\) |
| Excentricité | \(e\) | 0,30 | \(\text{m}\) |
| Moment Extérieur | \(M_{\text{ext}}\) | A calculer | \(\text{MN.m}\) |
Questions à traiter
- Calculer les caractéristiques géométriques de la section brute (\(A, I, v\)).
- Calculer le moment fléchissant maximal \(M_{\text{ext}}\) dû aux charges extérieures.
- Déterminer les contraintes dues aux charges extérieures sur la fibre inférieure.
- Calculer les contraintes engendrées par la précontrainte \(P\) (Terme normal + Flexion interne).
- Vérifier la contrainte totale sur la fibre inférieure. Le béton est-il comprimé ?
Les bases théoriques
Le principe fondamental utilisé ici est le principe de superposition. Tant que le matériau reste dans le domaine élastique linéaire, on peut additionner les effets des charges extérieures (poids, trafic) et ceux de la précontrainte.
Formule de Navier (Flexion Simple)
C'est la formule clé de la Résistance des Matériaux pour les poutres. Elle repose sur l'hypothèse de Bernoulli (les sections planes restent planes après déformation). La contrainte normale \(\sigma\) à une distance \(y\) de l'axe neutre est :
Pour la fibre inférieure (\(y = -v\)), un moment positif (qui fait "sourire" la poutre) crée de la traction : \(\sigma = \frac{M \cdot v}{I}\). C'est ce que la précontrainte doit combattre.
Effet de la Précontrainte (P)
Une force de précontrainte \(P\) appliquée avec une excentricité \(e\) par rapport au centre de gravité agit doublement :
- Effet de compression pure : La force écrase uniformément la section : \(\sigma_N = \frac{-P}{A}\).
- Effet de flexion : L'excentricité crée un moment interne \(M_p = -P \cdot e\). Ce moment est opposé à celui des charges (il soulève la poutre).
Correction : Dimensionnement d'une Poutre en Béton Précontraint (BP)
Question 1 : Caractéristiques Géométriques
Principe
Avant tout calcul de résistance, il est indispensable de définir les propriétés géométriques de la section qui subira les efforts. Deux grandeurs sont fondamentales :
- L'Aire (\(A\)) : Elle détermine la résistance aux efforts axiaux (compression/traction pure).
- Le Moment d'Inertie Quadratique (\(I\)) : Il quantifie la répartition de la matière autour de l'axe neutre. Plus la matière est loin du centre, plus l'inertie est grande et plus la poutre résiste à la flexion.
Mini-Cours
Théorème de Huygens (Rappel) : Pour des formes complexes, on calcule l'inertie de chaque partie et on les somme via \(I_{\text{tot}} = \sum (I_i + A_i \cdot d_i^2)\). Ici, la forme est un rectangle simple centré, donc la formule est directe : \(I = \frac{b \cdot h^3}{12}\).
Remarque Pédagogique
Notez la puissance 3 sur la hauteur \(h\). Doubler la largeur \(b\) double l'inertie, mais doubler la hauteur \(h\) multiplie l'inertie par 8 ! C'est pourquoi les poutres sont toujours plus hautes que larges (élancement).
Normes
Dans un calcul de pré-dimensionnement (phase APS/APD), l'Eurocode 2 autorise l'utilisation de la section brute de béton, en négligeant les armatures passives et les vides des gaines de précontrainte, tant que ceux-ci ne représentent pas une part significative de la section.
Formule(s)
Formules utilisées
Aire de la section
Moment d'Inertie (Axe fort)
Hypothèses
On suppose le matériau homogène et isotrope à l'échelle macroscopique.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Largeur \(b\) | 0,40 m |
| Hauteur \(h\) | 0,80 m |
Astuces
Travaillez toujours en mètres (\(\text{m}\)) pour les longueurs et en Méganewtons (\(\text{MN}\)) pour les forces. Cela donne directement des contraintes en MPa (\(\text{MN/m}^2\)), l'unité standard du BTP, sans conversion hasardeuse de puissances de 10.
Coupe Transversale de la Poutre
Calcul(s)
Calcul de l'Aire
Commençons par l'aire de la section, qui est simplement le produit de la largeur par la hauteur.
Cette surface de 0,32 \(\text{m}^2\) est celle qui va encaisser l'effort de compression pure.
Calcul de l'Inertie
Pour l'inertie, le terme déterminant est la hauteur au cube. Calculons ce terme séparément :
On voit que ce terme est prépondérant. Appliquons maintenant la formule complète de l'inertie :
Ce résultat (0,01707) sera le diviseur commun pour tous les calculs de flexion.
Calcul de la distance v
La distance de l'axe neutre à la fibre extrême (inférieure ou supérieure) est simplement la moitié de la hauteur pour une section symétrique.
Schéma (Résultats Géométriques)
Réflexions
L'inertie semble faible (0,017...), mais c'est normal car l'unité est le mètre puissance 4. Si c'était en \(\text{mm}^4\), le chiffre serait gigantesque (\(1,7 \times 10^{10} \text{ mm}^4\)). C'est pourquoi travailler en mètres est plus simple pour éviter les erreurs de conversion.
Points de vigilance
Ne jamais arrondir trop grossièrement l'inertie \(I\) lors des étapes intermédiaires, car elle divise le moment dans la suite du calcul. Une petite erreur ici se propage et s'amplifie.
Points à Retenir
Pour un rectangle : \(I = bh^3/12\). Pour un cercle (poteau) : \(I = \pi D^4 / 64\).
Le saviez-vous ?
Les poutres de ponts en précontraint ne sont jamais rectangulaires en réalité pour des raisons d'économie de matière. On utilise des sections en "I" ou en "T" pour augmenter l'inertie tout en allégeant la structure.
FAQ
Doit-on déduire les trous des gaines ?
Pour un calcul précis d'exécution, oui (section nette). Pour un pré-dimensionnement, la section brute suffit et est sécuritaire pour le calcul des contraintes de compression.
A vous de jouer
Si la hauteur h passe de 0,8m à 1m (soit +25%), de combien augmente l'inertie ?
📝 Mémo
"bh3 sur 12". C'est la formule magique de l'ingénieur structure.
Question 2 : Moment Fléchissant \(M_{\text{ext}}\)
Principe
La poutre subit son poids propre et les charges de trafic. Ces charges verticales font fléchir la poutre. Nous devons calculer l'effort interne maximum (le moment) généré par ces charges au point le plus critique : le milieu de la travée.
Mini-Cours
Mécanique Statique : Pour une poutre sur deux appuis simples (isostatique) de longueur \(L\) soumise à une charge linéique uniforme \(p\), le diagramme des moments est une parabole. Le moment est nul aux appuis (libres de tourner) et maximal au centre. \[ M(x) = \frac{p \cdot x}{2} (L - x) \implies M_{\text{max}} = \frac{p \cdot L^2}{8} \]
Remarque Pédagogique
Notez que le moment dépend du carré de la portée. Doubler la portée multiplie les efforts par 4 ! C'est la limite principale des ponts en béton armé classique, et la raison d'être de la précontrainte pour les grandes portées.
Normes
Les combinaisons de charges (ELU/ELS) sont définies par l'Eurocode 0 et 1. Ici, on travaille en ELS caractéristique (combinaison rare) où \(G + Q\) s'additionnent simplement sans coefficients majorateurs (contrairement à l'ELU où on ferait \(1.35G + 1.5Q\)).
Formule(s)
Moment Max Isostatique
Hypothèses
On considère une charge uniformément répartie parfaite. On néglige les effets tranchants pour le dimensionnement en flexion pure.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge linéique \(p\) | 25 kN/m = 0,025 MN/m |
| Portée \(L\) | 20 m |
Astuces
Convertissez toujours vos charges en MN/m avant le calcul. 1 kN = 0.001 MN. Donc 25 kN = 0.025 MN. Cela évite les erreurs de conversion à la fin.
Diagramme des Moments Fléchissants
Calcul(s)
Application Numérique
On applique la formule en convertissant d'abord la charge en MN/m et en élevant la portée au carré :
Nous avons maintenant toutes les composantes pour calculer le moment maximum : 1,25 \(\text{MN.m}\).
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
1,25 \(\text{MN.m}\) représente un effort colossal. C'est l'équivalent d'une force de 125 tonnes appliquée au bout d'un levier de 1 mètre. Une section de béton armé classique de cette taille (40x80) peinerait à reprendre un tel effort sans fissurer gravement.
Points de vigilance
L'unité du moment est une Force x Distance (Newton-Mètre). Ne jamais diviser par la longueur à la fin !
Points à Retenir
La charge \(p\) inclut le poids propre. En béton, le poids propre représente souvent 30% à 50% de la charge totale !
Le saviez-vous ?
Dans les bâtiments, les poutres sont souvent hyperstatiques (continues sur plusieurs appuis). Cela permet de réduire ce moment en travée (divisé par 2 ou 3) en transférant une partie des efforts sur les appuis ("chapeau").
FAQ
Et si la charge était ponctuelle au centre ?
Si toute la charge était concentrée au milieu (force F), la formule serait \(M = \frac{F \cdot L}{4}\). C'est plus défavorable que la charge répartie.
A vous de jouer
Si la portée passe de 20m à 28,28m (soit \(\times \sqrt{2}\)), par combien est multiplié le moment ?
📝 Mémo
PL²/8. Apprenez-la par cœur, elle sert toute la vie d'ingénieur.
Question 3 : Contraintes dues aux Charges Extérieures
Principe
Le moment fléchissant calculé précédemment est un effort global. Il faut maintenant le traduire en contraintes locales dans la matière. Le moment comprime le haut de la poutre et tend le bas. Nous allons calculer la valeur précise de cette tension en bas (fibre inférieure).
Mini-Cours
Hypothèse de Navier-Bernoulli : "Les sections planes restent planes après déformation". Cela implique que la déformation (et donc la contrainte) varie linéairement sur la hauteur de la poutre.
La formule fondamentale est :
\[ \sigma(y) = -\frac{M \cdot y}{I} \]
Où \(y\) est la position verticale par rapport au centre de gravité.
Remarque Pédagogique
Le signe est crucial en béton. Un moment positif (flexion normale vers le bas) donne :
- \(y > 0\) (haut) : \(\sigma < 0\) (Compression - OK)
- \(y < 0\) (bas) : \(\sigma > 0\) (Traction - DANGER)
Normes
La résistance caractéristique du béton à la traction (\(f_{\text{ctm}}\)) est d'environ 2,6 MPa pour un béton C30/37. Au-delà, il fissure.
Formule(s)
Formule de Navier (Fibre Inférieure)
Hypothèses
- Comportement élastique linéaire du matériau (Loi de Hooke applicable).
- Conservation des sections planes.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Moment \(M_{\text{ext}}\) | 1.25 MN.m |
| Distance \(v\) (h/2) | 0.40 m |
| Inertie \(I\) | 0.01707 \(\text{m}^4\) |
Astuces
Vérifiez toujours l'ordre de grandeur. Une contrainte dans le béton se chiffre en quelques MPa (entre 0 et 30 généralement). Si vous trouvez 0,003 ou 3000, il y a un problème d'unités.
Distribution des Contraintes (Charges seules)
Calcul(s)
Calcul Principal
Calculons d'abord le numérateur de la formule de Navier, qui représente le 'poids' du moment sur la fibre extrême :
C'est ce qu'on appelle parfois le moment statique de flexion. Nous divisons maintenant ce terme par l'inertie calculée en Q1 :
Le signe positif indique une traction. C'est cette valeur qu'il faut combattre.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Cette valeur est catastrophique pour du béton non armé. La limite étant vers 3 MPa, la poutre casserait net bien avant d'atteindre cette charge. C'est ici que la nécessité de la précontrainte devient évidente : il faut "tuer" ces 29 MPa de traction.
Points de vigilance
Ne pas confondre contrainte (MPa, Pression) et force (MN). La contrainte est ce que "ressent" la matière localement.
Points à Retenir
Sous charge gravitaire, la fibre inférieure est tendue (+), la supérieure est comprimée (-). C'est l'inverse sur appui d'une poutre continue.
Le saviez-vous ?
C'est exactement pour cette raison que les fissures apparaissent d'abord en bas au milieu des poutres, et qu'on y place les aciers principaux.
FAQ
La contrainte est-elle la même sur toute la longueur ?
Non, elle est proportionnelle au moment M(x). Elle est maximale au milieu et nulle aux appuis (car M=0 aux appuis).
A vous de jouer
Quelle est la contrainte à mi-hauteur (sur l'axe neutre) ?
📝 Mémo
Traction = Danger pour le béton.
Question 4 : Effet de la Précontrainte (P)
Principe
Nous allons maintenant calculer les contraintes générées par le câble seul. Ce câble tire sur les extrémités de la poutre (compression axiale) et, grâce à son excentricité, crée un moment inverse (flexion) qui tend à soulever la poutre.
Mini-Cours
L'état de contrainte dû à une force excentrée est la superposition de deux états :
1. Compression centrée : \(\sigma = -P/A\) (constant sur toute la hauteur).
2. Flexion pure induite : Le moment de précontrainte est \(M_p = -P \cdot e\). Il génère une contrainte \(\sigma = \frac{M_p \cdot y}{I}\).
Remarque Pédagogique
Le câble est placé en bas (excentricité \(e\)). Il comprime donc très fort le bas de la poutre, là où la charge extérieure crée de la traction. C'est le principe de "l'antidote". On appelle aussi cela "Charges équivalentes" (le câble pousse la poutre vers le haut).
Normes
La force P doit tenir compte des pertes instantanées (frottements, recul d'ancrage) et différées (fluage, relaxation). Ici, on considère la valeur finale \(P_{m,\infty}\) après toutes les pertes pour simplifier.
Formule(s)
Hypothèses
- La force P est constante le long de la poutre.
- L'adhérence acier-béton est parfaite (après injection des gaines).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Force \(P\) | 2 MN |
| Excentricité \(e\) | 0,30 m |
| Aire \(A\) | 0.32 \(\text{m}^2\) |
| Inertie \(I\) | 0.01707 \(\text{m}^4\) |
Astuces
Attention aux signes ! P est une force de compression (donc négative dans la formule N/A). Le moment P.e est "négatif" au sens RDM (il fait bomber la poutre vers le haut).
Décomposition des effets de Précontrainte
Calcul(s)
Terme 1 : Compression Pure
Premier effet : l'écrasement uniforme. On divise la force par l'aire :
C'est la contrainte moyenne dans la poutre.
Terme 2 : Flexion de Précontrainte (Fibre Inf)
Deuxième effet : la flexion inverse. Le câble étant excentré de 0,30m, il crée un moment de rappel. Calculons la contrainte associée sur la fibre basse :
Physiquement, le câble tire en bas, donc il comprime la fibre inférieure. Le signe est donc négatif.
Total Précontrainte (Fibre Inférieure)
On additionne les deux effets (compression uniforme + flexion) :
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La précontrainte apporte une compression massive (-20 MPa) en bas. C'est un stock de sécurité prêt à "manger" la traction.
Points de vigilance
Il faut vérifier que cette compression ne dépasse pas la limite admissible du béton en compression (souvent autour de \(0.6 f_{\text{ck}} \approx 15-20\) MPa). Ici on est à la limite !
Points à Retenir
L'excentricité multiplie l'efficacité du câble. Ici, la flexion (-14 MPa) est plus de 2 fois plus efficace que la compression simple (-6 MPa).
Le saviez-vous ?
Eugène Freyssinet, l'inventeur, a appelé cela "une transformation active du béton". On transforme un matériau cassant en un matériau pseudo-élastique capable de revenir à sa forme initiale après chargement.
FAQ
Pourquoi excentrer le câble ?
Pour créer le terme de flexion \(P \cdot e\). Si \(e=0\), on a juste \(-6.25\) MPa, ce qui serait insuffisant pour compenser les \(+29\) MPa des charges.
A vous de jouer
Si l'excentricité est nulle (e=0), que vaut la contrainte ?
📝 Mémo
Formule magique : P/A + Pe.v/I
Question 5 : Vérification Totale
Principe
C'est l'heure de vérité. On superpose (additionne) l'état "Charges" (Q3) et l'état "Précontrainte" (Q4) pour voir ce qu'il reste comme contrainte réelle dans la matière. Si la somme est négative, le béton est comprimé (BRAVO). Si elle est positive, il est tendu (DANGER).
Mini-Cours
Les Eurocodes définissent plusieurs Classes de vérification :
- Classe I (Compression totale) : \(\sigma_{\text{min}} \le 0\). Aucune traction tolérée.
- Classe II (Décompression) : Traction tolérée mais sans dépasser \(f_{\text{ctm}}\).
- Classe III (Fissuration maîtrisée) : Traction tolérée avec ouverture de fissures limitée.
Ici, on vise la Classe I ou II stricte (décompression).
Remarque Pédagogique
Si le résultat est positif, c'est de la traction : le béton risque de fissurer. Si le résultat est négatif, c'est de la compression : tout va bien.
Normes
Eurocode 2 : Limitation des contraintes de compression à \(0.6 f_{\text{ck}}\) en service quasi-permanent pour éviter le fluage non-linéaire.
Formule(s)
Hypothèses
- Les deux états sont simultanés.
- Le comportement reste linéaire (pas de plastification des aciers ni du béton).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Sig Charge (Traction) | +29.29 \(\text{MPa}\) |
| Sig Preco (Compression) | -20.31 \(\text{MPa}\) |
Astuces
Visualisez cela comme un compte en banque : La charge est une dépense (+29), la précontrainte est un dépôt (-20). Êtes-vous à découvert ?
Bilan Algébrique
Calcul(s)
Calcul Principal
On réalise la somme algébrique des contraintes calculées en Q3 (Charge) et Q4 (Précontrainte) :
Le résultat reste positif, donc en traction. Cela confirme le sous-dimensionnement.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le résultat est positif. Il reste 8,98 MPa de traction. C'est encore trop pour le béton (qui casse vers 3 MPa). La poutre va fissurer. Le dimensionnement actuel (2MN de précontrainte) est insuffisant pour porter la charge prévue.
Points de vigilance
Conclusion Critique : L'ouvrage n'est pas conforme. Il ne faut pas le construire tel quel. Il y a un risque structurel.
Points à Retenir
Pour réussir le dimensionnement, il faut soit augmenter P, soit augmenter l'excentricité e (si possible géométriquement), soit augmenter la hauteur h de la poutre pour gagner en inertie.
Le saviez-vous ?
Dans la pratique, on surdimensionne légèrement la précontrainte pour garder une "réserve de compression" (environ -1 ou -2 MPa) même sous charge max.
FAQ
Combien manque-t-il de force ?
C'est l'objet du petit jeu ci-dessous. Essayez de trouver la valeur P qui annule le résultat.
A vous de jouer
Quelle force P (en MN) faudrait-il pour annuler exactement la traction (viser 0 MPa) ? (Indice : Utilisez le simulateur ci-dessous pour trouver la réponse précise).
📝 Mémo
L'objectif est d'atteindre 0 ou moins (négatif).
Diagramme des Contraintes Final
Répartition des contraintes sur la hauteur de la section (Fibre Supérieure à Fibre Inférieure).
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir
-
🔑
Principe : La précontrainte impose une compression initiale pour "tuer" la traction future due aux charges.
-
📐
Excentricité : Plus le câble est bas (excentré), plus il crée un moment qui soulève la poutre, aidant à porter la charge. C'est le paramètre le plus efficace.
-
⚠️
Sécurité : Si la traction résiduelle est positive, il y a risque de fissuration. Un bon dimensionnement vise 0 MPa ou une légère compression.
-
💡
Application : Indispensable pour les grandes portées (> 15m) où le béton armé classique serait trop lourd et fissuré.
🎛️ Simulateur de Contraintes
Ajustez la force \(P\) et l'excentricité \(e\) pour annuler la traction en fibre inférieure (Cible : \(\sigma_{\text{inf}} \le 0\)).
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Quel est l'effet principal de l'excentricité du câble vers le bas ?
2. Le béton résiste-t-il bien à la traction ?
📚 Glossaire
- Toron
- Assemblage de fils d'acier haute résistance constituant le câble de précontrainte.
- Ancrage
- Dispositif mécanique bloquant les câbles aux extrémités de la poutre.
- Relaxation
- Perte de tension dans l'acier au cours du temps (phénomène différé).
- Isostatique
- Système structurel dont les réactions d'appuis peuvent être calculées uniquement avec les lois de la statique.
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