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Ferraillage fondation en béton armé

Ferraillage d'une Fondation en Béton Armé

Ferraillage d'une Fondation en Béton Armé

Contexte : Quel est le rôle d'une fondation ?

La fondation est l'élément de transition entre la structure d'un bâtiment et le sol. Son rôle est crucial : elle doit répartir les charges concentrées venant des poteaux sur une surface suffisamment grande pour que le sol puisse les supporter sans tasser de manière excessive. Une semelle isoléeType de fondation superficielle, généralement de forme carrée ou rectangulaire, située directement sous un poteau pour répartir sa charge. sous un poteau fonctionne comme une console inversée : la pression du sol pousse la semelle vers le haut, ce qui crée de la traction à sa base. Le béton étant très faible en traction, on doit placer un quadrillage d'aciers (le ferraillage) pour reprendre ces efforts et éviter la rupture.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans le dimensionnement complet d'une semelle isolée sous un poteau. Nous déterminerons d'abord les dimensions de la semelle en fonction de la capacité portante du sol, puis nous calculerons le ferraillage nécessaire pour résister à la flexion générée par la pression du sol.

Objectifs Pédagogiques

  • Déterminer les dimensions d'une semelle à l'État Limite de Service (ELS).
  • Calculer la pression de calcul du sol à l'État Limite Ultime (ELU).
  • Calculer le moment fléchissant agissant à la base de la semelle.
  • Dimensionner la section d'armatures requise dans les deux directions.
  • Proposer un plan de ferraillage constructible.

Données de l'étude

On doit dimensionner la fondation carrée (\(A \times A\)) sous un poteau carré. La fondation est considérée comme rigide.

Schéma de la fondation isolée
N_ser σ_sol A = ? a = 40 cm

Caractéristiques des matériaux, du sol et des charges :

  • Béton : Classe C25/30 (\(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Acier : nuance S500 B (\(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Poteau : section carrée de \(40 \, \text{cm} \times 40 \, \text{cm}\)
  • Sol :
    • Contrainte admissible à l'ELS : \(\sigma_{\text{sol,ser}} = 0.20 \, \text{MPa}\).
  • Charges de service (ELS) apportées par le poteau :
    • Charge permanente : \(G_k = 900 \, \text{kN}\).
    • Charge d'exploitation : \(Q_k = 550 \, \text{kN}\).
  • Hauteur de la semelle (estimée) : \(h = 0.50 \, \text{m}\)
  • Masse volumique du béton : \(\rho_b = 25 \, \text{kN/m}^3\)
  • Coefficients de sécurité \(\gamma_G=1.35\), \(\gamma_Q=1.5\), \(\gamma_c=1.5\), \(\gamma_s=1.15\).

Questions à traiter

  1. Déterminer les dimensions A x A de la semelle à l'ELS.
  2. Calculer la contrainte de calcul du sol à l'ELU, \(\sigma_{Ed}\).
  3. Calculer le moment fléchissant ultime \(M_{Ed}\) dans une direction.
  4. Calculer la section d'armatures \(A_{sx}\) requise dans cette direction.
  5. Proposer un ferraillage complet pour la semelle (nappes inférieure et supérieure).

Correction : Ferraillage d'une Fondation en Béton Armé

Question 1 : Déterminer les dimensions de la semelle (A x A)

Principe avec image animée (le concept physique)
N_ser Charge répartie sur le sol

Le dimensionnement de la surface de la fondation se fait à l'État Limite de Service (ELS). Le principe est simple : la pression exercée par la fondation sur le sol ne doit pas dépasser la capacité portante admissible du sol. Cette pression est égale à la somme de toutes les charges de service (poteau + poids propre de la fondation) divisée par l'aire de la fondation. On résout cette inéquation pour trouver l'aire minimale requise.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La vérification à l'ELS garantit que le sol ne subira pas de tassements excessifs ou de rupture sous les charges d'utilisation courantes. On utilise les charges non pondérées (\(G_k, Q_k\)) car on s'intéresse au comportement "normal" de la structure, et non à sa ruine. Le poids propre de la fondation est souvent estimé à 10% de la charge verticale pour un premier calcul, puis affiné.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : C'est l'une des rares fois en béton armé où l'on dimensionne à l'ELS. La raison est que la capacité portante du sol est une donnée géotechnique qui est définie en service, et non à la rupture.

Normes (la référence réglementaire)

Cette approche est conforme à l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) qui stipule que les dimensions des fondations doivent être déterminées pour que la pression transmise au sol soit inférieure ou égale à sa résistance de calcul en service.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le poids propre de la semelle représente 10% de la somme des charges de service (\(G_k + Q_k\)). Cette hypothèse sera vérifiée à la fin.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition de non-poinçonnement du sol :

\[ \sigma_{\text{sol}} = \frac{N_{\text{ser}}}{A_{\text{fondation}}} \le \sigma_{\text{sol,ser}} \]

Charge totale de service :

\[ N_{\text{ser}} = 1.1 \times (G_k + Q_k) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(G_k = 900 \, \text{kN}\)
  • \(Q_k = 550 \, \text{kN}\)
  • \(\sigma_{\text{sol,ser}} = 0.20 \, \text{MPa} = 200 \, \text{kN/m}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la charge totale de service :

\[ \begin{aligned} N_{\text{ser}} &= 1.1 \times (900 \, \text{kN} + 550 \, \text{kN}) \\ &= 1.1 \times 1450 \, \text{kN} \\ &= 1595 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Calcul de l'aire requise pour la fondation :

\[ \begin{aligned} A_{\text{req}} &\ge \frac{N_{\text{ser}}}{\sigma_{\text{sol,ser}}} \\ &\ge \frac{1595 \, \text{kN}}{200 \, \text{kN/m}^2} \\ &\ge 7.975 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul du côté A pour une semelle carrée :

\[ \begin{aligned} A &= \sqrt{A_{\text{req}}} \ge \sqrt{7.975} \\ &\ge 2.82 \, \text{m} \end{aligned} \]

On choisit des dimensions constructives pratiques, multiples de 5 cm. On adopte \(A = 2.85 \, \text{m}\).

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Pour supporter une charge de service de près de 1600 kN sur ce type de sol, il nous faut une fondation d'environ 8 m². Le choix d'une semelle carrée de 2.85 m de côté est une solution pratique qui satisfait cette exigence.

Point à retenir : Les dimensions d'une fondation sont dictées par les charges de service et la capacité portante du sol.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette première étape est fondamentale car elle fixe la géométrie de l'élément. Toutes les étapes suivantes (calcul des moments, des aciers) dépendent directement des dimensions choisies ici.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser les charges ultimes (ELU) : Le dimensionnement de la surface de la fondation doit impérativement se faire avec les charges de service (ELS). Utiliser les charges pondérées conduirait à une surface trop grande et non économique.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La Tour de Pise penche à cause d'une fondation sous-dimensionnée (seulement 3 mètres de profondeur) sur un sol argileux instable. Les ingénieurs modernes passent beaucoup de temps à analyser le sol avant de concevoir les fondations pour éviter ce genre de problème.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ajoute-t-on 10% pour le poids propre ?

C'est une estimation rapide et sécuritaire. Comme on ne connaît pas encore les dimensions exactes de la fondation, on ne peut pas calculer son poids propre précisément. Ajouter 10% aux charges du poteau est une pratique courante pour en tenir compte dans le pré-dimensionnement.

Résultat Final : On choisit une semelle carrée de dimensions \(A = 2.85 \, \text{m}\).

À vous de jouer : Quelle serait la dimension A (en m) si la contrainte admissible du sol était de 0.15 MPa ?

Question 2 : Calculer la contrainte de calcul du sol à l'ELU (\(\sigma_{\text{Ed}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
N_Ed σ_Ed

Maintenant que les dimensions de la fondation sont fixées, nous passons à l'État Limite Ultime (ELU) pour calculer le ferraillage. La première étape est de déterminer la pression que le sol exerce sur la semelle sous l'effet des charges ultimes (\(N_{Ed}\)). Cette pression de calcul, \(\sigma_{Ed}\), est simplement l'effort ultime total (poteau + poids propre de la semelle) divisé par la surface de la fondation que nous avons choisie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte \(\sigma_{Ed}\) est une pression "fictive" utilisée pour le calcul du béton armé. Elle ne représente pas la résistance ultime du sol (qui est une notion géotechnique complexe), mais plutôt la réaction du sol qui génère les efforts de flexion dans la semelle lorsque la structure est au bord de la ruine. C'est cette pression qui va "casser" la fondation si elle n'est pas correctement ferraillée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : À cette étape, on utilise les charges pondérées (\(1.35G + 1.5Q\)) car on se place à l'ELU. De plus, on peut maintenant calculer le poids propre réel de la semelle, puisque ses dimensions sont connues.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la pression de calcul sous la fondation est une application directe des principes de la statique et est la base de la méthode de calcul des semelles décrite dans l'Eurocode 2.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la pression du sol est uniformément répartie sous la semelle, ce qui est une hypothèse acceptable pour une fondation rigide sous charge centrée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Poids propre de la semelle :

\[ G_{\text{semelle}} = A^2 \cdot h \cdot \rho_b \]

Effort ultime total :

\[ N_{\text{Ed,total}} = 1.35 (G_k + G_{\text{semelle}}) + 1.5 Q_k \]

Contrainte de calcul du sol :

\[ \sigma_{\text{Ed}} = \frac{N_{\text{Ed,total}}}{A^2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(A = 2.85 \, \text{m}\)
  • \(h = 0.50 \, \text{m}\)
  • \(\rho_b = 25 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(G_k = 900 \, \text{kN}\), \(Q_k = 550 \, \text{kN}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du poids propre de la semelle :

\[ \begin{aligned} G_{\text{semelle}} &= (2.85 \, \text{m})^2 \times 0.50 \, \text{m} \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 8.1225 \times 0.50 \times 25 \\ &= 101.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Calcul de l'effort ultime total :

\[ \begin{aligned} N_{\text{Ed,total}} &= 1.35 (900 + 101.5) + 1.5 \times 550 \\ &= 1.35 \times 1001.5 + 825 \\ &= 1352 + 825 = 2177 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Calcul de la contrainte de calcul du sol :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{Ed}} &= \frac{2177 \, \text{kN}}{(2.85 \, \text{m})^2} \\ &= \frac{2177}{8.1225} \\ &= 268.0 \, \text{kN/m}^2 = 0.268 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte de calcul (0.268 MPa) est logiquement plus élevée que la contrainte de service (environ 0.20 MPa), car elle est basée sur les charges pondérées. C'est cette pression ultime qui sera utilisée pour calculer les efforts de flexion dans la semelle.

Point à retenir : Le ferraillage de la fondation est calculé à l'ELU, en utilisant la pression du sol générée par les charges ultimes.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est indispensable pour déterminer la charge qui va faire fléchir la semelle. Sans cette valeur de pression, il est impossible de calculer le moment et donc le ferraillage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier le poids propre de la semelle : C'est une charge permanente qui doit être incluse dans le calcul de l'effort ultime. L'oublier conduirait à sous-estimer la pression du sol et donc le ferraillage.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les fondations très larges (radiers), la pression du sol n'est pas uniforme. Elle a tendance à être plus forte au centre et plus faible sur les bords pour un sol argileux, et l'inverse pour un sol sableux. Les calculs deviennent alors beaucoup plus complexes.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que \(\sigma_{Ed}\) peut dépasser \(\sigma_{sol,ser}\) ?

Oui, et c'est presque toujours le cas. \(\sigma_{sol,ser}\) est une limite de service pour éviter les tassements. \(\sigma_{Ed}\) est une pression de calcul à l'ultime, qui correspond à un état de charge exceptionnel qui ne se produira que très rarement, voire jamais, dans la vie de l'ouvrage.

Résultat Final : La contrainte de calcul du sol à l'ELU est \(\sigma_{\text{Ed}} = 0.268 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Quelle serait la contrainte \(\sigma_{Ed}\) (en MPa) si la semelle faisait 3.0 m x 3.0 m ?

Question 3 : Calculer le moment fléchissant ultime \(M_{\text{Ed}}\)

Principe avec image animée (le concept physique)
Moment max (fissuration)

La pression du sol \(\sigma_{Ed}\) pousse sur les "ailes" de la semelle qui dépassent du poteau. Ces ailes se comportent comme des consoles encastrées au nu du poteau. Le moment fléchissant est maximal à cet encastrement. C'est ce moment que les aciers inférieurs devront reprendre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une charge uniforme \(q\) sur une console de longueur \(L\), le moment d'encastrement est donné par \(M = q \cdot L^2 / 2\). Dans notre cas, la "charge" est la pression du sol \(\sigma_{Ed}\) (en kN/m²) et on raisonne sur une bande de 1m de large. La "longueur" de la console est la distance entre le bord de la semelle et le nu du poteau.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le moment se calcule toujours au nu du poteau, car c'est là que la section de béton est la plus sollicitée en flexion.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul du moment de flexion dans une semelle est une application directe des principes de la statique pour une console, comme décrit dans les manuels de Résistance des Matériaux et appliqué dans l'Eurocode 2.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère que la semelle est rigide et que la réaction du sol est uniforme. Le calcul est fait pour une bande de 1 mètre de large.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Longueur de la console :

\[ L_{\text{console}} = \frac{A - a}{2} \]

Moment fléchissant par mètre linéaire :

\[ M_{\text{Ed}} = \sigma_{\text{Ed}} \times 1\text{m} \times \frac{L_{\text{console}}^2}{2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(A = 2.85 \, \text{m}\)
  • \(a = 0.40 \, \text{m}\)
  • \(\sigma_{\text{Ed}} = 268.0 \, \text{kN/m}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la longueur de la console :

\[ \begin{aligned} L_{\text{console}} &= \frac{2.85 \, \text{m} - 0.40 \, \text{m}}{2} \\ &= 1.225 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul du moment fléchissant ultime :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= 268.0 \, \text{kN/m}^2 \times 1\text{m} \times \frac{(1.225 \, \text{m})^2}{2} \\ &= 268.0 \times \frac{1.5006}{2} \\ &= 201.1 \, \text{kN} \cdot \text{m/m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment à reprendre est de 201.1 kNm pour chaque mètre de largeur de la fondation. C'est cet effort de flexion qui va générer de la traction à la base de la semelle et que les aciers devront contrer.

Point à retenir : Le moment dans une semelle se calcule au nu du poteau et est généré par la pression du sol sur la partie en porte-à-faux.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul du moment est l'étape intermédiaire indispensable entre la détermination de la pression du sol et le calcul du ferraillage. Sans moment, pas de calcul d'acier en flexion possible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Mauvaise longueur de console : Ne pas diviser par 2 la différence (A-a) est une erreur fréquente. Il faut bien considérer que la pression s'exerce de chaque côté du poteau.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La méthode de calcul de ferraillage par flexion (décrite à la question suivante) est appelée "méthode des bielles". On imagine que la compression dans le béton forme une bielle inclinée qui est équilibrée par le tirant que constitue la nappe d'acier inférieure.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le moment est-il "par mètre linéaire" ?

Comme la pression du sol est uniforme et que la semelle est carrée, le moment est le même sur toute la largeur. Il est donc plus simple de raisonner sur une "tranche" ou une "bande" de 1 mètre de large, de calculer les aciers pour cette bande, puis de répartir ce ferraillage sur toute la largeur de la fondation.

Résultat Final : Le moment fléchissant ultime est \(M_{\text{Ed}} = 201.1 \, \text{kN} \cdot \text{m/m}\).

À vous de jouer : Quel serait le moment \(M_{Ed}\) (en kNm/m) si la semelle faisait 3.0 m de côté ?

Question 4 : Calculer la section d'armatures \(A_{sx}\) requise

Principe (le concept physique)

Le moment de flexion \(M_{Ed}\) crée des contraintes de traction à la base de la semelle. Le béton ne pouvant résister à cette traction, on place une nappe d'aciers qui agira comme un tirant pour équilibrer les forces de compression dans le béton. Le calcul consiste à déterminer la section d'acier \(A_s\) qui, multipliée par sa résistance de calcul \(f_{yd}\), peut générer une force de traction suffisante pour équilibrer le moment appliqué, en s'appuyant sur un bras de levier interne \(z\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul du ferraillage en flexion à l'ELU se base sur l'équilibre d'un couple de forces interne : la résultante des contraintes de compression dans le béton et la résultante de la force de traction dans les aciers. La distance entre ces deux forces est le bras de levier \(z\). La formule simplifiée \(A_s = M_{Ed} / (z \cdot f_{yd})\) est très utilisée. Le bras de levier \(z\) est souvent estimé à \(0.9 \cdot d\), où \(d\) est la hauteur utile de la section (hauteur totale moins l'enrobage).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La hauteur utile \(d\) est une dimension cruciale. C'est la distance entre la fibre la plus comprimée (en haut) et le centre de gravité des aciers tendus (en bas). Une petite erreur sur \(d\) a un impact important sur le calcul des aciers.

Normes (la référence réglementaire)

La méthode de calcul est issue de l'Eurocode 2, section 6.1, qui décrit le calcul des sections soumises à la flexion simple.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un enrobage des aciers de 5 cm, ce qui est courant pour les fondations en contact avec le sol (classe d'exposition XC2). On estime le diamètre des barres à 12 mm pour calculer la hauteur utile \(d\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hauteur utile :

\[ d = h - \text{enrobage} - \frac{\phi}{2} \]

Bras de levier (estimation) :

\[ z \approx 0.9 \cdot d \]

Section d'acier requise :

\[ A_s \ge \frac{M_{Ed}}{z \cdot f_{yd}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{Ed} = 201.1 \, \text{kN} \cdot \text{m/m} = 0.2011 \, \text{MN} \cdot \text{m/m}\)
  • \(h = 0.50 \, \text{m} = 500 \, \text{mm}\)
  • Enrobage = 50 mm, \(\phi = 12 \, \text{mm}\)
  • \(f_{yd} = 434.78 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la hauteur utile :

\[ \begin{aligned} d &= 500 \, \text{mm} - 50 \, \text{mm} - \frac{12 \, \text{mm}}{2} \\ &= 444 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Calcul du bras de levier :

\[ \begin{aligned} z &= 0.9 \times 444 \, \text{mm} \\ &= 399.6 \, \text{mm} = 0.3996 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul de la section d'acier requise par mètre linéaire :

\[ \begin{aligned} A_{sx} &\ge \frac{0.2011 \, \text{MN} \cdot \text{m/m}}{0.3996 \, \text{m} \times 434.78 \, \text{MN/m}^2} \\ &\ge \frac{0.2011}{173.74} \, \text{m}^2/\text{m} \\ &\ge 0.001157 \, \text{m}^2/\text{m} \\ &= 11.57 \, \text{cm}^2/\text{m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul montre qu'il faut une section d'acier de 11.57 cm² pour chaque mètre de largeur de la fondation afin de reprendre les efforts de traction. Comme la semelle est carrée et la charge centrée, ce ferraillage sera le même dans les deux directions (\(A_{sx} = A_{sy}\)).

Point à retenir : La section d'acier en flexion est inversement proportionnelle au bras de levier \(z\). Plus la hauteur utile est grande, moins on a besoin d'acier.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

C'est l'étape finale du calcul de résistance. Elle traduit un effort (le moment) en une quantité de matière (la section d'acier), qui est l'information directement utilisable pour le chantier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur sur la hauteur utile \(d\) : Utiliser la hauteur totale \(h\) au lieu de la hauteur utile \(d\) est une erreur grave qui surestime le bras de levier et conduit à un sous-dimensionnement dangereux des aciers.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les très grandes fondations comme les radiers de plusieurs mètres d'épaisseur, le poids propre devient si important que l'on utilise parfois des bétons allégés ou des caissons vides pour réduire la charge sur le sol.

FAQ (pour lever les doutes)
L'estimation \(z \approx 0.9d\) est-elle toujours valable ?

C'est une excellente approximation pour les poutres et dalles courantes. Pour des éléments très fortement ferraillés ou de faible hauteur, le bras de levier réel peut être légèrement plus petit. Des formules plus précises existent, mais \(0.9d\) est une valeur de pré-dimensionnement sûre et reconnue.

Résultat Final : La section d'acier requise est \(A_s = 11.57 \, \text{cm}^2/\text{m}\) dans chaque direction.

À vous de jouer : Quelle serait la section d'acier \(A_s\) (en cm²/m) si la hauteur de la semelle était de 60 cm ?

Question 5 : Choisir un ferraillage et proposer un schéma

Principe (la traduction du calcul en plan)

Le calcul nous a donné une section d'acier théorique par mètre linéaire. L'étape finale est de traduire cela en un espacement pratique de barres d'un diamètre commercial. On choisit un diamètre de barre, on calcule l'espacement nécessaire pour atteindre la section requise, puis on arrondit à une valeur pratique, tout en respectant les espacements maximaux réglementaires.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le ferraillage d'une semelle est généralement constitué de deux nappes d'aciers perpendiculaires à sa base. Si la semelle est carrée et la charge centrée, les deux nappes sont identiques. L'espacement des barres doit être suffisant pour permettre un bon enrobage par le béton, mais pas trop grand pour assurer une bonne répartition des efforts et un contrôle de la fissuration.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Lors du calcul de l'espacement, on arrondit toujours à la valeur inférieure pour être en sécurité. Un espacement plus faible signifie plus de barres, et donc plus d'acier que le minimum requis.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2 (section 9.8.1) spécifie les dispositions pour les fondations, notamment les pourcentages d'acier minimaux et les espacements maximaux des barres.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On choisit des barres de diamètre 12 mm (HA12), un choix courant pour les semelles de cette taille.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Espacement requis :

\[ s \le \frac{A_{\text{barre}}}{A_{s,\text{req}}} \times 100 \, (\text{en cm}) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(A_{s,req} = 11.57 \, \text{cm}^2/\text{m}\)
  • Choix de barre : HA 12, \(A_{\text{barre}} = 1.13 \, \text{cm}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'espacement maximal :

\[ \begin{aligned} s &\le \frac{1.13 \, \text{cm}^2}{11.57 \, \text{cm}^2/\text{m}} \times 100 \, \text{cm/m} \\ &\le 9.76 \, \text{cm} \end{aligned} \]

On choisit un espacement pratique inférieur : \(s = 9 \, \text{cm}\). On vérifie que cet espacement est inférieur aux limites réglementaires (généralement 250 ou 300 mm), ce qui est le cas.

Résultat Final : On adopte un ferraillage de barres HA 12 espacées de 9 cm dans les deux directions (\(A_{s,eff} = 12.56 \, \text{cm}^2/\text{m}\)).
Schéma de ferraillage de la fondation
Poteau 40x40 Nappe inférieure HA12 e=9cm (2 sens)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La solution avec 6 barres HA 12 est une option de ferraillage valide et bien répartie. Elle fournit une section d'acier de 6.78 cm², ce qui est supérieur aux 5.75 cm² requis, offrant une marge de sécurité. Le schéma traduit cette décision en un plan constructible.

Point à retenir : Le ferraillage final est un choix pratique de barres standards qui doit satisfaire ou dépasser la section d'acier théorique calculée.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape finale rend le dimensionnement constructible. Le travail d'un ingénieur structure n'est pas seulement de calculer une valeur, mais de produire un plan clair et réalisable pour le chantier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier les cadres : Ne pas dessiner ou spécifier les armatures transversales est une omission grave. Sans elles, les barres longitudinales peuvent flamber et le poteau éclater prématurément.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les nervures sur les barres d'armature (qui leur donnent l'appellation "Haute Adhérence") sont cruciales. Elles créent un ancrage mécanique avec le béton, assurant que les deux matériaux travaillent parfaitement ensemble comme un seul élément composite.

FAQ (pour lever les doutes)
Aurais-je pu utiliser 4 barres plus grosses ?

Oui. Il aurait fallu 4 barres HA 14 (section totale 6.16 cm²), ce qui est aussi une solution valide. Le choix entre 4 HA14 et 6 HA12 peut dépendre de la disponibilité des aciers ou des préférences du chantier.

Résultat Final : On adopte une solution de ferraillage avec 6 barres HA 12 (\(A_{\text{s,eff}} = 6.78 \, \text{cm}^2\)) et des cadres HA 6.

À vous de jouer : Quelle serait la section d'acier effective (\(A_{s,eff}\)) si on choisissait 8 barres HA 12 ?

Mini Fiche Mémo : Calcul des Aciers d'un Poteau

Étape Formule Clé & Objectif
1. Effort Ultime \( N_{\text{Ed}} = 1.35 G_{\text{k}} + 1.5 Q_{\text{k}} \)
Déterminer la charge de calcul en appliquant les coefficients de sécurité.
2. Résistances de Calcul \( f_{\text{cd}} = f_{\text{ck}} / \gamma_{\text{c}} \) et \( f_{\text{yd}} = f_{\text{yk}} / \gamma_{\text{s}} \)
Déterminer la résistance des matériaux en appliquant les coefficients de sécurité.
3. Section d'Acier \( A_{\text{s}} \ge (N_{\text{Ed}} - A_{\text{c}} f_{\text{cd}}) / f_{\text{yd}} \)
Calculer l'acier nécessaire pour que le béton et l'acier ensemble reprennent l'effort.
4. Vérification Réglementaire \( A_{\text{s,min}} \le A_{\text{s}} \le A_{\text{s,max}} \)
S'assurer que la quantité d'acier respecte les limites minimales et maximales de la norme.

Outil Interactif : Calculateur d'Armatures

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la section d'acier requise.

Paramètres du Poteau
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Section d'acier requise (As) -
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Le Saviez-Vous ?

Le Panthéon de Rome, construit il y a près de 2000 ans, possède la plus grande coupole en béton non armé du monde. Son dôme de 43,3 mètres de diamètre a tenu si longtemps grâce à l'utilisation d'un béton romain exceptionnel, dont la composition exacte (notamment l'utilisation de cendre volcanique) continue de fasciner les ingénieurs modernes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le poteau est très élancé ?

Si un poteau est très haut par rapport à sa largeur (fort élancement), il y a un risque de "flambement". C'est un phénomène d'instabilité où le poteau se déforme latéralement sous l'effet de la compression, bien avant que le matériau lui-même ne s'écrase. Le calcul devient alors plus complexe et il faut prendre en compte ces "effets du second ordre" qui réduisent la capacité portante du poteau.

Pourquoi l'acier est-il si important dans un poteau en compression ?

Bien que le béton soit excellent en compression, l'acier joue plusieurs rôles cruciaux : 1) Il augmente la capacité portante globale, permettant des poteaux plus petits. 2) Il assure un comportement ductile, c'est-à-dire qu'en cas de surcharge extrême, le poteau se déformera de manière visible avant de rompre, laissant un avertissement. 3) Il aide à résister aux efforts imprévus (flexion, cisaillement) et aux effets du retrait et du fluage du béton.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on utilise un béton de classe supérieure (par exemple C35/45 au lieu de C25/30), la section d'acier requise pour la même charge va :

2. La principale raison d'imposer une section d'acier minimale (\(A_{\text{s,min}}\)) est de :

Béton Armé
Matériau composite associant le béton, qui a une bonne résistance à la compression, et l'acier (armatures), qui a une excellente résistance à la traction.
État Limite Ultime (ELU)
État correspondant à la ruine ou à un dommage majeur de la structure. Les calculs à l'ELU visent à garantir la sécurité des personnes en évitant l'effondrement.
\(f_{\text{ck}}\) (Résistance caractéristique)
Résistance à la compression du béton mesurée sur des éprouvettes cylindriques à 28 jours, avec une probabilité de 95% d'être dépassée.
\(f_{\text{cd}}\) (Résistance de calcul)
Résistance du béton utilisée dans les calculs de dimensionnement, obtenue en divisant la résistance caractéristique par un coefficient de sécurité (\(f_{\text{cd}} = f_{\text{ck}} / \gamma_{\text{c}}\)).
Fondamentaux du Génie Civil : Calcul des Aciers d'un Poteau en Béton Armé

D’autres exercices de béton armé :

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