Théorème de Torricelli - Exercice corrigé

Contexte : La vidange d'un réservoir.

Le théorème de TorricelliFormule issue du principe de Bernoulli, elle établit que la vitesse d'écoulement d'un fluide par un orifice est la même que celle qu'un corps acquerrait en chute libre depuis la même hauteur. est un principe fondamental en dynamique des fluides qui décrit la vitesse d'écoulement d'un liquide contenu dans un récipient, à travers un orifice situé sous la surface libre du liquide. Cet exercice vous guidera dans le calcul de la vitesse et du débit d'eau s'échappant d'un réservoir, une application directe que l'on retrouve dans la conception des châteaux d'eau, des barrages ou simplement pour comprendre comment une baignoire se vide.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer une version simplifiée du principe de Bernoulli pour résoudre un problème d'hydraulique concret et à analyser l'influence des paramètres physiques sur le résultat.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer la formule de Torricelli.
Calculer la vitesse d'écoulement d'un fluide par un orifice.
Calculer le débit volumiqueLe volume de fluide qui traverse une surface donnée par unité de temps. Il est souvent noté Q et s'exprime en m³/s. théorique.
Analyser la relation non-linéaire entre la hauteur du fluide et la vitesse de sortie.

Données de l'étude

On étudie un grand réservoir cylindrique rempli d'eau, ouvert à l'atmosphère. Un petit orifice circulaire est percé à sa base, permettant à l'eau de s'écouler.

Schéma du réservoir

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur de l'eau dans le réservoir	\(h\)	5	\(\text{m}\)
Diamètre de l'orifice	\(d\)	5	\(\text{cm}\)
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	\(\text{m/s}^2\)

Questions à traiter

Quelle est la vitesse théorique de l'eau s'écoulant par l'orifice, selon le théorème de Torricelli ?
Calculer la section (l'aire) de l'orifice en mètres carrés.
En déduire le débit volumique théorique sortant de l'orifice en m³/s, puis en litres par seconde.
Si la hauteur d'eau était doublée (h = 10 m), quelle serait la nouvelle vitesse d'écoulement ? Conclure sur l'impact de la hauteur.

Les bases sur l'Écoulement des Fluides

Pour résoudre cet exercice, nous nous baserons sur le principe de Bernoulli, qui est une loi de conservation de l'énergie pour les fluides en mouvement. Le théorème de Torricelli en est une conséquence directe dans un cas particulier.

1. Le Principe de Bernoulli
Pour un fluide parfait (non visqueux) et incompressible, la somme de la pression, de l'énergie cinétique par unité de volume et de l'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume est constante le long d'une ligne de courant. \[ P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante} \]

2. Dérivation du Théorème de Torricelli
En appliquant le principe de Bernoulli entre la surface libre du réservoir (point A) et l'orifice (point B), et en posant des hypothèses simplificatrices (pression atmosphérique aux deux points, vitesse nulle à la surface), on isole la vitesse à l'orifice. L'énergie potentielle (\(\rho g h\)) est entièrement convertie en énergie cinétique (\(\frac{1}{2}\rho v^2\)).

Correction : Théorème de Torricelli et Vitesse d'Écoulement

Question 1 : Calcul de la vitesse théorique d'écoulement

Principe

Le théorème de Torricelli stipule que la vitesse d'un fluide s'échappant d'un orifice est égale à celle qu'un objet acquerrait en chute libre d'une hauteur égale à la hauteur du fluide au-dessus de l'orifice. C'est une conversion directe d'énergie potentielle en énergie cinétique.

Mini-Cours

Le théorème de Torricelli est un cas particulier de l'équation de Bernoulli. En considérant un point A à la surface libre du liquide et un point B au niveau de l'orifice, l'équation de Bernoulli s'écrit : \(P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g z_A = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + \rho g z_B\). En posant \(P_A = P_B = P_{\text{atm}}\), \(v_A \approx 0\), et \(h = z_A - z_B\), on simplifie l'équation pour obtenir \(v_B = \sqrt{2gh}\).

Remarque Pédagogique

Visualisez l'énergie de l'eau comme un budget. En haut, l'eau a beaucoup d'énergie "de position" (potentielle) mais pas de vitesse. En s'écoulant, elle "dépense" son énergie de position pour "acheter" de l'énergie de vitesse (cinétique). La formule de Torricelli est simplement le taux de change entre ces deux formes d'énergie.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme de construction (comme un Eurocode), mais d'un principe fondamental de la physique des fluides. Les calculs basés sur ce théorème sont universellement reconnus en ingénierie hydraulique pour des estimations théoriques.

Formule(s)

Formule de Torricelli

v = \sqrt{2gh}

Hypothèses

Pour appliquer cette formule, nous supposons que :

Le fluide (eau) est incompressible et non visqueux (fluide parfait).
L'écoulement est stationnaire.
Le réservoir est très large par rapport à l'orifice, donc la vitesse de descente de la surface libre est négligeable (\(v_{\text{surface}} \approx 0\)).
Le réservoir et l'orifice sont ouverts à la pression atmosphérique.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	\(\text{m/s}^2\)
Hauteur de l'eau	\(h\)	5	\(\text{m}\)

Astuces

Pour une estimation rapide, on peut approximer \(g \approx 10\) m/s². Le calcul devient \(\sqrt{2 \times 10 \times 5} = \sqrt{100} = 10\) m/s. C'est un excellent moyen de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat final.

Schéma (Avant les calculs)

Identification des paramètres pour le calcul de la vitesse

Calcul(s)

Application numérique de la vitesse

\begin{aligned} v &= \sqrt{2 \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 5 \text{ m}} \\ &= \sqrt{98.1 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \\ &\Rightarrow v \approx 9.90 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du vecteur vitesse à l'orifice

Réflexions

Une vitesse de 9.90 m/s équivaut à plus de 35 km/h. C'est une vitesse considérable, qui montre la grande quantité d'énergie potentielle stockée dans seulement 5 mètres de hauteur d'eau.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les unités sont dans le Système International (mètres pour \(h\), m/s² pour \(g\)) avant de faire le calcul. Une hauteur en centimètres mènerait à une erreur majeure.

Points à retenir

La vitesse d'écoulement ne dépend que de la hauteur du fluide et de la gravité. Elle est indépendante de la densité du fluide ou de la forme du réservoir (tant qu'il est large).

Le saviez-vous ?

Evangelista Torricelli, un élève de Galilée, a énoncé son théorème en 1643. Il est également l'inventeur du baromètre à mercure, un instrument qui a révolutionné la météorologie.

FAQ

Résultat Final

La vitesse théorique de l'eau à la sortie de l'orifice est d'environ 9.90 m/s.

A vous de jouer

Calculez la vitesse si le réservoir était sur la Lune, où \(g \approx 1.62\) m/s².

Question 2 : Calcul de la section de l'orifice

Principe

L'orifice est de forme circulaire. Sa section, ou aire, se calcule à l'aide de la formule de l'aire d'un disque en fonction de son rayon ou de son diamètre. Une attention particulière doit être portée aux unités.

Mini-Cours

L'aire d'une figure géométrique est la mesure de sa surface. Pour un disque, elle est proportionnelle au carré de son rayon. La constante de proportionnalité est le nombre Pi (\(\pi\)), un nombre irrationnel fondamental en mathématiques, valant approximativement 3.14159.

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de diviser le diamètre par deux pour obtenir le rayon, ou d'oublier d'élever le rayon au carré. Prenez l'habitude d'écrire la formule et de remplacer les termes un par un pour éviter les oublis.

Normes

Le calcul de l'aire d'un cercle est une convention mathématique universelle et ne dépend d'aucune norme technique spécifique.

Formule(s)

Formule de l'aire d'un disque

A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2

Hypothèses

Nous supposons que l'orifice est un cercle parfait.

Donnée(s)

Le diamètre de l'orifice est donné dans l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre de l'orifice	\(d\)	5	\(\text{cm}\)

Astuces

Pour convertir des cm² en m², souvenez-vous que 1 m = 100 cm, donc 1 m² = (100 cm)² = 10 000 cm². Diviser par 10 000 revient à décaler la virgule de 4 rangs vers la gauche.

Schéma (Avant les calculs)

Zoom sur l'orifice et son diamètre

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion du diamètre

\begin{aligned} d &= 5 \text{ cm} \\ &= 0.05 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la section

\begin{aligned} A &= \pi \left(\frac{0.05 \text{ m}}{2}\right)^2 \\ &= \pi (0.025 \text{ m})^2 \\ &= \pi (0.000625 \text{ m}^2) \\ &\Rightarrow A \approx 0.001963 \text{ m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la surface de la section

Réflexions

Une aire de 0.001963 m² peut sembler très petite, mais elle est équivalente à 19.63 cm². Il est souvent utile de faire la conversion inverse pour avoir une meilleure intuition de la taille de la surface.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici est d'oublier de convertir le diamètre de centimètres en mètres avant d'effectuer le calcul. Toutes les unités doivent être cohérentes avec le Système International (m, kg, s).

Points à retenir

La formule de l'aire d'un disque est \(A = \pi r^2\).
La conversion des unités est une étape critique avant tout calcul d'ingénierie.

Le saviez-vous ?

Le problème de la "quadrature du cercle", qui consiste à construire un carré de même aire qu'un cercle donné à l'aide d'une règle et d'un compas, a fasciné les mathématiciens pendant des siècles jusqu'à ce qu'il soit prouvé impossible en 1882, car \(\pi\) est un nombre transcendant.

FAQ

Résultat Final

La section de l'orifice est d'environ 0.001963 m².

A vous de jouer

Quelle serait l'aire en m² pour un orifice de 10 cm de diamètre ?

Question 3 : Calcul du débit volumique théorique

Principe

Le débit volumique \(Q\) représente le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps. Il est le produit de la vitesse du fluide par la section qu'il traverse. Il s'agit d'une mesure du "volume en mouvement".

Mini-Cours

Imaginez un "cylindre" d'eau sortant de l'orifice. En une seconde, la longueur de ce cylindre est égale à la vitesse \(v\). Le volume de ce cylindre est donc sa section \(A\) multipliée par sa longueur \(v\). C'est pourquoi \(Q = A \times v\).

Remarque Pédagogique

Le débit est l'un des concepts les plus importants en hydraulique. Pensez-y comme au "trafic" de l'eau. Une grande vitesse sur une petite "route" (section) peut donner le même trafic qu'une petite vitesse sur une grande "autoroute".

Normes

Le calcul \(Q=vA\) est une définition fondamentale. En pratique, les ingénieurs utilisent des coefficients de décharge (généralement entre 0.6 et 0.98), issus de normes ou d'abaques, pour corriger ce débit théorique et tenir compte des pertes d'énergie dues à la viscosité et à la forme de l'orifice.

Formule(s)

Formule du débit volumique

Q = v \times A

Hypothèses

Nous utilisons la vitesse et la section théoriques calculées précédemment, en continuant de négliger les effets de la viscosité et de la contraction de la veine liquide à la sortie.

Donnée(s)

On utilise les résultats calculés dans les questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse d'écoulement	\(v\)	9.90	\(\text{m/s}\)
Section de l'orifice	\(A\)	0.001963	\(\text{m}^2\)

Astuces

La conversion de m³/s en L/s est très fréquente. Retenez simplement qu'il faut multiplier par 1000. Un débit de 0.001 m³/s correspond à 1 L/s, ce qui est le débit approximatif d'un robinet de cuisine.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du concept de débit

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du débit en m³/s

\begin{aligned} Q &= 9.90 \text{ m/s} \times 0.001963 \text{ m}^2 \\ &\Rightarrow Q \approx 0.01944 \text{ m}^3\text{/s} \end{aligned}

Étape 2 : Conversion en litres par seconde (L/s)

\begin{aligned} Q &= 0.01944 \text{ m}^3\text{/s} \times 1000 \frac{\text{L}}{\text{m}^3} \\ &\Rightarrow Q \approx 19.44 \text{ L/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du volume écoulé en une seconde

Réflexions

Un débit de 19.44 L/s est très important. Cela signifie qu'une baignoire standard de 200 litres pourrait être remplie en un peu plus de 10 secondes avec ce débit. Cela illustre la puissance de l'écoulement généré par une colonne d'eau de 5 mètres.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser les valeurs de vitesse en m/s et de section en m² pour obtenir un débit en m³/s. Toute incohérence d'unité à ce stade faussera le résultat final.

Points à retenir

Le débit est le produit de la vitesse et de la section : \(Q=vA\). C'est une relation fondamentale pour passer de la cinématique (vitesse) à la volumétrie (débit).

Le saviez-vous ?

Les débits des grands fleuves sont colossaux. Le débit moyen de l'Amazone est d'environ 209 000 m³/s, soit 209 millions de litres par seconde. Notre réservoir est minuscule en comparaison !

FAQ

Résultat Final

Le débit volumique théorique est d'environ 0.01944 m³/s, soit 19.44 L/s.

A vous de jouer

Si la vitesse était de 12 m/s (avec le même orifice), quel serait le débit en L/s ?

Question 4 : Impact du doublement de la hauteur

Principe

Nous allons réappliquer la formule de Torricelli avec une nouvelle hauteur pour observer comment la vitesse d'écoulement est affectée. Cela permet de mettre en évidence la relation de dépendance non-linéaire entre la hauteur (énergie potentielle) et la vitesse (énergie cinétique).

Mini-Cours

La relation \(v = \sqrt{2gh}\) est une fonction de type \(y = k\sqrt{x}\). La courbe représentative de cette fonction est une parabole "couchée". Cela signifie que pour augmenter \(y\) d'une certaine quantité, il faut augmenter \(x\) d'une quantité de plus en plus grande. L'efficacité de la hauteur pour générer de la vitesse diminue à mesure que la hauteur augmente.

Remarque Pédagogique

Avant de faire le calcul, essayez de deviner le résultat. Si on double la hauteur, est-ce que la vitesse va doubler ? Moins que doubler ? Plus que doubler ? Cet exercice de prédiction renforce l'intuition physique.

Normes

Ce principe est fondamental en physique et ne relève pas d'une norme spécifique, mais il est essentiel pour le dimensionnement des structures hydrauliques (barrages, réservoirs) selon les normes en vigueur.

Formule(s)

Formule de Torricelli pour la nouvelle hauteur

v' = \sqrt{2gh'}

Hypothèses

Les hypothèses restent les mêmes que pour la question 1.

Donnée(s)

La nouvelle hauteur est le double de la hauteur initiale.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nouvelle hauteur	\(h'\)	10	\(\text{m}\)

Astuces

Pour comparer les deux vitesses, on peut utiliser les rapports : \( \frac{v'}{v} = \frac{\sqrt{2gh'}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{h'}{h}} \). Si \(h' = 2h\), alors \(v' = v \times \sqrt{2}\). Cela évite de refaire tout le calcul et donne directement le facteur multiplicatif.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison des hauteurs initiale et nouvelle

Calcul(s)

Calcul de la nouvelle vitesse

\begin{aligned} v' &= \sqrt{2 \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 10 \text{ m}} \\ &= \sqrt{196.2 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \\ &\Rightarrow v' \approx 14.01 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des vecteurs vitesse résultants

Réflexions

La vitesse initiale était de 9.90 m/s. La nouvelle vitesse est de 14.01 m/s. Le rapport des vitesses est \(v'/v \approx 14.01 / 9.90 \approx 1.415\). Cette valeur est très proche de \(\sqrt{2} \approx 1.414\).
Conclusion : Lorsque l'on double la hauteur, la vitesse n'est pas doublée, mais elle est multipliée par la racine carrée de 2. La relation entre la hauteur et la vitesse n'est pas linéaire mais quadratique.

Points de vigilance

Ne tombez pas dans le piège de la proportionnalité directe. En physique, de nombreuses relations sont non-linéaires (quadratiques, inverses, exponentielles...). Il est essentiel d'analyser la formule avant de faire des conclusions hâtives sur les relations de cause à effet.

Points à retenir

La vitesse d'écoulement est proportionnelle à la racine carrée de la hauteur du fluide. Pour doubler la vitesse, il faudrait quadrupler la hauteur.

Le saviez-vous ?

Les premières horloges à eau (clepsydres) de l'Égypte antique souffraient de ce problème : le débit diminuait à mesure que le niveau baissait. Les ingénieurs grecs et romains ont ensuite inventé des clepsydres de forme conique ou avec des mécanismes complexes pour compenser cet effet et obtenir un écoulement plus constant.

FAQ

Résultat Final

Pour une hauteur de 10 m, la nouvelle vitesse est d'environ 14.01 m/s.

A vous de jouer

Par quelle hauteur (en m) faudrait-il commencer pour obtenir une vitesse de sortie de 20 m/s ?

Outil Interactif : Simulateur de Vidange

Utilisez les curseurs pour faire varier la hauteur d'eau et le diamètre de l'orifice. Observez en temps réel l'impact sur la vitesse d'écoulement et le débit. Le graphique illustre la relation entre la hauteur et la vitesse.

Paramètres d'Entrée

Hauteur de l'eau (m) 5 m

Diamètre de l'orifice (cm) 5 cm

Résultats Clés

Vitesse d'écoulement (m/s) -

Débit volumique (L/s) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La formule de Torricelli, \(v = \sqrt{2gh}\), est une simplification directe de :

La loi de Newton
Le principe de Bernoulli
Le principe d'Archimède

2. Si on quadruple la hauteur d'eau (de 2m à 8m), la vitesse d'écoulement est :

Quadruplée
Inchangée
Doublée

3. Quelle hypothèse est cruciale pour que la formule de Torricelli soit valide ?

La vitesse du fluide à la surface libre est négligeable.
Le fluide est très visqueux.
Le réservoir est fermé hermétiquement.

Théorème de Torricelli: Principe de la dynamique des fluides selon lequel la vitesse d'écoulement d'un fluide par un orifice sous l'effet de la gravité est égale à la vitesse qu'un corps acquerrait en chute libre depuis la surface libre du fluide jusqu'à l'orifice.
Débit Volumique (Q): Le volume de fluide qui s'écoule à travers une section donnée par unité de temps. Il est calculé par Q = A × v, où A est l'aire de la section et v est la vitesse du fluide.
Principe de Bernoulli: En mécanique des fluides, ce principe énonce que pour un fluide parfait (sans viscosité) et incompressible, une augmentation de vitesse s'accompagne d'une diminution de pression ou d'énergie potentielle.