Études de cas pratique

EGC

Calcul du Coefficient de Frottement

Calcul du Coefficient de Frottement en Hydraulique

Calcul du Coefficient de Frottement en Hydraulique

Comprendre le Coefficient de Frottement

Lorsqu'un fluide s'écoule dans une conduite, des forces de frottement s'exercent entre le fluide et la paroi de la conduite, ainsi qu'entre les couches de fluide elles-mêmes (viscosité). Ces frottements engendrent une perte d'énergie, communément appelée "perte de charge". Le coefficient de frottement (ou facteur de friction de Darcy, noté \(f\)) est un nombre sans dimension qui quantifie l'importance de ces frottements. Sa détermination est cruciale pour calculer les pertes de charge dans les systèmes de conduites (adduction d'eau, réseaux d'assainissement, circuits industriels, etc.), et ainsi dimensionner correctement les pompes, évaluer la consommation énergétique et optimiser la conception des réseaux. La valeur de \(f\) dépend du régime d'écoulement (laminaire ou turbulent, caractérisé par le nombre de Reynolds) et de la rugosité relative de la conduite.

Données de l'étude

On considère un écoulement d'eau dans une conduite circulaire en fonte neuve. On souhaite déterminer le coefficient de frottement de Darcy.

Caractéristiques du fluide (eau à \(20^\circ \text{C}\)) :

  • Masse volumique (\(\rho\)) : \(998 \, \text{kg/m}^3\)
  • Viscosité dynamique (\(\mu\)) : \(1.002 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
  • (Alternativement, viscosité cinématique (\(\nu = \mu/\rho\)) : \(1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\text{/s}\))

Caractéristiques de la conduite :

  • Diamètre intérieur (\(D\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Rugosité absolue de la paroi (\(\epsilon\)) : \(0.26 \, \text{mm}\) (fonte neuve)

Conditions d'écoulement :

  • Vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
Schéma : Écoulement dans une Conduite Circulaire
Écoulement en Conduite {/* */} {/* */} V = 1.5 m/s {/* */} D {/* */} \(\epsilon\)

Illustration d'un écoulement dans une conduite avec indication du diamètre, de la vitesse et de la rugosité.

Questions à traiter

  1. Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) pour cet écoulement.
  2. Déterminer le régime d'écoulement (laminaire, transitoire ou turbulent).
  3. Calculer la rugosité relative (\(\epsilon/D\)) de la conduite.
  4. En utilisant une formule appropriée (par exemple, l'équation de Swamee-Jain pour le régime turbulent), calculer le coefficient de frottement de Darcy (\(f\)).

Correction : Calcul du Coefficient de Frottement

Question 1 : Calcul du Nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe :

Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension qui caractérise le type d'écoulement d'un fluide. Il représente le rapport des forces d'inertie aux forces visqueuses. Il se calcule à partir de la masse volumique du fluide (\(\rho\)), de sa vitesse moyenne (\(V\)), du diamètre caractéristique de l'écoulement (ici, le diamètre intérieur de la conduite \(D\)), et de la viscosité dynamique du fluide (\(\mu\)). Alternativement, on peut utiliser la viscosité cinématique (\(\nu = \mu/\rho\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Re = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{V D}{\nu} \]
Données spécifiques :
  • Vitesse (\(V\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}\)
  • Viscosité cinématique (\(\nu\)) : \(1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\text{/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.5 \, \text{m/s} \times 0.1 \, \text{m}}{1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\text{/s}} \\ &= \frac{0.15}{1.004 \times 10^{-6}} \\ &\approx 149402.39 \end{aligned} \]

Arrondissons à \(Re \approx 1.49 \times 10^5\).

Résultat Question 1 : Le nombre de Reynolds pour cet écoulement est \(Re \approx 1.49 \times 10^5\).

Question 2 : Détermination du Régime d'Écoulement

Principe :

Le régime d'écoulement dans une conduite circulaire est déterminé par la valeur du nombre de Reynolds :

  • Si \(Re < 2300\) : Écoulement laminaire.
  • Si \(2300 \leq Re \leq 4000\) : Écoulement transitoire (ou critique).
  • Si \(Re > 4000\) : Écoulement turbulent.

Ces seuils sont des valeurs indicatives et peuvent varier légèrement selon les sources.

Analyse :

Le nombre de Reynolds calculé à la question 1 est \(Re \approx 1.49 \times 10^5\).

Comparons cette valeur aux seuils : \(149402 > 4000\).

Résultat Question 2 : L'écoulement est turbulent.

Quiz Intermédiaire 1 : Un nombre de Reynolds très faible (ex: Re = 500) indique un écoulement :

Question 3 : Calcul de la Rugosité Relative (\(\epsilon/D\))

Principe :

La rugosité relative est un nombre sans dimension qui compare la hauteur moyenne des aspérités de la paroi de la conduite (\(\epsilon\)) au diamètre intérieur de la conduite (\(D\)). Elle influence significativement le coefficient de frottement en régime turbulent.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Rugosité relative} = \frac{\epsilon}{D} \]
Données spécifiques :
  • Rugosité absolue (\(\epsilon\)) : \(0.26 \, \text{mm} = 0.00026 \, \text{m}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(0.1 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.00026 \, \text{m}}{0.1 \, \text{m}} \\ &= 0.0026 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La rugosité relative de la conduite est \(\epsilon/D = 0.0026\).

Question 4 : Calcul du Coefficient de Frottement de Darcy (\(f\))

Principe :

Puisque l'écoulement est turbulent (\(Re > 4000\)), le coefficient de frottement \(f\) dépend à la fois du nombre de Reynolds et de la rugosité relative \(\epsilon/D\). Il existe plusieurs formules empiriques pour calculer \(f\). L'équation de Colebrook-White est implicite et nécessite une résolution itérative ou l'utilisation du diagramme de Moody. L'équation de Swamee-Jain est une approximation explicite de l'équation de Colebrook-White, valable pour \(5000 < Re < 10^8\) et \(10^{-6} < \epsilon/D < 10^{-2}\).

Formule(s) utilisée(s) (Swamee-Jain) :
\[ f = \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}} \right) \right]^2} \]

Pour un écoulement laminaire (\(Re < 2300\)), la formule est plus simple : \(f = 64/Re\). Mais ici, l'écoulement est turbulent.

Données spécifiques :
  • \(Re \approx 149402\) (valeur non arrondie \(149402.39\))
  • \(\epsilon/D = 0.0026\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon/D}{3.7} &= \frac{0.0026}{3.7} \approx 0.0007027 \\ Re^{0.9} &= (149402.39)^{0.9} \approx 45219.2 \\ \frac{5.74}{Re^{0.9}} &= \frac{5.74}{45219.2} \approx 0.00012693 \\ \log_{10} \left( 0.0007027 + 0.00012693 \right) &= \log_{10} (0.00082963) \\ &\approx -3.08116 \\ \left[ \log_{10} (\dots) \right]^2 &\approx (-3.08116)^2 \approx 9.4935 \\ f &= \frac{0.25}{9.4935} \\ &\approx 0.02633 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le coefficient de frottement de Darcy est \(f \approx 0.0263\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la rugosité de la conduite augmente (par exemple, due à la corrosion), le coefficient de frottement en régime turbulent :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le nombre de Reynolds permet de caractériser :

2. En régime d'écoulement laminaire dans une conduite circulaire lisse, le coefficient de frottement \(f\) :

3. La rugosité relative \(\epsilon/D\) a un impact plus significatif sur le coefficient de frottement en régime :

Glossaire

Coefficient de Frottement de Darcy (\(f\))
Nombre sans dimension utilisé dans l'équation de Darcy-Weisbach pour décrire les pertes de charge dues au frottement dans un écoulement en conduite.
Nombre de Reynolds (\(Re\))
Nombre sans dimension qui caractérise le type d'un écoulement (laminaire, transitoire, turbulent). Il exprime le rapport des forces d'inertie aux forces de viscosité.
Écoulement Laminaire
Régime d'écoulement caractérisé par des trajectoires de particules fluides lisses et ordonnées, se produisant généralement à de faibles nombres de Reynolds (ex: \(Re < 2300\) pour une conduite circulaire).
Écoulement Turbulent
Régime d'écoulement caractérisé par des fluctuations chaotiques et aléatoires de la vitesse et de la pression, se produisant généralement à des nombres de Reynolds élevés (ex: \(Re > 4000\) pour une conduite circulaire).
Rugosité Absolue (\(\epsilon\))
Hauteur moyenne des aspérités de la surface intérieure d'une conduite. Unité : \(\text{m}\) ou \(\text{mm}\).
Rugosité Relative (\(\epsilon/D\))
Rapport sans dimension entre la rugosité absolue et le diamètre intérieur de la conduite. Elle influence le coefficient de frottement en régime turbulent.
Viscosité Dynamique (\(\mu\))
Mesure de la résistance interne d'un fluide à l'écoulement. Unité : \(\text{Pa} \cdot \text{s}\) ou \(\text{kg/(m}\cdot\text{s)}\).
Viscosité Cinématique (\(\nu\))
Rapport de la viscosité dynamique à la masse volumique du fluide (\(\nu = \mu/\rho\)). Unité : \(\text{m}^2\text{/s}\).
Pertes de Charge
Perte d'énergie (exprimée en hauteur de fluide, en pression ou en énergie par unité de poids) subie par un fluide en écoulement due aux frottements contre les parois et aux singularités (coudes, vannes, etc.).
Calcul du Coefficient de Frottement - Exercice d'Application

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