Analyse de la Résonance d’une Poutre en Bois
Contexte : Le confort vibratoire, un enjeu majeur pour les structures légères.
Si la résistance à la rupture est un critère fondamental, le comportement dynamique d'une structure est tout aussi crucial pour le confort et la sécurité des usagers. Les structures en bois, de par leur légèreté et leur flexibilité, sont particulièrement sensibles aux vibrations. Une passerelle piétonne, un plancher de salle de sport ou de danse peuvent entrer en résonancePhénomène par lequel l'amplitude des vibrations d'un système augmente de façon spectaculaire lorsqu'il est soumis à une excitation dont la fréquence est proche de sa propre fréquence naturelle (ou propre). sous l'effet de sollicitations rythmiques comme la marche ou le saut. Cet exercice a pour but de calculer la fréquence propreFréquence à laquelle un système oscille naturellement en l'absence de toute excitation extérieure. Elle ne dépend que de la masse et de la rigidité du système. d'une passerelle en bois et de vérifier si elle se situe dans une plage critique vis-à-vis de la marche humaine.
Remarque Pédagogique : Nous quittons ici la statique (l'étude des forces à l'équilibre) pour entrer dans le domaine de la dynamique des structures. L'objectif n'est plus de vérifier une contrainte, mais une fréquence. Nous allons voir que les propriétés clés restent la masse (qui représente l'inertie) et la rigidité (qui représente la force de rappel). Cet exercice est une introduction simple mais réaliste aux vérifications vibratoires exigées par les normes modernes comme l'Eurocode 5.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la masse linéique et la masse totale d'une poutre en bois.
- Déterminer la raideur (ou rigidité) d'une poutre simplement appuyée.
- Calculer la fréquence propre fondamentale d'une poutre.
- Comparer cette fréquence aux fréquences d'excitation de la marche humaine.
- Comprendre l'influence de la portée, de la masse et de la rigidité sur le risque de résonance.
Données de l'étude
Schéma de la passerelle et de son mode de vibration fondamental
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Portée de la passerelle | \(L\) | 8.0 | \(\text{m}\) |
| Largeur de la section | \(b\) | 120 | \(\text{mm}\) |
| Hauteur de la section | \(h\) | 400 | \(\text{mm}\) |
| Module d'élasticité moyen (C24) | \(E_{\text{0,mean}}\) | 11 000 | \(\text{MPa}\) |
| Masse volumique caractéristique (C24) | \(\rho_k\) | 350 | \(\text{kg/m}^3\) |
Questions à traiter
- Calculer la masse linéique \(m'\) de la poutre.
- Calculer la raideur en flexion \(k\) de la poutre.
- Déterminer la pulsation propre \(\omega_1\) et la fréquence propre \(f_1\) de la poutre.
- Comparer la fréquence propre aux plages de fréquences critiques de la marche (1.6-2.4 Hz) et de la course (2.0-3.5 Hz). Conclure sur le risque de résonance.
Les bases de la Dynamique des Structures
Pour comprendre la résonance, il faut modéliser la structure comme un système masse-ressort.
1. Le Modèle Masse-Ressort :
Toute structure peut être simplifiée en un oscillateur simple avec une masse \(m\) et une raideur \(k\). La pulsation propre \(\omega\) (en rad/s) et la fréquence propre \(f\) (en Hz) de cet oscillateur sont :
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{et} \quad f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \]
2. Raideur et Masse d'une Poutre :
Pour une poutre sur appuis simples, la raideur \(k\) est la force qu'il faut appliquer au centre pour provoquer un déplacement unitaire. Elle est liée à la flèche :
\[ k = \frac{F}{f} = \frac{48 E I}{L^3} \]
La masse à considérer n'est pas la masse totale, mais une "masse équivalente" \(m_{\text{eq}}\) qui produit le même effet dynamique. Pour le premier mode de vibration, elle vaut environ la moitié de la masse totale :
\[ m_{\text{eq}} \approx 0.5 \cdot m_{\text{totale}} = 0.5 \cdot (\rho \cdot A \cdot L) \]
3. Formule Directe de la Fréquence Propre :
En combinant ces formules, on obtient une expression directe pour la fréquence propre fondamentale (premier mode) d'une poutre sur appuis simples :
\[ f_1 = \frac{\pi}{2 L^2} \sqrt{\frac{E I}{\rho A}} \]
Où \(\rho A\) est la masse par unité de longueur (masse linéique).
Correction : Analyse de la Résonance d’une Poutre en Bois
Question 1 : Calculer la masse linéique (m')
Principe (le concept physique)
La masse linéique (ou masse par unité de longueur) représente la quantité de matière de la poutre par mètre. C'est une propriété inertielle fondamentale pour l'analyse dynamique. Elle se calcule simplement en multipliant la masse volumique du matériau par l'aire de la section transversale de la poutre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En dynamique, la masse représente l'inertie du système, c'est-à-dire sa résistance au changement de mouvement (accélération). Une poutre plus massive aura une fréquence propre plus basse, car il faut plus "d'effort" pour la faire vibrer rapidement. La masse linéique est notée \(m'\) ou \(\mu\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est un calcul très simple, mais la principale difficulté est la gestion des unités. Les masses volumiques sont souvent données en kg/m³, tandis que les dimensions de la section sont en mm. Il faut être très rigoureux dans les conversions pour obtenir un résultat cohérent, typiquement en kg/m.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 5 fournit les valeurs de masse volumique caractéristique (\(\rho_k\)) et moyenne (\(\rho_{mean}\)) pour les différentes classes de résistance du bois. Pour les calculs de vibrations et de charges permanentes, on utilise généralement la masse volumique moyenne.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La masse linéique \(m'\) est le produit de la masse volumique \(\rho\) par l'aire de la section \(A\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la poutre est homogène et que sa section est constante sur toute sa longueur. On néglige la masse des assemblages ou des équipements secondaires.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Masse volumique, \(\rho_k = 350 \, \text{kg/m}^3\)
- Largeur, \(b = 120 \, \text{mm}\)
- Hauteur, \(h = 400 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour éviter les erreurs, convertissez toutes vos dimensions en mètres dès le départ. \(b = 0.120 \, \text{m}\) et \(h = 0.400 \, \text{m}\). Le calcul de l'aire en m² sera direct, et le résultat final sera en kg/m.
Schéma (Avant les calculs)
Section et Masse Volumique
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Convertir les dimensions en mètres :
2. Calculer l'aire de la section \(A\) :
3. Calculer la masse linéique \(m'\) :
Schéma (Après les calculs)
Poutre avec sa Masse Linéique
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Chaque mètre de cette poutre pèse 16.8 kg. Pour la portée totale de 8 mètres, la masse totale de la poutre sera de \(16.8 \times 8 = 134.4 \, \text{kg}\). C'est cette masse qui devra être mise en mouvement lors des vibrations.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans les conversions d'unités, notamment entre mm² et m². Rappelez-vous que \(1 \, \text{m}^2 = (1000 \, \text{mm})^2 = 1,000,000 \, \text{mm}^2\). Une erreur ici fausserait complètement le calcul de la masse.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La masse linéique est la masse par unité de longueur.
- Elle se calcule par \(m' = \rho \cdot A\).
- Une gestion rigoureuse des unités (kg, m) est impérative.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les calculs dynamiques de planchers, on doit ajouter à la masse propre de la structure une partie des charges d'exploitation (par exemple, 10 à 20% du poids des personnes et du mobilier), car ces éléments participent aussi à l'inertie du système.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la poutre était en chêne (\(\rho \approx 700\) kg/m³), quelle serait sa masse linéique en kg/m ?
Question 2 : Calculer la raideur en flexion (k)
Principe (le concept physique)
La raideur (ou rigidité) \(k\) représente la résistance de la poutre à la déformation. C'est la force qu'il faudrait appliquer en son centre pour provoquer un déplacement d'une unité (1 mètre). Une poutre très rigide aura un \(k\) élevé. Elle dépend à la fois de la rigidité du matériau (module de Young \(E\)) et de la rigidité de la forme (moment quadratique \(I\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La raideur est la "constante de rappel" du ressort dans le modèle masse-ressort. Une raideur élevée signifie que la poutre "tire" fortement pour revenir à sa position d'équilibre, ce qui la fait vibrer plus rapidement. La formule \(k = 48EI/L^3\) dérive directement de l'équation de la flèche d'une poutre sous charge ponctuelle : \(f = FL^3/(48EI)\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Notez la très forte influence de la portée \(L\) sur la raideur, qui est en \(1/L^3\). Doubler la longueur d'une poutre la rend \(2^3 = 8\) fois moins rigide ! C'est pourquoi les longues portées sont un défi majeur en ingénierie et nécessitent des poutres très hautes pour compenser.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul de la rigidité est une étape de base de la RdM, fondamentale pour toutes les vérifications de déformation et de vibration dans les Eurocodes. Les valeurs du module d'élasticité \(E\) sont fournies par les normes en fonction de la classe de résistance du matériau.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La raideur \(k\) d'une poutre sur appuis simples est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le comportement du matériau est linéaire-élastique et que les appuis sont parfaits (rotules sans frottement).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(E_{\text{0,mean}} = 11000 \, \text{MPa}\)
- \(L = 8.0 \, \text{m}\)
- \(b = 120 \, \text{mm}\), \(h = 400 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour la cohérence des unités, il est crucial de tout convertir en unités de base du Système International (mètres, Newtons, Pascals, kg).
\(E = 11000 \, \text{MPa} = 11 \times 10^9 \, \text{Pa}\) (ou N/m²).
\(L = 8.0 \, \text{m}\).
\(b = 0.12 \, \text{m}\), \(h = 0.40 \, \text{m}\).
Schéma (Avant les calculs)
Concept de Raideur
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul du moment quadratique \(I\) en m⁴ :
2. Calcul de la raideur \(k\) en N/m :
Schéma (Après les calculs)
Poutre Modélisée comme un Ressort
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La raideur de la passerelle est de 660 000 N/m. Cela signifie qu'il faudrait appliquer une force de 660 kN (environ 66 tonnes !) en son centre pour la faire fléchir de 1 mètre. Cette valeur, qui semble énorme, est la clé de sa fréquence de vibration.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La plus grande source d'erreur est la gestion des unités, en particulier le module d'élasticité (MPa en Pa) et les dimensions (mm en m). L'exposant sur la portée (\(L^3\)) amplifie toute erreur de conversion. Soyez méthodique et utilisez les unités de base du SI.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La raideur \(k\) mesure la résistance à la déformation.
- Elle dépend de \(E\), \(I\) et très fortement de \(L\).
- La formule pour une poutre sur appuis simples est \(k = 48EI/L^3\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour augmenter la rigidité d'une structure sans ajouter trop de masse, les ingénieurs utilisent des poutres en treillis ou des poutres-caissons. Ces formes optimisées placent la matière là où elle est la plus efficace (loin de l'axe neutre), maximisant le moment quadratique \(I\) pour une quantité de matériau donnée.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la poutre était deux fois plus courte (L=4 m), quelle serait sa raideur en N/m ?
Question 3 : Déterminer la fréquence propre (f1)
Principe (le concept physique)
La fréquence propre (ou naturelle) est la fréquence à laquelle la structure "aime" vibrer. Elle est déterminée par un équilibre entre la force de rappel (la raideur \(k\)) et l'inertie (la masse \(m\)). Une structure très rigide et légère vibrera rapidement (haute fréquence), tandis qu'une structure souple et lourde vibrera lentement (basse fréquence).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule \(f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}\) est la solution de l'équation différentielle du mouvement d'un oscillateur harmonique non amorti : \(m\ddot{x} + kx = 0\). Pour une poutre, un système continu, il existe une infinité de fréquences et de modes propres. La formule directe \(f_1 = \frac{\pi}{2 L^2} \sqrt{\frac{E I}{\rho A}}\) donne directement la première fréquence (la plus basse et généralement la plus importante).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à une corde de guitare. Une corde courte, fine (légère) et très tendue (rigide) produit une note aiguë (haute fréquence). Une corde longue, épaisse (lourde) et peu tendue (souple) produit une note grave (basse fréquence). C'est exactement le même principe physique pour notre poutre.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 5 impose des vérifications de confort vibratoire pour les planchers. Il recommande que la fréquence propre fondamentale \(f_1\) soit supérieure à 8 Hz pour éviter la résonance avec les activités humaines. Si ce n'est pas le cas, des calculs plus poussés sont nécessaires.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise la formule directe pour la première fréquence propre :
Où \(\rho A\) est la masse linéique \(m'\) calculée à la question 1.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On calcule la fréquence propre de la structure seule, sans amortissement. L'amortissement (dû aux frottements internes, aux assemblages, etc.) réduit l'amplitude des vibrations mais a peu d'effet sur la valeur de la fréquence propre elle-même.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(L = 8.0 \, \text{m}\)
- \(E = 11 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\)
- \(I = 6.4 \times 10^{-4} \, \text{m}^4\)
- \(m' = \rho A = 16.8 \, \text{kg/m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le terme \(EI\) est appelé "rigidité de flexion". Il est souvent utile de le calculer une fois. Le terme \(\rho A\) est la masse linéique. La formule devient alors \(f_1 = \frac{\pi}{2 L^2} \sqrt{\frac{EI}{m'}}\). Assurez-vous que toutes les unités sont en SI (m, kg, s, N) pour obtenir un résultat en Hertz (s⁻¹).
Schéma (Avant les calculs)
Balance entre Rigidité et Inertie
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul du terme sous la racine :
Note: \( \text{N} = \text{kg} \cdot \text{m/s}^2 \), donc \( \frac{\text{N} \cdot \text{m}^3}{\text{kg}} = \frac{(\text{kg} \cdot \text{m/s}^2) \cdot \text{m}^3}{\text{kg}} = \text{m}^4/\text{s}^2 \).
2. Calcul de la fréquence propre \(f_1\) :
Schéma (Après les calculs)
Fréquence Propre de la Passerelle
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La fréquence propre fondamentale de la passerelle est de 15.9 Hz. C'est une fréquence relativement élevée, ce qui suggère que la poutre est très rigide par rapport à sa masse. Nous allons maintenant comparer cette valeur aux fréquences d'excitation humaines.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas oublier le facteur \(\pi\) ou le carré sur la longueur \(L\) dans la formule. De plus, ne confondez pas la pulsation \(\omega\) (en rad/s) et la fréquence \(f\) (en Hz). La fréquence, qui est la grandeur physique la plus intuitive (nombre de cycles par seconde), est toujours la pulsation divisée par \(2\pi\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La fréquence propre dépend de la racine carrée du rapport rigidité/masse.
- La formule directe est le moyen le plus rapide de la calculer pour les cas simples.
- Le résultat est en Hertz (Hz), soit des cycles par seconde.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le pont du Millenium à Londres, une passerelle piétonne, a connu des vibrations latérales inattendues et importantes le jour de son inauguration en 2000. Les ingénieurs ont découvert un phénomène de "synchronisation latérale" : les piétons ajustaient inconsciemment leur marche pour contrer le léger mouvement du pont, ce qui amplifiait le phénomène. Des amortisseurs ont dû être ajoutés pour corriger le problème.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le module d'élasticité était 4 fois plus faible (matériau plus souple), quelle serait la nouvelle fréquence propre en Hz ?
Question 4 : Conclure sur le risque de résonance
Principe (le concept physique)
La résonance se produit lorsque la fréquence d'une excitation extérieure (ici, la marche des piétons) coïncide avec l'une des fréquences propres de la structure. À la résonance, l'énergie de l'excitation est transférée très efficacement à la structure, provoquant une augmentation potentiellement dangereuse de l'amplitude des vibrations. La vérification consiste donc à s'assurer que la fréquence propre est suffisamment éloignée des fréquences d'excitation possibles.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La marche humaine n'est pas une simple sinusoïde. C'est un signal périodique complexe qui peut être décomposé en une fréquence fondamentale (la cadence des pas) et ses harmoniques (multiples entiers de la fréquence de base). Une passerelle peut donc entrer en résonance non seulement avec la fréquence des pas, mais aussi avec ses harmoniques 2 et 3.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est comme pousser une balançoire. Si vous poussez au bon rythme (à sa fréquence propre), vous pouvez l'amener très haut avec très peu d'effort. Si vous poussez à n'importe quelle autre fréquence, vous n'arriverez à rien. Notre but est de concevoir une "balançoire" (la passerelle) dont le rythme naturel est très différent du rythme de la "poussée" (la marche).
Normes (la référence réglementaire)
Les guides de conception de passerelles (comme le guide français Sétra ou l'Eurocode) définissent des plages de fréquences à éviter. Typiquement, une fréquence propre entre 1 Hz et 5 Hz est considérée comme à haut risque pour les vibrations verticales, car elle couvre les fréquences fondamentales et les premières harmoniques de la marche et de la course.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Il s'agit d'une comparaison directe entre la fréquence calculée et les plages critiques.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les plages de fréquences données pour la marche et la course sont représentatives de la population d'usagers de la passerelle.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Fréquence propre calculée, \(f_1 \approx 15.9 \, \text{Hz}\)
- Plage critique marche : [1.6, 2.4] Hz
- Plage critique course : [2.0, 3.5] Hz
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour une première approche, on peut considérer une zone de confort si la fréquence propre est supérieure à 5 Hz. En dessous de cette valeur, une analyse plus détaillée est presque toujours nécessaire.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Fréquences
Calcul(s) (l'application numérique)
C'est une simple comparaison de valeurs :
Schéma (Après les calculs)
Position de la Fréquence Propre
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La fréquence propre de la passerelle (15.9 Hz) est très éloignée des fréquences d'excitation de la marche et de la course. Elle est également bien au-dessus de la limite de confort usuelle de 8 Hz pour les planchers. Le risque de résonance est donc quasi nul. La passerelle sera perçue comme très rigide et confortable du point de vue vibratoire.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas conclure trop vite. Même si la fréquence fondamentale est hors de la zone critique, il faut parfois vérifier les harmoniques. Par exemple, si la fréquence propre était de 4.0 Hz, elle serait hors de la plage de la marche [1.6, 2.4], mais elle pourrait être excitée par la deuxième harmonique d'une marche à 2.0 Hz (\(2 \times 2.0 = 4.0\)).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La résonance se produit si \(f_{\text{excitation}} \approx f_{\text{propre}}\).
- On compare la fréquence propre de la structure aux fréquences des sources de vibration (marche, vent, machines).
- Pour les passerelles, on cherche à avoir une fréquence propre suffisamment élevée, loin de la plage [1-5] Hz.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour les très grands gratte-ciels, il est impossible d'éviter la résonance avec le vent. On utilise alors des "amortisseurs de masse accordée" (Tuned Mass Dampers). Ce sont d'énormes pendules (plusieurs centaines de tonnes), installés au sommet de la tour et réglés sur la fréquence propre du bâtiment. Quand le bâtiment oscille, le pendule oscille en opposition de phase et dissipe l'énergie, limitant ainsi les vibrations.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Une autre passerelle a une fréquence propre de 2.2 Hz. Est-elle à risque de résonance ?
Outil Interactif : Analyse Vibratoire d'une Passerelle
Modifiez les paramètres de la passerelle pour voir leur influence sur la fréquence propre et le risque de résonance.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le pont du Millenium à Londres, une passerelle piétonne, a connu des vibrations latérales inattendues et importantes le jour de son inauguration en 2000. Les ingénieurs ont découvert un phénomène de "synchronisation latérale" : les piétons ajustaient inconsciemment leur marche pour contrer le léger mouvement du pont, ce qui amplifiait le phénomène. Des amortisseurs ont dû être ajoutés pour corriger le problème.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi la vérification de la flèche est-elle si importante pour le bois ?
Le bois a un module d'élasticité (E) bien plus faible que celui de l'acier (environ 11 GPa contre 210 GPa). Cela signifie qu'à géométrie et charge égales, une poutre en bois se déformera beaucoup plus qu'une poutre en acier. C'est pourquoi la conception des structures en bois est très souvent dictée par les limites de déformation plutôt que par les limites de résistance.
Qu'est-ce que le coefficient k_mod dans l'Eurocode 5 ?
Le \(k_{\text{mod}}\) est un facteur de modification qui tient compte de l'effet de la durée de la charge et de la teneur en humidité du bois sur sa résistance. Le bois peut supporter des charges élevées pendant une courte durée (comme un coup de vent), mais sa résistance diminue pour des charges appliquées en permanence (comme le poids propre d'une structure). Le \(k_{\text{mod}}\) ajuste la résistance caractéristique du matériau pour refléter ces conditions d'usage réelles.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour augmenter significativement la fréquence propre d'une poutre, la solution la plus efficace est de :
2. Une passerelle a une fréquence propre de 2.0 Hz. Quel est le risque principal ?
- Fréquence Propre (ou Naturelle)
- Fréquence à laquelle un système (comme une poutre) oscille naturellement lorsqu'il est perturbé, en l'absence de toute force extérieure. Elle ne dépend que de la masse et de la rigidité du système.
- Résonance
- Phénomène d'amplification des vibrations qui se produit lorsqu'une structure est excitée par une force périodique dont la fréquence est très proche de l'une de ses fréquences propres.
- Mode de Vibration
- Forme géométrique spécifique selon laquelle une structure oscille à une de ses fréquences propres. Le premier mode (fondamental) est généralement le plus simple et le plus facile à exciter.
D’autres exercices de structure en bois:
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