Études de cas pratique

EGC

Résonance d’une Poutre en Bois

Calcul de la Fréquence Propre et Résonance d’une Poutre en Bois

Calcul de la Fréquence Propre et Résonance d’une Poutre en Bois

Comprendre la Fréquence Propre et la Résonance d’une Poutre en Bois

Toute structure, y compris une poutre en bois, possède des fréquences propres (ou naturelles) de vibration. Ce sont les fréquences auxquelles la structure vibre le plus facilement si elle est excitée. Si une force externe (comme la marche de personnes, une machine vibrante, ou même le vent) excite la poutre à une fréquence proche de l'une de ses fréquences propres, un phénomène de résonance peut se produire. La résonance se traduit par une augmentation significative de l'amplitude des vibrations, ce qui peut entraîner un inconfort pour les usagers, des dommages à la structure ou aux éléments non structuraux. Il est donc important de calculer la première fréquence propre pour s'assurer qu'elle est suffisamment éloignée des fréquences d'excitation courantes.

Données de l'étude

On étudie une poutre en bois (solive de plancher) de section rectangulaire, simplement appuyée à ses deux extrémités.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Portée de la poutre (\(L\)) : \(4.5 \, \text{m}\)
  • Largeur de la section (\(b\)) : \(80 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section (\(h\)) : \(220 \, \text{mm}\)
  • Module d'élasticité moyen du bois (\(E_{0,mean}\)) : \(11000 \, \text{MPa}\) (ou N/mm²)
  • Masse volumique moyenne du bois (\(\rho_{mean}\)) : \(420 \, \text{kg/m}^3\)

Hypothèse : On s'intéresse à la première fréquence propre de vibration en flexion.

Schéma : Poutre en Bois et Premier Mode de Vibration
Poutre Simplement Appuyée 1er mode de vibration L = 4.5 m bxh

Poutre simplement appuyée et son premier mode de vibration en flexion.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section (\(A\)) de la poutre.
  2. Calculer le moment d'inertie (\(I\)) de la section par rapport à son axe de flexion principal.
  3. Calculer la masse linéique (\(\mu\)) de la poutre.
  4. Calculer la première fréquence propre de vibration en flexion (\(f_1\)) de la poutre. Utiliser la formule : \(f_1 = \frac{\pi}{2L^2} \sqrt{\frac{E_{0,mean} I}{\mu}}\).
  5. Si un équipement génère des vibrations à une fréquence de 8 Hz, y a-t-il un risque de résonance important ? Justifier.

Correction : Calcul de la Fréquence Propre et Résonance

Question 1 : Aire de la Section (\(A\))

Principe :

L'aire d'une section rectangulaire est le produit de sa base (\(b\)) par sa hauteur (\(h\)). Il est important d'utiliser des unités cohérentes pour les calculs ultérieurs (par exemple, tout en mètres ou tout en millimètres).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = b \times h\]
Données spécifiques (converties en mètres pour la masse linéique plus tard) :
  • Base (\(b\)) : \(80 \, \text{mm} = 0.08 \, \text{m}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(220 \, \text{mm} = 0.22 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= 0.08 \, \text{m} \times 0.22 \, \text{m} \\ &= 0.0176 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

En mm² : \(A = 80 \, \text{mm} \times 220 \, \text{mm} = 17600 \, \text{mm}^2\)

Résultat Question 1 : L'aire de la section est \(A = 0.0176 \, \text{m}^2\) (ou \(17600 \, \text{mm}^2\)).

Question 2 : Moment d'Inertie (\(I\))

Principe :

Le moment d'inertie (ou moment quadratique) d'une section par rapport à un axe mesure sa capacité à résister à la flexion autour de cet axe. Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), fléchie par rapport à l'axe passant par son centre de gravité et parallèle à la base, le moment d'inertie est \(I = \frac{b h^3}{12}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I = \frac{b h^3}{12}\]
Données spécifiques (converties en mètres pour cohérence avec E plus tard) :
  • Base (\(b\)) : \(0.08 \, \text{m}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(0.22 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I &= \frac{0.08 \, \text{m} \times (0.22 \, \text{m})^3}{12} \\ &= \frac{0.08 \times 0.010648}{12} \, \text{m}^4 \\ &= \frac{0.00085184}{12} \, \text{m}^4 \\ &\approx 7.0987 \times 10^{-5} \, \text{m}^4 \end{aligned} \]

En mm⁴ : \(I = \frac{80 \times (220)^3}{12} = \frac{80 \times 10648000}{12} = \frac{851840000}{12} \approx 70986667 \, \text{mm}^4\)

Résultat Question 2 : Le moment d'inertie est \(I \approx 7.0987 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\) (ou \(70986667 \, \text{mm}^4\)).

Question 3 : Masse Linéique (\(\mu\))

Principe :

La masse linéique (\(\mu\)) est la masse de la poutre par unité de longueur. Elle est calculée en multipliant l'aire de la section (\(A\)) par la masse volumique (\(\rho_{mean}\)) du matériau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\mu = A \times \rho_{mean}\]
Données spécifiques :
  • Aire (\(A\)) : \(0.0176 \, \text{m}^2\) (calculée)
  • Masse volumique (\(\rho_{mean}\)) : \(420 \, \text{kg/m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \mu &= 0.0176 \, \text{m}^2 \times 420 \, \text{kg/m}^3 \\ &= 7.392 \, \text{kg/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La masse linéique de la poutre est \(\mu = 7.392 \, \text{kg/m}\).

Question 4 : Première Fréquence Propre de Vibration (\(f_1\))

Principe :

La première fréquence propre (ou fondamentale) de vibration en flexion pour une poutre simplement appuyée est la plus basse fréquence à laquelle la poutre vibrera naturellement si elle est perturbée. Elle dépend de sa longueur, de sa rigidité en flexion (\(E_{0,mean} I\)) et de sa masse linéique (\(\mu\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_1 = \frac{\pi}{2L^2} \sqrt{\frac{E_{0,mean} I}{\mu}}\]

Attention aux unités pour assurer la cohérence. Si L est en m, E en Pa (N/m²), I en m⁴, \(\mu\) en kg/m, alors \(f_1\) sera en Hz (s⁻¹).

Données spécifiques (unités SI) :
  • Portée (\(L\)) : \(4.5 \, \text{m}\)
  • Module d'Young (\(E_{0,mean}\)) : \(11000 \, \text{MPa} = 11000 \times 10^6 \, \text{N/m}^2 = 1.1 \times 10^{10} \, \text{N/m}^2\)
  • Moment d'inertie (\(I\)) : \(7.0987 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)
  • Masse linéique (\(\mu\)) : \(7.392 \, \text{kg/m}\)
Calcul :

Terme sous la racine :

\[ \begin{aligned} \frac{E_{0,mean} I}{\mu} &= \frac{(1.1 \times 10^{10} \, \text{N/m}^2) \times (7.0987 \times 10^{-5} \, \text{m}^4)}{7.392 \, \text{kg/m}} \\ &= \frac{780857 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}}{7.392} \\ &\approx 105635 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \quad (\text{car N} = \text{kg} \cdot \text{m/s}^2) \end{aligned} \]
\[ \sqrt{\frac{E_{0,mean} I}{\mu}} \approx \sqrt{105635} \approx 325.0 \, \text{m/s} \]

Calcul de la fréquence :

\[ \begin{aligned} f_1 &= \frac{\pi}{2 \times (4.5 \, \text{m})^2} \times 325.0 \, \text{m/s} \\ &= \frac{\pi}{2 \times 20.25} \times 325.0 \\ &= \frac{\pi}{40.5} \times 325.0 \\ &\approx 0.07757 \times 325.0 \, \text{s}^{-1} \\ &\approx 25.21 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La première fréquence propre de vibration de la poutre est \(f_1 \approx 25.2 \, \text{Hz}\).

Question 5 : Risque de Résonance

Principe :

La résonance se produit lorsque la fréquence d'une excitation externe est proche ou égale à l'une des fréquences propres de la structure. Cela peut entraîner des vibrations de grande amplitude. Pour évaluer le risque, on compare la fréquence d'excitation à la fréquence propre calculée.

Données spécifiques :
  • Fréquence propre calculée (\(f_1\)) : \(\approx 25.2 \, \text{Hz}\)
  • Fréquence d'excitation de l'équipement : \(f_{equip} = 8 \, \text{Hz}\)
Analyse :

La première fréquence propre de la poutre est \(f_1 \approx 25.2 \, \text{Hz}\).

La fréquence d'excitation de l'équipement est \(f_{equip} = 8 \, \text{Hz}\).

Pour qu'il y ait un risque de résonance important, il faut que \(f_{equip}\) soit très proche de \(f_1\) (ou d'un de ses multiples si l'excitation est complexe, ou si on considère les harmoniques de la poutre). Dans ce cas, \(8 \, \text{Hz}\) est significativement différent de \(25.2 \, \text{Hz}\). Le rapport est \(25.2 / 8 \approx 3.15\). Généralement, on considère un risque si les fréquences sont dans un intervalle de \(\pm 15-20\%\) ou si le rapport est proche de 1. Ici, les fréquences sont suffisamment éloignées pour que le risque de résonance due au premier mode de vibration de la poutre soit faible. Cependant, il faudrait aussi considérer les modes de vibration supérieurs et la nature exacte de l'excitation.

Résultat Question 5 : La fréquence d'excitation de 8 Hz est assez éloignée de la première fréquence propre de la poutre (environ 25.2 Hz). Le risque de résonance important avec le premier mode est donc faible.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Qu'est-ce que la fréquence propre d'une structure ?

2. Le phénomène de résonance se produit lorsque :

3. Si on augmente la masse linéique (\(\mu\)) d'une poutre (en gardant E, I et L constants), sa première fréquence propre :

Glossaire

Fréquence Propre (ou Naturelle)
Fréquence à laquelle un système (comme une poutre) oscille naturellement en l'absence de force d'excitation externe continue, après avoir été perturbé.
Résonance
Phénomène qui se produit lorsqu'un système est excité par une force externe à une fréquence proche de l'une de ses fréquences propres, entraînant une augmentation significative de l'amplitude des vibrations.
Module d'Young (\(E_{0,mean}\))
Mesure de la rigidité d'un matériau, représentant le rapport entre la contrainte et la déformation dans le domaine élastique.
Moment d'Inertie (I)
Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion. Plus I est grand, plus la section est rigide en flexion.
Masse Linéique (\(\mu\))
Masse de la poutre par unité de longueur (ex: kg/m).
Mode de Vibration
Forme spécifique que prend la déformation d'une structure lorsqu'elle vibre à une de ses fréquences propres. Le "premier mode" correspond à la fréquence propre la plus basse.
Hertz (Hz)
Unité de mesure de la fréquence, équivalente à un cycle par seconde (s⁻¹).
Calcul de la Fréquence Propre et Résonance – Exercice d'Application

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