Résonance d’une Poutre en Bois

Comprendre la Résonance d’une Poutre en Bois

Un ingénieur en structure est chargé de concevoir un auditorium en bois qui sera utilisé pour des concerts et des conférences. Pour assurer le confort acoustique et la sécurité structurelle, il est crucial que les éléments structurels en bois, notamment les poutres de support du toit, soient conçus pour éviter la résonance à des fréquences pouvant être générées par la musique et la voix humaine. Une poutre en bois clé, située sous le toit de l’auditorium, doit être analysée pour s’assurer qu’elle ne sera pas en résonance.

Pour comprendre le calcul de la Section structure en bois, cliquez sur le lien.

Données Fournies:

Longueur de la poutre, L: 8 mètres
Largeur de la poutre, b: 0,15 mètre
Hauteur de la poutre, h: 0,25 mètre
Masse volumique du bois, \(\rho\): 600 kg/m\(^3\)
Module d’Young du bois, E: 11 GPa (Gigapascals)
La poutre est simplement appuyée aux deux extrémités.

Questions:

1. Calcul de la masse de la poutre

Utilisez la masse volumique \(\rho\) et les dimensions de la poutre pour calculer sa masse totale.

2. Calcul du moment d’inertie de la section transversale \(I\)

Utilisez la largeur b et la hauteur h de la poutre pour calculer le moment d’inertie de sa section transversale.

3. Calcul de la fréquence fondamentale de résonance \(f_1\)

Utilisez la formule de la fréquence fondamentale de résonance pour une poutre simplement appuyée chargée uniformément,

4. Analyse

Discutez des implications de la fréquence de résonance calculée par rapport aux fréquences générées par la musique et la voix humaine (généralement de 20 Hz à 20 kHz). Considérez les mesures qui pourraient être prises pour modifier la fréquence de résonance si nécessaire.

Correction : Résonance d’une Poutre en Bois

1. Calcul de la masse de la poutre

But :
Calculer la masse totale de la poutre en utilisant sa masse volumique et ses dimensions.

Formule utilisée :

\[ m = \rho \times A \times L \]

où

\(\rho\) est la masse volumique (kg/m\(^3\)),
\(A\) est l’aire de la section transversale (m\(^2\)),
\(L\) est la longueur de la poutre (m).

Données :

Longueur, \(L = 8\,\text{m}\)
Largeur, \(b = 0,15\,\text{m}\)
Hauteur, \(h = 0,25\,\text{m}\)
Masse volumique, \(\rho = 600\,\text{kg/m}^3\)

Calcul de l’aire de la section :

\[ A = b \times h \] \[ A = 0,15\,\text{m} \times 0,25\,\text{m} \] \[ A = 0,0375\,\text{m}^2 \]

Calcul de la masse :

\[ m = 600\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 0,0375\,\text{m}^2 \times 8\,\text{m} \] \[ m = 600 \times 0,3 \] \[ m = 180\,\text{kg} \]

2. Calcul du moment d’inertie de la section transversale \(I\)

But :
Calculer le moment d’inertie d’une section rectangulaire, nécessaire pour l’analyse des vibrations.

Formule utilisée :

Pour une section rectangulaire,

\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]

Données :

\(b = 0,15\,\text{m}\)
\(h = 0,25\,\text{m}\)

Calcul :

1. Calcul de \(h^3\) :

\[ h^3 = (0,25\,\text{m})^3 \] \[ = 0,25 \times 0,25 \times 0,25 \] \[ = 0,015625\,\text{m}^3 \]

2. Substitution dans la formule :

\[ I = \frac{0,15\,\text{m} \times 0,015625\,\text{m}^3}{12} \] \[ I = \frac{0,00234375\,\text{m}^4}{12} \] \[ I \approx 0,00019531\,\text{m}^4 \]

3. Calcul de la fréquence fondamentale de résonance \(f_1\)

But :
Déterminer la fréquence de vibration fondamentale de la poutre, afin de vérifier qu’elle ne coïncide pas avec des fréquences indésirables (ex. musique, voix).

Modèle retenu :

Pour une poutre simplement appuyée, la fréquence naturelle fondamentale est donnée par :

\[ f_1 = \frac{\pi}{2L^2} \sqrt{\frac{EI}{\rho A}} \]

où

\(E\) est le module d’Young (Pa),
\(I\) est le moment d’inertie (m\(^4\)),
\(\rho\) est la masse volumique (kg/m\(^3\)),
\(A\) est l’aire de la section (m\(^2\)),
\(L\) est la longueur de la poutre (m).

Données :

\(E = 11\,\text{GPa} = 11 \times 10^9\,\text{Pa}\)
\(I = 0,00019531\,\text{m}^4\)
\(\rho = 600\,\text{kg/m}^3\)
\(A = 0,0375\,\text{m}^2\)
\(L = 8\,\text{m}\)

Calcul détaillé :

1. Calcul de la masse linéique} (masse par unité de longueur) :

\[ \mu = \rho \times A \] \[ \mu = 600\,\text{kg/m}^3 \times 0,0375\,\text{m}^2 \] \[ \mu = 22,5\,\text{kg/m} \]

2. Calcul du produit \(E \times I\) :

\[ EI = 11 \times 10^9\,\text{Pa} \times 0,00019531\,\text{m}^4 \] \[ EI \approx 11 \times 10^9 \times 1,9531 \times 10^{-4}\,\text{Nm}^2 \] \[ \approx 2,14844 \times 10^6\,\text{Nm}^2 \]

3. Calcul du rapport \(\frac{EI}{\rho A}\) :

\[ \frac{EI}{\rho A} = \frac{2,14844 \times 10^6\,\text{Nm}^2}{22,5\,\text{kg/m}} \approx 95530\,\frac{\text{m}^4}{\text{s}^2} \]

4. Calcul de la racine carrée :

\[ \sqrt{\frac{EI}{\rho A}} = \sqrt{95530} \approx 309,1\,\text{m}^2/\text{s} \]

Calcul de \(f_1\) :

\[ f_1 = \frac{\pi}{2L^2} \times 309,1 \]

Calcul de \(2L^2\) :

\[ 2L^2 = 2 \times (8\,\text{m})^2 = 2 \times 64 = 128\,\text{m}^2 \]

Donc,

\[ f_1 = \frac{3,1416}{128} \times 309,1 \] \[ f_1 \approx 0,02455 \times 309,1 \] \[ f_1 \approx 7,59\,\text{Hz} \]

4. Analyse

Interprétation de la fréquence calculée :

La fréquence fondamentale de résonance de la poutre est d’environ 7,59 Hz. Cette valeur est très basse par rapport aux fréquences généralement associées à la musique et à la voix humaine qui se situent dans une gamme de 20 Hz à 20 kHz.

Implications :

Sécurité structurelle : La fréquence fondamentale étant en dehors de la gamme audible (et donc des fréquences d’excitation typiques de la musique ou de la parole), le risque de résonance induite directement par ces sources est faible.
Vibrations globales : Des vibrations de faible fréquence peuvent néanmoins se produire lors d’événements tels que des tremblements de terre ou des charges dynamiques importantes (par exemple, un grand nombre de personnes en mouvement).
Mesures correctives éventuelles :
- Augmenter la rigidité : En augmentant soit le module d’Young (choix d’un bois plus rigide) soit le moment d’inertie (en augmentant la hauteur ou en utilisant des formes optimisées), la fréquence peut être modulée.
- Modifier les conditions de support : Des appuis différents (ex. encastrement) peuvent modifier la fréquence naturelle de la poutre.
- Amortissement : L’ajout de dispositifs d’amortissement peut réduire les effets des vibrations même si la fréquence de résonance reste basse.

Conclusion de l’analyse :
La conception de la poutre semble acceptable vis-à-vis du risque de résonance avec des fréquences issues de la musique ou de la voix. Toutefois, une attention particulière devra être portée à d’autres excitations dynamiques susceptibles de provoquer des vibrations à cette fréquence, et des solutions (modification géométrique, matériaux ou systèmes d’amortissement) pourront être envisagées pour adapter le comportement dynamique de la structure.

Résonance d’une Poutre en Bois

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