Calcul de la Poussée d'Archimède sur un Corps Immergé
Contexte : Le principe d'Archimède.
La poussée d'ArchimèdeForce verticale, dirigée vers le haut, que subit un corps plongé dans un fluide (liquide ou gaz). est un concept fondamental en mécanique des fluides et en hydraulique. Il explique pourquoi les bateaux flottent, pourquoi les montgolfières s'élèvent et comment les sous-marins contrôlent leur profondeur. Ce principe, découvert par le savant grec Archimède, est essentiel pour tout ingénieur ou technicien travaillant avec des structures en contact avec des fluides.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera pas à pas pour calculer cette force sur un objet simple, un cube en béton, et pour déterminer s'il flottera ou coulera. Vous apprendrez à manipuler les concepts de volume, de masse volumique et de poids pour résoudre un problème d'ingénierie concret.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et définir la poussée d'Archimède.
- Appliquer la formule de la poussée d'Archimède dans un cas simple.
- Calculer le poids réel et le poids apparent d'un objet immergé.
- Déterminer et justifier la condition de flottaison d'un corps.
Données de l'étude
Schéma de la situation
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Côté du cube en béton | c | 1,5 | m |
| Masse volumique du béton | \(\rho_{\text{béton}}\) | 2500 | kg/m³ |
| Masse volumique de l'eau douce | \(\rho_{\text{eau}}\) | 1000 | kg/m³ |
| Accélération de la pesanteur | g | 9,81 | m/s² |
Questions à traiter
- Calculer le volume du cube en m³.
- Calculer le poids réel du cube en Newtons (N).
- Calculer la poussée d'Archimède exercée par l'eau sur le cube en Newtons (N).
- En déduire le poids apparent du cube lorsqu'il est immergé.
- Le cube flottera-t-il ou coulera-t-il ? Justifiez votre réponse.
Les bases sur la Poussée d'Archimède
Pour résoudre cet exercice, deux concepts principaux de la physique sont nécessaires : le poids d'un objet et le principe d'Archimède.
1. Le Poids d'un Corps (P)
Le poids est la force gravitationnelle exercée sur un objet. Il se calcule en multipliant la masse (m) de l'objet par l'accélération de la pesanteur (g). La masse elle-même est le produit de la masse volumique (\(\rho\)) de l'objet par son volume (V).
\[ P = m \cdot g = (\rho_{\text{objet}} \cdot V_{\text{objet}}) \cdot g \]
2. Le Principe d'Archimède (Fₐ)
Ce principe stipule que : "Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé". Cette force est appelée la Poussée d'Archimède.
\[ F_A = \rho_{\text{fluide}} \cdot V_{\text{immergé}} \cdot g \]
Correction : Calcul de la Poussée d'Archimède sur un Corps Immergé
Question 1 : Calculer le volume du cube en m³.
Principe
Le volume d'un cube est une propriété géométrique de base. Il représente l'espace tridimensionnel occupé par l'objet. Sa connaissance est la première étape indispensable pour calculer à la fois le poids et la poussée d'Archimède.
Mini-Cours
Le volume est une grandeur scalaire qui mesure l'extension d'un objet dans l'espace. Pour les polyèdres réguliers comme le cube, il est déterminé par la longueur de ses côtés. L'unité du Système International pour le volume est le mètre cube (\(\text{m}^3\)).
Remarque Pédagogique
Avant de vous lancer dans des calculs de forces complexes, assurez-vous toujours d'avoir correctement déterminé les propriétés géométriques de base de l'objet (volume, surface, etc.). Une erreur ici se répercutera sur tous les calculs suivants.
Normes
Le calcul du volume d'un cube ne dépend pas d'une norme d'ingénierie mais d'une formule géométrique universelle établie depuis l'Antiquité.
Formule(s)
Formule du volume d'un cube
Hypothèses
Pour appliquer cette formule, nous posons l'hypothèse que l'objet est un cube parfait, avec toutes ses arêtes de même longueur et tous ses angles droits.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Côté du cube | c | 1,5 | m |
Astuces
Pour éviter les erreurs, pensez à bien poser le calcul : \(1,5^3 = 1,5 \times 1,5 \times 1,5\). Calculer \(1,5 \times 1,5 = 2,25\), puis multiplier ce résultat par 1,5.
Schéma (Avant les calculs)
Cube avec cotation
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est une valeur scalaire (un nombre) et non un champ de vecteurs. Il n'y a donc pas de schéma spécifique pour représenter le résultat du volume.
Réflexions
Un volume de \(3,375 \text{ m}^3\) correspond à l'espace occupé par \(3375 \text{ litres}\) d'eau. C'est un volume conséquent qui va déplacer une grande quantité de fluide, ce qui laisse présager une poussée d'Archimède significative.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de mal calculer la puissance. Assurez-vous de multiplier le nombre par lui-même trois fois, et non de le multiplier par 3. Attention également aux unités : si le côté était donné en cm, il aurait fallu le convertir en m avant le calcul.
Points à retenir
- Le volume est la première information à calculer.
- La formule du volume d'un cube est \(V = c^3\).
Le saviez-vous ?
La notion de "mètre cube" a été définie en France en 1795 lors de l'instauration du système métrique, conçu pour être universel et basé sur des phénomènes naturels.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le cube avait un côté de \(2 \text{ m}\), quel serait son volume ?
Question 2 : Calculer le poids réel du cube en Newtons (N).
Principe
Le poids réel est la force de gravité qui s'exerce sur le cube. C'est la force, dirigée verticalement vers le bas, qui résulte de l'attraction terrestre sur la masse totale du cube.
Mini-Cours
Il ne faut pas confondre la masse et le poids. La masse (en \(\text{kg}\)) est une mesure de la quantité de matière d'un objet ; elle est constante partout dans l'univers. Le poids (en \(\text{N}\)) est une force (\(P = m \cdot g\)) qui dépend du champ de gravité local (g). Sur la Lune, la masse du cube serait la même, mais son poids serait environ 6 fois plus faible.
Remarque Pédagogique
Pour obtenir un poids en Newtons (\(\text{N}\)), unité du Système International, il est impératif de multiplier une masse en kilogrammes (\(\text{kg}\)) par une accélération en mètres par seconde carrée (\(\text{m/s}^2\)). La cohérence des unités est la clé.
Normes
La valeur de l'accélération de la pesanteur \(g = 9,81 \text{ m/s}^2\) est une valeur normalisée standard pour les calculs d'ingénierie à la surface de la Terre. La valeur exacte varie légèrement selon le lieu et l'altitude.
Formule(s)
Formule du poids
Hypothèses
Nous supposons que le béton est parfaitement homogène (sa masse volumique est la même en tout point du cube) et que l'accélération de la pesanteur est constante sur toute la hauteur de l'objet.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse volumique du béton | \(\rho_{\text{béton}}\) | 2500 | kg/m³ |
| Volume du cube (calculé) | V | 3,375 | m³ |
| Accélération de la pesanteur | g | 9,81 | m/s² |
Astuces
Pour un calcul mental rapide et une estimation, on peut approcher g à \(10 \text{ m/s}^2\). Le poids serait alors de \(2500 \times 3,375 \times 10 \approx 84375 \text{ N}\). Notre résultat final doit être proche de cette valeur, ce qui permet de détecter une erreur de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Force "Poids" sur le cube
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la masse du cube
Étape 2 : Calcul du poids
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est une force unique, représentée par le vecteur poids (P) sur les schémas, dirigé vers le bas. Sa magnitude est maintenant connue.
Réflexions
Un poids de \(82772 \text{ N}\) correspond à la force exercée par une masse d'environ \(8,4 \text{ tonnes}\) (\(82772 / 9,81 \approx 8437,5 \text{ kg}\)). C'est une force considérable, équivalente au poids de plusieurs voitures.
Points de vigilance
Veillez à ne pas utiliser directement le volume en \(\text{cm}^3\) ou la masse en grammes dans la formule. Toutes les unités doivent être converties dans le Système International (m, kg, s) avant le calcul.
Points à retenir
- Le poids est une force : \(P = m \cdot g\).
- La masse se déduit du volume : \(m = \rho \cdot V\).
Le saviez-vous ?
Le Newton (\(\text{N}\)) est une unité dérivée. Par définition, \(1 \text{ N}\) est la force nécessaire pour communiquer à une masse de \(1 \text{ kg}\) une accélération de \(1 \text{ m/s}^2\).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le poids réel du même cube s'il était fait d'aluminium (\(\rho = 2700 \text{ kg/m}^3\)) ?
Question 3 : Calculer la poussée d'Archimède exercée par l'eau sur le cube en Newtons (N).
Principe
La poussée d'Archimède est la force résultante de la pression exercée par l'eau sur toutes les faces du cube. Comme la pression augmente avec la profondeur, la force sur la face inférieure est plus grande que sur la face supérieure, créant une force nette dirigée vers le haut.
Mini-Cours
Le principe d'Archimède est une conséquence directe de la loi fondamentale de l'hydrostatique. Il stipule que la force est égale en magnitude au poids du volume de fluide que l'objet déplace. C'est pour cela que la masse volumique de l'objet lui-même n'intervient pas dans ce calcul, mais uniquement celle du fluide.
Remarque Pédagogique
L'erreur la plus fréquente est d'utiliser la masse volumique de l'objet (\(\rho_{\text{béton}}\)) au lieu de celle du fluide (\(\rho_{\text{eau}}\)). Rappelez-vous toujours : la poussée d'Archimède dépend de ce qui est déplacé (l'eau), pas de ce qui déplace (le béton).
Normes
Le principe d'Archimède est une loi physique fondamentale, pas une norme. La valeur de la masse volumique de l'eau (\(1000 \text{ kg/m}^3\)) est une valeur de référence standard pour l'eau douce à 4°C.
Formule(s)
Formule de la poussée d'Archimède
Hypothèses
On suppose que le cube est entièrement immergé, donc \(V_{\text{immergé}} = V_{\text{total}}\). On suppose aussi que le fluide (l'eau) est homogène et au repos.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse volumique de l'eau | \(\rho_{\text{eau}}\) | 1000 | kg/m³ |
| Volume immergé | \(V_{\text{immergé}}\) | 3,375 | m³ |
| Accélération de la pesanteur | g | 9,81 | m/s² |
Astuces
La poussée d'Archimède est simplement le poids du volume d'eau déplacé. Vous calculez donc un "poids", mais en utilisant la masse volumique de l'eau. Si un objet est deux fois plus dense que l'eau, son poids sera deux fois plus grand que la poussée d'Archimède qu'il subit.
Schéma (Avant les calculs)
Force "Poussée d'Archimède"
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la masse d'eau déplacée
Étape 2 : Calcul de la poussée (poids de l'eau déplacée)
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est la magnitude du vecteur Fₐ, dirigé vers le haut, comme représenté sur le schéma.
Réflexions
L'eau exerce une force de plus de \(33 109 \text{ N}\) sur le cube, ce qui correspond au poids d'une masse de \(3,375 \text{ tonnes}\). C'est cette force qui fait que les objets paraissent plus légers dans l'eau.
Points de vigilance
L'erreur principale, à part la confusion des masses volumiques, est d'oublier que si un objet n'est que partiellement immergé, il faut utiliser uniquement le volume de la partie sous l'eau (\(V_{\text{immergé}}\)) et non son volume total.
Points à retenir
- La poussée d'Archimède dépend de la masse volumique du fluide.
- Elle dépend du volume immergé de l'objet.
Le saviez-vous ?
La légende raconte qu'Archimède aurait eu cette révélation dans son bain en observant le niveau de l'eau monter. Il se serait alors écrié "Eurêka !" ("J'ai trouvé !"). Cette découverte lui permit de vérifier si la couronne d'un roi était en or pur sans l'endommager.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la poussée d'Archimède sur ce même cube s'il était plongé dans de l'eau de mer (\(\rho = 1025 \text{ kg/m}^3\)) ?
Question 4 : En déduire le poids apparent du cube lorsqu'il est immergé.
Principe
Le poids apparent est la force nette qui résulte de la compétition entre le poids réel (vers le bas) et la poussée d'Archimède (vers le haut). C'est la force qu'il faudrait exercer pour soulever l'objet une fois qu'il est sous l'eau.
Mini-Cours
Le concept de poids apparent est directement lié à la somme des forces verticales. En statique, la somme des forces est nulle si l'objet est en équilibre. Ici, le poids apparent est la force qu'un support (comme le fond de l'eau ou un câble) devrait exercer pour maintenir l'objet immobile. \(F_{\text{support}} + F_A - P = 0 \Rightarrow F_{\text{support}} = P - F_A\).
Remarque Pédagogique
Visualisez un dynamomètre (une balance à ressort) : le poids réel est la valeur qu'il indique dans l'air. Le poids apparent est la valeur, plus faible, qu'il indiquerait si vous plongiez l'objet et le dynamomètre dans l'eau.
Normes
Ce calcul est une application directe de la composition des forces en mécanique Newtonienne, un principe de base de la physique.
Formule(s)
Formule du poids apparent
Hypothèses
On ne considère que les deux forces verticales principales : le poids et la poussée d'Archimède. On néglige d'autres effets comme la traînée hydrodynamique (qui n'existe que si l'objet est en mouvement).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur (N) | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids réel (calculé) | P | 82771,88 | N |
| Poussée d'Archimède (calculée) | \(F_A\) | 33108,75 | N |
Astuces
Si le poids apparent est positif, l'objet a une tendance nette à couler. S'il était négatif, cela signifierait que la poussée d'Archimède est plus forte que le poids, et l'objet aurait une tendance nette à remonter vers la surface.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur le cube
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Force résultante (Poids Apparent)
Réflexions
Sous l'eau, le cube semble avoir "perdu" \(33108,75 \text{ N}\), soit environ 40% de son poids réel. C'est un allègement très significatif, qui explique pourquoi il est plus facile de manipuler des objets lourds sous l'eau.
Points de vigilance
Assurez-vous de soustraire la poussée d'Archimède du poids réel, et non l'inverse. Le poids apparent est une force qui a la même direction que le poids réel (si l'objet coule), il doit donc être positif.
Points à retenir
- Le poids apparent est la force nette subie par l'objet dans le fluide.
- \(P_{\text{app}} = P_{\text{réel}} - F_A\).
Le saviez-vous ?
Les astronautes s'entraînent dans d'immenses piscines pour simuler l'impesanteur. En ajustant des poids et des flotteurs, on peut rendre un astronaute "neutre" (poids apparent nul), ce qui reproduit les conditions de travail dans l'espace pour les sorties extravéhiculaires.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le poids apparent d'un cube de bois de même volume (\(V=3,375 \text{ m}^3\)) et de masse volumique \(\rho = 700 \text{ kg/m}^3\) ?
Question 5 : Le cube flottera-t-il ou coulera-t-il ? Justifiez votre réponse.
Principe
La condition de flottaison est le résultat de la comparaison entre la force qui tire l'objet vers le bas (son poids) et la force qui le pousse vers le haut (la poussée d'Archimède). Le mouvement final de l'objet dépendra de la force la plus grande.
Mini-Cours
Comparer le poids \(P = \rho_{\text{objet}} \cdot V \cdot g\) et la poussée d'Archimède \(F_A = \rho_{\text{fluide}} \cdot V \cdot g\) revient à comparer les termes \(\rho_{\text{objet}}\) et \(\rho_{\text{fluide}}\), car V et g sont communs aux deux expressions. C'est pourquoi la comparaison des masses volumiques est un raccourci direct et efficace pour prédire la flottaison.
Remarque Pédagogique
Pour une justification complète en examen, il est toujours préférable de comparer les forces calculées (P et Fₐ) car cela montre que vous avez compris l'ensemble du processus. La comparaison des masses volumiques est une excellente méthode de vérification rapide.
Normes
Ce principe de flottaison est une loi fondamentale de la statique des fluides et est à la base de la conception de tous les navires et flotteurs, régie par des normes de stabilité complexes (notamment les critères de l'Organisation Maritime Internationale).
Formule(s)
Conditions de flottaison
Hypothèses
On suppose que l'objet est lâché dans le fluide et n'est soumis qu'à ces deux forces. On ne considère pas qu'il est posé sur le fond ou retenu par un câble.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids réel | P | ≈ 82 772 | N |
| Poussée d'Archimède | \(F_A\) | ≈ 33 109 | N |
Astuces
Pensez aux glaçons dans un verre d'eau. La glace est légèrement moins dense que l'eau liquide (\(\approx 917 \text{ kg/m}^3\) contre \(1000 \text{ kg/m}^3\)), c'est pourquoi une petite partie du glaçon (\(\approx 8\%\)) reste émergée : le glaçon flotte.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des forces
Calcul(s)
Méthode 1 : Comparaison des forces
Méthode 2 : Comparaison des masses volumiques
Schéma (Après les calculs)
Situation finale
Réflexions
Le résultat est conforme à notre intuition et à l'expérience courante : le béton, étant bien plus dense que l'eau, coule systématiquement. La force de gravité l'emporte sur la force de flottaison.
Points de vigilance
Justifiez toujours votre réponse. Ne vous contentez pas de dire "il coule". Précisez que c'est PARCE QUE son poids est supérieur à la poussée d'Archimède, ou PARCE QUE sa masse volumique est supérieure à celle de l'eau.
Points à retenir
- La flottaison est une comparaison entre le poids et la poussée d'Archimède.
- Un corps coule si sa densité est supérieure à celle du fluide.
Le saviez-vous ?
Un bateau en acier (très dense) flotte car sa forme de coque déplace un très grand volume d'eau. La poussée d'Archimède, qui dépend de ce volume déplacé, devient alors supérieure au poids total du navire. Si l'eau entre dans la coque, le poids augmente et le bateau coule !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un objet a une masse volumique de \(950 \text{ kg/m}^3\). Plongé dans de l'eau douce (\(1000 \text{ kg/m}^3\)), va-t-il flotter ou couler ?
Outil Interactif : Simulateur de Flottaison
Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier la taille du cube et sa masse volumique, et observez en temps réel comment son poids, la poussée d'Archimède et sa flottabilité sont affectés. Le fluide est toujours de l'eau (\(\rho = 1000 \text{ kg/m}^3\)).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. D'après le principe d'Archimède, la poussée est égale au...
2. Un objet flotte à la surface d'un liquide si...
3. Si l'on plonge un objet dans de l'huile (\(\rho \approx 900 \text{ kg/m}^3\)) au lieu de l'eau (\(\rho = 1000 \text{ kg/m}^3\)), la poussée d'Archimède sera...
4. Le poids apparent d'un objet qui coule est...
Glossaire
- Poussée d'Archimède (Fₐ)
- Force verticale, dirigée de bas en haut, que subit un corps plongé dans un fluide (liquide ou gaz). Elle est égale au poids du volume de fluide déplacé par le corps.
- Masse Volumique (ρ)
- Quantité de matière (masse) par unité de volume. Elle se mesure généralement en kilogrammes par mètre cube (kg/m³). Un objet plus dense que le fluide dans lequel il est plongé va couler.
- Poids Apparent
- Force nette exercée sur un corps immergé, résultant de la différence entre son poids réel (force de gravité) et la poussée d'Archimède. C'est la force qu'indiquerait un dynamomètre si on pesait l'objet dans le fluide.
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