Études de cas pratique

EGC

Étude de la Variation de Pression

Étude de la Variation de Pression en Hydraulique

Étude de la Variation de Pression en Hydraulique

Comprendre la Variation de Pression dans un Écoulement

La pression d'un fluide en mouvement peut varier considérablement en fonction de sa vitesse, de son altitude et des pertes d'énergie dues au frottement. L'équation de Bernoulli est un outil fondamental pour analyser ces variations dans les écoulements de fluides idéaux (incompressibles et non visqueux). Pour les fluides réels, des termes de pertes de charge doivent être ajoutés. Comprendre comment la pression change dans une conduite, par exemple lors d'un changement de section ou d'altitude, est crucial pour le dimensionnement des systèmes hydrauliques, la prévention de la cavitation, et l'estimation des forces exercées par le fluide.

Données de l'étude

On étudie l'écoulement permanent de l'eau dans une conduite horizontale présentant un convergent (rétrécissement).

Caractéristiques du fluide et de l'installation :

  • Fluide : Eau
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Conduite horizontale (\(z_1 = z_2\))
  • Section 1 (amont du convergent) :
    • Diamètre (\(D_1\)) : \(100 \, \text{mm}\)
    • Pression relative (\(P_1\)) : \(200 \, \text{kPa}\)
    • Vitesse moyenne (\(v_1\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Section 2 (aval du convergent) :
    • Diamètre (\(D_2\)) : \(50 \, \text{mm}\)
  • Hypothèse initiale : Écoulement sans pertes de charge entre les sections 1 et 2.
Schéma : Conduite avec convergent
Section 1 D1 P1, v1 Section 2 D2 P2, v2 Axe horizontal (z1 = z2) Écoulement

Écoulement d'eau dans une conduite horizontale avec un rétrécissement (convergent).

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section 1 (\(A_1\)) et de la section 2 (\(A_2\)).
  2. Calculer la vitesse moyenne de l'eau dans la section 2 (\(v_2\)) en utilisant l'équation de continuité.
  3. Énoncer l'équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 pour un écoulement horizontal sans pertes de charge.
  4. Calculer la pression relative (\(P_2\)) dans la section 2.
  5. Convertir les pressions relatives \(P_1\) et \(P_2\) en mètres de colonne d'eau (mCE).
  6. Si des pertes de charge de \(J_{1-2} = 0.5 \, \text{mCE}\) se produisaient entre la section 1 et la section 2, quelle serait la nouvelle pression relative \(P_2\) en kPa ?

Correction : Étude de la Variation de Pression

Question 1 : Calcul des aires des sections (\(A_1\) et \(A_2\))

Principe :

L'aire d'une section circulaire est donnée par \(A = \pi r^2 = \frac{\pi D^2}{4}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre section 1 (\(D_1\)) : \(100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}\)
  • Diamètre section 2 (\(D_2\)) : \(50 \, \text{mm} = 0.05 \, \text{m}\)
Calcul :

Aire de la section 1 (\(A_1\)) :

\[ \begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi D_1^2}{4} \\ &= \frac{\pi (0.1 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.01 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.007854 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Aire de la section 2 (\(A_2\)) :

\[ \begin{aligned} A_2 &= \frac{\pi D_2^2}{4} \\ &= \frac{\pi (0.05 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.0025 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.0019635 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Aire de la section 1 : \(A_1 \approx 0.007854 \, \text{m}^2\)
  • Aire de la section 2 : \(A_2 \approx 0.0019635 \, \text{m}^2\)

Question 2 : Calcul de la vitesse (\(v_2\)) dans la section 2

Principe :

L'équation de continuité pour un écoulement incompressible permanent stipule que le débit volumique est constant le long de la conduite : \(Q_v = A_1 v_1 = A_2 v_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} \]
Données spécifiques :
  • \(A_1 \approx 0.007854 \, \text{m}^2\)
  • Vitesse section 1 (\(v_1\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • \(A_2 \approx 0.0019635 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_2 &= \frac{0.007854 \, \text{m}^2 \times 1.5 \, \text{m/s}}{0.0019635 \, \text{m}^2} \\ &= \frac{0.011781}{0.0019635} \, \text{m/s} \\ &= 6.0 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Note : On peut aussi utiliser \(v_2 = v_1 \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 = 1.5 \left(\frac{100}{50}\right)^2 = 1.5 \times 2^2 = 1.5 \times 4 = 6.0 \, \text{m/s}\).

Résultat Question 2 : La vitesse moyenne dans la section 2 est \(v_2 = 6.0 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Équation de Bernoulli

Principe :

L'équation de Bernoulli exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant pour un fluide parfait (incompressible et non visqueux) en écoulement permanent.

Formule(s) utilisée(s) :

Pour deux points (1 et 2) sur une même ligne de courant, sans pertes de charge et sans machine hydraulique entre les deux points :

\[ \frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 \]

Pour une conduite horizontale, \(z_1 = z_2\), donc l'équation se simplifie :

\[ \frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} \]

Ou, en termes de pression :

\[ P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 \]
Résultat Question 3 : Pour une conduite horizontale sans pertes de charge, l'équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 est \(P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2\).

Question 4 : Calcul de la pression relative (\(P_2\)) dans la section 2

Principe :

Utiliser l'équation de Bernoulli simplifiée pour résoudre \(P_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_2 = P_1 + \frac{1}{2}\rho (v_1^2 - v_2^2) \]
Données spécifiques :
  • Pression relative section 1 (\(P_1\)) : \(200 \, \text{kPa} = 200000 \, \text{Pa}\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Vitesse section 1 (\(v_1\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Vitesse section 2 (\(v_2\)) : \(6.0 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= 200000 \, \text{Pa} + \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times ((1.5 \, \text{m/s})^2 - (6.0 \, \text{m/s})^2) \\ &= 200000 + 500 \times (2.25 - 36) \\ &= 200000 + 500 \times (-33.75) \\ &= 200000 - 16875 \\ &= 183125 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Soit \(183.125 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 4 : La pression relative dans la section 2 est \(P_2 = 183125 \, \text{Pa}\) (ou \(183.125 \, \text{kPa}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Dans un convergent horizontal, si la vitesse du fluide augmente, la pression statique :

Question 5 : Conversion des pressions en mètres de colonne d'eau (mCE)

Principe :

La hauteur de colonne d'eau (\(h_{\text{CE}}\)) équivalente à une pression \(P\) est donnée par \(h_{\text{CE}} = \frac{P}{\rho g}\).

Données spécifiques :
  • \(P_1 = 200000 \, \text{Pa}\)
  • \(P_2 = 183125 \, \text{Pa}\)
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :

Pour \(P_1\) :

\[ \begin{aligned} h_{\text{CE,1}} &= \frac{200000 \, \text{Pa}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{200000}{9810} \, \text{m} \\ &\approx 20.387 \, \text{mCE} \end{aligned} \]

Pour \(P_2\) :

\[ \begin{aligned} h_{\text{CE,2}} &= \frac{183125 \, \text{Pa}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{183125}{9810} \, \text{m} \\ &\approx 18.667 \, \text{mCE} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 :
  • \(P_1 \approx 20.39 \, \text{mCE}\)
  • \(P_2 \approx 18.67 \, \text{mCE}\)

Question 6 : Nouvelle pression \(P_2\) avec pertes de charge

Principe :

Si des pertes de charge \(J_{1-2}\) se produisent, l'équation de Bernoulli modifiée s'écrit (pour une conduite horizontale) : \(\frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + J_{1-2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_2 = P_1 + \frac{1}{2}\rho (v_1^2 - v_2^2) - \rho g J_{1-2} \]
Données spécifiques :
  • \(P_1 = 200000 \, \text{Pa}\)
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(v_1 = 1.5 \, \text{m/s}\)
  • \(v_2 = 6.0 \, \text{m/s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Pertes de charge (\(J_{1-2}\)) : \(0.5 \, \text{mCE}\)
Calcul :

Le terme \(\frac{1}{2}\rho (v_1^2 - v_2^2)\) a déjà été calculé comme \(-16875 \, \text{Pa}\).

Terme des pertes de charge en Pascals :

\[ \begin{aligned} \rho g J_{1-2} &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 0.5 \, \text{m} \\ &= 4905 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Nouvelle pression \(P_2\) :

\[ \begin{aligned} P_2 &= (P_1 + \frac{1}{2}\rho (v_1^2 - v_2^2)) - \rho g J_{1-2} \\ &= 183125 \, \text{Pa} - 4905 \, \text{Pa} \\ &= 178220 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Soit \(178.22 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 6 : Avec des pertes de charge de \(0.5 \, \text{mCE}\), la nouvelle pression relative dans la section 2 serait \(P_2 = 178220 \, \text{Pa}\) (ou \(178.22 \, \text{kPa}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Les pertes de charge dans un écoulement réel tendent à :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. L'équation de continuité pour un fluide incompressible exprime :

8. Selon l'équation de Bernoulli pour un écoulement horizontal sans pertes, si la vitesse d'un fluide augmente :

9. Les pertes de charge dans un système de conduites sont principalement dues à :

Glossaire

Équation de Continuité
Principe de conservation de la masse pour un écoulement fluide. Pour un fluide incompressible, elle se traduit par la conservation du débit volumique (\(A_1 v_1 = A_2 v_2\)).
Équation de Bernoulli
Relation qui décrit la conservation de l'énergie mécanique le long d'une ligne de courant pour un fluide parfait en écoulement permanent.
Pression Statique
Pression thermodynamique du fluide, mesurée perpendiculairement à l'écoulement.
Pression Dynamique
Terme de pression associé à l'énergie cinétique du fluide, égal à \(\frac{1}{2}\rho v^2\).
Pression Totale (ou d'Arrêt)
Somme de la pression statique et de la pression dynamique (pour un écoulement horizontal sans pertes).
Pertes de Charge (\(J\))
Perte d'énergie mécanique (exprimée en hauteur de colonne de fluide, ex: mCE) due aux frottements visqueux et aux singularités (coudes, vannes, rétrécissements, etc.) dans un écoulement réel.
mCE (Mètre de Colonne d'Eau)
Unité de pression ou de perte de charge équivalente à la pression exercée par une colonne d'eau d'un mètre de hauteur.
Convergent
Section d'une conduite où l'aire de la section transversale diminue progressivement dans le sens de l'écoulement.
Étude de la Variation de Pression en Hydraulique - Exercice d'Application

D’autres exercices d’hydraulique:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *