Études de cas pratique

EGC

Équations d’Euler et de Bernoulli

Équations d’Euler et de Bernoulli en Hydraulique

Équations d’Euler et de Bernoulli en Hydraulique

Introduction aux Équations d'Euler et de Bernoulli

Les équations d'Euler et de Bernoulli sont des piliers de la mécanique des fluides. Les équations d'Euler décrivent le mouvement d'un fluide parfait (non visqueux) et incompressible soumis à des forces de gravité et de pression. Elles sont une expression de la deuxième loi de Newton appliquée à une particule fluide. L'équation de Bernoulli, dérivée de l'intégration des équations d'Euler le long d'une ligne de courant pour un écoulement permanent, établit une relation entre la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide en mouvement. Elle exprime la conservation de l'énergie mécanique par unité de volume (ou de poids) pour un fluide parfait.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule à travers un tube de Venturi horizontal, utilisé pour mesurer le débit.

Caractéristiques du système :

  • Fluide : Eau, considérée comme parfaite et incompressible.
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Section d'entrée (1) du Venturi :
    • Diamètre (\(D_1\)) : \(120 \, \text{mm}\)
    • Pression relative (\(p_1\)) : \(150 \, \text{kPa}\)
  • Section du col (2) du Venturi :
    • Diamètre (\(D_2\)) : \(60 \, \text{mm}\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\) (bien que non directement utilisée pour un Venturi horizontal dans Bernoulli sans dénivelé).

Hypothèses :

  • L'écoulement est permanent.
  • Le fluide est parfait (viscosité négligeable), donc pas de pertes de charge.
  • Le tube de Venturi est horizontal (\(z_1 = z_2\)).

Schéma : Tube de Venturi horizontal
{/* Corps du Venturi */} {/* Lignes de courant schématiques */} {/* Section 1 */} Section 1 (D₁) p₁, V₁ {/* Section 2 (Col) */} Section 2 (D₂) p₂, V₂ Tube de Venturi Horizontal

Schéma d'un tube de Venturi horizontal avec indication des sections d'entrée et du col.

Questions à traiter

  1. Calculer les aires des sections (\(A_1\) et \(A_2\)) du Venturi.
  2. Établir une relation entre la vitesse d'entrée (\(V_1\)) et la vitesse au col (\(V_2\)) en utilisant l'équation de continuité.
  3. Appliquer l'équation de Bernoulli entre la section d'entrée (1) et la section du col (2) pour exprimer la pression au col (\(p_2\)) en fonction de \(p_1, \rho, V_1\) et \(V_2\).
  4. Si le débit volumique (\(Q\)) traversant le Venturi est de \(0.035 \, \text{m}^3/\text{s}\) :
    1. Calculer les vitesses \(V_1\) et \(V_2\).
    2. Calculer la pression relative \(p_2\) au col du Venturi.
  5. Expliquer brièvement comment les équations d'Euler sont liées à l'équation de Bernoulli. Quelles sont les principales hypothèses pour passer d'Euler à Bernoulli ?

Correction : Équations d’Euler et de Bernoulli

Question 1 : Calcul des Aires des Sections (\(A_1\) et \(A_2\))

Principe :

L'aire d'une section circulaire est donnée par la formule \(A = \frac{\pi D^2}{4}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{\pi D^2}{4}\]
Données spécifiques (avec conversion d'unités) :
  • Diamètre d'entrée \(D_1 = 120 \, \text{mm} = 0.12 \, \text{m}\)
  • Diamètre au col \(D_2 = 60 \, \text{mm} = 0.06 \, \text{m}\)
Calcul :

Aire d'entrée \(A_1\):

\[ \begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi (0.12 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.0144 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.0113097 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Aire au col \(A_2\):

\[ \begin{aligned} A_2 &= \frac{\pi (0.06 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.0036 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.0028274 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Aire d'entrée \(A_1 \approx 0.01131 \, \text{m}^2\)
  • Aire au col \(A_2 \approx 0.002827 \, \text{m}^2\)

Question 2 : Relation entre \(V_1\) et \(V_2\) (Continuité)

Principe :

L'équation de continuité pour un écoulement incompressible permanent stipule que le débit volumique (\(Q\)) est constant à travers toutes les sections de l'écoulement. Ainsi, \(Q = A_1 V_1 = A_2 V_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_1 V_1 = A_2 V_2 \Rightarrow V_2 = V_1 \frac{A_1}{A_2}\]
Calcul de la relation :

En utilisant les aires calculées précédemment :

\[ \begin{aligned} \frac{A_1}{A_2} &= \frac{\pi D_1^2 / 4}{\pi D_2^2 / 4} = \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 \\ &= \left(\frac{0.12 \, \text{m}}{0.06 \, \text{m}}\right)^2 = (2)^2 = 4 \end{aligned} \]

Donc :

\[V_2 = 4 V_1\]
Résultat Question 2 : La relation entre les vitesses est \(V_2 = 4 V_1\).

Question 3 : Application de l'Équation de Bernoulli

Principe :

Pour un fluide parfait en écoulement permanent et incompressible, et en l'absence de machine hydraulique entre les points 1 et 2, l'équation de Bernoulli s'écrit : \[ \frac{p_1}{\rho g} + z_1 + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\rho g} + z_2 + \frac{V_2^2}{2g} \] Comme le Venturi est horizontal, \(z_1 = z_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{p_1}{\rho} + \frac{V_1^2}{2} = \frac{p_2}{\rho} + \frac{V_2^2}{2}\]

(Forme en pression de l'équation de Bernoulli, après multiplication par \(g\) et simplification de \(z_1=z_2\)). On cherche à exprimer \(p_2\).

\[p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2} (V_1^2 - V_2^2)\]
Résultat Question 3 : La pression au col \(p_2\) est donnée par \(p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2} (V_1^2 - V_2^2)\).

Quiz Intermédiaire 1 : L'équation de Bernoulli est applicable si :

Question 4 : Calcul des Vitesses et de la Pression au Col pour \(Q = 0.035 \, \text{m}^3/\text{s}\)

Principe (4a) : Calcul des vitesses \(V_1\) et \(V_2\)

Les vitesses sont obtenues à partir du débit volumique \(Q = A V\).

Données spécifiques (4a) :
  • \(Q = 0.035 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • \(A_1 \approx 0.01131 \, \text{m}^2\)
  • \(A_2 \approx 0.002827 \, \text{m}^2\)
  • Relation \(V_2 = 4V_1\)
Calcul (4a) :
\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{Q}{A_1} = \frac{0.035 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.01131 \, \text{m}^2} \\ &\approx 3.0946 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{Q}{A_2} = \frac{0.035 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.002827 \, \text{m}^2} \\ &\approx 12.3788 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Vérification avec la relation de continuité : \(V_2 = 4 V_1 \Rightarrow 4 \times 3.0946 \approx 12.3784 \, \text{m/s}\), ce qui est cohérent.

Principe (4b) : Calcul de la pression \(p_2\)

On utilise l'équation de Bernoulli établie à la question 3.

Données spécifiques (4b) :
  • \(p_1 = 150 \, \text{kPa} = 150 \times 10^3 \, \text{Pa}\)
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(V_1 \approx 3.0946 \, \text{m/s}\)
  • \(V_2 \approx 12.3788 \, \text{m/s}\)
Calcul (4b) :
\[ \begin{aligned} p_2 &= p_1 + \frac{\rho}{2} (V_1^2 - V_2^2) \\ &= (150 \times 10^3 \, \text{Pa}) + \frac{1000 \, \text{kg/m}^3}{2} ((3.0946 \, \text{m/s})^2 - (12.3788 \, \text{m/s})^2) \\ &= 150000 + 500 (9.5765 - 153.2347) \\ &= 150000 + 500 (-143.6582) \\ &= 150000 - 71829.1 \\ &\approx 78170.9 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Soit \(p_2 \approx 78.17 \, \text{kPa}\) (pression relative).

Résultat Question 4 : Pour \(Q = 0.035 \, \text{m}^3/\text{s}\) :
  • Vitesse d'entrée \(V_1 \approx 3.095 \, \text{m/s}\)
  • Vitesse au col \(V_2 \approx 12.379 \, \text{m/s}\)
  • Pression relative au col \(p_2 \approx 78.17 \, \text{kPa}\)

Question 5 : Lien entre Équations d'Euler et de Bernoulli

Principe :

Les équations d'Euler sont des équations différentielles vectorielles qui décrivent le mouvement d'une particule de fluide parfait non visqueux. L'équation de Bernoulli est obtenue par intégration de l'équation d'Euler le long d'une ligne de courant, sous certaines hypothèses.

Explication :

L'équation d'Euler pour un fluide incompressible en l'absence de forces de viscosité s'écrit (vectoriellement) : \[ \rho \frac{d\vec{V}}{dt} = -\vec{\nabla}p + \rho \vec{g} \] Où \(\frac{d\vec{V}}{dt}\) est l'accélération de la particule fluide, \(\vec{\nabla}p\) est le gradient de pression, et \(\rho \vec{g}\) est la force de gravité volumique.

Pour un écoulement permanent (\(\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = 0\)), l'accélération convective \(\frac{d\vec{V}}{dt} = (\vec{V} \cdot \vec{\nabla})\vec{V}\) peut être réécrite. En projetant l'équation d'Euler sur une ligne de courant (direction \(s\)), et en considérant que \(\vec{g} = -g \vec{\nabla}z\), on obtient : \[ \rho V \frac{\partial V}{\partial s} = -\frac{\partial p}{\partial s} - \rho g \frac{\partial z}{\partial s} \] Ce qui peut se réarranger en : \[ \frac{\partial}{\partial s} \left( \frac{V^2}{2} + \frac{p}{\rho} + gz \right) = 0 \] L'intégration de cette équation le long d'une ligne de courant (de \(s_1\) à \(s_2\)) donne : \[ \frac{V_2^2}{2} + \frac{p_2}{\rho} + gz_2 = \frac{V_1^2}{2} + \frac{p_1}{\rho} + gz_1 \] C'est l'équation de Bernoulli, qui stipule que la quantité \(\frac{V^2}{2} + \frac{p}{\rho} + gz\) (énergie mécanique par unité de masse) est constante le long d'une ligne de courant.

Principales hypothèses pour passer d'Euler à Bernoulli :

  • Fluide parfait (non visqueux) : Les forces de frottement interne (viscosité) sont négligées. C'est une hypothèse inhérente aux équations d'Euler.
  • Écoulement permanent : Les grandeurs de l'écoulement (vitesse, pression, masse volumique) en un point donné ne varient pas avec le temps.
  • Fluide incompressible : La masse volumique \(\rho\) est constante.
  • Intégration le long d'une ligne de courant : L'équation de Bernoulli dans sa forme classique est valable le long d'une ligne de courant. Pour un écoulement irrotationnel, elle peut être valable dans tout le champ d'écoulement.
  • Absence de travail externe : Pas de pompe ni de turbine entre les points considérés.
Résultat Question 5 : L'équation de Bernoulli est une forme intégrée des équations d'Euler le long d'une ligne de courant pour un écoulement permanent d'un fluide parfait et incompressible. Les hypothèses clés sont l'absence de viscosité, un régime permanent, l'incompressibilité, et l'intégration le long d'une ligne de courant.

Quiz Intermédiaire 2 : Laquelle de ces hypothèses N'EST PAS nécessaire pour dériver l'équation de Bernoulli à partir des équations d'Euler ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'équation de continuité pour un fluide incompressible exprime la conservation de :

2. Dans un tube de Venturi horizontal, la pression au col est :

3. Les équations d'Euler décrivent le mouvement d'un fluide :

Glossaire

Équations d'Euler
Ensemble d'équations aux dérivées partielles qui décrivent le mouvement d'un fluide parfait (non visqueux) et incompressible. Elles expriment la conservation de la quantité de mouvement.
Équation de Bernoulli
Relation qui exprime la conservation de l'énergie mécanique par unité de masse (ou de volume, ou de poids) le long d'une ligne de courant pour un fluide parfait en écoulement permanent et incompressible. Forme courante : \(p + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho g z = \text{constante}\).
Fluide Parfait (ou Idéal)
Fluide hypothétique dont la viscosité est nulle. Il n'y a donc pas de frottement interne ni de pertes d'énergie dues à la viscosité dans un tel fluide.
Écoulement Permanent (ou Stationnaire)
Écoulement dans lequel les propriétés du fluide (vitesse, pression, masse volumique, etc.) en tout point du champ d'écoulement ne varient pas avec le temps.
Fluide Incompressible
Fluide dont la masse volumique (\(\rho\)) est considérée comme constante, indépendamment des variations de pression ou de température.
Ligne de Courant
Courbe qui est tangente en tout point au vecteur vitesse instantané des particules fluides. Dans un écoulement permanent, les lignes de courant coïncident avec les trajectoires des particules.
Tube de Venturi
Appareil de mesure de débit basé sur le principe de Bernoulli. Il est constitué d'un convergent, d'un col de section réduite, et d'un divergent. La différence de pression entre l'entrée et le col est proportionnelle au carré du débit.
Équation de Continuité
Expression mathématique du principe de conservation de la masse. Pour un fluide incompressible en régime permanent, elle se simplifie à \(Q = A_1 V_1 = A_2 V_2 = \text{constante}\), où \(Q\) est le débit volumique, \(A\) l'aire de la section et \(V\) la vitesse moyenne.
Équations d’Euler et de Bernoulli - Exercice d'Application

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