Forces exercées par l’eau sur les portes
Calcul des Forces exercées par l’eau sur les portes de l’écluse
Vous êtes ingénieur hydraulique et travaillez sur la conception d’une nouvelle écluse. Il est crucial de comprendre les forces exercées par l’eau sur les portes de l’écluse pour garantir leur résistance et sécurité.
Données:
- Profondeur de l’eau : \( H = 5 \) mètres
- Largeur de l’écluse : \( L = 10 \) mètres
- Densité de l’eau : \( \rho = 1000 \) kg/m\(^3\)
- Accélération due à la gravité : \( g = 9.81 \) m/s\(^2\)

Questions
1. Calculez la pression hydrostatique à la base de l’écluse.
2. Déterminez la force totale exercée par l’eau sur une des portes de l’écluse.
3. Estimez la position du centre de poussée sur la porte (distance depuis le fond).
Correction : Forces exercées par l’eau sur les portes
1. Calcul de la pression hydrostatique à la base de l’écluse
Dans un fluide au repos, la pression augmente linéairement avec la profondeur selon la formule :
\[ p = \rho \, g \, h \]
où \( h \) est la profondeur mesurée depuis la surface libre. À la base de l’écluse, \( h = H \).
Formule et Données:
- Formule :
\[ p = \rho \, g \, H \]
- Substitution des valeurs etr calcul :
\[ p = 1000 \, (\text{kg/m}^3) \times 9,81 \, (\text{m/s}^2) \times 5 \, (\text{m}) \] \[ p = 49\,050 \, \text{Pa} \]
Résultat
La pression hydrostatique à la base de l’écluse est 49 050 Pa.
2. Détermination de la force totale exercée par l’eau sur une porte
La force exercée par le fluide sur une surface verticale est la somme (intégrale) des forces élémentaires \( dF \) dues à la pression, où pour une bande horizontale de hauteur \( dy \) à une profondeur \( y \) la pression est :
\[ p(y) = \rho \, g \, y \]
et l’élément de surface est :
\[ dA = L\,dy. \]
La force élémentaire s’exprime donc par :
\[ dF = p(y) \, dA = \rho\, g\, y\, L\,dy. \]
La force totale \( F \) est donnée par :
\[ F = \int_0^H \rho \, g\, y\, L\, dy. \]
Formule et Données:
- Formule de la force totale :
\[ F = \rho \, g\, L \int_0^H y\, dy = \rho \, g\, L \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^H = \rho \, g\, L\, \frac{H^2}{2} \]
- Substitution des valeurs et calcul :
\[ F = 1000 \times 9,81 \times 10 \times \frac{5^2}{2} \] \[ F = 1000 \times 1226,25 \] \[ F = 1\,226\,250 \, \text{N} \]
Résultat
La force totale exercée par l’eau sur une porte est d’environ 1,23 × 10⁶ N.
3. Estimation de la position du centre de poussée sur la porte
Le centre de poussée est le point d’application de la résultante des forces hydrostatiques. Pour une surface verticale rectangulaire dont le bord supérieur coïncide avec la surface libre (à \( y = 0 \)) et s’étendant jusqu’à \( y = H \), la pression varie linéairement : \( p(y)=\rho\,g\,y \).
Le moment de la force élémentaire \( dF \) par rapport à la surface libre est :
\[ dM = y\,dF = \rho\,g\,y^2\,L\,dy. \]
La position \( y_{cp} \) (mesurée depuis la surface libre) du centre de poussée est donnée par :
\[
y_{cp} = \frac{\int_0^H y\,dF}{F} = \frac{\int_0^H \rho\,g\,y^2\,L\,dy}{\rho\,g\,L\,\frac{H^2}{2}}.
\]
Calcul:
Calcul du numérateur :
\[ \int_0^H y^2\,dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^H = \frac{H^3}{3} \]
On obtient donc :
\[ y_{cp} = \frac{\rho\,g\,L\,\frac{H^3}{3}}{\rho\,g\,L\,\frac{H^2}{2}} = \frac{H^3/3}{H^2/2} = \frac{2}{3} H \]
Ainsi, le centre de poussée est situé à \( \frac{2}{3}H \) en partant de la surface libre.
Conversion : Distance depuis le fond
La question demande la position du centre de poussée \textbf{en distance depuis le fond} (c’est-à-dire, depuis \( y = H \)).
Soit \( d \) la distance entre le centre de poussée et le fond :
\[ d = H – y_{cp} = H – \frac{2}{3}H = \frac{1}{3}H. \]
Substitution des valeurs:
\[ d = \frac{1}{3} \times 5 \, \text{m} = \frac{5}{3} \, \text{m} \approx 1,67 \, \text{m} \]
Résultat
Le centre de poussée se situe à environ 1,67 m du fond de l’écluse.
Forces exercées par l’eau sur les portes
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