Études de cas pratique

EGC

Forces exercées par l’eau sur les portes

Calcul des Forces Exercées par l’Eau sur les Portes

Comprendre les Forces Hydrostatiques sur les Surfaces Immergées

Lorsqu'une surface plane, comme une porte de barrage, une vanne ou la paroi d'un réservoir, est en contact avec un fluide au repos (généralement de l'eau), elle subit une force due à la pression hydrostatique. Cette pression augmente avec la profondeur, ce qui signifie que la force exercée n'est pas uniformément répartie sur la surface. Le calcul de la force résultante totale et de son point d'application (appelé centre de poussée) est crucial pour le dimensionnement structurel de ces ouvrages afin d'assurer leur stabilité et leur résistance.

Données de l'étude

On considère une porte rectangulaire verticale retenant de l'eau.

Caractéristiques de la porte et du fluide :

  • Forme de la porte : Rectangulaire
  • Hauteur de la porte (\(H_p\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la porte (\(L_p\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Le sommet de la porte est situé à la surface libre de l'eau.
  • Fluide : Eau douce
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Hypothèse : La pression atmosphérique agit des deux côtés de la porte et son effet s'annule donc pour le calcul de la force nette exercée par l'eau. Nous calculerons la force due à la pression hydrostatique relative.

Schéma : Force Hydrostatique sur une Porte Verticale
Surface Libre Porte (Hp) P_base F y_c (H/3) Hp Force sur Porte

Distribution triangulaire de la pression hydrostatique sur une porte verticale et position de la force résultante.

Questions à traiter

  1. Calculer la surface de la porte (\(A_p\)).
  2. Calculer la profondeur du centre de gravité (\(y_G\)) de la porte par rapport à la surface libre de l'eau.
  3. Calculer la pression hydrostatique au centre de gravité de la porte (\(P_G\)).
  4. Calculer la force hydrostatique résultante (\(F\)) exercée par l'eau sur la porte.
  5. Calculer la profondeur du centre de poussée (\(y_C\)) par rapport à la surface libre de l'eau (pour une porte rectangulaire verticale dont le sommet est à la surface, \(y_C = \frac{2}{3}H_p\)).

Correction : Calcul des Forces Hydrostatiques sur les Portes

Question 1 : Surface de la porte (\(A_p\))

Principe :

La porte est rectangulaire. Sa surface (\(A_p\)) est simplement le produit de sa hauteur (\(H_p\)) par sa largeur (\(L_p\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_p = H_p \times L_p\]
Données spécifiques :
  • Hauteur de la porte (\(H_p\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la porte (\(L_p\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_p &= 3.0 \, \text{m} \times 2.0 \, \text{m} \\ &= 6.0 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La surface de la porte est \(A_p = 6.0 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Profondeur du centre de gravité (\(y_G\)) de la porte

Principe :

Le centre de gravité (ou centroïde) d'une surface rectangulaire se situe au milieu de sa hauteur et au milieu de sa largeur. Puisque le sommet de la porte est à la surface libre de l'eau, la profondeur du centre de gravité (\(y_G\)) par rapport à cette surface libre est la moitié de la hauteur de la porte.

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_G = \frac{H_p}{2}\]
Données spécifiques :
  • Hauteur de la porte (\(H_p\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_G &= \frac{3.0 \, \text{m}}{2} \\ &= 1.5 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La profondeur du centre de gravité de la porte est \(y_G = 1.5 \, \text{m}\).

Question 3 : Pression hydrostatique au centre de gravité (\(P_G\))

Principe :

La pression hydrostatique relative en un point d'un fluide est donnée par \(P = \rho \cdot g \cdot y\), où \(y\) est la profondeur de ce point par rapport à la surface libre. Pour trouver la pression au centre de gravité de la porte, on utilise la profondeur \(y_G\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_G = \rho \cdot g \cdot y_G\]
Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Profondeur du centre de gravité (\(y_G\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_G &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1.5 \, \text{m} \\ &= 9810 \, \text{N/m}^3 \times 1.5 \, \text{m} \\ &= 14715 \, \text{N/m}^2 \\ &= 14715 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En kilopascals (kPa) : \(P_G = 14.715 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 3 : La pression hydrostatique au centre de gravité de la porte est \(P_G = 14715 \, \text{Pa}\) (ou \(14.715 \, \text{kPa}\)).

Question 4 : Force hydrostatique résultante (\(F\)) sur la porte

Principe :

La force hydrostatique résultante exercée sur une surface plane immergée est égale au produit de la pression au centre de gravité de cette surface par l'aire totale de la surface. C'est un résultat fondamental de la mécanique des fluides pour les surfaces planes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F = P_G \times A_p\]
Données spécifiques :
  • Pression au centre de gravité (\(P_G\)) : \(14715 \, \text{Pa}\)
  • Surface de la porte (\(A_p\)) : \(6.0 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F &= 14715 \, \text{N/m}^2 \times 6.0 \, \text{m}^2 \\ &= 88290 \, \text{N} \end{aligned} \]

En kilonewtons (kN) : \(F = 88.29 \, \text{kN}\).

Résultat Question 4 : La force hydrostatique résultante sur la porte est \(F = 88290 \, \text{N}\) (ou \(88.29 \, \text{kN}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la pression au centre de gravité d'une surface de 2 m² est de 10 kPa, la force résultante est :

Question 5 : Profondeur du centre de poussée (\(y_C\))

Principe :

Le centre de poussée est le point d'application de la force hydrostatique résultante. Pour une surface rectangulaire verticale dont le sommet coïncide avec la surface libre du fluide, la distribution de pression est triangulaire. Le centre de poussée se situe alors aux deux tiers de la hauteur de la surface immergée, mesurée à partir de la surface libre (ou à un tiers de la hauteur à partir de la base).

Formule(s) utilisée(s) (pour une porte rectangulaire verticale avec sommet à la surface) :
\[y_C = \frac{2}{3} H_p\]
Données spécifiques :
  • Hauteur de la porte (\(H_p\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_C &= \frac{2}{3} \times 3.0 \, \text{m} \\ &= 2.0 \, \text{m} \end{aligned} \]

Cela signifie que la force résultante s'applique à 2.0 m sous la surface libre de l'eau, ou à \(3.0 \, \text{m} - 2.0 \, \text{m} = 1.0 \, \text{m}\) au-dessus de la base de la porte.

Résultat Question 5 : La profondeur du centre de poussée est \(y_C = 2.0 \, \text{m}\) par rapport à la surface libre.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La pression hydrostatique sur une surface immergée :

2. La force hydrostatique résultante sur une surface plane est égale à :

3. Pour une porte rectangulaire verticale dont le sommet est à la surface libre, le centre de poussée est situé :

Glossaire

Pression Hydrostatique (\(P_h\))
Pression exercée par un fluide au repos, due à son poids. Elle augmente linéairement avec la profondeur (\(P_h = \rho g h\)).
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse d'un fluide par unité de volume. Unité SI : \(\text{kg/m}^3\).
Centre de Gravité (ou Centroïde)
Point géométrique d'une surface où l'on peut considérer que toute son aire est concentrée pour certains calculs.
Force Hydrostatique Résultante (\(F\))
Force totale exercée par la pression d'un fluide sur une surface immergée.
Centre de Poussée (\(y_C\))
Point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface immergée. Il est généralement situé en dessous du centre de gravité de la surface (sauf pour les surfaces horizontales).
Pascal (Pa)
Unité de mesure de la pression dans le Système International, équivalente à un Newton par mètre carré (\(\text{N/m}^2\)).
Calcul de la Pression Hydrostatique - Exercice d'Application

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