EGC

Dimensionnement Poutre BFUP

Exercice : Dimensionnement d'une Poutre BFUP

Dimensionnement : Poutre en Béton Fibré à Ultra-Hautes Performances (BFUP)

Contexte : Le BFUP (Béton Fibré à Ultra-Hautes Performances)Matériau cimentaire composite avec une résistance en compression > 150 MPa et une ductilité notable en traction due aux fibres..

Nous étudions une poutre préfabriquée de passerelle piétonne réalisée en BFUP. Ce matériau innovant, grâce à sa très haute résistance en compression et sa ductilité en traction (due à l'incorporation massive de fibres métalliques), permet de concevoir des structures particulièrement élancées et durables. Cet exercice vise à vérifier le dimensionnement d'une section rectangulaire soumise à la flexion pure.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les modèles de calcul spécifiques aux BFUP (loi de comportement non-linéaire, contribution des fibres en traction) pour vérifier une section à l'État Limite Ultime (ELU) et à l'État Limite de Service (ELS).

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la loi de comportement spécifique du BFUP en traction (comportement ductile).
  • Appliquer le modèle de calcul ELU (diagrammes rectangulaires) pour une section BFUP.
  • Calculer le moment résistant ultime (\(M_{Rd}\)) d'une section rectangulaire.
  • Vérifier la fissuration d'une section BFUP à l'ELS.
  • Appréhender la différence de dimensionnement entre un BFUP et un béton armé classique.

Données de l'étude

On étudie une section de poutre rectangulaire en BFUP, de largeur \(b\) et de hauteur \(h\).

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Géométrie de la section Rectangulaire
Largeur, \(b\) 300 mm
Hauteur, \(h\) 500 mm
Coupe transversale de la poutre
h = 500 mm b = 300 mm
Paramètre (Matériau BFUP) Symbole Valeur Unité
Résistance (compression) \(f_{ck}\) 150 MPa
Résistance (traction élastique) \(f_{ctk,el}\) 8 MPa
Résistance (traction post-fiss.) \(f_{cfk}\) 10 MPa
Moment de service (ELS) \(M_{ser}\) 200 kN.m
Moment ultime (ELU) \(M_{u}\) 350 kN.m

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur du bloc comprimé (\(y\)) à l'ELU, en utilisant un diagramme rectangulaire-rectangulaire simplifié (compression et traction).
  2. En déduire le moment résistant ultime (\(M_{Rd}\)) de la section.
  3. Vérifier la sécurité de la section vis-à-vis de la sollicitation ultime (\(M_u\)).
  4. En supposant un comportement élastique linéaire non-fissuré, calculer la contrainte maximale de traction (\(\sigma_t\)) à l'ELS (sous \(M_{ser}\)).
  5. La section est-elle fissurée à l'ELS ? Conclure sur la validité du calcul précédent.

Les bases sur le Calcul des BFUP

Le BFUP se distingue par sa loi de comportement en traction. Contrairement au béton traditionnel (fragile), le BFUP présente un domaine élastique, suivi d'une phase d'écrouissagePhénomène où le matériau, après fissuration, peut supporter une contrainte de traction constante ou croissante avec une déformation croissante. (ou "strain-hardening") où la contrainte reste élevée (voire augmente) pour des déformations importantes.

1. Modèle de calcul à l'ELU (Simplifié)
Pour simplifier, on utilise un modèle bi-rectangulaire :

  • Compression : Un bloc rectangulaire de contrainte \(f_{cd} = f_{ck} / \gamma_c\), agissant sur la hauteur comprimée \(y\).
  • Traction : Un bloc rectangulaire de contrainte \(f_{ctd} = f_{cfk} / \gamma_f\), agissant sur la hauteur tendue \((h-y)\).
\[ N_c = b \cdot y \cdot f_{cd} \quad | \quad N_t = b \cdot (h-y) \cdot f_{ctd} \]

2. Modèle de calcul à l'ELS (Fissuration)
On vérifie si la contrainte de traction maximale calculée en élasticité (\(\sigma_t\)) dépasse la limite de fissuration (\(f_{ctk,el}\)).

  • Si \(\sigma_t \le f_{ctk,el}\) : la section est considérée comme non fissurée (Stade 1).
  • Si \(\sigma_t > f_{ctk,el}\) : la section est fissurée (Stade 2) et le calcul doit être affiné (non demandé ici).
\[ \sigma_{t, \text{max}} = \frac{M_{\text{ser}}}{W_{\text{el}}} \quad \text{avec} \quad W_{\text{el}} = \frac{b \cdot h^2}{6} \]

Correction : Dimensionnement Poutre BFUP

Question 1 : Calculer la hauteur du bloc comprimé (\(y\)) à l'ELU

Principe

Pour trouver la position de l'axe neutre (et donc la hauteur comprimée \(y\)), on applique le principe fondamental de la statique : l'équilibre des efforts internes. La somme des forces de compression (\(N_c\)) doit être égale à la somme des forces de traction (\(N_t\)) exercées par les fibres dans la partie tendue.

Mini-Cours

Nous utilisons le modèle rectangulaire-rectangulaire. L'effort de compression \(N_c\) est la contrainte de calcul \(f_{cd}\) multipliée par la surface comprimée (\(b \cdot y\)). L'effort de traction \(N_t\) est la contrainte de calcul en traction \(f_{ctd}\) multipliée par la surface tendue (\(b \cdot (h-y)\)).

Remarque Pédagogique

C'est la grande différence avec le béton armé classique où, à l'ELU, on néglige totalement la résistance en traction du béton. Ici, grâce aux fibres, le béton "tendue" travaille activement et génère un effort \(N_t\) considérable.

Normes

Nous utilisons les coefficients de sécurité partiels standards (simplifiés) : \(\gamma_c = 1.5\) pour le béton en compression et \(\gamma_f = 1.2\) pour la contribution des fibres en traction (valeur indicative, peut varier).

Formule(s)

L'équation d'équilibre des efforts normaux est :

\[ N_c = N_t \Rightarrow (b \cdot y \cdot f_{cd}) = (b \cdot (h-y) \cdot f_{ctd}) \]

Contraintes de calcul

\[ f_{cd} = \frac{f_{ck}}{\gamma_c} \quad | \quad f_{ctd} = \frac{f_{cfk}}{\gamma_f} \]
Hypothèses

On suppose que la section est entièrement en Pivot ATerme normatif indiquant que la déformation ultime en traction est atteinte avant la déformation ultime en compression. La section est ductile., c'est-à-dire que la partie tendue est entièrement à sa contrainte de calcul \(f_{ctd}\) et la partie comprimée à \(f_{cd}\).

  • Le diagramme de contrainte est bi-rectangulaire.
  • L'adhérence béton-fibres est parfaite.
Donnée(s)

Nous reprenons les données de l'énoncé pour les calculs de résistance.

ParamètreSymboleValeurUnité
Hauteurh500mm
Largeurb300mm
Résistance (compression)\(f_{ck}\)150MPa
Résistance (traction post-fiss.)\(f_{cfk}\)10MPa
Astuces

Puisque la largeur \(b\) est présente des deux côtés de l'équation d'équilibre (\(b \cdot y \cdot f_{cd} = b \cdot (h-y) \cdot f_{ctd}\)), on peut la simplifier. La position de l'axe neutre \(y\) ne dépend que de la hauteur \(h\) et du ratio des résistances \(f_{cd} / f_{ctd}\).

Schéma (Avant les calculs)

Schéma des contraintes et efforts à l'ELU (modèle bi-rectangulaire).

Diagramme des contraintes et efforts ELU
Section Axe Neutre Compression Traction y h-y Contraintes & Efforts f_cd N_c f_ctd N_t
Calcul(s)

On commence par calculer les contraintes de calcul.

Étape 1 : Contraintes de calcul

\[ f_{cd} = \frac{150 \text{ MPa}}{1.5} = 100 \text{ MPa} \]
\[ f_{ctd} = \frac{10 \text{ MPa}}{1.2} = 8.33 \text{ MPa} \]

Étape 2 : Équilibre des forces (en N et mm)

\[ \begin{aligned} N_c &= N_t \\ (300 \cdot y \cdot 100) &= (300 \cdot (500 - y) \cdot 8.33) \\ \text{On simplifie par 300 :} \\ 100 \cdot y &= 8.33 \cdot (500 - y) \\ 100y &= 4165 - 8.33y \\ 100y + 8.33y &= 4165 \\ 108.33y &= 4165 \\ y &= \frac{4165}{108.33} \end{aligned} \]

Étape 3 : Résultat pour \(y\)

\[ y \approx 38.45 \text{ mm} \]
Schéma (Après les calculs)

La hauteur comprimée est très faible (38.45 mm) par rapport à la hauteur totale (500 mm). L'essentiel de la section travaille en traction.

Position de l'Axe Neutre (ELU)
Axe Neutre y = 38.45 h-y = 461.55 Compression TRACTION
Réflexions

La zone comprimée représente moins de 8% de la hauteur totale (\(38.45 / 500 \approx 7.7\%\)). Cela confirme que la résistance du BFUP est dominée par sa performance en traction fibrée, ce qui est radicalement différent du béton armé où seule la (faible) hauteur comprimée équilibre les aciers tendus.

Points de vigilance

Attention à ne pas mélanger les résistances caractéristiques (\(f_{ck}, f_{cfk}\)) et les résistances de calcul (\(f_{cd}, f_{ctd}\)). Les calculs de résistance à l'ELU se font *toujours* avec les valeurs de calcul (divisées par \(\gamma\)).

Points à retenir

Pour une section BFUP en flexion pure (modèle bi-rectangulaire) :

  • L'équilibre \(N_c = N_t\) permet de trouver l'axe neutre \(y\).
  • La position de \(y\) dépend du ratio des résistances en compression et traction : \(y = h \cdot \frac{f_{ctd}}{f_{cd} + f_{ctd}}\).
Le saviez-vous ?

Les premiers grands ouvrages en BFUP, comme la passerelle de Sherbrooke au Canada (1997), ont démontré qu'il était possible de construire des ponts sans aucune armature passive traditionnelle (barres d'acier), en se fiant uniquement à la ductilité apportée par les fibres.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi utilise-t-on un modèle rectangulaire pour la traction ?

C'est une simplification. La loi réelle montre une montée, un palier d'écrouissagePhénomène où le matériau, après fissuration, peut supporter une contrainte de traction constante ou croissante avec une déformation croissante. et une descente. Le rectangle à \(f_{ctd}\) est un modèle de calcul "plastique" qui représente l'énergie de rupture de manière simplifiée et sûre pour le dimensionnement à l'ELU.

Et si la section n'est pas entièrement en Pivot A ?

Si la déformation ultime en compression (\(\epsilon_{cu2}\)) est atteinte avant la déformation ultime en traction (\(\epsilon_{cu1}\)), on est en Pivot BTerme normatif indiquant que la déformation ultime en compression est atteinte avant la déformation ultime en traction. La rupture est fragile (type béton).. La partie tendue n'est peut-être pas entièrement à \(f_{ctd}\), et le calcul est plus complexe (analyse par les déformations). Pour les BFUP, on vise presque toujours un dimensionnement ductile en Pivot A.

Résultat Final
La hauteur du bloc comprimé à l'ELU est \(y = 38.45 \text{ mm}\).
A vous de jouer

Quelle serait la hauteur comprimée \(y\) si on utilisait un BFUP moins performant en traction, avec \(f_{cfk} = 6 \text{ MPa}\) (donc \(f_{ctd} = 6 / 1.2 = 5 \text{ MPa}\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Équilibre des efforts ELU (\(N_c = N_t\)).
  • Formule Essentielle : \(y \cdot f_{cd} = (h-y) \cdot f_{ctd}\).
  • Résultat : \(y \approx 38.45 \text{ mm}\).

Question 2 : En déduire le moment résistant ultime (\(M_{Rd}\))

Principe

Le moment résistant (\(M_{Rd}\)) est le moment interne maximal que la section peut équilibrer. On le calcule en multipliant l'un des efforts (\(N_c\) ou \(N_t\)) par le bras de levier interne (\(z\)), qui est la distance entre les points d'application de ces deux efforts.

Mini-Cours

Dans le modèle bi-rectangulaire, l'effort \(N_c\) s'applique au milieu de la zone comprimée (à \(y/2\) du haut) et l'effort \(N_t\) s'applique au milieu de la zone tendue (à \((h-y)/2\) du bas, ou \(y + (h-y)/2\) du haut). Le bras de levier \(z\) est la distance entre ces deux points.

Remarque Pédagogique

Puisque \(N_c = N_t\), on peut calculer le moment par rapport à n'importe quel point. Le plus simple est de le calculer par rapport au centre de l'effort de compression (\(M_{Rd} = N_t \cdot z\)) ou par rapport au centre de l'effort de traction (\(M_{Rd} = N_c \cdot z\)). Les deux donnent le même résultat.

Normes

Ce calcul découle directement des principes de la Résistance des Matériaux, appliqués au modèle de contraintes défini par les normes (Eurocodes ou recommandations spécifiques BFUP).

Formule(s)

Bras de levier \(z\)

\[ z = \left(y + \frac{h-y}{2}\right) - \frac{y}{2} = \frac{y}{2} + \frac{h-y}{2} = \frac{h}{2} \]

Moment résistant \(M_{Rd}\)

\[ M_{Rd} = N_t \cdot z = (b \cdot (h-y) \cdot f_{ctd}) \cdot \left(\frac{h}{2}\right) \]

(Alternativement)

\[ M_{Rd} = N_c \cdot z = (b \cdot y \cdot f_{cd}) \cdot \left(\frac{h}{2}\right) \]
Hypothèses

On conserve les hypothèses de la Q1 (modèle bi-rectangulaire, Pivot A).

  • Le bras de levier est constant et vaut \(h/2\).
Donnée(s)

On utilise les résultats et données de la Q1.

ParamètreSymboleValeurUnité
Hauteur compriméey38.45mm
Hauteurh500mm
Largeurb300mm
Contrainte traction\(f_{ctd}\)8.33MPa (N/mm²)
Contrainte compression\(f_{cd}\)100MPa (N/mm²)
Astuces

Vérifiez que \(N_c \approx N_t\) avec le \(y\) calculé. \(N_c = 300 \cdot 38.45 \cdot 100 = 1,153,500\) N. \(N_t = 300 \cdot (500 - 38.45) \cdot 8.33 = 300 \cdot 461.55 \cdot 8.33 = 1,153,400\) N. L'écart est dû aux arrondis, c'est parfait. On peut utiliser l'une ou l'autre valeur.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de la Q1 montre les efforts \(N_c\) et \(N_t\). Le bras de levier \(z\) est la distance verticale entre eux.

Bras de levier \(z\)
N_c y/2 z = h/2 = 250 N_t y + (h-y)/2 Haut (0) Bas (h=500)
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du bras de levier \(z\) (en mm)

\[ z = \frac{h}{2} = \frac{500 \text{ mm}}{2} = 250 \text{ mm} \]

Étape 2 : Calcul de l'effort de traction \(N_t\) (en N)

\[ \begin{aligned} N_t &= b \cdot (h-y) \cdot f_{ctd} \\ &= 300 \cdot (500 - 38.45) \cdot 8.33 \\ &= 300 \cdot 461.55 \cdot 8.33 \\ N_t &\approx 1,153,400 \text{ N} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul du Moment Résistant \(M_{Rd}\) (en N.mm)

\[ \begin{aligned} M_{Rd} &= N_t \cdot z \\ &= 1,153,400 \text{ N} \cdot 250 \text{ mm} \\ M_{Rd} &= 288,350,000 \text{ N.mm} \end{aligned} \]

Étape 4 : Conversion en kN.m

\[ M_{Rd} = \frac{288,350,000}{1,000,000} = 288.35 \text{ kN.m} \]
Schéma (Après les calculs)

Le moment résistant est le couple formé par \(N_c\) et \(N_t\) séparés par la distance \(z\).

Réflexions

Le moment résistant de 288.35 kN.m est obtenu grâce à un effort de traction interne de plus de 1150 kN (environ 115 tonnes-force !) généré par les fibres seules, avec un bras de levier de 250 mm.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de se tromper dans le calcul du bras de levier \(z\). Dans ce modèle symétrique (bi-rectangulaire), il vaut \(h/2\). Si le diagramme de compression était triangulaire ou parabolique, le centre de \(N_c\) ne serait pas à \(y/2\) et le bras de levier \(z\) ne vaudrait plus \(h/2\).

Points à retenir
  • Le bras de levier \(z\) pour le modèle bi-rectangulaire ELU est \(z = h/2\).
  • Le moment résistant est \(M_{Rd} = N_t \cdot z\) (ou \(N_c \cdot z\)).
Le saviez-vous ?

Cette capacité à générer un moment interne sans armatures traditionnelles est ce qui permet de fabriquer des éléments en BFUP extrêmement fins, comme des panneaux de façade de 2-3 cm d'épaisseur ou des coques de toiture.

FAQ

...

Pourquoi le bras de levier vaut-il \(h/2\) ?

L'effort \(N_c\) est au centre du rectangle de compression (hauteur \(y\)), donc à \(y/2\) du haut. L'effort \(N_t\) est au centre du rectangle de traction (hauteur \(h-y\)), donc à \((h-y)/2\) du bas. La distance du bas au centre de \(N_t\) est \((h-y)/2\). La distance du haut au centre de \(N_t\) est \(y + (h-y)/2\). La distance \(z\) entre les deux centres est \(z = (\text{pos } N_t) - (\text{pos } N_c) = (y + (h-y)/2) - (y/2) = y/2 + (h-y)/2 = h/2\).

Résultat Final
Le moment résistant ultime de la section est \(M_{Rd} = 288.35 \text{ kN.m}\).
A vous de jouer

Si la hauteur \(h\) était de 600 mm (et \(b=300\)), quel serait le \(M_{Rd}\) ? (Indice : recalculez \(y\) puis \(M_{Rd}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Moment résistant = Effort x Bras de levier.
  • Formule Essentielle : \(z = h/2\) (pour ce modèle), \(M_{Rd} = N_t \cdot (h/2)\).
  • Résultat : \(M_{Rd} = 288.35 \text{ kN.m}\).

Question 3 : Vérifier la sécurité de la section vis-à-vis de (\(M_u\))

Principe

C'est l'étape de vérification finale du dimensionnement à l'ELU. On compare la sollicitation (ce que la poutre *doit* supporter, \(M_u\)) à la résistance (ce qu'elle *peut* supporter, \(M_{Rd}\)).

Mini-Cours

Pour qu'une structure soit considérée comme sûre à l'ELU, sa résistance de calcul (\(R_d\)) doit être supérieure ou égale à la sollicitation de calcul (\(S_d\)). Dans notre cas de flexion, cela se traduit par \(M_{Rd} \ge M_u\).

Remarque Pédagogique

Si \(M_u > M_{Rd}\), la section est sous-dimensionnée et va "rompre" (atteindre son état limite ultime) avant d'atteindre la charge requise. Si \(M_{Rd} \gg M_u\), la section est sur-dimensionnée (sûre, mais potentiellement non économique).

Normes

La vérification fondamentale de l'ELU est : \(S_d \le R_d\).

Formule(s)

Critère de vérification

\[ M_u \le M_{Rd} \]

Taux de travail

\[ \tau = \frac{M_u}{M_{Rd}} \le 1.0 \]
Hypothèses

Les valeurs de \(M_u\) (sollicitation) et \(M_{Rd}\) (résistance) ont été calculées conformément aux mêmes normes (Eurocodes / Recommandations BFUP).

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q2 et la donnée de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Moment sollicitant (ultime)\(M_u\)350kN.m
Moment résistant (ultime)\(M_{Rd}\)288.35kN.m
Astuces

Le "taux de travail" (\(\tau\)) est un bon indicateur. Un taux proche de 100% (ou 1.0) indique un dimensionnement optimisé. Un taux > 100% indique un échec.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la comparaison.

Comparaison Sollicitation / Résistance
Résistance M_Rd 288.4 Sollicitation M_u 350.0 ✘ (kN.m)
Calcul(s)

Étape 1 : Comparaison

\[ M_u = 350 \text{ kN.m} \quad | \quad M_{Rd} = 288.35 \text{ kN.m} \]
\[ 350 \text{ kN.m} > 288.35 \text{ kN.m} \Rightarrow M_u > M_{Rd} \]

Étape 2 : Calcul du taux de travail

\[ \tau = \frac{350}{288.35} = 1.214 \quad (\text{soit } 121.4 \%) \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma "Avant les calculs" montre bien que la barre de sollicitation (\(M_u\)) dépasse la barre de résistance (\(M_{Rd}\)).

Réflexions

La section n'est pas vérifiée. Elle est sous-dimensionnée de plus de 21%. Cela signifie que sous l'effet des charges ultimes pondérées, la poutre atteindra son état de rupture (plastification des fibres et/ou écrasement du béton) avant d'équilibrer la sollicitation requise. Il faut redimensionner la poutre.

Points de vigilance

Ne jamais conclure "C'est bon" si \(M_u = 288\) et \(M_{Rd} = 350\). Il faut toujours comparer la sollicitation (ce qui est appliqué) à la résistance (ce que ça peut prendre). \(S_d \le R_d\).

Points à retenir
  • La vérification ultime est \(M_u \le M_{Rd}\).
  • Si la condition n'est pas respectée, la section doit être redimensionnée (augmenter \(h\), \(b\), ou la qualité du BFUP).
Le saviez-vous ?

Pour augmenter le \(M_{Rd}\) d'une section BFUP sans changer ses dimensions, on peut (parfois) ajouter des armatures passives haute adhérence (aciers traditionnels) en zone tendue, qui travailleront en parallèle des fibres. On parle alors de "R-BFUP" (Béton Fibré Renforcé).

FAQ

...

Que faire concrètement si la section ne passe pas ?

L'ingénieur a plusieurs options : 1. Augmenter la hauteur \(h\) (le plus efficace, car \(M_{Rd}\) varie environ avec \(h^2\)). 2. Augmenter la largeur \(b\). 3. Utiliser un BFUP avec une meilleure performance en traction (\(f_{cfk}\) plus élevé). 4. Ajouter des armatures passives.

Résultat Final
La section N'EST PAS VÉRIFIÉE à l'ELU. \(M_u (350 \text{ kN.m}) > M_{Rd} (288.35 \text{ kN.m})\).
A vous de jouer

Quelle hauteur \(h\) (en mm) faudrait-il (pour \(b=300\)) pour que \(M_{Rd}\) soit juste égal à \(M_u = 350 \text{ kN.m}\) ? (Utilisez la formule \(M_{Rd} = b \cdot 0.46155 \cdot f_{ctd} \cdot h^2\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Vérification de sécurité ELU.
  • Formule Essentielle : \(M_u \le M_{Rd}\).
  • Résultat : Non Vérifié (Taux de travail = 121.4%).

Question 4 : Calculer la contrainte de traction (\(\sigma_t\)) à l'ELS (non-fissuré)

Principe

À l'État Limite de Service (ELS), on s'intéresse au comportement "quotidien" de la structure (confort, durabilité, aspect). On vérifie d'abord si le matériau fissure sous les charges de service (\(M_{ser}\)). Pour cela, on calcule la contrainte maximale en traction en supposant que le matériau est encore élastique et homogène (non fissuré).

Mini-Cours

On utilise la formule classique de la flexion élastique (loi de Navier) : \(\sigma = \frac{M \cdot v}{I}\), où \(M\) est le moment, \(I\) le moment d'inertie de la section brute, et \(v\) la distance de la fibre à l'axe neutre. Pour une section rectangulaire, l'axe neutre est au centre, et la contrainte est maximale aux fibres extrêmes (\(v = h/2\)).

Remarque Pédagogique

Cette étape est une *hypothèse* de calcul. On suppose la section non fissurée (Stade 1) pour calculer la contrainte, puis on compare cette contrainte à la limite de fissuration pour valider (ou invalider) l'hypothèse. C'est un calcul en deux temps.

Normes

Calcul élastique linéaire (RDM classique).

Formule(s)

Moment d'inertie (rectangle)

\[ I_g = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

Module d'élasticité (ou Module de section)

\[ W_{\text{el}} = \frac{I_g}{v_{\text{max}}} = \frac{I_g}{h/2} = \frac{b \cdot h^2}{6} \]

Contrainte maximale

\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{ser}}}{W_{\text{el}}} \]
Hypothèses

On suppose que le matériau est élastique, linéaire, homogène et non-fissuré (Stade 1).

Donnée(s)

Données géométriques et de sollicitation ELS.

ParamètreSymboleValeurUnité
Hauteurh500mm
Largeurb300mm
Moment de service\(M_{ser}\)200kN.m
Astuces

Attention aux unités ! Le moment est en kN.m et les dimensions en mm. Le plus simple est de tout passer en N et mm. \(200 \text{ kN.m} = 200 \times 10^3 \text{ N} \times 1000 \text{ mm} = 200 \times 10^6 \text{ N.mm}\).

Schéma (Avant les calculs)

Distribution des contraintes élastiques (triangulaire).

Contraintes ELS (Stade 1)
Section Axe Neutre (h/2) σ_c (-) σ_t (+)
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du module de section \(W_{\text{el}}\) (en mm³)

\[ W_{\text{el}} = \frac{b \cdot h^2}{6} = \frac{300 \cdot 500^2}{6} = 12,500,000 \text{ mm}^3 \]

Étape 2 : Conversion du moment \(M_{\text{ser}}\) (en N.mm)

\[ M_{\text{ser}} = 200 \text{ kN.m} = 200 \times 10^6 \text{ N.mm} \]

Étape 3 : Calcul de la contrainte max (\(\sigma_t = \sigma_c\)) (en MPa)

\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{ser}}}{W_{\text{el}}} = \frac{200,000,000}{12,500,000} = 16 \text{ MPa} \]
Schéma (Après les calculs)

La contrainte varie linéairement de -16 MPa (compression) en haut à +16 MPa (traction) en bas.

Points à retenir
  • Calcul ELS (Stade 1) = RDM classique.
  • Formule clé : \(\sigma = M / W_{\text{el}}\).
  • \(W_{\text{el}}\) (rectangle) = \(b \cdot h^2 / 6\).
Le saviez-vous ?

Pour le béton armé standard, dont la résistance en traction est très faible (2-3 MPa), ce calcul ELS mène presque *toujours* à la conclusion que la section est fissurée. C'est la grande différence avec les BFUP.

FAQ

...

Pourquoi \(\sigma_c = \sigma_t\) ?

Dans une section rectangulaire homogène soumise à la flexion pure, l'axe neutre est au centre géométrique (à \(h/2\)). La distance à la fibre la plus comprimée (\(v_c = h/2\)) est la même que la distance à la fibre la plus tendue (\(v_t = h/2\)). Puisque \(\sigma = M \cdot v / I\), les contraintes extrêmes sont égales en valeur absolue.

Résultat Final
La contrainte maximale (traction et compression) à l'ELS, en supposant la section non-fissurée, est \(\sigma_{\text{max}} = 16 \text{ MPa}\).
A vous de jouer

Si le moment de service \(M_{ser}\) n'était que de 100 kN.m, quelle serait la contrainte \(\sigma_{\text{max}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Calcul de contrainte en flexion élastique (Stade 1).
  • Formule Essentielle : \(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{ser}} / (b \cdot h^2 / 6)\).
  • Résultat : \(\sigma_{\text{max}} = 16 \text{ MPa}\).

Question 5 : La section est-elle fissurée à l'ELS ?

Principe

C'est la deuxième partie de la vérification ELS. On compare la contrainte de traction calculée à la Q4 (\(\sigma_t\)) avec la limite d'élasticité en traction du matériau (\(f_{ctk,el}\)), qui représente le seuil de fissuration.

Mini-Cours

Le BFUP a un comportement bi-linéaire en traction : une première phase élastique jusqu'à \(f_{ctk,el}\), puis une phase d'écrouissage (post-fissuration) jusqu'à \(f_{cfk}\). La "première fissure" apparaît dès que l'on dépasse \(f_{ctk,el}\).

Remarque Pédagogique

Si la section est fissurée (\(\sigma_t > f_{ctk,el}\)), notre calcul de la Q4 (basé sur l'inertie de la section brute \(I_g\)) n'est plus rigoureusement exact. Il faudrait recalculer les contraintes en "Stade 2", en tenant compte de la section fissurée (plus complexe).

Normes

Vérification de la fissuration à l'ELS : \(\sigma_t \le f_{ctk,el}\).

Formule(s)

Critère de non-fissuration

\[ \sigma_t \le f_{ctk,el} \]
Hypothèses

On compare la contrainte maximale (fibre inférieure) à la résistance caractéristique (seuil de fissuration).

Donnée(s)

Donnée de l'énoncé et résultat de la Q4.

ParamètreSymboleValeurUnité
Contrainte de traction (calculée Q4)\(\sigma_t\)16MPa
Résistance (traction élastique)\(f_{ctk,el}\)8MPa
Astuces

C'est une simple comparaison. Le plus dur était le calcul de la Q4. N'inversez pas les termes : on compare la sollicitation (\(\sigma_t\)) à la résistance (\(f_{ctk,el}\)).

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison de la contrainte calculée au seuil de fissuration.

Vérification Fissuration ELS
Résistance f_ctk,el 8 MPa Contrainte σ_t 16 MPa ✘ (MPa)
Calcul(s)

Étape 1 : Comparaison

\[ \sigma_t = 16 \text{ MPa} \quad | \quad f_{ctk,el} = 8 \text{ MPa} \]
\[ 16 \text{ MPa} > 8 \text{ MPa} \Rightarrow \sigma_t > f_{ctk,el} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma montre que la contrainte appliquée dépasse le seuil de résistance à la fissuration.

Réflexions

Conclusion : L'hypothèse "non-fissurée" (Stade 1) faite à la Q4 est fausse. La section est effectivement fissurée à l'ELS.
Cela ne signifie pas que la poutre est dangereuse (la sécurité est vérifiée à l'ELU, Q3), mais cela signifie que pour des calculs précis de déformation (flèche) ou d'ouverture de fissures, on ne peut pas utiliser l'inertie brute \(I_g\). On devrait utiliser une inertie "fissurée" équivalente.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(f_{ctk,el}\) (seuil de fissuration, ELS) et \(f_{cfk}\) (résistance post-fissuration, ELU). C'est une erreur classique. On vérifie la *première* fissure avec \(f_{ctk,el}\).

Points à retenir
  • La vérification de fissuration ELS est \(\sigma_t \le f_{ctk,el}\).
  • Si \(\sigma_t > f_{ctk,el}\), la section est au Stade 2 (fissurée).
Le saviez-vous ?

Certaines normes pour les BFUP autorisent une "fissuration contrôlée" à l'ELS, tant que l'ouverture des fissures reste inférieure à une limite (par ex. 0.1 mm) pour garantir la durabilité (empêcher la corrosion des fibres).

FAQ

...

Si la section est fissurée, le calcul ELU (Q1-Q2) est-il faux ?

Non. Les calculs ELU et ELS sont indépendants. Le calcul ELU (Q1-Q2) suppose un état "ultime" (plastifié) qui n'a rien à voir avec l'état de service (élastique). Le fait que la section soit fissurée à l'ELS (Q5) est normal et n'invalide pas le calcul de résistance ultime (Q2), qui lui-même a montré un défaut de dimensionnement (Q3).

Résultat Final
La section EST FISSURÉE à l'ELS, car \(\sigma_t (16 \text{ MPa}) > f_{ctk,el} (8 \text{ MPa})\).
A vous de jouer

Si le moment de service \(M_{ser}\) était de 100 kN.m (résultat Q4 "A vous de jouer" : \(\sigma_t = 8\) MPa), la section serait-elle fissurée ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Vérification de fissuration ELS.
  • Formule Essentielle : Comparer \(\sigma_t\) à \(f_{ctk,el}\).
  • Résultat : Section fissurée.

Outil Interactif : Simulateur de Moment Résistant (\(M_{Rd}\))

Utilisez les sliders pour modifier les dimensions de la section rectangulaire (\(b\) et \(h\)) et observez l'impact direct sur le moment résistant ultime (\(M_{Rd}\)) et la hauteur comprimée (\(y\)). (Basé sur le modèle ELU bi-rectangulaire \(f_{cd}=100, f_{ctd}=8.33\)).

Paramètres d'Entrée
300 mm
500 mm
Résultats Clés
Hauteur comprimée, \(y\) (mm) -
Moment Résistant, \(M_{Rd}\) (kN.m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la principale caractéristique du BFUP en traction à l'ELU ?

  • Forte résistance mais pas de ductilité.
  • Comportement ductile avec écrouissage (post-fissuration).
  • Identique au béton armé traditionnel.

2. Dans le modèle ELU bi-rectangulaire, le bras de levier \(z\) vaut :

  • \(h / 2\)
  • \(y / 2\)
  • \(d - 0.4y\) (comme le BA)

3. Pour vérifier la fissuration à l'ELS, on compare la contrainte de traction \(\sigma_t\) à :

  • \(f_{cfk}\) (résistance post-fissuration ELU)
  • \(f_{ctk,el}\) (seuil de fissuration)
  • \(f_{cd}\) (calcul compression)

4. Un taux de travail \( \tau = M_u / M_{Rd} = 1.21 \) signifie que :

  • La section est sous-dimensionnée de 21% (Non sécuritaire).
  • La section est parfaitement dimensionnée.
  • Le calcul ELS est faux.

5. Si \(f_{ck} = 150\) MPa et \(\gamma_c = 1.5\), la contrainte de calcul \(f_{cd}\) vaut :

  • 225 MPa
  • 100 MPa
  • 175 MPa

Glossaire

BFUP (Béton Fibré à Ultra-Hautes Performances)
Matériau cimentaire composite caractérisé par une matrice très compacte et l'ajout de fibres (souvent métalliques), lui conférant une résistance en compression \(f_{ck} > 150 \text{ MPa}\) et un comportement ductile en traction.
Écrouissage (Strain-hardening)
En traction, capacité du BFUP à supporter une contrainte constante ou croissante après la fissuration initiale, grâce à l'activation des fibres (multi-fissuration).
Pivot A / Pivot B
Termes normatifs (Eurocode) décrivant les modes de rupture à l'ELU. Le Pivot A (visé pour le BFUP) correspond à une rupture ductile par atteinte de la déformation ultime en traction.
\(f_{ctk,el}\) (ou \(f_{ct,el}\))
Résistance caractéristique en traction à la limite élastique. C'est le seuil de contrainte où apparaît la première fissure. Utilisé pour les vérifications ELS.
\(f_{cfk}\) (ou \(f_{ck,t}\))
Résistance caractéristique en traction post-fissuration (dans le palier d'écrouissage). C'est la valeur utilisée pour le calcul de la résistance ultime (ELU).
Modèle bi-rectangulaire
Modèle de calcul simplifié pour l'ELU du BFUP, supposant un bloc de contrainte rectangulaire \(f_{cd}\) en compression et un bloc rectangulaire \(f_{ctd}\) en traction.
Dimensionnement : Poutre en Béton Fibré à Ultra-Hautes Performances (BFUP)

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