Dimensionnement Poutre BFUP
📝 Situation du Projet et Enjeux Architecturaux
Le projet "SkyLink" s'inscrit dans un programme de rénovation majeure du quartier d'affaires de La Défense. Il vise à connecter deux tours de bureaux de grande hauteur (IGH) nouvellement réhabilitées, situées de part et d'autre d'une avenue circulante. L'ouvrage d'art projeté est une passerelle piétonne située au niveau R+3, devant franchir une portée libre de 12 mètres sans appui intermédiaire.
L'architecte en chef, soucieux de préserver la transparence visuelle vers la Grande Arche, a imposé une contrainte structurelle majeure : l'extrême finesse du tablier. Une poutre en béton armé traditionnel aurait nécessité une hauteur de retombée massive (environ 1/10e de la portée, soit 1.20m), jugée inacceptable. C'est pourquoi votre bureau d'études "Structural Innovation" a proposé une solution de rupture technologique : l'emploi du BFUP (Béton Fibré à Ultra-Hautes Performances). Ce matériau, grâce à sa matrice cimentaire ultra-compacte et son renforcement par fibres métalliques, permet de diviser par deux les sections nécessaires tout en garantissant une durabilité exceptionnelle face à la pollution urbaine.
Vous intervenez en phase APD pour valider la faisabilité structurelle de cette poutre élancée. L'enjeu est critique : prouver par le calcul que cette finesse ne compromet pas la sécurité des usagers sous les charges de foule compacte.
En tant qu'Ingénieur Structure Senior, vous devez mener la vérification réglementaire complète de la poutre principale (P1) à l'État Limite Ultime (ELU). Votre note de calcul devra démontrer la capacité portante de la section proposée. Plus spécifiquement, vous devrez déterminer si la matrice fibrée seule peut reprendre les efforts de traction (propriété unique du BFUP) ou si, comme souvent dans les ouvrages de grande portée, l'ajout d'armatures passives longitudinales est indispensable pour garantir la sécurité et limiter la fissuration.
- Localisation
La Défense, Paris (Zone sismique très faible, Vent zone 2) - Type d'Ouvrage
Passerelle Piétonne ERP (Établissement Recevant du Public) - Technologie
BFUP - Ductal® ou équivalent - Classe 150 MPa
"Attention, le BFUP n'est pas un béton classique. Son comportement est ductile en traction grâce aux fibres, mais cette contribution a des limites. Ne tombez pas dans le piège de considérer le matériau comme 'incassable'. Vérifiez bien si la matrice fissure. Si la contrainte de traction dépasse \(f_{\text{ctm}}\), vous DEVEZ ajouter des aciers passifs pour reprendre les efforts, sinon la ruine sera brutale !"
Pour mener à bien cette étude, vous disposez des extraits contractuels du CCTP et des fiches techniques validées par le bureau de contrôle. Ces données sont impératives et non négociables pour la phase APD.
📚 Référentiel Normatif Applicable
Le cadre réglementaire combine les Eurocodes classiques et les normes spécifiques aux bétons fibrés récents.
Eurocode 2 (EN 1992-1-1) - Béton Norme NF P 18-710 (BFUP)[Art. 3.1] JUSTIFICATION DE LA GÉOMÉTRIE
La section de la poutre principale est fixée rectangulaire (\(b \times h\)) sur toute la longueur. Cette géométrie simple a été validée pour faciliter le coffrage métallique et garantir un parement lisse parfait ("effet miroir"). La largeur est contrainte à 40cm pour s'aligner avec les poteaux existants des tours.
[Art. 3.2] JUSTIFICATION DES MATÉRIAUX
Le BFUP de classe 150 MPa est imposé. Ce choix, bien que coûteux (env. 2000€/m³), est rentabilisé par la réduction de volume (x3 moins de matière qu'un béton C30/37) et l'absence d'étanchéité rapportée (le matériau est étanche dans la masse). L'ajout de fibres métalliques (2% vol.) est requis pour assurer la ductilité sans armatures transversales d'effort tranchant.
[Art. 3.3] HYPOTHÈSES DE CHARGEMENT
La passerelle étant située en zone dense, une surcharge de foule compacte standard est appliquée. Le revêtement de sol est une résine fine époxy négligeable en poids, mais les garde-corps en verre lourd imposent une charge permanente additionnelle.
Les valeurs ci-dessous sont les valeurs caractéristiques (\(k\)) issues des essais de convenance. Elles définissent le comportement mécanique de ce matériau "exotique" comparé au béton usuel.
| COMPRESSION (Dominante) | |
| Résistance caract. compression (\(f_{\text{ck}}\)) | 150 MPa (vs 30 MPa béton classique) |
| Coefficient partiel sécurité (\(\gamma_{\text{c}}\)) | 1.5 |
| TRACTION (Comportement Fibré) | |
| Résistance moy. traction (\(f_{\text{ctm}}\)) | 8.0 MPa (Seuil de fissuration matrice) |
| Comportement post-fissuration | Écrouissant (Reprise d'effort par les fibres) |
| PHYSIQUE | |
| Masse volumique (\(\rho_{\text{BFUP}}\)) | 2600 kg/m³ (Très dense) |
Voici les valeurs numériques figées pour le calcul. Toute modification de ces valeurs entraînerait une non-conformité avec l'épure architecturale.
📐 Géométrie imposée
- Portée de calcul (\(L_{\text{eff}}\)) : 12.00 m (Distance entre axes d'appuis)
- Hauteur section (\(h\)) : 0.80 m (Fixée par limite de gabarit routier sous-jacent)
- Largeur section (\(b\)) : 0.40 m (Alignement trame poteaux)
- Enrobage (\(c_{\text{nom}}\)) : 30 mm (Valeur réduite autorisée grâce à la compacité du BFUP)
⚖️ Charges Appliquées (Hors Poids Propre)
Notez bien que le poids propre de la poutre (densité x volume) n'est PAS inclus ci-dessous et devra être calculé.
(Garde-corps verre, éclairage, résine sol) 2.5 kN/m
(Foule dense piétonne standard) 5.0 kN/m
Dans l'éventualité où la matrice BFUP ne suffirait pas à reprendre la traction, nous utiliserons des aciers à haute adhérence standards.
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nuance Acier | \(f_{\text{yk}}\) | 500 | MPa |
| Module d'élasticité Acier | \(E_{\text{s}}\) | 200 | GPa |
| Coefficient sécurité Acier | \(\gamma_{\text{s}}\) | 1.15 | - |
E. Protocole de Résolution
Pour valider le dimensionnement de cette poutre en matériau innovant, nous allons suivre une approche rigoureuse, étape par étape, conforme à la démarche de l'ingénieur structure.
Analyse de Descente de Charges
Calcul du poids propre de la poutre BFUP et combinaison des charges à l'État Limite Ultime (ELU) pour obtenir la charge linéique de calcul.
Calcul des Sollicitations
Détermination du Moment Fléchissant Maximum (\(M_{\text{Ed}}\)) agissant au milieu de la travée, dimensionnant pour la flexion.
Vérification des Contraintes Normales
Calcul des contraintes de traction en fibre inférieure. Vérification si la résistance en traction du BFUP (\(f_{\text{ctm}}\)) est dépassée.
Dimensionnement du Ferraillage Passif
Si la traction dépasse la capacité de la matrice fibrée, calcul de la section d'aciers (\(A_{\text{s}}\)) nécessaire pour équilibrer le moment ultime.
Dimensionnement Poutre BFUP
🎯 Objectif
La première étape fondamentale de toute note de calcul de structure est la descente de charges. Notre objectif est de déterminer avec précision l'intensité de la charge répartie (\(p_{\text{Ed}}\)) qui sollicitera la poutre à l'État Limite Ultime (ELU). Cette valeur est cruciale car elle intègre à la fois la réalité physique des poids (matière) et la sécurité normative (coefficients de pondération) pour couvrir les incertitudes de construction.
📚 Référentiel
Eurocode 0 (EN 1990) - Bases de calcul Eurocode 1 (EN 1991-1-1) - Actions sur les structuresAvant de se lancer dans les calculs, analysons la situation. Nous avons des charges de nature différente : le poids du BFUP (charge permanente \(G\)), les équipements fixes (charge permanente \(G\)), et la foule (charge variable \(Q\)). Le piège classique est d'oublier le poids propre de la poutre elle-même, qui n'est pas donné explicitement dans l'énoncé mais dépend de sa géométrie (\(b \times h\)). Contrairement à une charpente métallique légère, dans le béton (même BFUP), le poids propre représente souvent plus de 50% de la charge totale. Nous devrons donc le calculer en premier, puis le sommer aux autres charges permanentes, et enfin appliquer la combinaison ELU fondamentale : \(1.35 G + 1.5 Q\).
En génie civil, on ne dimensionne pas pour les charges réelles (nominales), mais pour des charges pondérées. L'État Limite Ultime (ELU) correspond à un scénario de ruine virtuelle où les charges sont majorées pour garantir une probabilité de défaillance quasi nulle.
La combinaison fondamentale s'écrit :
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Masse volumique BFUP | \(\rho_{\text{BFUP}}\) | \(26 \text{ kN/m}^3\) |
| Largeur section | \(b\) | \(0.40 \text{ m}\) |
| Hauteur section | \(h\) | \(0.80 \text{ m}\) |
| Charge Perm. Superposée | \(g_{\text{sup}}\) | \(2.5 \text{ kN/m}\) |
| Charge Variable (Foule) | \(q_{\text{k}}\) | \(5.0 \text{ kN/m}\) |
Attention à la conversion masse/poids. Une masse volumique de 2600 kg/m³ correspond, sous gravité standard (\(g \approx 10 m/s^2\)), à un poids volumique de 26 kN/m³. Vérifiez toujours que vos densités sont en \(\text{kN/m}^3\) pour obtenir des charges linéaires en \(\text{kN/m}\).
Calculs Détaillés
1. Détermination du Poids Propre (\(g_{\text{pp}}\)) :
Calculons d'abord la charge linéaire générée par la poutre elle-même. Nous multiplions l'aire de la section transversale par le poids volumique du matériau.
Interprétation : Chaque mètre de poutre pèse environ 830 kg. C'est une charge permanente inamovible.
2. Charge Permanente Totale Caractéristique (\(G_{\text{k}}\)) :
Nous additionnons le poids propre calculé ci-dessus et la charge permanente superposée donnée dans l'énoncé (\(g_{\text{sup}}\) : garde-corps, revêtements).
3. Charge de Calcul à l'ELU (\(p_{\text{Ed}}\)) :
Enfin, nous appliquons les coefficients de sécurité réglementaires pour obtenir la charge ultime de dimensionnement.
Interprétation Finale : Pour garantir la sécurité de l'ouvrage avec une probabilité de ruine quasi-nulle, nous devrons dimensionner la poutre comme si elle supportait 22.11 kN (2.2 tonnes) par mètre linéaire.
Comparons les composantes : la part des charges permanentes (\(1.35 \times 10.82 = 14.6\) kN/m) est presque le double de la part variable (\(1.5 \times 5 = 7.5\) kN/m). Cela confirme que dans les ouvrages en béton, le poids mort est prépondérant. L'ordre de grandeur (2.2 tonnes/m) est cohérent pour une poutre de cette portée supportant une foule.
Ne jamais confondre \(G\) (charges permanentes) et \(Q\) (charges variables) car les coefficients de sécurité sont différents (1.35 vs 1.5). Une inversion sous-estimerait la charge totale.
🎯 Objectif
Maintenant que nous connaissons la charge répartie sur la poutre, nous devons déterminer "l'effort de flexion" maximal qu'elle génère. En Résistance des Matériaux (RDM), cet effort s'appelle le Moment Fléchissant (\(M_{\text{Ed}}\)). C'est cette sollicitation qui tente de courber la poutre, comprimant la fibre supérieure et tendant la fibre inférieure. Notre but est de trouver la valeur maximale de ce moment le long de la poutre pour dimensionner la section la plus sollicitée.
📚 Référentiel
Théorie des Poutres (RDM) Modèle IsostatiqueLe système statique décrit dans l'énoncé est une "poutre sur deux appuis simples" (isostatique). C'est le cas d'école le plus courant. Sous une charge uniformément répartie, la déformée de la poutre est symétrique, et la flexion est maximale exactement au milieu de la portée (\(x = L/2\)). Aux appuis, le moment est nul (la poutre peut tourner librement sur ses appareils d'appui). Nous allons donc calculer la valeur du moment à mi-travée.
Pour une poutre de longueur \(L\) soumise à une charge linéique \(p\), le diagramme des moments fléchissants suit une loi parabolique :
La valeur maximale (sommet de la parabole) est donnée par la formule canonique bien connue des ingénieurs :
Cette formule est spécifique aux poutres sur appuis simples avec charge uniforme. Le facteur "8" vient de l'intégration de la charge.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge linéique de calcul (\(p_{\text{Ed}}\)) | \(22.11 \text{ kN/m}\) |
| Portée de calcul (\(L_{\text{eff}}\)) | \(12.00 \text{ m}\) |
Remarquez que la portée \(L\) est au carré dans la formule. Cela signifie que si vous doublez la portée, le moment est multiplié par 4 ! C'est pourquoi les grandes portées sont si difficiles à franchir et demandent des matériaux performants comme le BFUP.
Calculs Détaillés
Calcul du Moment Fléchissant Ultime (\(M_{\text{Ed}}\)) :
Nous appliquons directement la formule. Attention aux unités : \(\text{kN/m} \times \text{m}^2 = \text{kN.m}\).
Interprétation : Au milieu de la passerelle, la section subit un moment de flexion de près de 398 kN.m. C'est la sollicitation "interne" que la matière (béton + acier) devra équilibrer pour ne pas rompre.
En calcul de béton armé et BFUP, les contraintes sont exprimées en MPa, ce qui équivaut à des MN/m². Pour pouvoir comparer nos sollicitations avec les résistances des matériaux, il est impératif de convertir le moment en MN.m dès maintenant.
Conversion : \(397.98 \text{ kN.m} \approx 0.398 \text{ MN.m}\).
🎯 Objectif
C'est ici que réside la spécificité du calcul BFUP. Contrairement au béton armé classique où l'on néglige totalement la résistance du béton en traction, le BFUP possède une résistance en traction significative grâce à ses fibres métalliques. Notre objectif est de vérifier si la matrice BFUP reste dans son domaine élastique ou si elle fissure. Nous allons calculer la contrainte de traction maximale en fibre inférieure (\(\sigma_{\text{bt}}\)) et la comparer à la résistance du matériau (\(f_{\text{ctm}}\)).
📚 Référentiel
NF P 18-710 (Calcul élastique linéaire) Résistance des MatériauxNous allons adopter une approche "non-fissurée" (Stade I). Nous supposons que la section se comporte comme un matériau homogène, élastique et linéaire (loi de Hooke). Cela nous permet d'utiliser la formule de Navier pour calculer les contraintes. Si la contrainte calculée dépasse la résistance \(f_{\text{ctm}}\), cela signifie que notre hypothèse élastique est fausse : la matrice va fissurer, et nous devrons basculer vers un calcul de béton armé (Stade II) en ajoutant des aciers.
Dans une section soumise à de la flexion pure, la contrainte normale \(\sigma\) à une distance \(v\) de l'axe neutre est proportionnelle au moment appliqué :
Avec :
\(M_{\text{Ed}}\) : Moment fléchissant (MN.m)
\(v\) : Distance de la fibre neutre à la fibre étudiée (m)
\(I_{\text{G}}\) : Moment quadratique (inertie) de la section (m⁴)
📋 Données d'Entrée
La section est rectangulaire pleine. Son centre de gravité \(G\) est à mi-hauteur.
| Paramètre | Formule | Valeur |
|---|---|---|
| Largeur (\(b\)) | - | \(0.40 \text{ m}\) |
| Hauteur (\(h\)) | - | \(0.80 \text{ m}\) |
| Distance fibre extrême (\(v\)) | \(h/2\) | \(0.40 \text{ m}\) |
Pour un rectangle, retenez par cœur \(bh^3/12\). C'est la base de tout calcul de RDM.
Calculs Détaillés
1. Calcul de l'Inertie Quadratique (\(I_{\text{G}}\)) :
L'inertie représente la rigidité géométrique de la section, sa "résistance à la courbure". Pour un rectangle :
2. Calcul de la Contrainte de Traction (\(\sigma_{\text{bt}}\)) :
Nous calculons la contrainte en fibre inférieure (la plus tendue). Nous utilisons le moment en MN.m pour obtenir un résultat directement en MPa.
Interprétation : Le bas de la poutre subit une tension de 9.33 MégaPascals.
3. Vérification du Critère de Résistance :
Comparons cette valeur à la résistance moyenne en traction du BFUP donnée dans l'énoncé (\(f_{\text{ctm}} = 8.0\) MPa).
Comparaison contrainte vs résistance :
Conclusion Critique : La contrainte calculée dépasse la résistance de la matrice cimentaire.
Une contrainte de 9 MPa est énorme pour un béton (un béton classique casse à 2-3 MPa). Cela montre que le BFUP travaille dur. Le dépassement est faible (environ 15%), mais réel.
Attention à ne jamais comparer une contrainte de traction avec la résistance en compression (\(f_{\text{ck}} = 150\) MPa). Ce sont deux mécanismes différents.
🎯 Objectif
Puisque la matrice BFUP est dépassée en traction, nous allons dimensionner des aciers longitudinaux (barres HA) pour reprendre la totalité de l'effort de traction généré par le moment fléchissant. C'est une approche conservatrice mais standard : on néglige la participation des fibres dans la zone tendue fissurée pour garantir une sécurité maximale à l'ELU.
📚 Référentiel
Eurocode 2 (Méthode du Bras de Levier)Le BFUP a une particularité extraordinaire : sa résistance en compression est gigantesque (\(f_{\text{ck}} = 150\) MPa, soit 5 fois celle d'un béton normal). Conséquence mécanique : pour équilibrer la traction des aciers, il suffit d'une toute petite zone de béton comprimé en haut de la section. L'axe neutre remonte très haut.
Cela simplifie le calcul : le "bras de levier" (\(z\)) entre la force de compression et la force de traction est maximisé. On peut l'estimer avec une grande précision sans faire d'itérations complexes.
Le moment fléchissant \(M_{\text{Ed}}\) est équilibré par un couple de forces internes : une force de compression dans le béton (\(F_{\text{bc}}\)) et une force de traction dans l'acier (\(F_{\text{s}}\)), séparées par une distance \(z\) (bras de levier).
L'équilibre des moments donne :
D'où la section d'acier nécessaire :
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Enrobage (\(c_{\text{nom}}\)) | \(30 \text{ mm}\) |
| Hauteur utile (\(d\)) : Distance fibre sup. -> centre aciers | \(h - c_{\text{nom}} - \phi/2 \approx 0.75 \text{ m}\) |
| Résistance limite élastique Acier (\(f_{\text{yk}}\)) | \(500 \text{ MPa}\) |
| Coefficient sécurité Acier (\(\gamma_{\text{s}}\)) | \(1.15\) |
Pour une section rectangulaire classique, on prend souvent \(z \approx 0.9d\). Avec du BFUP, comme la zone comprimée est minuscule (très résistante), le bras de levier est encore meilleur. On pourrait prendre \(0.95d\), mais restons sur \(z = 0.9d\) par sécurité.
Calculs Détaillés
1. Résistance de Calcul de l'Acier (\(f_{\text{yd}}\)) :
On réduit la résistance caractéristique de l'acier par son coefficient de sécurité.
2. Estimation du Bras de Levier (\(z\)) :
On utilise l'approximation standard validée par la forte résistance du BFUP.
3. Calcul de la Section d'Acier Théorique (\(A_{\text{s}}\)) :
On cherche la quantité d'acier nécessaire pour équilibrer le moment de 0.398 MN.m.
Il nous faut 13.56 cm² d'acier en section transversale.
4. Choix du Ferraillage Réel :
Nous devons choisir un nombre entier de barres commerciales dont la somme des sections dépasse 13.56 cm². Testons avec des barres de diamètre 25mm (HA 25, section unitaire 4.91 cm²).
Essai avec 3 barres HA 25 :
Vérification : \(14.73 \text{ cm}^2 > 13.56 \text{ cm}^2\). La condition est vérifiée avec une marge de sécurité confortable (~8%).
Un ratio de ferraillage de 14.73 cm² pour une section de 40x80cm est très raisonnable (environ 0.46% de la section). C'est un ferraillage économique.
Assurez-vous que les 3 barres tiennent dans la largeur de 40cm en respectant les espacements pour le bétonnage. Ici, avec \(3 \times 2.5 + 2 \times 3\) (enrobage) + espacements, ça passe largement.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
NOTE DE CALCULS - POUTRE LONGITUDINALE BFUP
| Désignation | Valeur / Description |
|---|---|
| 1. Hypothèses Générales | |
| Matériau | BFUP UHPFRC 150 / Fibres Métalliques |
| Charges ELU (\(p_{\text{Ed}}\)) | 22.11 kN/ml |
| Portée | 12.00 m |
| 2. Résultats Intermédiaires | |
| Moment Ultime (\(M_{\text{Ed}}\)) | 0.398 MN.m |
| Contrainte Traction Élastique | 9.33 MPa (> 8.0 MPa) |
| 3. Dispositions Constructives (Ferraillage) | |
| Section d'Acier Requise (\(A_{\text{s,req}}\)) | 13.56 cm² |
| Ferraillage Retenu | 3 Barres HA 25 (14.73 cm²) |
| Taux de Travail Aciers | 92% (Optimisé) |
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