Études de cas pratique

EGC

Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment

Diagrammes d'Effort Tranchant et de Moment Fléchissant

Diagrammes d'Effort Tranchant et de Moment Fléchissant

Comprendre les Diagrammes d'Efforts Internes

Lorsqu'une poutre est soumise à des charges externes, des efforts internes se développent en chaque section pour maintenir l'équilibre. Les deux principaux types d'efforts internes dans le cas de la flexion plane sont l'effort tranchant (\(V\)) et le moment fléchissant (\(M\)). L'effort tranchant représente la somme des forces verticales agissant d'un côté d'une section, tandis que le moment fléchissant représente la somme des moments de ces forces par rapport à la section. Les diagrammes d'effort tranchant (DET) et de moment fléchissant (DMF) sont des représentations graphiques de la variation de ces efforts le long de la poutre. Ils sont essentiels pour identifier les sections critiques (où les efforts sont maximaux) et pour le dimensionnement de la poutre.

Données de l'étude

Une poutre AB, de longueur \(L = 4 \, \text{m}\), est simplement appuyée en A (appui articulé) et en B (appui à rouleau). Elle est soumise aux charges suivantes :

  • Une charge concentrée \(P = 20 \, \text{kN}\) appliquée à \(x_1 = 1 \, \text{m}\) de l'appui A.
  • Une charge uniformément répartie \(q = 10 \, \text{kN/m}\) s'étendant de \(x_2 = 2 \, \text{m}\) à \(x_3 = 4 \, \text{m}\) (appui B).

Objectif :

  1. Calculer les réactions d'appui en A et B.
  2. Établir les expressions de l'effort tranchant \(V(x)\) et du moment fléchissant \(M(x)\) le long de la poutre.
  3. Tracer les diagrammes d'effort tranchant (DET) et de moment fléchissant (DMF).
  4. Identifier les valeurs maximales de l'effort tranchant (\(|V|_{\text{max}}\)) et du moment fléchissant (\(|M|_{\text{max}}\)).
Schéma : Poutre avec Charges Concentrée et Répartie
A B P=20kN q=10kN/m RAy RAx RBy L = 4 m 1m 2m Axe x (m)

Poutre sur appuis simples avec charge concentrée P et charge répartie q.

Correction : Diagrammes d'Effort Tranchant et de Moment Fléchissant

Question 1 : Calcul des Réactions d'Appui

Principe :

On applique les équations de l'équilibre statique à la poutre entière pour déterminer les réactions aux appuis A (\(R_{Ax}\), \(R_{Ay}\)) et B (\(R_{By}\)). La charge répartie \(q\) sur une longueur de \(2 \, \text{m}\) (de \(x=2\) à \(x=4\)) peut être remplacée par une force résultante équivalente \(Q = q \cdot (4-2) = 10 \cdot 2 = 20 \, \text{kN}\), appliquée au milieu de cette charge répartie, c'est-à-dire à \(x = 2 + (4-2)/2 = 3 \, \text{m}\) de A.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sum F_x = 0\] \[\sum F_y = 0\] \[\sum M_A = 0\]
Données spécifiques :
  • \(P = 20 \, \text{kN}\) à \(x_1 = 1 \, \text{m}\)
  • \(q = 10 \, \text{kN/m}\) de \(x=2 \, \text{m}\) à \(x=4 \, \text{m}\). Force équivalente \(Q = 20 \, \text{kN}\) à \(x_Q = 3 \, \text{m}\).
  • Portée \(L = 4 \, \text{m}\)
Calcul :

Équilibre des forces horizontales :

\[ \begin{aligned} \sum F_x = 0 &\Rightarrow R_{Ax} = 0 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Équilibre des moments par rapport à A (sens anti-horaire positif) :

\[ \begin{aligned} \sum M_A = 0 &\Rightarrow -P \cdot x_1 - Q \cdot x_Q + R_{By} \cdot L = 0 \\ &\Rightarrow -(20 \, \text{kN} \cdot 1 \, \text{m}) - (20 \, \text{kN} \cdot 3 \, \text{m}) + R_{By} \cdot 4 \, \text{m} = 0 \\ &\Rightarrow -20 \, \text{kNm} - 60 \, \text{kNm} + 4 R_{By} = 0 \\ &\Rightarrow -80 \, \text{kNm} + 4 R_{By} = 0 \\ &\Rightarrow 4 R_{By} = 80 \, \text{kNm} \\ &\Rightarrow R_{By} = \frac{80}{4} \, \text{kN} = 20 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Équilibre des forces verticales :

\[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow R_{Ay} + R_{By} - P - Q = 0 \\ &\Rightarrow R_{Ay} + 20 \, \text{kN} - 20 \, \text{kN} - 20 \, \text{kN} = 0 \\ &\Rightarrow R_{Ay} - 20 \, \text{kN} = 0 \\ &\Rightarrow R_{Ay} = 20 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les réactions d'appui sont :
  • \(R_{Ax} = 0 \, \text{kN}\)
  • \(R_{Ay} = 20 \, \text{kN}\) (vers le haut)
  • \(R_{By} = 20 \, \text{kN}\) (vers le haut)

Question 2 : Expressions de \(V(x)\) et \(M(x)\)

Principe :

On effectue des coupes dans chaque tronçon de la poutre où le chargement ou les conditions changent. L'effort tranchant \(V(x)\) est la somme des forces verticales à gauche de la coupe. Le moment fléchissant \(M(x)\) est la somme des moments des forces à gauche de la coupe par rapport à la position de la coupe \(x\). Convention : \(V\) positif vers le haut (pour la résultante à gauche), \(M\) positif si flexion "souriante" (fibres inférieures tendues).

Calculs :

Tronçon 1 : \(0 \leq x < 1 \, \text{m}\)

\[V_1(x) = R_{Ay} = 20 \, \text{kN}\] \[M_1(x) = R_{Ay} \cdot x = 20x \, (\text{kNm})\]

Tronçon 2 : \(1 \leq x < 2 \, \text{m}\)

\[V_2(x) = R_{Ay} - P = 20 - 20 = 0 \, \text{kN}\] \[M_2(x) = R_{Ay} \cdot x - P \cdot (x-1) = 20x - 20(x-1) = 20x - 20x + 20 = 20 \, (\text{kNm})\]

Tronçon 3 : \(2 \leq x \leq 4 \, \text{m}\)

Force due à la charge répartie à gauche de \(x\): \(q \cdot (x-2) = 10(x-2)\). Son point d'application est à \((x-2)/2\) de la coupe \(x\), ou à \(2 + (x-2)/2 = (x+2)/2\) de A.

\[ \begin{aligned} V_3(x) &= R_{Ay} - P - q(x-2) \\ &= 20 - 20 - 10(x-2) \\ &= -10(x-2) = -10x + 20 \, (\text{kN}) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} M_3(x) &= R_{Ay} \cdot x - P \cdot (x-1) - q(x-2) \cdot \frac{(x-2)}{2} \\ &= 20x - 20(x-1) - \frac{10(x-2)^2}{2} \\ &= 20x - 20x + 20 - 5(x^2 - 4x + 4) \\ &= 20 - 5x^2 + 20x - 20 \\ &= -5x^2 + 20x \, (\text{kNm}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Expressions de \(V(x)\) et \(M(x)\) :
  • \(0 \leq x < 1\): \(V(x) = 20 \, \text{kN}\); \(M(x) = 20x \, \text{kNm}\)
  • \(1 \leq x < 2\): \(V(x) = 0 \, \text{kN}\); \(M(x) = 20 \, \text{kNm}\)
  • \(2 \leq x \leq 4\): \(V(x) = -10x + 20 \, \text{kN}\); \(M(x) = -5x^2 + 20x \, \text{kNm}\)

Question 3 : Diagrammes d'Effort Tranchant (DET) et de Moment Fléchissant (DMF)

Principe :

On trace les diagrammes en utilisant les expressions de \(V(x)\) et \(M(x)\) pour chaque tronçon. Pour \(V(x)\) : constant ou linéaire. Sauts aux charges ponctuelles. Pour \(M(x)\) : linéaire ou parabolique. Points de moment nul, maximums/minimums (où \(V(x)=0\)).

Valeurs aux points clés :

Effort Tranchant \(V(x)\) :

  • \(V(0^+) = 20 \, \text{kN}\)
  • \(V(1^-) = 20 \, \text{kN}\)
  • \(V(1^+) = 20 - 20 = 0 \, \text{kN}\)
  • \(V(2^-) = 0 \, \text{kN}\)
  • \(V(2^+) = -10(2) + 20 = 0 \, \text{kN}\) (continuité car q commence)
  • \(V(4^-) = -10(4) + 20 = -40 + 20 = -20 \, \text{kN}\)
  • \(V(4^+) = -20 + R_{By} = -20 + 20 = 0 \, \text{kN}\)

Moment Fléchissant \(M(x)\) :

  • \(M(0) = 0 \, \text{kNm}\)
  • \(M(1) = 20(1) = 20 \, \text{kNm}\)
  • \(M(2) = 20 \, \text{kNm}\) (valeur constante de \(x=1\) à \(x=2\))
  • Pour \(2 \leq x \leq 4\), \(M(x) = -5x^2 + 20x\).
    • \(M(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -20 + 40 = 20 \, \text{kNm}\)
    • \(M(3) = -5(3)^2 + 20(3) = -45 + 60 = 15 \, \text{kNm}\)
    • \(M(4) = -5(4)^2 + 20(4) = -80 + 80 = 0 \, \text{kNm}\)
  • Le moment est maximal où \(V(x)=0\). Sur \(2 \leq x \leq 4\), \(V(x) = -10x+20=0 \Rightarrow x=2\text{m}\). Donc le maximum local est à \(M(2)=20 \text{kNm}\). La valeur maximale globale est \(20 \text{kNm}\) sur le segment \(1 \leq x \leq 2\).
Diagrammes DET et DMF
Poutre et Charges Diagramme d'Effort Tranchant (DET) x V(kN) 0 +20 0 -20 Diagramme de Moment Fléchissant (DMF) x M(kNm) 0 +20 +20 +15 0
Résultat Question 3 : Les diagrammes DET et DMF sont tracés ci-dessus.

Question 4 : Valeurs Maximales de \(|V|_{\text{max}}\) et \(|M|_{\text{max}}\)

Principe :

On identifie les valeurs maximales en valeur absolue à partir des diagrammes ou des expressions calculées.

Analyse :

Pour l'effort tranchant : Les valeurs extrêmes sont \(+20 \, \text{kN}\) (entre \(x=0\) et \(x=1\)) et \(-20 \, \text{kN}\) (à \(x=4\), juste avant l'appui B).

Pour le moment fléchissant : La valeur maximale est de \(20 \, \text{kNm}\) et elle est constante entre \(x=1 \, \text{m}\) et \(x=2 \, \text{m}\).

Résultat Question 4 :
  • Effort tranchant maximal : \(|V|_{\text{max}} = 20 \, \text{kN}\)
  • Moment fléchissant maximal : \(|M|_{\text{max}} = 20 \, \text{kNm}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Si une poutre est soumise uniquement à des charges concentrées, le diagramme d'effort tranchant entre ces charges est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. La dérivée du moment fléchissant \(M(x)\) par rapport à \(x\) est égale à :

6. Un moment fléchissant maximal se produit généralement où :

7. Sous une charge uniformément répartie, le diagramme de moment fléchissant est :

Glossaire

Effort Tranchant (\(V\))
Somme algébrique des forces transversales (perpendiculaires à l'axe de la poutre) agissant à gauche (ou à droite) d'une section donnée.
Moment Fléchissant (\(M\))
Somme algébrique des moments des forces externes (et des couples) agissant à gauche (ou à droite) d'une section donnée, par rapport à cette section.
Diagramme d'Effort Tranchant (DET)
Représentation graphique de la variation de l'effort tranchant le long de la poutre.
Diagramme de Moment Fléchissant (DMF)
Représentation graphique de la variation du moment fléchissant le long de la poutre.
Charge Concentrée (ou Ponctuelle)
Force appliquée sur une surface très petite, considérée comme agissant en un point.
Charge Uniformément Répartie (q)
Charge d'intensité constante appliquée sur une certaine longueur de la poutre (ex: kN/m).
Poutre Simplement Appuyée
Poutre reposant sur un appui articulé (fixe) à une extrémité et un appui à rouleau (mobile horizontalement) à l'autre, permettant la rotation aux deux appuis.
Diagrammes d'Effort Tranchant et de Moment Fléchissant - Exercice d'Application
2 Commentaires
  1. Emers Ganz
    Emers Ganz sur 27 février 2024 à 23h36

    merci beaucoup, c’est une bonne expérience à suivre mme

    Réponse
  2. Nom *Camara Kadogodio
    Nom *Camara Kadogodio sur 28 février 2024 à 4h45

    J’ai aimé c’est super ça

    Réponse
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