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Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment

Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment en RdM

Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment Fléchissant

Contexte : Visualiser les efforts internes, le quotidien de l'ingénieur structure.

En Résistance des Matériaux (RdM), la capacité à déterminer et tracer les diagrammes d'Effort TranchantL'effort tranchant (T) en un point d'une poutre représente la somme des forces verticales agissant à gauche ou à droite de ce point. Il quantifie la tendance de la poutre à "cisailler" ou se couper verticalement. et de Moment FléchissantLe moment fléchissant (M) en un point représente la somme des moments des forces agissant sur un côté de ce point. Il mesure la tendance de la poutre à fléchir ou à se courber. Le dimensionnement d'une poutre dépend principalement du moment fléchissant maximal. est une compétence essentielle. Ces diagrammes sont une "carte" des efforts internes le long d'une poutre, permettant d'identifier les zones critiques où les contraintes sont maximales. Cet exercice vous guidera dans le calcul et le traçage de ces diagrammes pour un cas de charge courant, mélangeant charge répartie et charge ponctuelle.

Remarque Pédagogique : Cet exercice va au-delà d'une simple application de formules. Il vous apprend à "lire" une structure, à comprendre comment les charges se propagent et génèrent des efforts internes. Maîtriser cette méthode est la clé pour pouvoir ensuite dimensionner n'importe quel type de poutre en toute sécurité.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le Principe Fondamental de la Statique (PFS) pour calculer les réactions d'appuis.
  • Établir les équations de l'effort tranchant \(T(x)\) et du moment fléchissant \(M(x)\) par tronçons.
  • Tracer et interpréter le diagramme de l'effort tranchant.
  • Tracer et interpréter le diagramme du moment fléchissant.
  • Identifier les valeurs clés : effort tranchant max, moment fléchissant max, et leur position.

Données de l'étude

Une poutre sur deux appuis simples, de longueur \(L = 6 \, \text{m}\), est soumise à une charge uniformément répartie \(q\) sur toute sa longueur et à une charge ponctuelle \(F\) appliquée à \(x = 4 \, \text{m}\) de l'appui A. Les données sont les suivantes :

Schéma de la Poutre et de son Chargement
A B q F L = 6 m 4 m x z
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée totale de la poutre \(L\) 6 \(\text{m}\)
Charge uniformément répartie \(q\) 10 \(\text{kN/m}\)
Charge ponctuelle \(F\) 20 \(\text{kN}\)
Position de la charge F depuis A \(a\) 4 \(\text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui en A (\(R_{\text{A}}\)) et en B (\(R_{\text{B}}\)).
  2. Déterminer les équations de l'effort tranchant \(T(x)\) sur les tronçons [0, 4m] et [4m, 6m].
  3. Tracer le diagramme de l'effort tranchant, en indiquant les valeurs aux points clés.
  4. Déterminer les équations du moment fléchissant \(M(x)\), tracer son diagramme et calculer le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\).

Les bases de la Statique des Poutres

Avant de résoudre, rappelons les relations fondamentales entre charge, effort tranchant et moment fléchissant.

1. Principe Fondamental de la Statique (PFS) :
Pour qu'une structure soit à l'équilibre (immobile), la somme de toutes les forces extérieures qui lui sont appliquées doit être nulle, et la somme de tous les moments de ces forces par rapport à n'importe quel point doit également être nulle. \[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \quad \text{et} \quad \sum \mathcal{M}_{/\text{A}}(\vec{F}_{\text{ext}}) = \vec{0} \] C'est cet outil qui nous permet de trouver les réactions d'appuis inconnues.

2. Relations entre q, T et M :
Ces trois grandeurs sont liées par des relations de dérivation. En partant de la charge \(q(x)\) (orientée vers le bas) :

  • L'effort tranchant \(T(x)\) est tel que sa dérivée est l'opposé de la charge : \( \frac{\text{d}T}{\text{d}x} = -q(x) \). Autrement dit, le diagramme de T est la primitive de \(-q\).
  • Le moment fléchissant \(M(x)\) est tel que sa dérivée est l'effort tranchant : \( \frac{\text{d}M}{\text{d}x} = T(x) \). Autrement dit, le diagramme de M est la primitive de T.
Ces relations expliquent pourquoi une charge constante donne un effort tranchant linéaire et un moment fléchissant parabolique.

Correction : Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment Fléchissant

Question 1 : Calculer les réactions d'appui

Principe (le concept physique)

Les réactions d'appui sont les forces que les supports exercent sur la poutre pour la maintenir en équilibre sous l'effet des charges. Pour les trouver, on utilise le Principe Fondamental de la Statique (PFS), qui n'est autre que l'application des lois de Newton à un objet immobile : la somme des forces et des moments doit être nulle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul des réactions est la première étape de toute étude de structure. On isole le système (la poutre) et on représente toutes les actions extérieures : les charges connues (actives) et les réactions inconnues (passives). C'est ce qu'on appelle un Diagramme de Corps Libre (DCL). Les équations du PFS traduisent mathématiquement l'équilibre de ce diagramme.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez la poutre comme une balançoire à bascule (un "tape-cul"). Les appuis sont les pivots et les enfants sont les charges. Pour que la balançoire soit à l'équilibre, il faut que les forces vers le haut (réactions) compensent exactement les forces vers le bas (poids). De plus, pour qu'elle ne bascule pas, les moments (force × distance) de chaque côté doivent s'équilibrer. C'est exactement ce que nous faisons ici.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des sollicitations (efforts internes et réactions) à partir des actions est défini dans l'Eurocode 0 (EN 1990 - Bases de calcul des structures) et l'Eurocode 1 (EN 1991 - Actions sur les structures). Ces normes définissent les modèles de calcul et les combinaisons de charges à considérer.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On applique les deux équations d'équilibre pour un problème plan :

\[ \sum F_{z} = 0 \quad (\text{Somme des forces verticales nulle}) \]
\[ \sum M_{/\text{A}} = 0 \quad (\text{Somme des moments par rapport à un point (A) nulle}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

La poutre est considérée comme infiniment rigide pour ce calcul. Les appuis sont parfaits (rotule en A, appui simple en B). On définit un sens positif pour les forces (vers le haut) et les moments (sens anti-horaire).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie, \(q = 10 \, \text{kN/m}\)
  • Charge ponctuelle, \(F = 20 \, \text{kN}\)
  • Portée, \(L = 6 \, \text{m}\)
  • Position de F, \(a = 4 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour l'équation des moments, choisissez toujours le point où il y a le plus de forces inconnues (ici, A ou B). Cela annule le moment de l'une des réactions et donne directement la valeur de l'autre. Une fois une réaction trouvée, l'équation des forces donne la seconde très rapidement. C'est une méthode systématique et efficace.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Corps Libre de la Poutre
R_AR_BF=20kNQ = qL = 60kNL/2=3m
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Somme des moments par rapport à A :

\[ \sum M_{/\text{A}} = 0 \Rightarrow R_{\text{B}} \cdot L - F \cdot a - (q \cdot L) \cdot \frac{L}{2} = 0 \]
\[ \begin{aligned} R_{\text{B}} \cdot 6 - 20 \cdot 4 - (10 \cdot 6) \cdot \frac{6}{2} &= 0 \\ 6 R_{\text{B}} - 80 - 180 &= 0 \\ 6 R_{\text{B}} &= 260 \\ R_{\text{B}} &= \frac{260}{6} \\ R_{\text{B}} &\approx 43.33 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Somme des forces verticales :

\[ \sum F_{z} = 0 \Rightarrow R_{\text{A}} + R_{\text{B}} - F - q \cdot L = 0 \]
\[ \begin{aligned} R_{\text{A}} + 43.33 - 20 - (10 \cdot 6) &= 0 \\ R_{\text{A}} + 43.33 - 20 - 60 &= 0 \\ R_{\text{A}} &= 80 - 43.33 \\ R_{\text{A}} &= 36.67 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Poutre avec Réactions Calculées
36.67 kN43.33 kN20kN10 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La somme des réactions (36.67 + 43.33 = 80 kN) est bien égale à la somme des charges appliquées (10 kN/m * 6 m + 20 kN = 60 + 20 = 80 kN). Cette vérification simple confirme que notre calcul est très probablement correct. On note que l'appui B, plus proche de la charge ponctuelle F, reprend une part plus importante de la charge totale, ce qui est logique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de se tromper dans les signes des moments (horaire vs anti-horaire) ou d'oublier le bras de levier pour la charge répartie. Rappelez-vous que la force équivalente d'une charge répartie s'applique à son centre de gravité (ici, au milieu de la poutre).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Isoler le système (Diagramme de Corps Libre).
  • Appliquer \(\sum M_{/\text{A}} = 0\) pour trouver une réaction.
  • Appliquer \(\sum F_{z} = 0\) pour trouver la seconde.
  • Toujours vérifier que la somme des réactions égale la somme des charges.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de la statique, formalisé par Archimède dans l'Antiquité avec ses études sur les leviers, est l'un des plus anciens principes de la physique et de l'ingénierie. Il reste la base absolue de la conception de toutes les structures statiques, des cathédrales gothiques aux gratte-ciels modernes.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si l'appui A était un encastrement ?

Un encastrement empêcherait la rotation et générerait une troisième réaction inconnue : un moment d'encastrement (\(M_{\text{A}}\)). La poutre serait alors "hyperstatique" (plus d'inconnues que d'équations de la statique), et il faudrait des méthodes plus avancées (comme l'étude de la déformée) pour résoudre le problème.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les réactions d'appui sont \(R_{\text{A}} = 36.67 \, \text{kN}\) et \(R_{\text{B}} = 43.33 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge F était nulle, que vaudrait la réaction \(R_{\text{A}}\) en kN ?

Question 2 : Équations de l'Effort Tranchant T(x)

Principe (le concept physique)

L'effort tranchant en un point \(x\) est la somme de toutes les forces verticales à gauche de ce point. On effectue une "coupe" virtuelle dans la poutre à une distance \(x\) de l'origine et on regarde les forces qui s'appliquent sur la partie gauche. L'effort tranchant est l'effort que la partie droite doit exercer sur la partie gauche pour maintenir l'équilibre vertical. Comme le chargement change à \(x=4\,\text{m}\), on doit définir deux équations distinctes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode des coupures est systématique. On divise la poutre en tronçons entre chaque point où le chargement change (début/fin de la poutre, appuis, forces ponctuelles, début/fin de charges réparties). Pour chaque tronçon, on écrit l'équation d'équilibre de la partie gauche, faisant apparaître l'effort tranchant \(T(x)\) et le moment fléchissant \(M(x)\) au niveau de la coupure.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à l'effort tranchant comme à un "compteur de forces". Vous partez de zéro, et à chaque fois que vous avancez le long de la poutre, vous ajoutez ou soustrayez les forces que vous rencontrez. La réaction \(R_{\text{A}}\) vous fait "monter" d'un coup, la charge \(q\) vous fait "descendre" progressivement, et la force \(F\) vous fait "tomber" d'un coup.

Normes (la référence réglementaire)

Les conventions de signe pour les efforts internes sont cruciales. Les Eurocodes définissent des conventions claires pour s'assurer que tous les ingénieurs parlent le même langage. Typiquement, un effort tranchant est positif s'il tend à faire tourner un élément infinitésimal dans le sens horaire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'effort tranchant \(T(x)\) est défini par \( T(x) = \sum F_{z, \text{gauche}} \). On intègre aussi la relation \( \frac{\text{d}T}{\text{d}x} = -q(x) \).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la convention de signe où les forces vers le haut sont positives et celles vers le bas sont négatives. L'effort tranchant à la coupure est considéré positif s'il est dirigé vers le bas sur la face droite de la coupe.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Réaction d'appui \(R_{\text{A}} = 36.67 \, \text{kN}\)
  • Charge répartie, \(q = 10 \, \text{kN/m}\)
  • Charge ponctuelle, \(F = 20 \, \text{kN}\) à \(x=4\,\text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour trouver la fonction \(T(x)\), on peut simplement intégrer \(-q\). Ici, \(q=10\) est constant, donc \(T(x) = -10x + C\). En \(x=0\), on sait que \(T(0)=R_{\text{A}}\), donc \(C = R_{\text{A}} = 36.67\). On retrouve bien \(T(x) = 36.67 - 10x\) pour le premier tronçon. C'est souvent plus rapide que de refaire le DCL de la partie gauche.

Calcul(s) (l'application numérique)

Tronçon 1 : \(0 \le x \le 4 \, \text{m}\)

Coupure sur le Tronçon 1 (0 < x < 4m)
R_AT(x)M(x)qx
\[ T(x) = R_{\text{A}} - q \cdot x \]
\[ T(x) = 36.67 - 10x \]

Aux extrémités du tronçon :
\(T(0) = 36.67 \, \text{kN}\)

\[ \begin{aligned} T(4) &= 36.67 - 10 \cdot 4 \\ &= 36.67 - 40 \\ &= -3.33 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Tronçon 2 : \(4 < x \le 6 \, \text{m}\)

Coupure sur le Tronçon 2 (4 < x < 6m)
R_AT(x)M(x)qFx4m
\[ \begin{aligned} T(x) &= R_{\text{A}} - q \cdot x - F \\ &= 36.67 - 10x - 20 \\ &= 16.67 - 10x \end{aligned} \]

Aux extrémités du tronçon :

\[ \begin{aligned} T(4^+) &= 16.67 - 10 \cdot 4 \\ &= 16.67 - 40 \\ &= -23.33 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} T(6) &= 16.67 - 10 \cdot 6 \\ &= 16.67 - 60 \\ &= -43.33 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On observe une discontinuité (un "saut") de \(-3.33 - (-23.33) = 20\) kN dans le diagramme de l'effort tranchant à \(x=4\,\text{m}\), ce qui correspond exactement à la valeur de la charge ponctuelle F dirigée vers le bas. C'est une vérification importante. On note aussi que l'effort tranchant s'annule sur le premier tronçon, ce qui indique l'emplacement du futur moment maximal.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de prendre en compte toutes les forces à gauche de la coupe. Pour le deuxième tronçon, il faut inclure \(R_{\text{A}}\), la totalité de la charge répartie jusqu'à \(x\), ET la force ponctuelle F.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Découper la poutre en tronçons à chaque changement de charge.
  • Pour chaque tronçon, écrire \(T(x) = \sum F_{\text{z, gauche}}\).
  • Une charge répartie \(q\) crée un terme en \(-qx\).
  • Une force ponctuelle \(F\) crée un saut dans le diagramme, mais n'apparaît dans l'équation qu'APRES son point d'application.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres en béton précontraint, on introduit volontairement des efforts internes (via des câbles tendus) qui s'opposent à ceux créés par les charges. Cela permet de créer des compressions internes qui annulent les tractions dues à la flexion, que le béton supporte mal. Le diagramme des efforts finaux est ainsi optimisé.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi deux équations différentes et pas une seule ?

Parce que la fonction qui décrit le chargement n'est pas continue. La présence de la force ponctuelle F en \(x=4\,\text{m}\) crée une discontinuité. Mathématiquement, on ne peut pas décrire cette situation avec une seule équation simple. Il faut donc une équation pour "avant F" et une autre pour "après F".

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les équations de l'effort tranchant sont :
Pour \(0 \le x \le 4 \, \text{m}\) : \(T(x) = 36.67 - 10x \, \text{kN}\)
Pour \(4 < x \le 6 \, \text{m}\) : \(T(x) = 16.67 - 10x \, \text{kN}\)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la valeur de l'effort tranchant à \(x=2\,\text{m}\) ?

Question 3 : Diagramme de l'Effort Tranchant

Principe (le concept physique)

Le diagramme de l'effort tranchant est la représentation graphique de la fonction \(T(x)\) le long de la poutre. Il permet de visualiser immédiatement où les efforts de cisaillement sont les plus importants et où ils changent de signe. La pente du diagramme en un point est égale à l'opposé de la valeur de la charge répartie en ce point.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme de T(x) est essentiel car il est le "guide" pour tracer celui de M(x). Les propriétés graphiques sont clés : une charge répartie constante \(q\) donne une pente constante \(-q\) au diagramme de T (une droite). Une force ponctuelle F vers le bas provoque un "saut" de \(-F\) dans le diagramme. Le point où T(x) coupe l'axe des abscisses (\(T(x)=0\)) est l'endroit où M(x) aura une tangente horizontale, et donc un extremum.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Tracer ce diagramme, c'est comme raconter une histoire. On commence à gauche avec la valeur de \(R_{\text{A}}\). Ensuite, on "descend" en ligne droite à cause de la charge \(q\). Arrivé à la force \(F\), on "tombe" d'un coup. Puis on continue de descendre en ligne droite jusqu'à la fin, où l'on doit "atterrir" pile sur la valeur de \(-R_{\text{B}}\). Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur quelque part !

Normes (la référence réglementaire)

La vérification au cisaillement (effort tranchant) est une étape obligatoire du dimensionnement des poutres, notamment dans l'Eurocode 3 pour l'acier et l'Eurocode 2 pour le béton. Le diagramme permet d'identifier la valeur maximale \(T_{max}\) à comparer à la résistance au cisaillement de la section.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise les équations trouvées à la question précédente et on calcule les valeurs aux points importants (début, fin, avant et après F, et là où T=0).

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les axes sont orientés classiquement : x horizontal vers la droite, T positif vers le haut.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(T(0) = +36.67 \, \text{kN}\)
  • \(T(4^-) = -3.33 \, \text{kN}\)
  • \(T(4^+) = -23.33 \, \text{kN}\)
  • \(T(6) = -43.33 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pas besoin de calculer des dizaines de points. Pour un tronçon à charge répartie constante, il suffit de connaître les valeurs au début et à la fin : le diagramme de T est simplement la droite qui relie ces deux points. Le seul point intermédiaire important est celui où T=0.

Schéma (Avant les calculs)
Canevas pour le Diagramme de T(x)
x (m)064
Calcul(s) (l'application numérique)

On cherche le point où l'effort tranchant s'annule sur le premier tronçon :

\[ \begin{aligned} T(x) = 0 &\Rightarrow 36.67 - 10x = 0 \\ &\Rightarrow 10x = 36.67 \\ &\Rightarrow x = \frac{36.67}{10} \\ &\Rightarrow x = 3.67 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)
Poutre et Charges 36.67 43.33 Diagramme de l'Effort Tranchant (kN) +36.67 -3.33 -23.33 -43.33 x=3.67m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme montre que l'effort de cisaillement est maximal (en valeur absolue) à l'appui B, avec une valeur de -43.33 kN. Le point où T=0 est crucial, car c'est à cet endroit précis que le moment fléchissant atteindra sa valeur maximale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Vérifiez toujours que les valeurs aux extrémités du diagramme correspondent bien aux réactions (\(T(0)=R_A\)) et (\(T(L)=-R_B\)). Assurez-vous également que le "saut" au niveau d'une force ponctuelle a bien la même valeur que cette force.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le diagramme de T est linéaire sous une charge répartie constante.
  • Sa pente est égale à \(-q\).
  • Une force ponctuelle \(F\) crée un saut vertical de valeur \(-F\).
  • Le point où \(T(x)=0\) est l'abscisse du moment maximal.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans la conception des poutres en I, c'est l'âme (la partie verticale) qui reprend la quasi-totalité de l'effort tranchant. Les semelles (parties horizontales) travaillent très peu au cisaillement. C'est un exemple parfait d'optimisation de la forme d'une section pour chaque type d'effort.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passerait-il si la charge répartie n'était pas constante (ex: triangulaire) ?

Si la charge \(q(x)\) était linéaire (triangulaire), sa primitive \(-T(x)\) serait une parabole. Le diagramme de l'effort tranchant ne serait donc plus une droite, mais une courbe du second degré.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le diagramme de l'effort tranchant est tracé, avec des valeurs clés de +36.67 kN en A, -23.33 kN juste après la force F, et -43.33 kN en B. Il s'annule à x=3.67 m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la pente du diagramme de T(x) si \(q\) valait 20 kN/m ?

Question 4 : Diagramme du Moment Fléchissant

Principe (le concept physique)

Le moment fléchissant en \(x\) est l'intégrale de l'effort tranchant \(T(x)\). Graphiquement, la valeur du moment en un point est l'aire sous le diagramme de l'effort tranchant jusqu'à ce point. Sa pente est égale à la valeur de l'effort tranchant. Là où T est linéaire, M est parabolique. Là où T est constant, M est linéaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Puisque \(\frac{\text{d}M}{\text{d}x} = T(x)\), on peut dire que \(\Delta M = M_B - M_A = \int_A^B T(x)dx\). La variation de moment entre deux points est égale à l'aire géométrique du diagramme de l'effort tranchant entre ces deux points. C'est une méthode graphique très puissante pour tracer M(x) une fois que T(x) est connu, sans passer par l'intégration formelle.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le diagramme de M est l'aboutissement de notre étude. Il nous donne la "photo" de la flexion dans la poutre. Le point le plus haut de cette courbe est le point critique, celui qui subit le plus la flexion et où les contraintes de traction et de compression seront maximales. C'est ce point qui dictera le dimensionnement de la poutre.

Normes (la référence réglementaire)

Le moment fléchissant de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)) est la valeur clé utilisée dans les formules de vérification de la résistance en flexion des Eurocodes. On doit s'assurer que pour la section la plus sollicitée, la résistance en flexion (\(M_{\text{Rd}}\)) est supérieure ou égale au moment de calcul (\(M_{\text{Ed}} \le M_{\text{Rd}}\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On intègre les équations de T(x) sur chaque tronçon en utilisant la relation \( M(x) = \int T(x) \text{d}x \).

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les moments aux appuis simples sont nuls (\(M(0)=0\) et \(M(6)=0\)). La fonction M(x) doit être continue le long de la poutre, même au point d'application d'une force ponctuelle (contrairement à T(x)).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Équations de T(x) des questions précédentes.
  • Point d'annulation de T : \(x = 3.67 \, \text{m}\).
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour trouver le moment maximal, calculez l'aire du triangle positif du diagramme de T : \( \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times 3.67 \, \text{m} \times 36.67 \, \text{kN} = 67.24 \, \text{kN} \cdot \text{m}\). C'est beaucoup plus rapide que de poser et résoudre l'intégrale !

Calcul(s) (l'application numérique)

Tronçon 1 : \(0 \le x \le 4 \, \text{m}\)

Coupure sur le Tronçon 1 (0 < x < 4m)
R_AT(x)M(x)qx
\[ \begin{aligned} M(x) &= \int T(x)\text{d}x \\ &= \int (36.67 - 10x)\text{d}x \\ &= 36.67x - 5x^2 + C_1 \end{aligned} \]

Condition à la limite : \(M(0) = 0 \Rightarrow C_1 = 0\).

\[ M(x) = 36.67x - 5x^2 \]

Moment Maximal (à \(x=3.67 \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} = M(3.67) &= 36.67(3.67) - 5(3.67)^2 \\ &= 134.58 - 5(13.47) \\ &= 134.58 - 67.34 \\ &= 67.24 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Moment à la fin du tronçon :

\[ \begin{aligned} M(4) &= 36.67(4) - 5(4)^2 \\ &= 146.68 - 5(16) \\ &= 146.68 - 80 \\ &= 66.68 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Tronçon 2 : \(4 < x \le 6 \, \text{m}\)

Coupure sur le Tronçon 2 (4 < x < 6m)
R_AT(x)M(x)qFx4m
\[ \begin{aligned} M(x) &= \int (16.67 - 10x)\text{d}x \\ &= 16.67x - 5x^2 + C_2 \end{aligned} \]

Condition de continuité :

\[ \begin{aligned} M(4) = 66.68 \, \text{kN} \cdot \text{m} &\Rightarrow 16.67(4) - 5(4)^2 + C_2 = 66.68 \\ &\Rightarrow 66.68 - 80 + C_2 = 66.68 \\ &\Rightarrow -13.32 + C_2 = 66.68 \\ &\Rightarrow C_2 = 80 \end{aligned} \]
\[ M(x) = 16.67x - 5x^2 + 80 \]

Vérification à la fin :

\[ \begin{aligned} M(6) &= 16.67(6) - 5(6)^2 + 80 \\ &= 100.02 - 5(36) + 80 \\ &= 100.02 - 180 + 80 \\ &\approx 0 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (DMF)
Poutre et Charges Diagramme du Moment Fléchissant (kNm) M_max = 67.24 66.68 0 0
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme du moment est une parabole "triste" (tournée vers le bas) car la charge est vers le bas. Le sommet de cette parabole, qui est le moment maximal, se trouve bien à l'abscisse où l'effort tranchant s'annule. C'est la valeur de 67.24 kNm qui sera utilisée pour dimensionner la section de la poutre (choisir sa hauteur, sa largeur et son matériau).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est de mal calculer la constante d'intégration. N'oubliez jamais que \(M(0)=0\) pour un appui simple, et que le moment doit être continu aux jonctions entre tronçons. Une autre erreur est de tracer une parabole même quand T est constant (ce qui devrait donner une droite pour M).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le diagramme de M est la primitive de T.
  • Le moment est maximal lorsque \(T=0\).
  • Le moment est nul sur un appui simple.
  • La forme du diagramme de M (parabolique, linéaire) dépend de la forme du diagramme de T.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les ponts cantilever (en porte-à-faux), comme le célèbre pont du Forth en Écosse, les moments fléchissants sont négatifs au-dessus des piles et positifs au milieu des travées. La forme de la structure suit ce diagramme de moment : la hauteur des poutres est maximale là où le moment est maximal (sur les piles) et minimale là où il est faible.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce qu'un moment négatif ?

Un moment positif (comme dans notre cas) signifie que la poutre se courbe avec la "bouche qui sourit" (fibres inférieures tendues). Un moment négatif signifie qu'elle se courbe avec la "bouche qui fait la tête" (fibres supérieures tendues). C'est typique des sections en porte-à-faux ou des poutres continues sur plusieurs appuis.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant maximal est de \(M_{\text{max}} = 67.24 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) et il est situé à \(x = 3.67 \, \text{m}\) de l'appui A.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour une poutre sur appuis simples avec uniquement une charge répartie q, où se situe le moment maximal ? (donner la position en fonction de L)

Récapitulatif des Diagrammes

La vue d'ensemble ci-dessous montre la relation directe entre le chargement de la poutre et les diagrammes d'efforts internes. Observez comment chaque événement sur la poutre (appui, charge) a une conséquence directe sur les diagrammes T et M situés juste en dessous.

Vue d'Ensemble : Poutre, DET et DMF
Poutre et Charges R_A R_B F q Effort Tranchant T(x) [kN] +36.7 -3.3 -23.3 -43.3 Moment Fléchissant M(x) [kNm] M_max = 67.24

Outil Interactif : Paramètres de Chargement

Modifiez les charges pour voir leur influence sur les diagrammes et les valeurs maximales.

Paramètres d'Entrée
10 kN/m
20 kN
Résultats Clés
Réaction R_A (kN) -
Réaction R_B (kN) -
Moment Maximal (kNm) -

Le Saviez-Vous ?

La relation entre le moment fléchissant et la courbure d'une poutre est au cœur de la théorie des poutres, développée initialement par des savants comme Galilée, mais formalisée par Jacob Bernoulli et surtout Leonhard Euler au 18ème siècle. La fameuse équation \(EI \frac{d^2v}{dx^2} = M(x)\) est encore aujourd'hui la pierre angulaire du calcul de la déformée des structures.

Foire Aux Questions (FAQ)

À quoi servent concrètement ces diagrammes ?

Ils sont utilisés pour deux choses principales. Premièrement, identifier le moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\)) pour calculer la contrainte maximale dans la poutre et vérifier qu'elle ne casse pas (critère de résistance). Deuxièmement, l'équation du moment fléchissant \(M(x)\) est le point de départ pour calculer la déformée (la flèche) de la poutre et vérifier qu'elle n'est pas trop souple (critère de rigidité).

Pourquoi le moment est-il maximal quand l'effort tranchant est nul ?

C'est une propriété mathématique fondamentale. Puisque \(M(x)\) est la primitive de \(T(x)\) (ou \(\frac{\text{d}M}{\text{d}x} = T(x)\)), la dérivée du moment s'annule lorsque l'effort tranchant est nul. En analyse, un point où la dérivée d'une fonction s'annule correspond à un extremum (maximum ou minimum) local. En flexion de poutre, ce sera toujours un maximum.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Sur une poutre soumise uniquement à une charge uniformément répartie, le diagramme de l'effort tranchant est...

2. Un "saut" vertical dans le diagramme de l'effort tranchant correspond toujours à...

Effort Tranchant (T)
Effort interne à une poutre qui tend à faire glisser verticalement une section par rapport à une autre. Unité : Newton (N) ou ses multiples (kN).
Moment Fléchissant (M)
Effort interne qui tend à faire tourner une section de la poutre, provoquant sa courbure. Unité : Newton-mètre (N·m) ou ses multiples (kN·m).
Charge Répartie (q)
Force distribuée sur une longueur de la poutre, comme le poids propre ou la pression de la neige. Unité : N/m ou kN/m.
Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment Fléchissant

D’autres exercices de Rdm:

2 Commentaires
  1. Emers Ganz
    Emers Ganz sur 27 février 2024 à 23h36

    merci beaucoup, c’est une bonne expérience à suivre mme

    Réponse
  2. Nom *Camara Kadogodio
    Nom *Camara Kadogodio sur 28 février 2024 à 4h45

    J’ai aimé c’est super ça

    Réponse
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