Contrainte de Compression dans un Pilier

Analyse d'un Pilier en Compression Simple en RdM

Contrainte de Compression dans un Pilier

Contexte : Les fondations de la stabilité.

Si les poutres gèrent la flexion, les piliers (ou poteaux) sont les spécialistes de la compression. Leur rôle est de transmettre des charges verticales importantes (comme le poids d'un bâtiment) vers les fondations. Le calcul de la contrainteMesure de la force interne par unité de surface à l'intérieur d'un matériau. En compression, c'est la force qui 'écrase' la matière. Elle se mesure en Pascals (Pa) ou MégaPascals (MPa). de compression est l'une des vérifications les plus fondamentales en génie civil pour s'assurer qu'un pilier ne s'écrase pas sous la charge qu'il supporte.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une introduction au dimensionnement en compression simple. Nous allons appliquer une force, calculer la pression interne (la contrainte) qu'elle génère, et la comparer à ce que le matériau peut supporter. C'est le même principe que de vérifier si une corde casse sous une charge de traction, mais ici, on vérifie si le pilier s'écrase.

Objectifs Pédagogiques

Calculer l'aire de la section transversale d'un pilier.
Déterminer la contrainte normale de compression sous une charge axiale.
Appliquer la loi de Hooke pour trouver la déformation unitaire (raccourcissement relatif).
Calculer le raccourcissement total d'un pilier.
Vérifier la sécurité de l'élément en comparant la contrainte de service à la résistance du matériau.

Données de l'étude

On étudie un pilier carré en béton armé de 3.5 mètres de haut. Sa section transversale mesure 40 cm de côté. Il est soumis à une charge axiale centrée \(N = 1800 \, \text{kN}\). Le béton utilisé a un module d'élasticité (Module de Young) \(E = 30 \, \text{GPa}\) et une résistance caractéristique à la compression \(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\).

Schéma du pilier et de la charge

Questions à traiter

Calculer l'aire \(A\) de la section transversale du pilier en m².
Calculer la contrainte normale de compression \(\sigma\) dans le pilier en MPa.
Calculer la déformation unitaire (ou relative) \(\epsilon\).
En déduire le raccourcissement total \(\Delta L\) du pilier en mm.

Les bases de la Résistance des Matériaux

Avant de plonger dans la correction, revoyons les concepts clés de la compression.

1. Contrainte Normale (\(\sigma\)) :
La contrainte est une mesure de la "pression" interne dans le matériau. Elle est définie comme la force appliquée (N) divisée par l'aire (A) sur laquelle elle s'applique. C'est la notion la plus importante pour vérifier la résistance.
Formule : \(\sigma = N / A\)

2. Déformation Unitaire (\(\epsilon\)) :
Lorsqu'on comprime un objet, il se raccourcit. La déformation unitaire (sans dimension) représente ce raccourcissement relatif. C'est le changement de longueur (\(\Delta L\)) divisé par la longueur initiale (\(L_0\)).
Formule : \(\epsilon = \Delta L / L_0\)

3. Loi de Hooke & Module de Young (E) :
Pour beaucoup de matériaux (dans leur domaine élastique), la contrainte est directement proportionnelle à la déformation. Le coefficient de proportionnalité est le Module de Young (E), une mesure de la rigidité du matériau. Un E élevé signifie que le matériau est très rigide et se déforme peu.
Formule : \(\sigma = E \cdot \epsilon\)

Correction : Contrainte de Compression dans un Pilier

Question 1 : Calculer l'aire de la section

Principe (le concept physique)

L'aire de la section transversale est la surface sur laquelle la force de compression se répartit. Plus cette surface est grande, plus la force est "diluée", et donc plus la contrainte interne est faible. Pour une section carrée, le calcul est simplement côté fois côté.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La section transversale, aussi appelée section droite, est la coupe imaginaire que l'on fait perpendiculairement à l'axe principal de l'élément. Sa forme (carrée, circulaire, en I, etc.) et ses dimensions déterminent non seulement son aire, mais aussi d'autres propriétés géométriques cruciales comme le moment d'inertie, qui est fondamental pour l'étude de la flexion et du flambement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Prenez toujours le temps de visualiser la géométrie du problème. Un petit croquis de la section avec ses cotes peut sembler trivial, mais il évite de nombreuses erreurs d'inattention, surtout avec des formes plus complexes. La géométrie est le support physique de la résistance des matériaux.

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un carré de 40 cm, pensez "4 x 4 = 16". Comme on est en "déci-mètres", on a \(4 \, \text{dm} \times 4 \, \text{dm} = 16 \, \text{dm}^2\). Sachant qu'il y a 100 dm² dans 1 m², on obtient \(16/100 = 0.16 \, \text{m}^2\). Parfois, raisonner avec des unités intermédiaires peut accélérer le calcul mental.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2 (norme européenne pour le calcul des structures en béton) définit précisément comment calculer les propriétés géométriques des sections. Pour une section brute en béton comme ici, le calcul est simple. Cependant, pour des calculs plus poussés (à l'état limite ultime), la norme peut exiger de ne considérer que la section de béton comprimé, en déduisant les zones tendues fissurées.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section du pilier est parfaitement carrée et homogène. On néglige la présence des armatures en acier dans ce premier calcul d'aire brute (on parle d'aire de la section de béton seul).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section carrée de côté \(c\):

A = c \times c = c^2

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Côté du pilier, \(c = 40 \, \text{cm}\)

Schéma (Avant les calculs)

Section transversale du pilier

Calcul(s) (l'application numérique)

1. On convertit le côté en mètres :

c = 40 \, \text{cm} = 0.40 \, \text{m}

2. On applique la formule de l'aire :

\begin{aligned} A &= (0.40 \, \text{m})^2 \\ &= 0.16 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Section avec aire calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une aire de 0.16 m² peut sembler petite, mais c'est la surface sur laquelle une force équivalente au poids de plus de 180 tonnes (1800 kN) va se répartir. Comprendre cette relation entre la force et la surface est la clé de la notion de contrainte.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La première étape de tout calcul de contrainte est de déterminer l'aire de la section droite. Une erreur sur l'aire se propage à tous les calculs suivants. La conversion des unités (cm en m) est une source d'erreur fréquente et doit être systématique.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Pourquoi commencer par l'aire ? Car la contrainte, qui est le véritable indicateur de la sollicitation du matériau, est définie comme une force par unité de surface (\(\sigma = N/A\)). Sans connaître la surface \(A\), il est impossible de savoir si la force \(N\) est "trop grande" ou non pour le pilier. C'est donc le point de départ incontournable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'ennemi n°1 : les unités ! L'énoncé donne le côté en centimètres (cm), mais les calculs de résistance des matériaux se font quasi-exclusivement avec les unités du Système International (mètres, Newtons, Pascals). La première étape, avant tout calcul, doit toujours être de convertir toutes les données dans les bonnes unités. \(40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}\). Une erreur fréquente est d'oublier de mettre au carré la conversion : \((40 \text{ cm})^2 = 1600 \text{ cm}^2\), mais \((0.4 \text{ m})^2 = 0.16 \text{ m}^2\), et non 0.4 m² !

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'aire de la section transversale du pilier est \(A = 0.16 \, \text{m}^2\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait l'aire en m² d'un pilier circulaire de 40 cm de diamètre ?

Question 2 : Calculer la contrainte normale \(\sigma\)

Principe (le concept physique)

La contrainte normale (\(\sigma\)) est la force interne par unité de surface. Elle nous dit à quel point la matière est "sollicitée" à l'intérieur du pilier. On la calcule en divisant la force totale appliquée par l'aire sur laquelle elle se répartit, que nous venons de calculer.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette contrainte est dite "normale" car la force est perpendiculaire (normale) à la surface de la section. On la suppose uniforme sur toute la section car la charge est "centrée". Si la charge était excentrée, elle créerait en plus un moment de flexion, et la contrainte ne serait plus uniforme : une partie du pilier serait plus comprimée que l'autre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La contrainte est un concept, on ne la mesure pas directement. Ce que l'on mesure, c'est la force (avec un dynamomètre) et les dimensions (avec un mètre). La contrainte est la grandeur intellectuelle qui permet à l'ingénieur de comparer la sollicitation d'une petite pièce et d'une grosse structure, et de les rapporter à une propriété intrinsèque du matériau : sa résistance.

Astuces (Pour aller plus vite)

MPa et N/mm² : Retenez cette équivalence magique : \(1 \, \text{MPa} = 1 \, \text{N/mm}^2\). Si vous convertissez la force en Newtons (1 800 000 N) et l'aire en mm² (\(400 \times 400 = 160 000 \, \text{mm}^2\)), le calcul \(1800000 / 160000\) donne directement 11.25, la réponse en MPa. C'est une méthode très rapide et moins sujette aux erreurs de puissances de 10.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2 utilise le concept de "valeur de calcul" des charges et des résistances. La charge de 1800 kN est une charge de service (dite caractéristique). Pour un calcul à l'état limite ultime, on la multiplierait par un coefficient de sécurité (ex: 1.35), et on diviserait la résistance du matériau par un autre coefficient (ex: 1.5). Notre calcul ici correspond à une vérification à l'état de service (ELS).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la force N est appliquée parfaitement au centre de gravité de la section, ce qui induit une compression pure, sans flexion. On suppose également que la contrainte se répartit de manière uniforme sur toute l'aire de la section.

Formule(s) (l'outil mathématique)

\sigma = \frac{N}{A}

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Force axiale, \(N = 1800 \, \text{kN}\)
Aire de la section, \(A = 0.16 \, \text{m}^2\) (calculée précédemment)

Schéma (Avant les calculs)

Répartition de la force sur l'aire

Calcul(s) (l'application numérique)

1. On convertit la force en Newtons :

N = 1800 \, \text{kN} = 1\,800\,000 \, \text{N}

2. On applique la formule de la contrainte en Pascals :

\begin{aligned} \sigma &= \frac{1\,800\,000 \, \text{N}}{0.16 \, \text{m}^2} \\ &= 11\,250\,000 \, \text{Pa} \end{aligned}

3. On convertit le résultat en MégaPascals (MPa) :

\begin{aligned} \sigma &= \frac{11\,250\,000}{10^6} \, \text{MPa} \\ &= 11.25 \, \text{MPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Distribution de la contrainte

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte dans le béton est de 11.25 MPa. Est-ce beaucoup ? Pour le savoir, il faut la comparer à la résistance du matériau, qui est de 25 MPa. Comme \(11.25 < 25\), le pilier semble, à première vue, résister. Les calculs de sécurité en génie civil ajoutent ensuite des coefficients pour prendre des marges, mais notre calcul de base est la première étape essentielle.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La contrainte \(\sigma\) est la force \(N\) divisée par l'aire \(A\). Elle s'exprime en Pascals (Pa) ou plus couramment en MégaPascals (MPa). C'est la valeur clé à comparer à la résistance du matériau pour juger de la sécurité de l'élément.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Calculer la contrainte permet de s'abstraire des dimensions de l'objet. Une force de 10 N peut être énorme pour un fil de couture mais négligeable pour un pilier de pont. En ramenant la force à une unité de surface, la contrainte devient une valeur comparable d'une situation à l'autre, et surtout, comparable à une propriété intrinsèque du matériau : sa limite de résistance, elle aussi exprimée en MPa.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La contrainte normale de compression dans le pilier est \(\sigma = 11.25 \, \text{MPa}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le pilier était circulaire (diamètre 40cm) et soumis à la même force, la contrainte serait-elle plus grande ou plus petite ? Calculez sa valeur en MPa.

Question 3 : Calculer la déformation unitaire \(\epsilon\)

Principe (le concept physique)

Sous l'effet de la contrainte de compression, le pilier se "tasse" légèrement. La déformation unitaire \(\epsilon\) quantifie ce tassement de manière relative, indépendamment de la hauteur du pilier. On la trouve grâce à la loi de Hooke, qui lie la contrainte \(\sigma\), la déformation \(\epsilon\) et la rigidité du matériau \(E\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La loi de Hooke (\(\sigma = E \cdot \epsilon\)) décrit le comportement "élastique" linéaire d'un matériau. Cela signifie que tant qu'on ne dépasse pas une certaine limite (la limite d'élasticité), la déformation est proportionnelle à la contrainte, et le matériau reprend sa forme initiale si on enlève la charge. Le béton a un comportement plus complexe, mais pour des niveaux de charge de service, cette loi linéaire est une approximation très utilisée et efficace.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Cohérence des unités pour le Module de Young : Le module de Young est donné en GigaPascals (GPa). Il est impératif de le convertir en Pascals (Pa) pour qu'il soit cohérent avec la contrainte que nous avons calculée en Pa. \(1 \, \text{GPa} = 10^9 \, \text{Pa}\). Une erreur fréquente est de mélanger MPa et GPa, conduisant à un résultat faux d'un facteur 1000.

Formule(s) (l'outil mathématique)

D'après la loi de Hooke \(\sigma = E \cdot \epsilon\), on isole la déformation :

\epsilon = \frac{\sigma}{E}

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Contrainte normale, \(\sigma = 11\,250\,000 \, \text{Pa}\)
Module de Young, \(E = 30 \, \text{GPa}\)

Schéma (Avant les calculs)

Loi de Hooke (Contrainte-Déformation)

Calcul(s) (l'application numérique)

1. On convertit le module de Young en Pascals :

E = 30 \, \text{GPa} = 30 \times 10^9 \, \text{Pa}

2. On applique la formule :

\begin{aligned} \epsilon &= \frac{11\,250\,000 \, \text{Pa}}{30 \times 10^9 \, \text{Pa}} \\ &= 0.000375 \end{aligned}

La déformation est un nombre sans dimension, mais on peut aussi l'écrire en m/m (mètre par mètre) ou en % (0.0375 %).

Schéma (Après les calculs)

Point calculé sur le diagramme

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul de la déformation est essentiel pour vérifier les "États Limites de Service" (ELS). Un bâtiment peut être assez solide pour ne pas s'effondrer (ELU), mais se déformer tellement que les cloisons se fissurent, que les fenêtres se bloquent ou que les occupants ressentent une sensation d'inconfort. Le contrôle des déformations est donc aussi important que le contrôle de la résistance.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La déformation unitaire est \(\epsilon = 0.000375\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le pilier était en acier avec un module de Young de 210 GPa (mais avec la même contrainte de 11.25 MPa), que deviendrait la déformation \(\epsilon\) ?

Question 4 : Calculer le raccourcissement total \(\Delta L\)

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons le raccourcissement *relatif* (\(\epsilon\)), il suffit de le multiplier par la hauteur initiale du pilier pour connaître son raccourcissement *total* en mètres. C'est une information cruciale pour les ingénieurs, car les déformations des éléments porteurs affectent toute la structure.

Formule(s) (l'outil mathématique)

De la définition de la déformation \(\epsilon = \Delta L / L_0\), on tire :

\Delta L = \epsilon \times L_0

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Déformation unitaire, \(\epsilon = 0.000375\)
Hauteur initiale, \(L_0 = 3.5 \, \text{m}\)

Schéma (Avant les calculs)

Pilier avant déformation

Calcul(s) (l'application numérique)

1. On applique la formule pour trouver le raccourcissement en mètres :

\begin{aligned} \Delta L &= 0.000375 \times 3.5 \, \text{m} \\ &= 0.0013125 \, \text{m} \end{aligned}

2. On convertit le résultat en millimètres (mm) pour une meilleure visualisation :

\begin{aligned} \Delta L &= 0.0013125 \, \text{m} \times 1000 \, \frac{\text{mm}}{\text{m}} \\ &= 1.3125 \, \text{mm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pilier raccourci

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le pilier de 3.5 mètres se raccourcit d'environ 1.3 mm sous l'effet de la charge. C'est une déformation très faible, invisible à l'œil nu, ce qui est typique des structures de génie civil bien dimensionnées. Cependant, la somme de ces petits raccourcissements sur tous les piliers d'un gratte-ciel peut atteindre plusieurs centimètres au sommet !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le raccourcissement total \(\Delta L\) s'obtient en multipliant la déformation relative \(\epsilon\) par la longueur initiale \(L_0\). Attention à la cohérence des unités pour obtenir un résultat dans l'unité souhaitée (généralement le millimètre).

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Ce calcul final concrétise l'effet de la charge sur la structure. Un raccourcissement de 1.3 mm peut sembler négligeable, mais si ce pilier supporte une poutre fragile ou une façade en verre, cette déformation différentielle avec les éléments voisins doit être anticipée pour éviter des désordres. C'est le lien direct entre le calcul théorique et la réalité constructive du bâtiment.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le raccourcissement total du pilier est \(\Delta L \approx 1.31 \, \text{mm}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le pilier faisait 7 mètres de haut (avec la même section et la même charge), quel serait son raccourcissement total en mm ?

Outil Interactif : Simulateur de Pilier

Modifiez la charge et la taille du pilier pour voir leur influence sur la contrainte et la déformation.

Paramètres d'Entrée

Force Axiale N (kN) 1800 kN

Côté du pilier c (cm) 40 cm

Résultats Clés (pour H=3.5m, E=30GPa)

Aire de la section (m²) -

Contrainte \(\sigma\) (MPa) -

Raccourcissement \(\Delta L\) (mm) -

Vérification (σ / 25 MPa) -

Le Saviez-Vous ?

Les piliers élancés (très hauts par rapport à leur largeur) ne cèdent pas par écrasement mais par "flambement". Ils se déforment brutalement sur le côté, comme une règle que l'on comprime trop fort par ses extrémités. Ce phénomène, étudié par le mathématicien Leonhard Euler, est une autre vérification essentielle pour la stabilité des éléments comprimés.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre contrainte et pression ?

Les deux ont la même unité (Force/Surface), mais la pression est généralement une charge externe (ex: pression de l'eau sur un barrage), tandis que la contrainte est une force interne au matériau, qui résulte des charges externes.

Pourquoi met-on des barres d'acier dans un pilier en béton ?

Le béton résiste très bien à la compression, mais très mal à la traction. Les barres d'acier (armatures) sont là pour reprendre les efforts de traction qui peuvent apparaître (par exemple en cas de flexion due au vent ou à un séisme) et pour confiner le béton, augmentant ainsi sa résistance à la compression et sa ductilité (capacité à se déformer avant de rompre).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la force appliquée sur le pilier, la contrainte...

Reste la même
Est divisée par deux
Double

2. Si on double la largeur du pilier (passant de 40 à 80 cm), l'aire de la section...

Double
Quadruple
Est divisée par quatre

Contrainte Normale (\(\sigma\)): Force interne par unité d'aire, agissant perpendiculairement à la section d'un matériau. En compression, elle tend à écraser le matériau.
Déformation Unitaire (\(\epsilon\)): Mesure du changement de dimension relatif d'un objet. Pour un pilier, c'est le rapport entre son raccourcissement et sa hauteur initiale. C'est une valeur sans dimension.
Module de Young (E): Propriété d'un matériau qui mesure sa rigidité. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation dans le domaine élastique. Unité : Pascal (Pa) ou GPa.

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