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Calcul des moments d’inertie

Calcul des moments d’inertie en Rdm (Génie Civil)

Calcul des moments d’inertie en Rdm

Contexte : La géométrie de la résistance.

Pourquoi une poutre en "I" est-elle plus résistante à la flexion qu'une barre carrée de même poids ? La réponse réside dans le moment d'inertieAussi appelé moment quadratique, c'est une propriété purement géométrique d'une section qui caractérise sa capacité à résister à la flexion. Une valeur élevée de I indique une grande rigidité de forme.. Cette grandeur, purement géométrique, décrit comment la matière d'une section est répartie par rapport à son axe de flexion. Comprendre comment le calculer pour des formes simples et composées est une compétence fondamentale pour tout ingénieur en génie civil, car elle est au cœur du dimensionnement des éléments fléchis.

Remarque Pédagogique : Cet exercice se concentre sur une section en "T", une forme non symétrique verticalement. Cela nous obligera à suivre une méthode rigoureuse : d'abord localiser le "point d'équilibre" de la section (le centre de gravité), puis utiliser le théorème de HuygensAussi appelé théorème des axes parallèles, il permet de calculer le moment d'inertie d'une section par rapport à un axe quelconque, en connaissant son moment d'inertie par rapport à son propre axe centroïdal. (ou des axes parallèles) pour calculer l'inertie totale. C'est la méthode universelle pour toutes les formes complexes.

Objectifs Pédagogiques

  • Décomposer une section complexe en formes géométriques simples (rectangles).
  • Calculer la position du centre de gravitéLe point d'équilibre géométrique d'une section. Pour une section homogène, c'est le point où passe la fibre neutre lors d'une flexion pure. (centroïde) d'une section composée.
  • Appliquer le théorème de Huygens pour calculer le moment d'inertie de formes décentrées.
  • Calculer le moment d'inertie total d'une section en "T" par rapport à son axe centroïdal horizontal.

Données de l'étude

On s'intéresse à une poutre en béton armé dont la section transversale a la forme d'un "T". La semelle (partie supérieure) a une largeur de 400 mm et une épaisseur de 100 mm. L'âme (partie verticale) a une hauteur de 300 mm et une épaisseur de 200 mm. L'ensemble forme une section monolithique.

Schéma de la section en "T"
400 mm 100 mm 300 mm 200 mm z y

Questions à traiter

  1. Calculer la position verticale du centre de gravité (\(y_G\)) de la section par rapport à sa base.
  2. Calculer le moment d'inertie de la section (\(I_z\)) par rapport à son axe de gravité horizontal.

Les bases du Calcul d'Inertie

Pour aborder cet exercice, il faut comprendre comment on "mesure" la géométrie d'une section et comment on combine les propriétés de formes simples pour analyser une forme complexe.

1. Le Centre de Gravité (ou Centroïde) : Le point d'équilibre.
Imaginez que vous découpez la section dans du carton. Le centre de gravité est le point unique où vous pourriez poser la pointe d'un crayon et la forme tiendrait en équilibre. Pour les formes composées, on le trouve en faisant une moyenne des positions des centres de gravité de chaque sous-partie, pondérée par leur aire.

Formule du centre de gravité :

\[ y_G = \frac{\sum (A_i \cdot y_i)}{\sum A_i} \]

2. Le Moment d'Inertie d'un Rectangle : La base du calcul.
La forme la plus simple à analyser est le rectangle. Son moment d'inertie par rapport à son propre centre de gravité est facile à calculer. C'est la formule de base que nous utiliserons pour chaque partie de notre section en "T".

Inertie d'un rectangle par rapport à son centre :

\[ I_0 = \frac{\text{base} \cdot \text{hauteur}^3}{12} \]

3. Le Théorème de Huygens : L'outil pour assembler.
La formule ci-dessus ne fonctionne que pour l'axe passant par le centre du rectangle. Mais le centre de gravité de notre "T" n'est pas au centre de ses rectangles constitutifs ! Le théorème de Huygens nous permet de "transporter" le moment d'inertie d'un axe à un autre, parallèle. C'est l'outil indispensable pour additionner les inerties de plusieurs formes.

Formule de Huygens (axes parallèles) :

\[ I_{\text{nouvel axe}} = I_0 + A \cdot d^2 \]

Correction : Calcul des moments d’inertie en Rdm

Question 1 : Calculer la position du centre de gravité (\(y_G\))

Principe (le concept physique)

Le centre de gravité est le point d'équilibre de la section. Comme notre section en "T" n'est pas symétrique verticalement, son centre de gravité ne sera pas au milieu de sa hauteur totale. Nous devons le calculer en considérant la "contribution" de chaque partie (l'âme et la semelle) en fonction de sa taille (son aire) et de sa position.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule du centre de gravité \(y_G = (\sum A_i y_i) / (\sum A_i)\) est basée sur le concept de moment statique. Le terme \(A_i y_i\) est le moment statique de la surface \(A_i\) par rapport à un axe de référence. La formule exprime que le moment statique de la section totale par rapport à l'axe de référence est égal à la somme des moments statiques de ses parties.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le choix de l'axe de référence (où y=0) est arbitraire et n'influence pas le résultat final. Cependant, un choix judicieux peut simplifier les calculs. Le plus simple est de choisir la base de la section comme référence, ainsi toutes les distances \(y_i\) seront positives.

Astuces (Pour aller plus vite)

Organisez vos calculs dans un tableau avec les colonnes : "Partie", "Aire (A_i)", "Position du centre y_i", et "Moment statique (A_i * y_i)". Cela permet de ne rien oublier et de sommer facilement les colonnes pour appliquer la formule finale.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est une forme géométrique parfaite, sans tenir compte des imperfections de construction. Le matériau est considéré comme homogène sur toute la section.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du centre de gravité d'une section composée :

\[ y_G = \frac{\sum_{i=1}^{n} (A_i \cdot y_i)}{\sum_{i=1}^{n} A_i} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Semelle (Partie 1) : base \(b_1 = 400 \, \text{mm}\), hauteur \(h_1 = 100 \, \text{mm}\)
  • Âme (Partie 2) : base \(b_2 = 200 \, \text{mm}\), hauteur \(h_2 = 300 \, \text{mm}\)
  • Référence pour les calculs : base de la section (y=0).
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la section en deux rectangles
Partie 1G1Partie 2G2y=0
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des aires :

\[ \begin{aligned} A_1 &= b_1 \cdot h_1 \\ &= 400 \cdot 100 \\ &= 40000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_2 &= b_2 \cdot h_2 \\ &= 200 \cdot 300 \\ &= 60000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul des positions des centres de gravité de chaque partie (par rapport à la base) :

\[ \begin{aligned} y_1 &= 300 + \frac{100}{2} \\ &= 350 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} y_2 &= \frac{300}{2} \\ &= 150 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul du centre de gravité de la section totale :

\[ \begin{aligned} y_G &= \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} \\ &= \frac{(40000 \cdot 350) + (60000 \cdot 150)}{40000 + 60000} \\ &= \frac{14000000 + 9000000}{100000} \\ &= \frac{23000000}{100000} \\ &= 230 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Apres les calculs)
Position finale du Centre de Gravité G
GFibre Neutrey_G = 230 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le centre de gravité (230 mm) est situé plus haut que la mi-hauteur totale (400/2 = 200 mm). C'est logique, car la semelle supérieure, plus large, a plus d'aire et "tire" le point d'équilibre vers le haut.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Pour une section composée, on la divise en formes simples.
  • On calcule l'aire et la position du centre de gravité de chaque forme simple.
  • On applique la formule du barycentre des aires pour trouver le centre de gravité global.
Justifications (le pourquoi de cette étape)

La localisation du centre de gravité est la première étape indispensable de tout calcul de contrainte de flexion pour une section asymétrique. C'est l'axe de référence (la fibre neutre) à partir duquel toutes les distances sont mesurées dans les étapes suivantes. Une erreur ici fausse tout le reste.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper dans le repère. Toutes les positions (\(y_i\)) doivent être mesurées par rapport au même axe de référence (ici, la base de la section). Ne mélangez pas les références !

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le centre de gravité de la section se trouve à une hauteur de \(y_G = 230 \, \text{mm}\) par rapport à la base.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la semelle supérieure faisait 200 mm de large au lieu de 400, le centre de gravité monterait ou descendrait-il ?

Question 2 : Calculer le moment d'inertie (\(I_z\))

Principe (le concept physique)

Le moment d'inertie mesure la résistance de la section à la flexion. Pour une section composée, on ne peut pas simplement additionner les inerties de chaque partie. On doit d'abord calculer l'inertie de chaque partie par rapport à son propre centre, puis utiliser le théorème de Huygens pour "transporter" cette inertie vers l'axe de gravité global de la section. Enfin, on additionne ces inerties "transportées".

Formule(s) (l'outil mathématique)

Inertie d'un rectangle par rapport à son centre :

\[ I_{0,i} = \frac{b_i \cdot h_i^3}{12} \]

Théorème de Huygens :

\[ I_{z,i} = I_{0,i} + A_i \cdot d_i^2 \quad \text{avec} \quad d_i = |y_G - y_i| \]

Inertie totale de la section :

\[ I_z = \sum I_{z,i} = I_{z,1} + I_{z,2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Toutes les données de la question 1
  • Position du centre de gravité global, \(y_G = 230 \, \text{mm}\)
Schéma (Avant les calculs)
Distances pour le théorème de Huygens
d1d2Axe Gz
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des inerties propres de chaque rectangle :

\[ \begin{aligned} I_{0,1} &= \frac{400 \cdot 100^3}{12} \\ &= 33.33 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_{0,2} &= \frac{200 \cdot 300^3}{12} \\ &= 450 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul des distances de transport (d_i) :

\[ \begin{aligned} d_1 &= |y_G - y_1| \\ &= |230 - 350| \\ &= 120 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} d_2 &= |y_G - y_2| \\ &= |230 - 150| \\ &= 80 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Application de Huygens pour chaque partie :

\[ \begin{aligned} I_{z,1} &= I_{0,1} + A_1 d_1^2 \\ &= 33.33 \times 10^6 + (40000 \cdot 120^2) \\ &= 33.33 \times 10^6 + 576 \times 10^6 \\ &= 609.33 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_{z,2} &= I_{0,2} + A_2 d_2^2 \\ &= 450 \times 10^6 + (60000 \cdot 80^2) \\ &= 450 \times 10^6 + 384 \times 10^6 \\ &= 834 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

4. Calcul de l'inertie totale :

\[ \begin{aligned} I_z &= I_{z,1} + I_{z,2} \\ &= (609.33 + 834) \times 10^6 \\ &= 1443.33 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Schéma (Apres les calculs)
Section avec son moment d'inertie final
I_z = 1443.33 x 10^6 mm^4
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On remarque que le terme de transport de Huygens (\(A \cdot d^2\)) est très significatif, surtout pour la semelle. L'inertie propre de la semelle (33.33 M) est faible, mais sa distance au centre de gravité global la rend très efficace (terme de transport de 576 M). C'est la preuve que pour augmenter la rigidité, il faut éloigner la matière de l'axe de flexion.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'inertie totale est la somme des inerties de chaque partie, calculées par rapport à l'axe de gravité global.
  • L'inertie d'une partie par rapport à l'axe global est son inertie propre PLUS son terme de transport de Huygens.
  • Le terme de transport \(A \cdot d^2\) est toujours positif.
Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le moment d'inertie est le dénominateur dans la formule de la contrainte de flexion (\(\sigma = -My/I\)). Un calcul précis de \(I_z\) est donc indispensable pour déterminer correctement les contraintes dans la poutre et s'assurer qu'elle est bien dimensionnée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur courante est d'oublier le terme de transport de Huygens ou de mal calculer la distance \(d\). Rappelez-vous que \(d\) est toujours la distance entre le centre de gravité de la petite partie et le centre de gravité de l'ensemble.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment d'inertie de la section en T par rapport à son axe de gravité horizontal est \(I_z = 1443.33 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'âme était deux fois plus haute (600 mm), le moment d'inertie total serait-il simplement doublé ?

Outil Interactif : Explorez l'Inertie

Modifiez les dimensions de la section en T et observez comment la position du centre de gravité et le moment d'inertie évoluent.

Paramètres d'Entrée
400 mm
300 mm
Position y_G (mm)-
Inertie I_z (10^6 mm^4)-
G

Le Saviez-Vous ?

Le théorème de Huygens a été développé par le physicien néerlandais Christiaan Huygens au 17ème siècle, bien avant l'avènement du génie civil moderne. Il l'a initialement formulé pour calculer le moment d'inertie de corps rigides en mécanique (pour l'étude des pendules), mais son application s'est avérée universelle et est devenue un outil essentiel pour les ingénieurs structures des siècles plus tard.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la hauteur est-elle à la puissance 3 dans la formule de l'inertie ?

Le moment d'inertie représente une résistance à la rotation (la flexion). L'influence d'un point de matière sur cette résistance dépend du carré de sa distance à l'axe (\(d^2\)). Comme on intègre cette contribution sur toute la hauteur de la section, une dimension supplémentaire de longueur apparaît, menant à une puissance 3. Cela montre que la hauteur d'une poutre est beaucoup plus influente que sa largeur pour résister à la flexion.

Et si la section était creuse ?

La méthode reste la même ! On peut utiliser la méthode du "négatif" : on calcule l'inertie de la forme extérieure pleine, puis on calcule l'inertie de la partie vide (le "trou") et on la soustrait. C'est exactement ce que nous avons fait implicitement pour la section en I dans l'exercice précédent.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans le théorème de Huygens \(I = I_0 + Ad^2\), que représente \(d\)?

2. Pour augmenter significativement le moment d'inertie d'une section rectangulaire, il est plus efficace de :

Moment d'Inertie (\(I\))
Aussi appelé moment quadratique, c'est une propriété géométrique d'une section qui caractérise sa capacité à résister à la flexion. Une valeur élevée de I indique une grande rigidité de forme.
Centre de Gravité (G)
Le point d'équilibre géométrique d'une section. Pour un matériau homogène, c'est le point où passe la fibre neutre lors d'une flexion pure.
Théorème de Huygens
Théorème des axes parallèles qui permet de calculer le moment d'inertie d'une section par rapport à un axe décalé par rapport à son axe centroïdal.
Calcul des moments d’inertie en Rdm

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2 Commentaires
  1. SILUE
    SILUE sur 8 mars 2024 à 13h59

    Pas mal

    Réponse
  2. ikoma
    ikoma sur 8 mai 2025 à 0h32

    j’aime la résolution de moment d’inertie

    Réponse
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