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Calcul de Puissance pour une Pompe à Eau

Exercice : Calcul de Puissance pour une Pompe à Eau

Calcul de Puissance pour une Pompe à Eau

Contexte : Le dimensionnement d'un système de pompage.

L'un des calculs les plus courants en ingénierie hydraulique est la détermination de la puissance requise pour une pompe. Que ce soit pour l'alimentation en eau potable, l'irrigation agricole ou des applications industrielles, il est crucial de choisir une pompe capable de fournir le débitLe volume de fluide qui traverse une section donnée par unité de temps. Généralement exprimé en m³/s ou m³/h. souhaité en surmontant la dénivellation et les pertes de chargeLa perte d'énergie (ou de pression) d'un fluide en mouvement due aux frottements contre les parois de la conduite et aux singularités (coudes, vannes, etc.). du réseau. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de ce calcul fondamental.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le théorème de Bernoulli généralisé pour un système réel, en intégrant les notions de pertes d'énergie et de rendement de machine pour aboutir à une puissance mécanique concrète.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la vitesse d'écoulement et le nombre de Reynolds dans une conduite.
  • Déterminer les pertes de charge linéaires et singulières dans un réseau.
  • Calculer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) requise pour une pompe.
  • Estimer la puissance hydraulique et la puissance à l'arbre (mécanique) d'une pompe.

Données de l'étude

On souhaite pomper de l'eau d'un réservoir inférieur (Niveau A) vers un réservoir supérieur (Niveau B) dont les surfaces sont à l'air libre. Le système de pompage est schématisé ci-dessous.

Configuration du Système
Schéma de l'installation de pompage
Réservoir A zA = 0 m Réservoir B zB = 25 m P Hgéo
Paramètre Description Symbole Valeur Unité
Débit volumique Débit d'eau à transférer \( Q_v \) 90 m³/h
Hauteur géométrique Dénivelé entre les plans d'eau \( H_{\text{géo}} \) 25 m
Conduite Tuyauterie en fonte - - -
Diamètre intérieur Diamètre de la conduite \( D \) 200 mm
Longueur totale Longueur de la tuyauterie \( L \) 150 m
Pertes singulières Coefficient global pour coudes, vannes... \( K_{\text{total}} \) 8.5 -
Rendement pompe Efficacité de la pompe \( \eta_p \) 0.78 -
Eau à 20°C Masse volumique \( \rho \) 1000 kg/m³
Eau à 20°C Viscosité cinématique \( \nu \) \( 1 \times 10^{-6} \) m²/s
Rugosité fonte Rugosité absolue de la conduite \( \varepsilon \) 0.26 mm

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de l'écoulement dans la conduite.
  2. Calculer le nombre de Reynolds et déterminer la nature de l'écoulement.
  3. Calculer le coefficient de perte de charge linéaire \( \lambda \) et les pertes de charge linéaires \( J_{\text{lin}} \).
  4. Calculer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) que la pompe doit fournir.
  5. Calculer la puissance hydraulique \( P_h \) et la puissance mécanique (à l'arbre) \( P_a \) requise.

Les bases de l'hydraulique des pompes

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur quelques principes fondamentaux de la mécanique des fluides.

1. Équation de continuité
Pour un fluide incompressible, le débit volumique \( Q_v \) est constant. Il est lié à la vitesse moyenne \( v \) et à la section \( A \) de la conduite par : \[ Q_v = v \cdot A = v \cdot \frac{\pi D^2}{4} \]

2. Théorème de Bernoulli généralisé
Cette équation exprime la conservation de l'énergie pour un fluide réel en mouvement entre deux points A et B, en incluant l'énergie apportée par une pompe (\(H_{\text{pompe}}\)) et les pertes d'énergie (\(J_{AB}\)) : \[ \frac{P_A}{\rho g} + z_A + \frac{v_A^2}{2g} + H_{\text{pompe}} = \frac{P_B}{\rho g} + z_B + \frac{v_B^2}{2g} + J_{AB} \] La Hauteur Manométrique Totale (HMT) est l'énergie que la pompe doit fournir : \( HMT = H_{\text{pompe}} \).

3. Équation des pertes de charge
Les pertes de charge totales (\(J\)) sont la somme des pertes linéaires (frottement) et singulières (accessoires) : \[ J = J_{\text{lin}} + J_{\text{sing}} = \left( \lambda \frac{L}{D} \right) \frac{v^2}{2g} + \left( \sum K \right) \frac{v^2}{2g} \]

Correction : Calcul de Puissance pour une Pompe à Eau

Question 1 : Calculer la vitesse de l'écoulement dans la conduite.

Principe

La vitesse du fluide est directement liée au débit et au diamètre de la conduite. En utilisant l'équation de continuité, qui repose sur le principe de conservation de la masse, nous pouvons isoler la vitesse. Pour un fluide incompressible, si le volume qui entre est constant, la vitesse s'ajuste à la section de passage.

Mini-Cours

L'équation de continuité \( Q_v = v \cdot A \) est l'une des trois équations fondamentales de la mécanique des fluides, avec la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie. Elle stipule que pour un fluide incompressible, le produit de la vitesse par la section est constant tout le long d'une conduite de section variable.

Remarque Pédagogique

La première étape dans 99% des problèmes d'hydraulique est de calculer la vitesse. C'est la clé qui déverrouille presque tous les autres calculs (nombre de Reynolds, pertes de charge, etc.). Prenez toujours le temps de bien faire ce calcul et de vérifier vos unités.

Normes

Ce calcul de base ne fait pas référence à une norme spécifique (comme un Eurocode), mais il est le fondement de toutes les normes et règles de conception en hydraulique et en tuyauterie industrielle.

Formule(s)

Formule de la vitesse

\[ v = \frac{Q_v}{A} = \frac{Q_v}{\pi D^2 / 4} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons deux hypothèses simplificatrices :

  • Le fluide (eau) est considéré comme incompressible, c'est-à-dire que sa masse volumique ne varie pas.
  • La vitesse calculée est une vitesse moyenne ; on suppose que l'écoulement est uniforme sur toute la section de la conduite.
Donnée(s)

Voici les données extraites de l'énoncé nécessaires pour cette question.

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumique\(Q_v\)90m³/h
Diamètre intérieur\(D\)200mm
Astuces

Pour une vérification rapide d'ordre de grandeur, sachez qu'un débit de 1 L/s (soit 3.6 m³/h) dans un tuyau de diamètre 100 mm (DN100) donne une vitesse d'environ 0.13 m/s. Cela peut vous aider à repérer une erreur grossière dans vos conversions.

Schéma (Avant les calculs)
Section de conduite et débit
DQv
Calcul(s)

Conversion du Débit Volumique

\[ Q_v = 90 \frac{\text{m}^3}{\text{h}} \times \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 0.025 \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \]

Conversion du Diamètre

\[ D = 200 \text{ mm} = 0.2 \text{ m} \]

Calcul de la vitesse d'écoulement

\[ \begin{aligned} v &= \frac{4 \cdot Q_v}{\pi \cdot D^2} \\ &= \frac{4 \cdot 0.025}{\pi \cdot (0.2)^2} \\ &= \frac{0.1}{\pi \cdot 0.04} \\ &\Rightarrow v \approx 0.796 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profil de vitesse turbulent moyen
v ≈ 0.8 m/s
Réflexions

Une vitesse de 0.8 m/s est une valeur très courante et raisonnable pour les circuits de pompage. Les vitesses sont généralement maintenues entre 0.5 et 2 m/s pour limiter les pertes de charge (qui augmentent avec le carré de la vitesse) sans pour autant surdimensionner le diamètre des tuyaux, ce qui augmenterait les coûts d'installation.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente ici est de ne pas convertir les unités. Le débit est en m³/h et le diamètre en mm. Pour un calcul en unités SI, il faut convertir le débit en m³/s et le diamètre en mètres.

Points à retenir

La maîtrise de cette question repose sur deux points clés :

  • La relation fondamentale \( Q_v = v \cdot A \).
  • La nécessité absolue de travailler en unités SI (m³/s, m, m/s) pour éviter les erreurs.
Le saviez-vous ?

Le principe de continuité a été formulé pour la première fois par Léonard de Vinci, bien avant que les équations ne soient formalisées par des mathématiciens comme Leonhard Euler au 18ème siècle. De Vinci avait déjà compris que la vitesse d'une rivière augmentait lorsque son lit se rétrécissait.

FAQ
Pourquoi la vitesse est-elle importante ?

La vitesse est cruciale car les pertes d'énergie par frottement, que nous calculerons plus tard, sont proportionnelles au carré de la vitesse (\(v^2\)). Une petite augmentation de la vitesse peut donc entraîner une forte augmentation des pertes de charge et de la puissance requise pour la pompe.

Résultat Final
La vitesse de l'eau dans la conduite est d'environ 0.80 m/s.
A vous de jouer

Si le débit était augmenté à 180 m³/h dans la même conduite, quelle serait la nouvelle vitesse ?

Question 2 : Calculer le nombre de Reynolds et déterminer la nature de l'écoulement.

Principe

Le nombre de Reynolds (\(Re\)) est un nombre sans dimension qui permet de caractériser le régime d'un écoulement. Il compare les forces d'inertie (qui tendent à créer le chaos) aux forces visqueuses (qui tendent à amortir et à ordonner le mouvement). Sa valeur nous dit si l'écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent.

Mini-Cours

Les régimes d'écoulement sont généralement classés comme suit :

  • Si \(Re < 2000\) : Écoulement laminaire. Les filets de fluide sont parallèles, l'écoulement est ordonné. Les pertes de charge sont faibles.
  • Si \(2000 < Re < 4000\) : Régime transitoire. L'écoulement est instable, alternant entre laminaire et turbulent.
  • Si \(Re > 4000\) : Écoulement turbulent. L'écoulement est chaotique avec des tourbillons. Les pertes de charge sont beaucoup plus importantes.
Remarque Pédagogique

Le calcul du nombre de Reynolds est une étape systématique après le calcul de la vitesse. Il ne doit jamais être oublié, car il conditionne le choix de la bonne formule pour calculer les pertes de charge. Utiliser une formule pour régime laminaire en écoulement turbulent (ou inversement) est une erreur majeure.

Normes

Les seuils de transition (Re ~ 2000-4000) sont des valeurs empiriques universellement acceptées dans toutes les normes et tous les ouvrages de référence en ingénierie des fluides (comme le mémento de "Losses in pipe systems" de Idelcik).

Formule(s)

Formule du nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{v \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, on suppose que le fluide est Newtonien, c'est-à-dire que sa viscosité ne dépend pas des contraintes qu'il subit. C'est une excellente approximation pour l'eau.

Donnée(s)

Voici les données nécessaires pour cette question.

ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse\(v\)0.796m/s
Diamètre\(D\)0.2m
Viscosité cinématique\(\nu\)\(1 \times 10^{-6}\)m²/s
Astuces

Pour l'eau à 20°C (\(\nu \approx 10^{-6}\) m²/s), une astuce consiste à retenir que \(Re \approx 10^6 \cdot v \cdot D\). Dans notre cas, \(Re \approx 10^6 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 160000\). C'est un moyen très rapide pour vérifier son calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Régimes d'écoulement
Laminaire (Re < 2000)Turbulent (Re > 4000)
Calcul(s)

Calcul du nombre de Reynolds

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{0.796 \cdot 0.2}{1 \times 10^{-6}} \\ &= \frac{0.1592}{10^{-6}} \\ &\Rightarrow Re \approx 159200 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position sur l'échelle de Reynolds
2000Laminaire4000TransitoireTurbulentRe ≈ 1.6 x 10⁵Notre Point
Réflexions

La valeur obtenue est \(159200\), ce qui est très largement supérieur à 4000. L'écoulement est donc pleinement turbulent. Cela signifie que les pertes de charge dues au frottement seront significatives et dépendront non seulement de la viscosité mais aussi, et surtout, de la rugosité de la conduite.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre viscosité cinématique (\(\nu\), en m²/s) et viscosité dynamique (\(\mu\), en Pa.s). La formule utilise la viscosité cinématique. Si l'on vous donne \(\mu\), il faut la diviser par la masse volumique \(\rho\) pour obtenir \(\nu\).

Points à retenir
  • La formule du nombre de Reynolds : \( Re = \frac{v \cdot D}{\nu} \).
  • Le seuil critique universellement admis pour le début de la turbulence : \(Re > 4000\).
Le saviez-vous ?

Osborne Reynolds, qui a donné son nom à ce nombre, a mené des expériences célèbres en 1883 en injectant un filet d'encre dans un courant d'eau pour visualiser la transition entre les régimes laminaire (le filet reste droit) et turbulent (l'encre se mélange immédiatement).

FAQ
Pourquoi l'écoulement turbulent cause-t-il plus de pertes ?

Les tourbillons et le mouvement chaotique de l'écoulement turbulent dissipent beaucoup plus d'énergie par frottement interne et contre les parois que l'écoulement laminaire, où les couches de fluide glissent les unes sur les autres de manière ordonnée. C'est comme marcher dans une foule agitée versus une foule qui avance en lignes.

Résultat Final
Le nombre de Reynolds est d'environ 159 200. L'écoulement est turbulent.
A vous de jouer

Avec la même vitesse, si on utilisait une huile 100 fois plus visqueuse (\(\nu = 100 \times 10^{-6}\) m²/s), quel serait le nouveau nombre de Reynolds ? L'écoulement serait-il encore turbulent ?

Question 3 : Calculer le coefficient \( \lambda \) et les pertes de charge linéaires \( J_{\text{lin}} \).

Principe

Les pertes de charge linéaires sont l'énergie dissipée par le frottement du fluide contre les parois de la conduite sur toute sa longueur. Pour un écoulement turbulent, ce frottement est quantifié par le coefficient de perte de charge \( \lambda \), qui dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la conduite (\(\varepsilon/D\)).

Mini-Cours

Le diagramme de Moody est la représentation graphique qui relie \( \lambda \), \( Re \) et \( \varepsilon/D \). L'équation de Colebrook-White est la formule implicite qui se cache derrière ce diagramme. Comme elle est difficile à résoudre, on utilise souvent des approximations explicites ou une méthode de calcul itérative, comme nous allons le faire ici.

Remarque Pédagogique

C'est souvent le calcul le plus délicat. Assurez-vous d'avoir les bonnes valeurs pour la rugosité du matériau (\(\varepsilon\)). Une erreur ici peut avoir un impact notable sur le calcul final de la puissance.

Normes

L'équation de Colebrook-White est le standard international pour le calcul des pertes de charge en régime turbulent dans les conduites sous pression.

Formule(s)

Puisque l'écoulement est turbulent, le coefficient de perte de charge \( \lambda \) est trouvé en résolvant l'équation de Colebrook-White. Comme elle est implicite (le terme \( \lambda \) apparaît des deux côtés), nous devons la résoudre par itérations. Ensuite, les pertes de charge linéaires sont calculées avec l'équation de Darcy-Weisbach.

Équation de Colebrook-White (implicite)

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]

Équation de Darcy-Weisbach

\[ J_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \]
Hypothèses

On suppose que la rugosité \(\varepsilon\) est uniforme sur toute la longueur de la conduite. On est en régime hydrauliquement rugueux, ce qui signifie que \( \lambda \) est fortement dépendant de la rugosité.

Donnée(s)

Voici les données nécessaires pour cette question.

ParamètreSymboleValeurUnité
Rugosité\(\varepsilon\)0.26mm
Diamètre\(D\)200mm
Nombre de Reynolds\(Re\)159200-
Longueur\(L\)150m
Vitesse\(v\)0.796m/s
Astuces

Pour démarrer les itérations de Colebrook-White, on a besoin d'une première estimation de \( \lambda \). On peut utiliser une valeur de départ simple comme \(0.02\) ou utiliser une formule explicite (comme celle de Haaland) pour avoir une première estimation très proche de la solution finale.

Schéma (Avant les calculs)
Frottement dans une conduite
Écoulement →Rugosité ε
Calcul(s)

Le calcul se fait en plusieurs étapes : calcul de la rugosité relative, résolution itérative pour trouver \( \lambda \), et enfin calcul de \( J_{\text{lin}} \).

Étape 1 : Rugosité relative

\[ \frac{\varepsilon}{D} = \frac{0.26 \text{ mm}}{200 \text{ mm}} = 0.0013 \]

Étape 2 : Calcul itératif de \( \lambda \)

Nous commençons avec une estimation initiale pour \( \lambda \), par exemple \( \lambda_0 = 0.02 \), et nous la réinjectons dans la partie droite de l'équation de Colebrook pour trouver une nouvelle valeur, jusqu'à ce que le résultat converge.

Itération 1 (avec \( \lambda_0 = 0.02 \))

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0013}{3.7} + \frac{2.51}{159200 \sqrt{0.02}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 0.000351 + 0.000111 \right) \\ &= 6.669 \\ \Rightarrow \lambda_1 &= \left(\frac{1}{6.669}\right)^2 \approx 0.0225 \end{aligned} \]

Itération 2 (avec \( \lambda_1 = 0.0225 \))

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0013}{3.7} + \frac{2.51}{159200 \sqrt{0.0225}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 0.000351 + 0.000105 \right) \\ &= 6.681 \\ \Rightarrow \lambda_2 &= \left(\frac{1}{6.681}\right)^2 \approx 0.0224 \end{aligned} \]

Itération 3 (avec \( \lambda_2 = 0.0224 \))

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0013}{3.7} + \frac{2.51}{159200 \sqrt{0.0224}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 0.000351 + 0.000105 \right) \\ &= 6.681 \\ \Rightarrow \lambda_3 &= \left(\frac{1}{6.681}\right)^2 \approx 0.0224 \end{aligned} \]

La valeur a convergé. Nous adoptons \( \lambda \approx 0.0224 \).

Étape 3 : Calcul des pertes de charge linéaires

\[ \begin{aligned} J_{\text{lin}} &= 0.0224 \cdot \frac{150}{0.2} \cdot \frac{0.796^2}{2 \cdot 9.81} \\ &= 0.0224 \cdot 750 \cdot 0.0323 \\ &\Rightarrow J_{\text{lin}} \approx 0.54 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne de charge et ligne piézométrique
Axe de la conduiteLigne de charge (Énergie)Ligne piézométrique (Pression)v²/2gPerte J_lin
Réflexions

Une perte de 0.54 m sur 150 m de conduite est relativement faible. Cela est dû à la vitesse modérée et au diamètre assez large. Dans des tuyaux plus petits ou avec des vitesses plus élevées, cette valeur pourrait être beaucoup plus importante et devenir le facteur dominant dans le calcul de la puissance.

Points de vigilance

Vérifiez que la rugosité \(\varepsilon\) et le diamètre \(D\) sont dans la même unité (généralement mm) avant de calculer la rugosité relative \(\varepsilon/D\). C'est une source d'erreur classique.

Points à retenir
  • En régime turbulent, le coefficient de perte de charge \( \lambda \) dépend de \( Re \) et de \( \varepsilon/D \).
  • La perte de charge linéaire \( J_{\text{lin}} \) est proportionnelle à la longueur \(L\) et au carré de la vitesse \(v^2\), et inversement proportionnelle au diamètre \(D\).
Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody, qui représente graphiquement ces relations, a été créé en 1944 par Lewis Ferry Moody. Il reste aujourd'hui un outil pédagogique et de vérification essentiel pour les ingénieurs en mécanique des fluides, même à l'ère des calculateurs numériques.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on une méthode itérative ?

La formule "exacte" de Colebrook-White est implicite, ce qui signifie que le terme \( \lambda \) apparaît des deux côtés de l'équation. On ne peut pas l'isoler directement. Il faut la résoudre par itérations successives, comme nous l'avons fait. Les formules explicites comme Swamee-Jain (utilisée précédemment) donnent un résultat quasi-identique en un seul calcul, ce qui est souvent plus pratique.

Résultat Final
Le coefficient de perte de charge linéaire est \( \lambda \approx 0.0224 \) et les pertes de charge linéaires sont d'environ 0.54 m.
A vous de jouer

Si la conduite était en PVC (\(\varepsilon \approx 0.01\) mm), quelle serait la nouvelle valeur de \( J_{\text{lin}} \) (tous les autres paramètres inchangés) ?

Question 4 : Calculer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) que la pompe doit fournir.

Principe

La HMT représente l'énergie totale par unité de poids que la pompe doit fournir au fluide. Elle correspond à la somme de trois composantes : l'énergie pour vaincre la dénivellation (hauteur géométrique), l'énergie pour compenser les frottements sur la longueur du tuyau (pertes linéaires), et l'énergie pour compenser les perturbations dues aux accessoires (pertes singulières).

Mini-Cours

La HMT est le résultat direct de l'application du théorème de Bernoulli généralisé entre les surfaces des deux réservoirs. Puisque les pressions sont atmosphériques et les vitesses nulles aux surfaces, l'équation se simplifie en \( H_{\text{pompe}} = (z_B - z_A) + J_{AB} \). Le terme \( (z_B - z_A) \) est la hauteur géométrique, et \( J_{AB} \) est la somme de toutes les pertes de charge.

Remarque Pédagogique

La HMT est la caractéristique la plus importante pour le choix d'une pompe, avec le débit. Un fabricant de pompes fournit des "courbes de performance" qui montrent la HMT que la pompe peut fournir pour un débit donné. On choisit la pompe dont la courbe passe par notre point de fonctionnement (Qv, HMT).

Normes

Le calcul de la HMT est une procédure standardisée dans les normes de conception des systèmes de pompage, comme celles de l'Hydraulic Institute (HI) ou les normes ISO.

Formule(s)

Formule de la HMT

\[ HMT = H_{\text{géo}} + J_{\text{lin}} + J_{\text{sing}} \]

Formule des pertes de charge singulières

\[ J_{\text{sing}} = K_{\text{total}} \frac{v^2}{2g} \]
Hypothèses

On suppose que le coefficient \(K_{\text{total}}\) fourni dans l'énoncé représente correctement l'ensemble des pertes singulières du réseau (coudes, vannes, entrée et sortie de réservoir).

Donnée(s)

Voici les données nécessaires pour cette question.

ParamètreSymboleValeurUnité
Hauteur géométrique\(H_{\text{géo}}\)25m
Pertes linéaires\(J_{\text{lin}}\)0.54m
Coeff. pertes singulières\(K_{\text{total}}\)8.5-
Vitesse\(v\)0.796m/s
Astuces

Le terme \(v^2 / (2g)\) est appelé "hauteur dynamique". Calculez-le une fois et mettez-le en mémoire sur votre calculatrice. Vous en aurez besoin pour les pertes linéaires et singulières, ce qui vous fera gagner du temps.

Schéma (Avant les calculs)
Composantes de la HMT
HMTJ_linJ_singH_géo
Calcul(s)

Calcul des pertes de charge singulières (\( J_{\text{sing}} \))

\[ \begin{aligned} J_{\text{sing}} &= 8.5 \cdot \frac{0.796^2}{2 \cdot 9.81} \\ &= 8.5 \cdot 0.0323 \\ &\Rightarrow J_{\text{sing}} \approx 0.27 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

\[ \begin{aligned} HMT &= H_{\text{géo}} + J_{\text{lin}} + J_{\text{sing}} \\ &= 25 + 0.54 + 0.27 \\ &= 25.81 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Répartition de la HMT
Réflexions

La HMT de 25.81 m est l'information clé pour sélectionner une pompe. On remarque que la majorité de l'énergie (25 m, soit ~97%) sert à vaincre la gravité (hauteur géométrique). Les pertes de charge totales (0.81 m, soit ~3%) représentent une part faible mais non négligeable de l'énergie totale requise.

Points de vigilance

N'oubliez aucune composante des pertes de charge. Une erreur courante est d'oublier les pertes singulières ou de mal les évaluer. Dans un réseau complexe avec de nombreux coudes et vannes, elles peuvent devenir prépondérantes.

Points à retenir
  • \(HMT = \text{Hauteur géométrique} + \text{Pertes de charge totales}\).
  • La HMT représente la "hauteur" que la pompe doit "voir" pour fonctionner, elle est toujours supérieure à la simple hauteur physique à gravir.
Le saviez-vous ?

Le terme "Hauteur Manométrique" vient des premiers manomètres, qui mesuraient la pression en observant la hauteur d'une colonne de liquide (mercure ou eau) qu'elle pouvait supporter. La HMT est donc une énergie exprimée en mètres de colonne du fluide pompé (ici, des mètres de colonne d'eau).

FAQ
Que se passe-t-il si la pompe choisie a une HMT inférieure à celle requise ?

Si la pompe n'est pas assez puissante pour fournir la HMT requise au débit souhaité, le système s'ajustera. Le point de fonctionnement se déplacera sur la courbe de la pompe vers un débit plus faible, où la HMT requise par le réseau est égale à celle que la pompe peut fournir. En bref, vous n'obtiendrez pas le débit escompté.

Résultat Final
La Hauteur Manométrique Totale que la pompe doit fournir est de 25.81 m.
A vous de jouer

Si l'on changeait le tracé de la tuyauterie, ajoutant plusieurs coudes, et que le \(K_{\text{total}}\) passait à 15, quelle serait la nouvelle HMT ?

Question 5 : Calculer la puissance hydraulique \( P_h \) et la puissance mécanique \( P_a \).

Principe

La puissance hydraulique (\(P_h\)) est la puissance réellement transmise au fluide par la pompe. Cependant, aucune machine n'est parfaite ; une partie de la puissance est perdue (chaleur, frottements internes). La puissance mécanique (\(P_a\)), ou puissance à l'arbre, est la puissance que le moteur doit fournir à la pompe, en tenant compte de son rendement (\(\eta_p\)). C'est cette puissance qui dimensionne le moteur électrique et détermine la consommation d'énergie.

Mini-Cours

La puissance (\(P\)) est une énergie par unité de temps (\(P = E/t\)). La puissance hydraulique peut être vue comme le produit du poids du fluide déplacé chaque seconde (\(\rho \cdot g \cdot Q_v\)) par la hauteur à laquelle il est élevé énergétiquement (HMT). Le rendement (\(\eta\)) est toujours \(\eta = P_{\text{utile}} / P_{\text{absorbée}}\).

Remarque Pédagogique

Ne confondez jamais la puissance hydraulique et la puissance mécanique. Le catalogue d'un fournisseur vous donnera la puissance mécanique (ou "nominale") du moteur à choisir. La puissance hydraulique est un résultat de calcul intermédiaire, mais la puissance mécanique est la valeur concrète pour le dimensionnement et l'achat.

Normes

Les méthodes de calcul des puissances et de prise en compte des rendements sont définies dans des normes internationales comme la ISO 9906 qui spécifie les essais de performance des pompes rotodynamiques.

Formule(s)

Formule de la puissance hydraulique

\[ P_h = \rho \cdot g \cdot Q_v \cdot HMT \]

Formule de la puissance à l'arbre (mécanique)

\[ P_a = \frac{P_h}{\eta_p} \]
Hypothèses

On suppose que le rendement de 0.78 donné par le constructeur est valable pour notre point de fonctionnement (Débit, HMT). En réalité, le rendement varie avec le débit.

Donnée(s)

Voici les données nécessaires pour cette question.

ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique\(\rho\)1000kg/m³
Accélération gravité\(g\)9.81m/s²
Débit volumique\(Q_v\)0.025m³/s
HMT\(HMT\)25.81m
Rendement pompe\(\eta_p\)0.78-
Astuces

Pour un calcul rapide et approximatif en kW pour de l'eau, on peut utiliser la formule \( P_a (\text{kW}) \approx \frac{Q_v (\text{m³/h}) \cdot HMT (\text{m})}{367 \cdot \eta_p} \). Ici : \( \frac{90 \cdot 25.81}{367 \cdot 0.78} \approx 8.11 \text{ kW} \). C'est un excellent moyen de vérifier l'ordre de grandeur de son résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan de puissance de la pompe
MoteurPaPFluidePhPertes (1-η)
Calcul(s)

Calcul de la puissance hydraulique (\( P_h \))

\[ \begin{aligned} P_h &= 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.025 \cdot 25.81 \\ &\Rightarrow P_h \approx 6329 \text{ W} \end{aligned} \]

Calcul de la puissance mécanique à l'arbre (\( P_a \))

\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{6329}{0.78} \\ &\Rightarrow P_a \approx 8114 \text{ W} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des puissances
Puissance (kW)107.552.50Hydraulique (Ph)6.33Mécanique (Pa)8.11
Réflexions

Le calcul montre que pour fournir 6.33 kW de puissance au fluide, le moteur doit en réalité en fournir 8.11 kW. La différence, soit 1.78 kW, est perdue sous forme de chaleur et de frottements dans la pompe. C'est pourquoi le choix d'une pompe à haut rendement est crucial pour minimiser les coûts énergétiques sur la durée de vie de l'installation.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les variables de la formule de puissance sont en unités SI (kg/m³, m/s², m³/s, m) pour obtenir un résultat en Watts (W). L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir le débit de m³/h en m³/s.

Points à retenir
  • La puissance hydraulique \(P_h\) est l'énergie utile transmise au fluide.
  • La puissance mécanique \(P_a\) est la puissance consommée par la pompe, toujours supérieure à \(P_h\).
  • Le lien entre les deux est le rendement : \( \eta_p = P_h / P_a \).
Le saviez-vous ?

La puissance des moteurs est souvent exprimée en Chevaux-vapeur (ch). 1 cheval-vapeur équivaut à environ 735.5 Watts. Notre moteur de 8.11 kW aurait donc une puissance d'environ 11 ch.

FAQ
Doit-on choisir un moteur d'exactement 8.11 kW ?

Non. Les moteurs électriques sont fabriqués selon des puissances normalisées (ex: 5.5 kW, 7.5 kW, 11 kW). On doit toujours choisir la puissance normalisée immédiatement supérieure à la puissance calculée, en ajoutant une petite marge de sécurité. Ici, un moteur de 10 kW ou 11 kW serait un choix judicieux.

Résultat Final
La puissance hydraulique est de 6.33 kW et la puissance mécanique requise à l'arbre de la pompe est de 8.11 kW. On choisira un moteur de puissance standardisée immédiatement supérieure (ex: 10 kW).
A vous de jouer

Si l'on trouvait une pompe plus performante avec un rendement de 0.85, quelle serait la nouvelle puissance mécanique \(P_a\) requise ?

Outil Interactif : Simulateur de Pompe

Utilisez cet outil pour voir comment la puissance requise de la pompe évolue en fonction du débit souhaité et de la hauteur géométrique à vaincre. Les autres paramètres (tuyauterie, rendement) restent fixes.

Paramètres d'Entrée
90 m³/h
25 m
Résultats Clés
HMT requise (m) -
Puissance Mécanique (kW) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente le débit dans la même conduite, comment évoluent les pertes de charge ?

2. Qu'est-ce que la Hauteur Manométrique Totale (HMT) représente ?

3. Un nombre de Reynolds élevé (ex: > 100 000) est caractéristique d'un écoulement :

4. Si le rendement de la pompe diminue, la puissance mécanique requise pour le même service :

5. Les pertes de charge singulières sont causées par :

Glossaire

Débit (Qv)
Le volume de fluide qui traverse une section donnée par unité de temps. Généralement exprimé en m³/s ou m³/h.
Hauteur Manométrique Totale (HMT)
L'énergie totale par unité de poids que la pompe doit fournir au fluide pour vaincre la dénivellation et les pertes de charge. Exprimée en mètres (m).
Nombre de Reynolds (Re)
Un nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement (laminaire ou turbulent) d'un fluide.
Perte de charge (J)
La perte d'énergie (ou de pression) d'un fluide en mouvement due aux frottements (linéaires) et aux singularités (coudes, vannes...).
Rendement (η)
Le rapport entre la puissance utile (hydraulique) fournie par une machine et la puissance absorbée (mécanique). C'est un nombre sans dimension, inférieur à 1.
Exercice : Calcul de Puissance pour une Pompe à Eau

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