EGC

Calcul de la Profondeur d’une Semelle

Calcul de la Profondeur d’une Semelle

Calcul de la Profondeur d’une Semelle

Contexte : Ancrer les structures, un enjeu majeur du Génie Civil.

En géotechnique, la semelle de fondation est l'élément de transition qui transmet les charges d'une structure (poteau, mur) au sol. Son dimensionnement ne se limite pas à sa largeur ; sa profondeur d'ancrage est tout aussi cruciale. Une semelle doit être suffisamment profonde pour reposer sur un sol de portance adéquate, pour mobiliser la résistance du sol encaissant, et pour être à l'abri des aléas de surface comme le gel. Déterminer la profondeur d'ancrageLa profondeur d'ancrage (D) est la distance verticale entre la surface du sol et la base de la fondation. Elle influence directement la capacité portante du sol. minimale est une étape critique qui garantit la stabilité et la pérennité de l'ouvrage.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un problème de dimensionnement fondamental. Nous allons appliquer la théorie de la capacité portante de Terzaghi, l'une des pierres angulaires de la mécanique des sols, pour vérifier qu'un sol peut supporter une charge donnée. Nous intégrerons également une contrainte pratique (la profondeur hors-gel) pour aboutir à une décision d'ingénierie réaliste. C'est un exemple parfait de la manière dont la théorie et les règles de l'art se combinent.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer la formule de capacité portante de Terzaghi pour une semelle carrée.
  • Calculer la contrainte de service appliquée par la fondation.
  • Déterminer la contrainte admissible du sol en appliquant un facteur de sécurité.
  • Calculer la profondeur d'ancrage minimale requise pour satisfaire le critère de portance.
  • Prendre en compte la profondeur hors-gel pour déterminer la profondeur de conception finale.

Données de l'étude

On doit concevoir une semelle de fondation carrée pour supporter un poteau d'un bâtiment industriel. Le sol en place est un sable limoneux. Une étude géotechnique a fourni les caractéristiques du sol. La charge de service transmise par le poteau est purement verticale et centrée.

Schéma de la Semelle de Fondation
Niveau du sol Q B = 1.5 m D = ? Sol : γ, c', φ'
Paramètre Symbole Valeur Unité
Charge de service verticale \(Q\) 600 \(\text{kN}\)
Largeur de la semelle (carrée) \(B\) 1.5 \(\text{m}\)
Poids volumique du sol \(\gamma\) 18 \(\text{kN/m}^3\)
Angle de frottement interne du sol \(\phi'\) 25 \(\text{degrés}\)
Cohésion effective du sol \(c'\) 10 \(\text{kPa}\)
Facteur de sécurité global \(FS\) 3 \(\text{(adimensionnel)}\)
Profondeur hors-gel réglementaire \(D_{\text{hg}}\) 0.8 \(\text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte de service (\(q_{\text{ser}}\)) appliquée par la semelle sur le sol.
  2. Déterminer la contrainte admissible du sol (\(q_{\text{adm}}\)) en fonction de la profondeur d'ancrage \(D\).
  3. Calculer la profondeur d'ancrage minimale (\(D_{\text{min}}\)) pour satisfaire le critère de portance.
  4. Déterminer la profondeur d'ancrage de conception (\(D_{\text{finale}}\)) à retenir pour le projet.

Les bases de la Mécanique des Sols

Avant de plonger dans la correction, revoyons la formule de la capacité portante.

La Capacité Portante selon Terzaghi :
La capacité portante ultime (\(q_{\text{ult}}\)) est la contrainte maximale que le sol peut supporter avant la rupture. Pour une semelle carrée, la formule de Terzaghi est : \[ q_{\text{ult}} = 1.3 \cdot c' \cdot N_{\text{c}} + q \cdot N_{\text{q}} + 0.4 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma} \] Où :

  • \(c'\) est la cohésion du sol.
  • \(q = \gamma \cdot D\) est la contrainte de surcharge au niveau de la base de la fondation.
  • \(\gamma\) est le poids volumique du sol.
  • \(B\) est la largeur de la semelle.
  • \(N_{\text{c}}, N_{\text{q}}, N_{\gamma}\) sont les facteurs de capacité portante, qui ne dépendent que de l'angle de frottement \(\phi'\). Pour \(\phi' = 25^\circ\), on prendra : \(N_{\text{c}} \approx 20.7\), \(N_{\text{q}} \approx 10.7\), \(N_{\gamma} \approx 10.9\).
La contrainte admissible (\(q_{\text{adm}}\)) est ensuite obtenue en divisant la capacité ultime par un facteur de sécurité (\(FS\)). \[ q_{\text{adm}} = \frac{q_{\text{ult}}}{FS} \]

Correction : Calcul de la Profondeur d’une Semelle

Question 1 : Calculer la contrainte de service (\(q_{\text{ser}}\))

Principe (le concept physique)

La contrainte de service est la pression réelle que la fondation exerce sur le sol. Elle est obtenue en répartissant la charge totale appliquée par le poteau sur toute la surface de la semelle. C'est la "demande" que l'on impose au sol. Le but du dimensionnement est de s'assurer que la "capacité" du sol est supérieure à cette demande.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte est définie comme une force par unité de surface (\(\sigma = F/A\)). Dans ce cas, on suppose une distribution uniforme de la contrainte sous la semelle, ce qui est une hypothèse simplificatrice courante pour les charges centrées. En réalité, la distribution des contraintes dépend de la rigidité de la semelle et de la nature du sol (parabolique pour les sols cohérents, plus concentrée au centre pour les sols pulvérulents).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous marchez sur la neige. Avec des chaussures, vous vous enfoncez (forte contrainte). Avec des raquettes, vous restez en surface (faible contrainte). La semelle de fondation joue le rôle de la raquette pour le poteau : elle élargit la surface de contact pour réduire la pression sur le sol "mou".

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de calcul, comme l'Eurocode 7, définissent précisément comment calculer les charges de service (combinaisons d'actions) à prendre en compte pour la vérification aux états limites de service (ELS), qui incluent le calcul des contraintes et des tassements.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une semelle carrée de côté \(B\), la surface est \(A = B^2\). La contrainte de service est :

\[ q_{\text{ser}} = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{B^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge \(Q\) est parfaitement centrée et que le poids propre de la semelle et des terres au-dessus est négligé dans ce premier calcul de la contrainte appliquée (il sera pris en compte dans le calcul de la capacité portante).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de service, \(Q = 600 \, \text{kN}\)
  • Largeur de la semelle, \(B = 1.5 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Assurez-vous de la cohérence des unités. Ici, nous avons des kN et des mètres. Le résultat sera donc en kN/m², ce qui correspond exactement au kilopascal (kPa). C'est le système d'unités le plus pratique pour la géotechnique.

Schéma (Avant les calculs)
Répartition de la Charge sur la Surface
Surface A = B²Qq_ser = Q / A = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la surface de la semelle :

\[ \begin{aligned} A &= B^2 \\ &= (1.5 \, \text{m})^2 \\ &= 2.25 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Calculer la contrainte de service :

\[ \begin{aligned} q_{\text{ser}} &= \frac{600 \, \text{kN}}{2.25 \, \text{m}^2} \\ &\approx 266.7 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 266.7 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte de Service Appliquée
q_ser ≈ 267 kPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La fondation applique une pression de 266.7 kPa sur le sol. C'est l'équivalent d'environ 2.7 kg par centimètre carré. Le sol doit être capable de supporter cette contrainte avec une marge de sécurité suffisante pour que le projet soit viable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'oublier de mettre la largeur au carré pour calculer la surface. Une autre erreur est de mal gérer les unités, par exemple en mélangeant des kN avec des Pa. Convertir toutes les forces en kN et toutes les longueurs en mètres est la méthode la plus sûre.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de service est la charge divisée par la surface (\(Q/A\)).
  • Elle représente la "demande" faite au sol.
  • Les unités doivent être cohérentes (kN et m conduisent à des kPa).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour des charges très importantes, comme celles des piles de ponts ou des gratte-ciel, les semelles superficielles ne suffisent plus. On utilise alors des fondations profondes (pieux, barrettes) qui reportent les charges sur des couches de sol plus résistantes, situées parfois à plusieurs dizaines de mètres de profondeur.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on inclure le poids de la semelle dans le calcul de \(q_{\text{ser}}\) ?

C'est une excellente question. Pour une vérification rigoureuse, oui. On devrait ajouter le poids de la semelle et des terres au-dessus à la charge Q. Cependant, dans de nombreux cas, ce poids est relativement faible par rapport à la charge de la structure et il est souvent négligé dans une première approche pour simplifier. Il est par contre toujours inclus dans le calcul de la capacité portante (via le terme de surcharge q).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de service appliquée par la semelle est d'environ 266.7 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la semelle était plus large (B = 2.0 m), quelle serait la nouvelle contrainte de service en kPa ?

Question 2 : Déterminer la contrainte admissible du sol (\(q_{\text{adm}}\))

Principe (le concept physique)

La contrainte admissible représente la pression maximale que l'on s'autorise à appliquer sur le sol. Elle est calculée à partir de la résistance ultime du sol (sa capacité portante, \(q_{\text{ult}}\)), que l'on divise par un facteur de sécurité pour tenir compte des incertitudes sur les propriétés du sol, les charges et les modèles de calcul. La capacité portante dépend de la cohésion, du frottement, de la largeur de la semelle et de sa profondeur d'ancrage.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de Terzaghi décompose la résistance du sol en trois termes : un terme lié à la cohésion (\(c'N_{\text{c}}\)), un terme lié au poids des terres à côté de la fondation (surcharge, \(qN_{\text{q}}\)), et un terme lié au poids du sol directement sous la fondation (\(\gamma B N_{\gamma}\)). Plus la semelle est profonde (D augmente), plus le terme de surcharge \(q\) augmente, et donc plus la capacité portante est élevée. C'est l'effet bénéfique de l'ancrage.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le facteur de sécurité est notre "assurance" d'ingénieur. Un facteur de 3 signifie que l'on s'assure que le sol pourrait en théorie supporter trois fois la charge appliquée avant de rompre. Cette marge est essentielle pour garantir la sécurité des personnes et des biens.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 utilise une approche semi-probabiliste avec des facteurs partiels sur les actions et les résistances, mais l'approche globale avec un facteur de sécurité unique (comme ici) reste très utilisée dans la pratique pour les projets courants et constitue une excellente base de compréhension.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Contrainte de surcharge : \(q = \gamma \cdot D\)

2. Capacité portante ultime (semelle carrée) :

\[ q_{\text{ult}} = 1.3 \cdot c' \cdot N_{\text{c}} + q \cdot N_{\text{q}} + 0.4 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma} \]

3. Contrainte admissible :

\[ q_{\text{adm}} = \frac{q_{\text{ult}}}{FS} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les facteurs de portance de Terzaghi pour une rupture en cisaillement généralisé, ce qui est applicable pour des sables denses à moyennement denses. On suppose que le sol est homogène sous la fondation.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\), \(c' = 10 \, \text{kPa}\), \(\phi' = 25^\circ\)
  • \(B = 1.5 \, \text{m}\), \(FS = 3\)
  • Facteurs de portance pour \(\phi' = 25^\circ\): \(N_{\text{c}} = 20.7\), \(N_{\text{q}} = 10.7\), \(N_{\gamma} = 10.9\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La formule de \(q_{\text{ult}}\) est une équation linéaire en fonction de D (caché dans le terme q). On peut la réécrire sous la forme \(q_{\text{ult}} = A + C \cdot D\), où A et C sont des constantes à calculer. Cela simplifie la résolution de l'inégalité à la question suivante.

Schéma (Avant les calculs)
Mécanisme de Rupture sous une Semelle
Rupture du sol (poinçonnement)
Calcul(s) (l'application numérique)

La contrainte admissible dépend de D. Exprimons-la en fonction de D :

\[ \begin{aligned} q_{\text{ult}} &= 1.3 \cdot (10) \cdot (20.7) + (18 \cdot D) \cdot (10.7) + 0.4 \cdot (18) \cdot (1.5) \cdot (10.9) \\ &= 269.1 + 192.6 \cdot D + 117.72 \\ &= 386.82 + 192.6 \cdot D \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} q_{\text{adm}} &= \frac{386.82 + 192.6 \cdot D}{3} \\ &= 128.94 + 64.2 \cdot D \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Évolution de la Contrainte Admissible
Dq_admq_adm = 128.9 + 64.2*D
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons obtenu une équation qui lie directement la contrainte admissible à la profondeur d'ancrage. On voit que la capacité du sol augmente linéairement avec la profondeur. Cette équation est l'outil qui va nous permettre de trouver la profondeur minimale nécessaire pour équilibrer la contrainte de service calculée à la question 1.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La plus grande difficulté ici est de manipuler correctement la formule de Terzaghi sans se tromper dans les termes et les coefficients de forme (1.3 et 0.4 pour une semelle carrée). Il faut aussi bien identifier que la surcharge \(q\) est \( \gamma \cdot D \), et non le poids volumique seul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte admissible est la capacité ultime divisée par un facteur de sécurité.
  • La capacité ultime (\(q_{\text{ult}}\)) augmente avec la profondeur d'ancrage \(D\).
  • La formule de Terzaghi combine les effets de la cohésion, de la surcharge et de la largeur de la semelle.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La présence d'une nappe phréatique près de la surface peut réduire considérablement la capacité portante d'un sol. L'eau diminue le poids volumique effectif du sol (poids déjaugé) et peut réduire la cohésion, ce qui a un impact direct sur les termes \(q\) et \(\gamma\) de la formule de Terzaghi.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi les facteurs de portance \(N_{\text{c}}, N_{\text{q}}, N_{\gamma}\) dépendent-ils uniquement de \(\phi'\) ?

Ces facteurs sont des solutions mathématiques issues de la théorie de la plasticité. Ils décrivent la géométrie du mécanisme de rupture dans le sol (les "coins" de sol qui sont poussés). La forme de ces coins et la résistance le long des lignes de glissement dépendent uniquement de la manière dont les grains se bloquent les uns les autres, ce qui est directement représenté par l'angle de frottement interne \(\phi'\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte admissible du sol est donnée par l'équation : \(q_{\text{adm}} = 128.94 + 64.2 \cdot D\) (en kPa, avec D en m).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour une profondeur d'ancrage D = 1.0 m, quelle serait la contrainte admissible \(q_{\text{adm}}\) en kPa ?

Question 3 : Calculer la profondeur d'ancrage minimale (\(D_{\text{min}}\))

Principe (le concept physique)

Le critère de dimensionnement fondamental pour la portance est que la capacité du sol doit être supérieure ou égale à la demande de la structure. En termes de contraintes, cela signifie que la contrainte admissible du sol (\(q_{\text{adm}}\)) doit être au moins égale à la contrainte de service (\(q_{\text{ser}}\)). Puisque \(q_{\text{adm}}\) dépend de D, nous pouvons résoudre cette inéquation pour trouver la profondeur minimale D qui satisfait cette condition.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La condition \(q_{\text{ser}} \le q_{\text{adm}}\) est la vérification de l'État Limite Ultime (ELU) de poinçonnement du sol. En résolvant pour le cas limite \(q_{\text{ser}} = q_{\text{adm}}\), on trouve la profondeur exacte pour laquelle le facteur de sécurité est de 3. Toute profondeur supérieure donnera un facteur de sécurité plus élevé.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est ici que tout se rejoint. Nous avons une contrainte "descendante" (la charge de la structure, \(q_{\text{ser}}\)) et une contrainte "remontante" (la résistance du sol, \(q_{\text{adm}}\)). Nous cherchons simplement la profondeur D pour laquelle la résistance équilibre exactement la charge. C'est l'essence même du dimensionnement en ingénierie.

Normes (la référence réglementaire)

Cette vérification est au cœur de l'approche de conception des fondations dans toutes les normes. L'Eurocode 7 formalise cela par l'inégalité \(E_d \le R_d\), où \(E_d\) est la valeur de calcul de l'effet des actions (la demande) et \(R_d\) est la valeur de calcul de la résistance (la capacité).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On résout l'inéquation limite :

\[ q_{\text{ser}} \le q_{\text{adm}} \quad \Rightarrow \quad q_{\text{ser}} = 128.94 + 64.2 \cdot D_{\text{min}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On continue avec les mêmes hypothèses que précédemment, notamment l'homogénéité du sol et la validité de la formule de Terzaghi.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte de service, \(q_{\text{ser}} = 266.7 \, \text{kPa}\) (du calcul Q1)
  • Équation de la contrainte admissible : \(q_{\text{adm}} = 128.94 + 64.2 \cdot D\)
Astuces(Pour aller plus vite)

L'équation à résoudre est une simple équation du premier degré. Isolez le terme en D, puis divisez. Assurez-vous que toutes vos contraintes sont dans la même unité (kPa ici) avant de commencer.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre des Contraintes
DContrainteq_ser = 266.7 kPaq_adm(D)D_min = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On résout pour \(D_{\text{min}}\) :

\[ \begin{aligned} 266.7 &= 128.94 + 64.2 \cdot D_{\text{min}} \\ 266.7 - 128.94 &= 64.2 \cdot D_{\text{min}} \\ 137.76 &= 64.2 \cdot D_{\text{min}} \\ D_{\text{min}} &= \frac{137.76}{64.2} \\ &\approx 2.15 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profondeur Minimale Calculée
D_min ≈ 2.15 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul montre qu'il faut ancrer la semelle à une profondeur d'au moins 2.15 mètres pour que le sol puisse supporter la charge en toute sécurité (avec un facteur de sécurité de 3). C'est une profondeur considérable, qui pourrait avoir des implications sur le coût et la méthode de terrassement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas s'arrêter à ce calcul. Ce n'est que la profondeur minimale vis-à-vis du critère de portance. D'autres critères, comme la profondeur hors-gel ou la présence de couches de sol de meilleure qualité plus en profondeur, peuvent imposer une profondeur différente.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La condition de dimensionnement est \(q_{\text{ser}} \le q_{\text{adm}}\).
  • On trouve la profondeur minimale en résolvant l'équation pour \(D\) à la limite de l'égalité.
  • Cette profondeur garantit que le facteur de sécurité est respecté.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La Tour de Pise penche parce qu'elle a été construite sur un sol très compressible (argiles et sables mous) avec des fondations superficielles (seulement 3 mètres de profondeur), totalement inadaptées pour un ouvrage aussi haut et lourd. C'est l'exemple le plus célèbre d'un problème de capacité portante et de tassement différentiel.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si on ne respecte pas cette profondeur minimale ?

Si la semelle est moins profonde, la contrainte admissible du sol sera inférieure à la contrainte de service. Le facteur de sécurité réel sera inférieur à 3. Cela augmente considérablement le risque d'une rupture du sol par poinçonnement, ce qui pourrait entraîner un enfoncement brutal et important de la fondation, et potentiellement l'effondrement de la structure.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La profondeur d'ancrage minimale requise pour satisfaire le critère de portance est de 2.15 m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le facteur de sécurité requis était seulement de 2, quelle serait la nouvelle profondeur minimale \(D_{\text{min}}\) en m ?

Question 4 : Déterminer la profondeur d'ancrage de conception (\(D_{\text{finale}}\))

Principe (le concept physique)

La profondeur de conception finale n'est pas seulement le résultat d'un seul calcul. L'ingénieur doit synthétiser tous les critères et contraintes applicables et retenir la valeur la plus défavorable (ici, la plus grande profondeur). Dans notre cas, nous avons deux exigences : une profondeur minimale de 2.15 m pour la résistance du sol, et une profondeur minimale de 0.8 m pour protéger la fondation des effets du gel.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La profondeur hors-gel est une contrainte réglementaire ou de "règle de l'art" qui vise à prévenir les désordres liés aux cycles de gel-dégel. Lorsque l'eau dans le sol gèle, elle augmente de volume et peut soulever les fondations peu profondes. Au dégel, le sol perd sa portance, entraînant des tassements. Ancrer la semelle sous la profondeur maximale de pénétration du gel garantit sa stabilité à long terme.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la dernière étape, où l'ingénieur prend sa décision. Il a deux chiffres sur la table : 2.15 m (calcul de résistance) et 0.8 m (règle de l'art). Il doit choisir la solution qui satisfait TOUTES les conditions. Le choix est donc simple : il faut prendre la valeur la plus grande pour être en sécurité vis-à-vis des deux phénomènes.

Normes (la référence réglementaire)

Les cartes de profondeur hors-gel sont définies dans les réglementations nationales de construction (comme les DTU en France). La profondeur varie en fonction de la région et de l'altitude. C'est une donnée d'entrée non négociable pour le concepteur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La règle de décision est simple :

\[ D_{\text{finale}} = \max(D_{\text{min, portance}}, D_{\text{hg}}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose qu'il n'y a pas d'autres contraintes (comme la présence d'une nappe phréatique très haute ou de réseaux enterrés) qui pourraient influencer le choix final de la profondeur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profondeur minimale pour la portance, \(D_{\text{min, portance}} = 2.15 \, \text{m}\) (du calcul Q3)
  • Profondeur hors-gel, \(D_{\text{hg}} = 0.8 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Il n'y a pas d'astuce ici, juste une règle de bon sens : toujours choisir la contrainte la plus forte, c'est-à-dire la profondeur la plus grande, pour couvrir tous les risques.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Profondeurs Requises
Surface du solD_hg = 0.8 mD_portance = 2.15 m
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la règle du maximum :

\[ \begin{aligned} D_{\text{finale}} &= \max(2.15 \, \text{m}, 0.8 \, \text{m}) \\ &= 2.15 \, \text{m} \end{aligned} \]

En pratique, un ingénieur arrondira souvent à une valeur constructive simple, par exemple 2.20 m.

Schéma (Après les calculs)
Profondeur de Conception Finale Retenue
D_finale = 2.20 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La profondeur de conception finale retenue est de 2.20 m. Cette valeur satisfait à la fois le critère de résistance du sol (puisque 2.20 m > 2.15 m) et le critère de protection contre le gel (puisque 2.20 m > 0.8 m). Le projet peut être construit sur cette base. C'est le critère de portance qui a été dimensionnant dans ce cas.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur serait de choisir la profondeur la plus faible, ou de ne pas considérer l'un des deux critères. Un projet de construction doit respecter l'ensemble des exigences techniques et réglementaires, sans exception.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La profondeur de conception est le maximum des profondeurs requises par les différents critères.
  • Les critères courants sont la portance, le gel, le gonflement/retrait des argiles, la présence de couches instables, etc.
  • Le choix final est une décision d'ingénierie qui synthétise tous les risques.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Au Canada ou en Sibérie, la profondeur hors-gel peut atteindre 2 à 3 mètres, voire plus. Dans ces régions, la contrainte de gel est presque toujours plus sévère que le critère de portance pour les petites constructions, et elle dicte la profondeur minimale de toutes les fondations.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la profondeur hors-gel avait été de 2.5 m ?

Dans ce cas, la règle du maximum aurait conduit à choisir \(D_{\text{finale}} = \max(2.15 \, \text{m}, 2.5 \, \text{m}) = 2.5 \, \text{m}\). Même si une profondeur de 2.15 m était suffisante pour la résistance, on serait obligé de creuser plus profond pour se conformer à la réglementation sur le gel. Dans ce cas, c'est le critère de gel qui serait dimensionnant.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La profondeur d'ancrage de conception à retenir pour le projet est de 2.20 m (arrondi de 2.15 m).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la profondeur hors-gel était de 2.5 m, quelle serait la profondeur finale \(D_{\text{finale}}\) à retenir (en m) ?

Outil Interactif : Paramètres d'une Semelle

Modifiez la largeur de la semelle et l'angle de frottement du sol pour voir leur influence sur la capacité portante.

Paramètres d'Entrée
1.5 m
25 °
Résultats Clés (pour D = 1.0 m)
Contrainte Admissible (kPa) -
Charge Admissible (kN) -
Facteur de Sécurité (pour Q=600kN) -

Le Saviez-Vous ?

L'ingénieur autrichien Karl von Terzaghi (1883-1963) est considéré comme le "père de la mécanique des sols" et de la géotechnique moderne. Il a été le premier à formuler le principe de la contrainte effective, qui régit le comportement mécanique des sols saturés et qui reste aujourd'hui la pierre angulaire de la discipline.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le sol n'est pas homogène ?

Si le sol est constitué de plusieurs couches différentes, la formule de Terzaghi doit être adaptée. L'ingénieur doit identifier la couche la moins résistante dans la zone d'influence de la fondation et baser ses calculs sur les caractéristiques de cette couche. Des méthodes plus complexes existent pour prendre en compte l'effet de la stratification du sol.

La forme de la semelle est-elle importante ?

Oui, très importante. La formule de capacité portante change en fonction de la forme. Les coefficients de forme (1.3 et 0.4 dans notre cas) sont différents pour une semelle filante (continue), une semelle circulaire ou une semelle rectangulaire. Une semelle filante, par exemple, est moins efficace qu'une semelle carrée de même largeur car l'effet de confinement tridimensionnel est moins prononcé.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la profondeur d'ancrage (D) d'une semelle, sa capacité portante...

2. Pour un sol purement pulvérulent (sans cohésion, c'=0), la capacité portante dépend principalement de...

Capacité Portante (\(q_{\text{ult}}\))
Contrainte maximale (pression) que le sol peut supporter sous une fondation avant de rompre par cisaillement.
Contrainte Admissible (\(q_{\text{adm}}\))
Fraction de la capacité portante ultime que l'on autorise en conception, obtenue en appliquant un facteur de sécurité.
Profondeur d'Ancrage (D)
Distance verticale entre la surface du terrain naturel et le niveau de base de la fondation.
Profondeur Hors-Gel
Profondeur minimale à laquelle une fondation doit être implantée pour ne pas être affectée par le gonflement du sol dû au gel.
Calcul de la Profondeur d’une Semelle

D’autres exercices de fondation:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *