Études de cas pratique

EGC

Analyser les forces exercées par un fluide

Analyse des Forces Hydrostatiques sur une Surface Plane

Analyse des Forces Hydrostatiques sur une Surface Plane

Comprendre les Forces Hydrostatiques

Lorsqu'une surface est immergée dans un fluide au repos, elle est soumise à des forces de pression. La pression hydrostatique augmente avec la profondeur. Pour des surfaces planes, la force résultante de cette pression peut être calculée, et son point d'application, appelé centre de poussée, peut être déterminé. Ces calculs sont fondamentaux en ingénierie hydraulique pour la conception de barrages, vannes, réservoirs, etc.

Données de l'étude

On étudie une vanne rectangulaire verticale immergée dans de l'eau. La pression à la surface libre de l'eau est considérée comme la pression atmosphérique (pression relative nulle).

Caractéristiques géométriques et du fluide :

Paramètre Valeur Symbole
Fluide Eau -
Masse volumique de l'eau 1000 \(\text{kg/m}^3\) \(\rho\)
Hauteur de la vanne 2.0 \(\text{m}\) \(h_g\)
Largeur de la vanne 1.5 \(\text{m}\) \(b_g\)
Profondeur du bord supérieur de la vanne depuis la surface libre 1.0 \(\text{m}\) \(y_1\)
Accélération due à la gravité 9.81 \(\text{m/s}^2\) \(g\)

Hypothèse : La vanne est une plaque plane et verticale.

Schéma : Vanne rectangulaire verticale immergée
Surface Libre Vanne Pression F_R C_P C_G y1 h_g y_c y_P

Schéma d'une vanne rectangulaire verticale soumise à la pression hydrostatique.

Questions à traiter

  1. Calculer la profondeur du centre de gravité (centroïde) de la vanne (\(y_c\)) par rapport à la surface libre.
  2. Calculer la pression hydrostatique au centre de gravité de la vanne (\(P_c\)).
  3. Calculer l'aire de la vanne (\(A_g\)).
  4. Calculer la force hydrostatique résultante (\(F_R\)) exercée par l'eau sur la vanne.
  5. Calculer le moment d'inertie de l'aire de la vanne par rapport à un axe horizontal passant par son centre de gravité (\(I_{xc}\)).
  6. Calculer la profondeur du centre de poussée (\(y_P\)) par rapport à la surface libre.

Correction : Analyse des Forces Hydrostatiques

Question 1 : Profondeur du centre de gravité (\(y_c\))

Principe :

Le centre de gravité (ou centroïde) d'une vanne rectangulaire verticale se situe au milieu de sa hauteur. Sa profondeur \(y_c\) est mesurée depuis la surface libre du fluide jusqu'à ce point.

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_c = y_1 + \frac{h_g}{2}\]
Données spécifiques :
  • Profondeur du bord supérieur de la vanne (\(y_1\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la vanne (\(h_g\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_c &= y_1 + \frac{h_g}{2} \\ &= 1.0 \, \text{m} + \frac{2.0 \, \text{m}}{2} \\ &= 1.0 \, \text{m} + 1.0 \, \text{m} \\ &= 2.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La profondeur du centre de gravité de la vanne est \(y_c = 2.0 \, \text{m}\).

Question 2 : Pression hydrostatique au centre de gravité (\(P_c\))

Principe :

La pression hydrostatique à une profondeur donnée dans un fluide au repos est proportionnelle à cette profondeur, à la masse volumique du fluide et à l'accélération due à la gravité. On calcule ici la pression relative (par rapport à la pression atmosphérique).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_c = \rho \cdot g \cdot y_c\]
Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Profondeur du centre de gravité (\(y_c\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_c &= \rho \cdot g \cdot y_c \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 2.0 \, \text{m} \\ &= 19620 \, \text{N/m}^2 \\ &= 19620 \, \text{Pa} \quad (\text{ou } 19.62 \, \text{kPa}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La pression hydrostatique au centre de gravité est \(P_c = 19620 \, \text{Pa}\).

Question 3 : Aire de la vanne (\(A_g\))

Principe :

L'aire d'une vanne rectangulaire est simplement le produit de sa hauteur par sa largeur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_g = b_g \times h_g\]
Données spécifiques :
  • Largeur de la vanne (\(b_g\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la vanne (\(h_g\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_g &= b_g \times h_g \\ &= 1.5 \, \text{m} \times 2.0 \, \text{m} \\ &= 3.0 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'aire de la vanne est \(A_g = 3.0 \, \text{m}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la largeur de la vanne double, son aire :

Question 4 : Force hydrostatique résultante (\(F_R\))

Principe :

La force hydrostatique résultante sur une surface plane immergée est égale au produit de la pression au centre de gravité de la surface par l'aire de cette surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_R = P_c \times A_g \quad (\text{ou } F_R = \rho \cdot g \cdot y_c \cdot A_g)\]
Données spécifiques :
  • Pression au centre de gravité (\(P_c\)) : \(19620 \, \text{Pa}\)
  • Aire de la vanne (\(A_g\)) : \(3.0 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_R &= P_c \times A_g \\ &= 19620 \, \text{N/m}^2 \times 3.0 \, \text{m}^2 \\ &= 58860 \, \text{N} \quad (\text{ou } 58.86 \, \text{kN}) \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La force hydrostatique résultante est \(F_R = 58860 \, \text{N}\).

Question 5 : Moment d'inertie de l'aire de la vanne (\(I_{xc}\))

Principe :

Le moment d'inertie d'une surface par rapport à un axe passant par son centre de gravité est une propriété géométrique qui intervient dans le calcul de la position du centre de poussée. Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), par rapport à un axe horizontal passant par son centre de gravité, il est donné par \(bh^3/12\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{xc} = \frac{b_g \cdot h_g^3}{12}\]
Données spécifiques :
  • Largeur de la vanne (\(b_g\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la vanne (\(h_g\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{xc} &= \frac{b_g \cdot h_g^3}{12} \\ &= \frac{1.5 \, \text{m} \times (2.0 \, \text{m})^3}{12} \\ &= \frac{1.5 \, \text{m} \times 8.0 \, \text{m}^3}{12} \\ &= \frac{12.0 \, \text{m}^4}{12} \\ &= 1.0 \, \text{m}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le moment d'inertie de l'aire de la vanne est \(I_{xc} = 1.0 \, \text{m}^4\).

Question 6 : Profondeur du centre de poussée (\(y_P\))

Principe :

Le centre de poussée est le point d'application de la force hydrostatique résultante. Pour une surface plane verticale, il est toujours situé en dessous du centre de gravité de la surface, car la pression augmente avec la profondeur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_P = y_c + \frac{I_{xc}}{y_c \cdot A_g}\]
Données spécifiques :
  • Profondeur du centre de gravité (\(y_c\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Moment d'inertie (\(I_{xc}\)) : \(1.0 \, \text{m}^4\)
  • Aire de la vanne (\(A_g\)) : \(3.0 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_P &= y_c + \frac{I_{xc}}{y_c \cdot A_g} \\ &= 2.0 \, \text{m} + \frac{1.0 \, \text{m}^4}{2.0 \, \text{m} \times 3.0 \, \text{m}^2} \\ &= 2.0 \, \text{m} + \frac{1.0 \, \text{m}^4}{6.0 \, \text{m}^3} \\ &= 2.0 \, \text{m} + 0.1666... \, \text{m} \\ &\approx 2.167 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La profondeur du centre de poussée est \(y_P \approx 2.167 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le centre de poussée sur une surface plane verticale immergée est toujours :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La pression hydrostatique dans un fluide au repos :

2. La force hydrostatique résultante sur une surface plane immergée est calculée en utilisant :

3. Si la densité du fluide augmente, la force hydrostatique sur une surface immergée donnée (à la même profondeur) :

Glossaire

Pression Hydrostatique
Pression exercée par un fluide au repos, due au poids du fluide au-dessus du point de mesure. Elle augmente linéairement avec la profondeur.
Force Hydrostatique Résultante
Force unique qui équivaut à l'effet global des forces de pression hydrostatique réparties sur une surface immergée.
Centre de Gravité (Centroïde)
Point géométrique représentant le centre moyen de la forme d'une surface. Pour une surface homogène, c'est aussi le centre de masse.
Centre de Poussée
Point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface immergée. Il ne coïncide généralement pas avec le centre de gravité pour les surfaces inclinées ou verticales.
Moment d'Inertie (de surface)
Propriété géométrique d'une aire qui décrit comment ses points sont répartis par rapport à un axe donné. Utilisé pour déterminer la position du centre de poussée.
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse d'un fluide par unité de volume. Unité SI : \(\text{kg/m}^3\).
Analyse des Forces Hydrostatiques - Application

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