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Analyse d’un Système de Plancher en Bois

Analyse d’un Système de Plancher en Bois en Structure

Analyse d’un Système de Plancher en Bois

Contexte : De la solive au plancher, une vision d'ensemble.

Après avoir étudié le comportement d'une poutre isolée, nous passons à une échelle supérieure : l'analyse d'un système de plancher complet. En pratique, un plancher est constitué d'un ensemble de solives parallèles, recouvertes par un panneau (OSB, contreplaqué, etc.). La charge n'est pas appliquée directement sur une seule solive, mais sur une surface. La première étape cruciale de l'ingénieur est donc de déterminer comment cette charge surfacique se répartit sur chaque solive. L'entraxeDistance entre les axes de deux éléments porteurs consécutifs, comme des solives ou des fermes. C'est un paramètre clé du dimensionnement d'un plancher., ou l'espacement entre les solives, devient alors le paramètre de conception fondamental qui lie la performance du système à celle de ses composants individuels.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous fait passer du rôle d'analyste d'un élément à celui de concepteur d'un système. Le cœur du problème est la notion de "bande de chargement" : chaque solive doit supporter la charge appliquée sur la moitié de la distance qui la sépare de ses voisines. Nous allons donc transformer une charge surfacique (en \(\text{kN/m}^2\)) en une charge linéique (en \(\text{kN/m}\)) pour ensuite appliquer les méthodes de vérification que nous connaissons déjà.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et appliquer le concept de bande de chargement.
  • Convertir des charges surfaciques en charges linéiques sur une solive.
  • Calculer les sollicitations (moment, effort tranchant) à partir de ces charges.
  • Mener une vérification complète (flexion, cisaillement, flèche) d'un système de solivage.
  • Évaluer l'impact de l'entraxe sur la performance et la sécurité du plancher.

Données de l'étude

On étudie le plancher d'une chambre dans une maison à ossature bois. Le plancher est constitué de solives en bois de classe C18, espacées d'un entraxe de 600 mm. Un panneau OSB est fixé sur ces solives pour former le plancher.

Schéma du système de plancher
Charge surfacique (Gk+Qk) Entraxe E Portée L = 3.80 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Classe de résistance du bois - C18 -
Dimensions des solives \(b \times h\) 63 x 200 \(\text{mm}\)
Portée des solives \(L\) 3.80 \(\text{m}\)
Entraxe des solives \(E\) 600 \(\text{mm}\)
Charge permanente surfacique (plancher, plafond...) \(g_{\text{k}}\) 0.80 \(\text{kN/m}^2\)
Charge d'exploitation surfacique (habitation) \(q_{\text{k}}\) 2.0 \(\text{kN/m}^2\)
Conditions d'usage - Classe de service 1, charge de moyen terme -

Questions à traiter

  1. Calculer la charge linéique ELU (\(q_{\text{d}}\)) et ELS (\(q_{\text{ser}}\)) sur une solive.
  2. Vérifier la résistance de la solive à la flexion.
  3. Vérifier la résistance de la solive au cisaillement.
  4. Vérifier la flèche de la solive et conclure sur la validité du système de plancher.

Les bases du calcul des structures bois (Eurocode 5)

En plus des concepts de l'exercice précédent, un nouveau principe est essentiel ici :

La Bande de Chargement :
Pour analyser une solive, on considère qu'elle reprend les charges appliquées sur une "bande" de plancher dont la largeur est égale à son entraxe. Une charge surfacique \(S\) (en \(\text{kN/m}^2\)) est ainsi transformée en une charge linéique \(q\) (en \(\text{kN/m}\)) par la formule : \[ q \, (\text{kN/m}) = S \, (\text{kN/m}^2) \times E \, (\text{m}) \] Où \(E\) est l'entraxe. Cette charge linéique est ensuite utilisée pour tous les calculs sur la solive individuelle.

Correction : Analyse d’un Système de Plancher en Bois

Question 1 : Calculer les charges linéiques (ELU et ELS)

Principe (le concept physique)

Le plancher répartit sa charge sur les solives. Chaque solive supporte une zone d'influence, ou "bande de chargement", dont la largeur est l'entraxe. La première étape consiste à transformer les charges surfaciques (en \(\text{kN/m}^2\)) en charges par mètre linéaire (en \(\text{kN/m}\)) applicables à une seule solive. Ensuite, on applique les coefficients de sécurité pour obtenir les charges de calcul pour la résistance (ELU) et le confort (ELS).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La notion de bande de chargement est une simplification de la "zone tributaire" (tributary area) d'un élément porteur. On suppose que chaque point du plancher est supporté par la solive la plus proche. La ligne de partage se situe donc à mi-distance entre deux solives. La largeur de la bande de chargement pour une solive est donc \(E/2 + E/2 = E\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous et vos amis portez une large plaque. Si vous êtes espacés d'un mètre, chacun porte le poids de la plaque sur une largeur d'un mètre. C'est exactement le même principe ici : l'entraxe est la largeur de la "part de gâteau" que chaque solive doit supporter.

Normes (la référence réglementaire)

La méthode de répartition des charges est un principe de base de l'analyse des structures. Les combinaisons de charges sont définies dans l'EN 1990 (Eurocode 0). Les propriétés du bois C18 (masse volumique \(\rho_k = 320 \, \text{kg/m}^3\)) sont dans l'EN 338.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ G_{\text{k, lin}} = g_{\text{k}} \cdot E \]
\[ Q_{\text{k, lin}} = q_{\text{k}} \cdot E \]
\[ q_{\text{d,ELU}} = 1.35 \cdot (G_{\text{k, lin}} + G_{\text{pp}}) + 1.5 \cdot Q_{\text{k, lin}} \]
\[ q_{\text{ser,ELS}} = (G_{\text{k, lin}} + G_{\text{pp}}) + Q_{\text{k, lin}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le panneau OSB a une rigidité suffisante pour répartir uniformément les charges sur les solives.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges surfaciques : \(g_{\text{k}} = 0.80 \, \text{kN/m}^2\), \(q_{\text{k}} = 2.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entraxe : \(E = 600 \, \text{mm} = 0.6 \, \text{m}\)
  • Section : \(b=0.063 \, \text{m}\), \(h=0.200 \, \text{m}\)
  • Bois C18 : \(\rho_{\text{k}} = 320 \, \text{kg/m}^3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Assurez-vous que l'entraxe est en mètres lorsque vous le multipliez par une charge en \(\text{kN/m}^2\) pour obtenir un résultat cohérent en \(\text{kN/m}\).

Schéma (Avant les calculs)
Principe de la bande de chargement
Bande de chargementLargeur = E
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des charges linéiques caractéristiques :

\[ \begin{aligned} G_{\text{k, lin}} &= 0.80 \, \text{kN/m}^2 \cdot 0.6 \, \text{m} \\ &= 0.48 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q_{\text{k, lin}} &= 2.0 \, \text{kN/m}^2 \cdot 0.6 \, \text{m} \\ &= 1.20 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul du poids propre (\(G_{\text{pp}}\)) :

\[ \begin{aligned} G_{\text{pp}} &= (0.063 \, \text{m} \cdot 0.200 \, \text{m}) \times 320 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 39.55 \, \text{N/m} \\ &\approx 0.04 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

3. Calcul de la charge à l'ELU :

\[ \begin{aligned} q_{\text{d,ELU}} &= 1.35 \cdot (0.48 + 0.04) + 1.5 \cdot 1.20 \\ &= 0.702 + 1.80 \\ &= 2.502 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

4. Calcul de la charge à l'ELS :

\[ \begin{aligned} q_{\text{ser,ELS}} &= (0.48 + 0.04) + 1.20 \\ &= 1.72 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charges linéiques sur une solive
Charge ELUqd = 2.50 kN/mCharge ELSqser = 1.72 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les charges surfaciques ont été converties en charges linéiques. Ce sont ces nouvelles valeurs que nous utiliserons pour analyser la solive comme une simple poutre. La charge de résistance (ELU) est de 2.50 kN/m, tandis que la charge de service (ELS) est de 1.72 kN/m.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans les unités de l'entraxe (mm au lieu de m) lors de la conversion de la charge. Cela conduit à une erreur d'un facteur 1000 sur la charge linéique, et donc sur tout le reste du calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Charge linéique = Charge surfacique \(\times\) Entraxe.
  • Calculer d'abord les charges caractéristiques linéiques (\(G_{\text{k, lin}}, Q_{\text{k, lin}}\)).
  • Appliquer ensuite les combinaisons ELU et ELS.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les planchers en béton, le principe est similaire mais plus complexe. On analyse des "bandes de dalle" qui fonctionnent comme des poutres larges et plates. La répartition des charges dépend de la façon dont la dalle porte dans une ou deux directions.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il pour la solive de rive (au bord du plancher) ?

La solive de rive n'a une voisine que d'un seul côté. Sa bande de chargement est donc généralement deux fois plus petite (E/2). Elle est donc moins chargée que les solives courantes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge linéique de calcul à l'ELU est de 2.50 kN/m et la charge de service à l'ELS est de 1.72 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'entraxe était réduit à 450 mm (0.45 m), quelle serait la nouvelle charge ELU en kN/m ?

Question 2 : Vérifier la résistance à la flexion

Principe (le concept physique)

La flexion génère des contraintes de traction et de compression dans la section de la poutre. La contrainte est maximale sur les fibres extrêmes (en haut et en bas). On doit vérifier que cette contrainte maximale de calcul (\(\sigma_{\text{m,d}}\)), générée par le moment fléchissant maximal à l'ELU, ne dépasse pas la capacité de résistance du bois en flexion (\(f_{\text{m,d}}\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance de calcul en flexion \(f_{\text{m,d}}\) est obtenue en ajustant la résistance caractéristique \(f_{\text{m,k}}\) (donnée par la classe C18) avec le coefficient \(k_{\text{mod}}\) (pour l'humidité et la durée) et en la divisant par le coefficient de sécurité partiel du matériau \(\gamma_{\text{M}}\). Pour le bois, \(\gamma_{\text{M}}\) vaut généralement 1.3.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La résistance du bois est comme le "salaire" de la poutre. La contrainte est comme ses "dépenses". Le but de l'ingénieur est de s'assurer que les dépenses (contraintes) ne dépassent jamais le salaire (résistance), en gardant une petite marge de sécurité.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de la contrainte de flexion est une base de la RdM. Les valeurs de \(f_{\text{m,k}}\) pour C18 (18 MPa) sont dans l'EN 338. Le \(k_{\text{mod}}\) pour Classe de service 1 et charge de moyen terme est de 0.8 (Tableau 3.1, EN 1995-1-1). Le \(\gamma_{\text{M}}\) est de 1.3.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vérification : \(\sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}}\)

\[ \sigma_{\text{m,d}} = \frac{M_{\text{d}}}{W_{\text{y}}} \]
\[ M_{\text{d}} = \frac{q_{\text{d}} L^2}{8} \]
\[ W_{\text{y}} = \frac{b h^2}{6} \]
\[ f_{\text{m,d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{m,k}}}{\gamma_{\text{M}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre ne risque pas de déverser (flamber latéralement), ce qui est généralement le cas pour les solives de plancher tenues par le platelage.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(q_{\text{d}} = 2.502 \, \text{kN/m}\) (de Q1)
  • \(L = 3.80 \, \text{m}\)
  • \(b = 0.063 \, \text{m}\), \(h = 0.200 \, \text{m}\)
  • C18 : \(f_{\text{m,k}} = 18 \, \text{MPa}\)
  • Classe service 1, moyen terme : \(k_{\text{mod}} = 0.8\)
  • \(\gamma_{\text{M}} = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul du module de flexion \(W_{\text{y}}\) est récurrent. Pour les sections rectangulaires, mémoriser la formule \(bh^2/6\) est un gain de temps considérable.

Schéma (Avant les calculs)
Moment fléchissant ELU et contraintes attendues
Md = ?00Diagramme de Moment
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment de calcul \(M_{\text{d}}\) :

\[ \begin{aligned} M_{\text{d}} &= \frac{2.502 \, \text{kN/m} \cdot (3.80 \, \text{m})^2}{8} \\ &= 4.522 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul du module de flexion \(W_{\text{y}}\) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{y}} &= \frac{0.063 \, \text{m} \cdot (0.200 \, \text{m})^2}{6} \\ &= 0.00042 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

3. Calcul de la contrainte de calcul \(\sigma_{\text{m,d}}\) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,d}} &= \frac{4.522 \, \text{kN} \cdot \text{m}}{0.00042 \, \text{m}^3} \\ &\approx 10767 \, \text{kN/m}^2 \\ &\approx 10.77 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Calcul de la résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{m,d}} &= \frac{0.8 \cdot 18 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 11.08 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

5. Vérification :

\[ 10.77 \, \text{MPa} \le 11.08 \, \text{MPa} \quad (\text{OK!}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la contrainte de flexion
σ_d = 10.77Résistance f_d = 11.08 MPaOK ✔️ (Taux = 97%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte agissante (10.77 MPa) est juste inférieure à la capacité de résistance (11.08 MPa). La poutre résiste à la flexion, mais de justesse. Le taux de travail est de \(10.77 / 11.08 \approx 97\%\). C'est un dimensionnement très optimisé, qui ne laisse que peu de marge supplémentaire.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier le coefficient \(k_{\text{mod}}\) ou de se tromper dans sa valeur. Il réduit significativement la résistance du bois et son omission peut conduire à un dimensionnement non sécuritaire. De même, bien utiliser la charge ELU pour ce calcul est impératif.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance en flexion dépend de la classe du bois (\(f_{\text{m,k}}\)), de l'humidité et de la durée (\(k_{\text{mod}}\)).
  • La contrainte de flexion dépend du moment maximal (\(M_{\text{d}}\)) et de la géométrie de la section (\(W_{\text{y}}\)).
  • La vérification est : Contrainte \(\le\) Résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le bois lamellé-collé permet de fabriquer des poutres de très grande taille et de formes courbes, impossibles à réaliser avec du bois massif. En collant de petites lamelles de bois de haute qualité, on obtient un produit d'ingénierie très performant avec une résistance en flexion supérieure à celle du bois massif de même essence.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la contrainte dépasse la résistance ?

Si \(\sigma_{\text{m,d}} > f_{\text{m,d}}\), la poutre ne respecte pas les exigences de sécurité de l'Eurocode. L'ingénieur doit alors la redimensionner, soit en augmentant sa hauteur (solution la plus efficace), soit en augmentant sa largeur, soit en choisissant une classe de bois plus résistante (ex: C24 au lieu de C18).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de flexion de calcul (10.77 MPa) est inférieure à la résistance de calcul (11.08 MPa). La solive est donc validée vis-à-vis de la résistance en flexion.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la solive était en bois C24 (\(f_{\text{m,k}}=24\) MPa), quel serait le nouveau taux de travail en flexion (en %) ?

Question 3 : Vérifier la résistance au cisaillement

Principe (le concept physique)

L'effort tranchant, maximal aux appuis, génère des contraintes de cisaillement qui tendent à faire "glisser" les fibres de bois les unes sur les autres. On doit vérifier que cette contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{d}}\)) ne dépasse pas la résistance au cisaillement du bois (\(f_{\text{v,d}}\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une section rectangulaire, la distribution de la contrainte de cisaillement est parabolique, avec un maximum au centre de la section valant 1.5 fois la valeur moyenne (\(V_{\text{d}}/A\)). La vérification est donc \(\tau_{\text{d}} = 1.5 \cdot V_{\text{d}} / A \le f_{\text{v,d}}\). La résistance au cisaillement \(f_{\text{v,d}}\) est calculée de la même manière que pour la flexion, mais avec la résistance caractéristique au cisaillement \(f_{\text{v,k}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez pousser sur le dessus d'un jeu de cartes. Les cartes glissent les unes sur les autres. C'est l'effort de cisaillement. Dans une poutre, cet effort est maximal près des appuis, là où la charge est "transférée" au support.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de cisaillement est un résultat de la RdM (formule de Jourawski). La résistance \(f_{\text{v,k}}\) pour le bois C18 est de 3.8 MPa (EN 338). Les autres coefficients (\(k_{\text{mod}}\), \(\gamma_{\text{M}}\)) sont les mêmes que pour la flexion.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vérification : \(\tau_{\text{d}} \le f_{\text{v,d}}\)

\[ \tau_{\text{d}} = 1.5 \frac{V_{\text{d}}}{A} \]
\[ V_{\text{d}} = \frac{q_{\text{d}} L}{2} \]
\[ A = b h \]
\[ f_{\text{v,d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{v,k}}}{\gamma_{\text{M}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On ne considère pas de réduction de l'effort tranchant près des appuis, ce qui est une approche conservative (sécuritaire).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(q_{\text{d}} = 2.502 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 3.80 \, \text{m}\)
  • \(A = 0.063 \, \text{m} \times 0.200 \, \text{m} = 0.0126 \, \text{m}^2\)
  • C18 : \(f_{\text{v,k}} = 3.8 \, \text{MPa}\)
  • \(k_{\text{mod}} = 0.8\), \(\gamma_{\text{M}} = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul de l'effort tranchant maximal est simple : c'est la moitié de la charge totale sur la poutre (\(q_{\text{d}} \times L\)).

Schéma (Avant les calculs)
Effort tranchant ELU et contraintes attendues
Vd = ?-Vd = ?Diagramme d'Effort Tranchant
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'effort tranchant de calcul \(V_{\text{d}}\) :

\[ \begin{aligned} V_{\text{d}} &= \frac{2.502 \, \text{kN/m} \cdot 3.80 \, \text{m}}{2} \\ &= 4.754 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul de la contrainte de cisaillement \(\tau_{\text{d}}\) :

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{d}} &= 1.5 \cdot \frac{4.754 \, \text{kN}}{0.0126 \, \text{m}^2} \\ &\approx 566 \, \text{kN/m}^2 \\ &\approx 0.57 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Calcul de la résistance au cisaillement \(f_{\text{v,d}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{v,d}} &= \frac{0.8 \cdot 3.8 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 2.34 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Vérification :

\[ 0.57 \, \text{MPa} \le 2.34 \, \text{MPa} \quad (\text{OK!}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la contrainte de cisaillement
τ_d = 0.57Résistance f_v,d = 2.34 MPaOK ✔️ (Taux = 24%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme attendu, la contrainte de cisaillement est très faible par rapport à la résistance du bois (taux de travail de \(0.57/2.34 \approx 24\%\)). Ce critère n'est absolument pas dimensionnant pour cette solive.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur 1.5 pour les sections rectangulaires. Pour d'autres formes (comme les profilés en I), ce facteur est différent et le calcul est plus complexe. De plus, la résistance au cisaillement du bois est relativement faible par rapport à sa résistance en flexion, il ne faut donc jamais oublier de la vérifier.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le cisaillement est maximal aux appuis.
  • Pour une section rectangulaire, \(\tau_{\text{d}} = 1.5 \cdot V_{\text{d}} / A\).
  • Le cisaillement est rarement le critère principal pour les solives courantes, mais doit toujours être vérifié.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La rupture par cisaillement dans le bois se produit typiquement par un glissement le long du fil du bois. C'est pourquoi les assemblages (boulons, connecteurs) sont des points critiques pour le cisaillement, car ils peuvent induire des concentrations de contraintes qui amorcent ce type de rupture.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le cisaillement est-il maximal au centre de la section ?

Contrairement à la flexion, où les fibres extrêmes travaillent le plus, le cisaillement est un effort de glissement entre couches. L'effort de glissement est nul sur les faces supérieure et inférieure (il n'y a rien au-dessus ou en dessous pour "glisser" contre) et il est maximal sur l'axe neutre, au cœur de la section.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de cisaillement de calcul (0.57 MPa) est inférieure à la résistance de calcul (2.34 MPa). La solive est validée vis-à-vis du cisaillement.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la largeur b de la solive était réduite à 45 mm, quelle serait la nouvelle contrainte de cisaillement en MPa ?

Question 4 : Vérifier la flèche et conclure

Principe (le concept physique)

La vérification de la flèche ne concerne pas la sécurité (rupture) mais le confort des usagers et l'intégrité des éléments non structuraux (cloisons, carrelages). Une flèche excessive peut provoquer une sensation d'insécurité ou des fissures. On calcule donc la déformation de la poutre sous les charges de service (ELS) et on la compare à une limite admissible, généralement une fraction de la portée (ex: L/300).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La flèche est calculée avec le module d'élasticité moyen du matériau (\(E_{\text{0,mean}}\)), car on s'intéresse au comportement moyen de la structure, et non à une valeur minimale de sécurité. La formule de la flèche pour une charge uniformément répartie est un classique de la RdM.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est souvent ce critère de "confort" qui dicte la taille d'une solive de plancher. Une solive peut être assez résistante pour ne pas casser, mais si elle est trop souple, le plancher "rebondira" sous les pas, ce qui est très désagréable. La limitation de la flèche garantit la rigidité nécessaire.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de la flèche est \(5qL^4/(384EI)\). Le module \(E_{\text{0,mean}}\) pour le C18 est de 9000 MPa (EN 338). Les limites de flèche sont recommandées dans l'Annexe Nationale de l'Eurocode 5. Une limite courante pour la flèche nette finale (prenant en compte le fluage) est L/300.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vérification : \(f_{\text{net,fin}} \le f_{\text{lim}}\)

\[ f_{\text{net,fin}} = \frac{5 \cdot q_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E_{\text{0,mean}} \cdot I_{\text{y}}} \]
\[ I_{\text{y}} = \frac{b h^3}{12} \]
\[ f_{\text{lim}} = \frac{L}{300} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On calcule la flèche finale, incluant l'effet du fluage du bois (déformation différée dans le temps). Pour simplifier, nous utiliserons la formule de la flèche instantanée, qui est une première approche souvent suffisante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(q_{\text{ser}} = 1.72 \, \text{kN/m} = 1.72 \, \text{N/mm}\)
  • \(L = 3800 \, \text{mm}\)
  • \(b = 63 \, \text{mm}\), \(h = 200 \, \text{mm}\)
  • C18 : \(E_{\text{0,mean}} = 9000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La puissance 4 dans la formule de la flèche signifie que la portée a un impact énorme. Doubler la portée multiplie la flèche par \(2^4 = 16\). C'est le paramètre le plus sensible dans le calcul de déformation.

Schéma (Avant les calculs)
Déformation attendue de la solive
f = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment quadratique \(I_{\text{y}}\) (en mm⁴) :

\[ \begin{aligned} I_{\text{y}} &= \frac{63 \cdot (200)^3}{12} \\ &= 4.2 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul de la flèche finale \(f_{\text{net,fin}}\) (en mm) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{net,fin}} &= \frac{5 \cdot (1.72 \, \text{N/mm}) \cdot (3800 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (9000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (4.2 \times 10^7 \, \text{mm}^4)} \\ &\approx 12.3 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche limite \(f_{\text{lim}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{lim}} &= \frac{3800 \, \text{mm}}{300} \\ &\approx 12.7 \, \text{mm} \end{aligned} \]

4. Vérification :

\[ 12.3 \, \text{mm} \le 12.7 \, \text{mm} \quad (\text{OK!}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la flèche
f_calc = 12.3 mmFlèche Limite f_lim = 12.7 mmOK ✔️ (Taux = 97%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche calculée est aussi très proche de la limite admissible (taux de travail de 97%). Cela confirme que pour ce type de portée, c'est bien le critère de déformation qui est le plus contraignant, en tandem avec la flexion. Le dimensionnement est très optimisé. Une petite augmentation de la portée ou des charges rendrait le système non conforme.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La cohérence des unités est CRUCIALE ici à cause de la puissance 4 sur la longueur L. Une erreur d'un facteur 10 (entre cm et mm par exemple) conduit à une erreur d'un facteur 10⁴ = 10 000 ! Il est fortement recommandé de tout passer en N et mm pour ce calcul. De plus, il faut bien utiliser la charge ELS et le module moyen \(E_{\text{0,mean}}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la flèche se fait à l'ELS (\(G+Q\)).
  • On utilise le module d'élasticité moyen \(E_{\text{0,mean}}\).
  • La flèche calculée doit être inférieure à une limite (souvent L/300 à L/500).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les planchers, on vérifie aussi souvent un critère de vibration. Une poutre peut avoir une flèche acceptable mais vibrer de manière inconfortable lorsque l'on marche dessus. L'Eurocode 5 propose des méthodes pour vérifier la fréquence propre du plancher et s'assurer qu'elle est suffisamment élevée pour garantir le confort vibratoire.

FAQ (pour lever les doutes)
La limite de flèche est-elle toujours L/300 ?

Non, c'est une valeur courante mais elle peut varier. Pour des éléments supportant des finitions fragiles (comme du plâtre ou du carrelage), on peut exiger une limite plus stricte, comme L/400 ou L/500. Pour des éléments de charpente non visibles, une limite plus souple comme L/250 peut être acceptée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche finale (12.3 mm) est inférieure à la flèche limite (12.7 mm). La solive est validée vis-à-vis de la déformation. Puisque les 3 critères (flexion, cisaillement, flèche) sont respectés, le système de plancher avec un entraxe de 600 mm est correctement dimensionné.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la hauteur h de la solive passait à 225 mm, quelle serait la nouvelle flèche en mm ?

Outil Interactif : Paramètres du Plancher

Modifiez les paramètres du plancher pour voir leur influence sur les taux de travail.

Paramètres d'Entrée
600 mm
200 mm
2.0 kN/m²
Résultats (Taux de Travail)
Flexion (\(\sigma_{\text{d}} / f_{\text{m,d}}\)) -
Cisaillement (\(\tau_{\text{d}} / f_{\text{v,d}}\)) -
Flèche (\(f_{\text{net}} / f_{\text{lim}}\)) -

Le Saviez-Vous ?

Le bois lamellé-croisé, ou CLT (Cross-Laminated Timber), est un produit d'ingénierie révolutionnaire. Il est constitué de planches de bois collées en couches perpendiculaires les unes aux autres. Cela crée de grands panneaux massifs qui sont stables et résistants dans les deux directions, leur permettant d'être utilisés comme des murs porteurs ou des dalles de plancher, et de construire des immeubles en bois de plusieurs étages.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utilise-t-on des coefficients comme \(k_{\text{mod}}\) pour le bois et pas pour l'acier ?

L'acier est un matériau industriel très homogène et isotrope dont les propriétés varient peu avec la température (dans les gammes usuelles) ou l'humidité. Le bois, en tant que matériau naturel, est beaucoup plus sensible à son environnement (humidité) et à la manière dont il est chargé (durée). Les coefficients comme \(k_{\text{mod}}\) sont donc nécessaires pour ajuster sa résistance de référence à ses conditions réelles d'utilisation.

Quel est l'entraxe optimal pour un plancher ?

Il n'y a pas un seul entraxe "optimal", c'est un compromis. Un entraxe faible (ex: 400 mm) nécessite plus de solives (plus de bois, plus de travail) mais permet d'utiliser des solives moins hautes ou des panneaux de plancher plus fins. Un entraxe plus grand (ex: 600 mm) est plus économique en solives, mais exige des solives plus robustes et des panneaux plus épais. Le choix dépend du coût, de la portée, des charges et des contraintes de hauteur.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente l'entraxe des solives (en gardant les mêmes charges surfaciques), la charge linéique sur chaque solive...

2. Pour un plancher en bois, le critère le plus souvent dimensionnant (le plus difficile à respecter) pour des portées moyennes est...

Entraxe (E)
Distance mesurée entre les axes de deux éléments porteurs parallèles et consécutifs (ex: solives). C'est un paramètre fondamental pour la répartition des charges.
Bande de chargement
Surface d'influence d'un élément porteur linéaire (comme une solive). Sa largeur est généralement égale à l'entraxe pour les éléments courants.
Charge surfacique
Charge appliquée sur une surface, exprimée en force par unité de surface (ex: \(\text{kN/m}^2\) ou Pa).
Charge linéique
Charge appliquée le long d'une ligne, exprimée en force par unité de longueur (ex: \(\text{kN/m}\)).
Analyse d’un Système de Plancher en Bois

D’autres exercices de structure en bois:

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