Études de cas pratique

EGC

Analyse de la Contrainte et Déformation

Analyse de la Contrainte et Déformation

Analyse de la Contrainte et Déformation

Comprendre la Contrainte et la Déformation Axiales

Lorsqu'un élément structural est soumis à des forces axiales (traction ou compression), il subit une contrainte interne et une déformation. La contrainte normale (\(\sigma\)) est la force par unité d'aire, tandis que la déformation axiale (\(\epsilon\)) est le changement relatif de longueur. Dans le domaine élastique linéaire d'un matériau, ces deux grandeurs sont liées par le module d'Young (\(E\)), une propriété du matériau, selon la loi de Hooke : \(\sigma = E \epsilon\). Comprendre cette relation est fondamental pour prédire le comportement des structures sous charge.

Données de l'étude

Une barre prismatique en aluminium de section rectangulaire est soumise à un effort de traction axial \(N = 60 \, \text{kN}\).

Caractéristiques de la barre et du matériau :

  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(500 \, \text{mm}\)
  • Dimensions de la section rectangulaire :
    • Largeur (\(b\)) : \(20 \, \text{mm}\)
    • Hauteur (\(h\)) : \(30 \, \text{mm}\)
  • Module d'Young de l'aluminium (\(E\)) : \(70 \, \text{GPa}\)

Objectif : Calculer la contrainte normale, la déformation axiale et l'allongement total de la barre.

Schéma : Barre Rectangulaire en Traction
État initial N N L0 = 500 mm b=20 h=30 Section ΔL

Barre rectangulaire soumise à une traction axiale N, montrant l'allongement \(\Delta L\).

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire (\(A\)) de la section transversale de la barre.
  2. Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) dans la barre.
  3. Calculer la déformation axiale (\(\epsilon\)) de la barre.
  4. Déterminer l'allongement total (\(\Delta L\)) de la barre.

Correction : Analyse de la Contrainte et Déformation

Question 1 : Aire (\(A\)) de la Section Transversale

Principe :

L'aire d'une section rectangulaire de largeur \(b\) et de hauteur \(h\) est donnée par la formule \(A = b \cdot h\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = b \cdot h\]
Données spécifiques :
  • Largeur (\(b\)) : \(20 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(30 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= 20 \, \text{mm} \cdot 30 \, \text{mm} \\ &= 600 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale est \(A = 600 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte Normale (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) est le rapport de l'effort axial normal (\(N\)) à l'aire de la section transversale (\(A\)) sur laquelle il s'applique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = \frac{N}{A}\]
Données spécifiques :
  • Effort axial (\(N\)) : \(60 \, \text{kN} = 60000 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A\)) : \(600 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{60000 \, \text{N}}{600 \, \text{mm}^2} \\ &= 100 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 100 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale dans la barre est \(\sigma = 100 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Déformation Axiale (\(\epsilon\))

Principe :

La déformation axiale (\(\epsilon\)), ou allongement relatif, est reliée à la contrainte axiale (\(\sigma\)) par le module d'Young (\(E\)) selon la loi de Hooke : \(\sigma = E \epsilon\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon = \frac{\sigma}{E}\]
Données spécifiques :
  • Contrainte normale (\(\sigma\)) : \(100 \, \text{MPa}\)
  • Module d'Young (\(E\)) : \(70 \, \text{GPa} = 70 \times 10^3 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{100 \, \text{MPa}}{70 \times 10^3 \, \text{MPa}} \\ &= \frac{100}{70000} \\ &= \frac{1}{700} \\ &\approx 0.00142857 \end{aligned} \]

La déformation est adimensionnelle.

Résultat Question 3 : La déformation axiale est \(\epsilon \approx 0.001429\).

Question 4 : Allongement Total (\(\Delta L\))

Principe :

L'allongement total (\(\Delta L\)) est le produit de la déformation axiale (\(\epsilon\)) et de la longueur initiale (\(L_0\)). Alternativement, il peut être calculé directement avec la formule \(\Delta L = \frac{NL_0}{AE}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta L = \epsilon \cdot L_0 \quad \text{ou} \quad \Delta L = \frac{N L_0}{A E}\]
Données spécifiques :
  • Déformation axiale (\(\epsilon\)) : \(1/700 \approx 0.00142857\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(500 \, \text{mm}\)
  • Ou : \(N=60000 \, \text{N}\), \(A=600 \, \text{mm}^2\), \(E=70000 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul (méthode 1) :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= \left(\frac{1}{700}\right) \cdot 500 \, \text{mm} \\ &= \frac{500}{700} \, \text{mm} \\ &= \frac{5}{7} \, \text{mm} \\ &\approx 0.7142857 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Calcul (méthode 2) :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= \frac{N L_0}{A E} \\ &= \frac{60000 \, \text{N} \cdot 500 \, \text{mm}}{(600 \, \text{mm}^2) \cdot (70000 \, \text{N/mm}^2)} \\ &= \frac{30 \cdot 10^6 \, \text{Nmm}}{42 \cdot 10^6 \, \text{Nmm}} \\ &= \frac{30}{42} \, \text{mm} \\ &= \frac{5}{7} \, \text{mm} \\ &\approx 0.7142857 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'allongement total de la barre est \(\Delta L \approx 0.714 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le module d'Young du matériau était plus élevé (par exemple, acier au lieu d'aluminium), l'allongement \(\Delta L\) pour la même charge et les mêmes dimensions serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. La contrainte normale (\(\sigma\)) est définie comme :

6. La déformation axiale (\(\epsilon\)) est :

7. Selon la loi de Hooke, si la contrainte double, la déformation (dans le domaine élastique) :

Glossaire

Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne agissant perpendiculairement par unité de surface d'une section transversale d'un corps. Peut être de traction ou de compression.
Déformation Axiale (\(\epsilon\))
Mesure du changement relatif de longueur d'un corps sous l'effet d'une contrainte axiale (\(\epsilon = \Delta L / L_0\)). Aussi appelée déformation longitudinale ou allongement/raccourcissement relatif.
Loi de Hooke
Relation linéaire entre la contrainte et la déformation pour un matériau élastique : \(\sigma = E \epsilon\).
Module d'Young (\(E\))
Constante de proportionnalité entre la contrainte et la déformation axiale dans le domaine élastique. Il mesure la rigidité du matériau.
Allongement / Raccourcissement (\(\Delta L\))
Variation absolue de la longueur d'un objet due à une sollicitation. \(\Delta L = \epsilon \cdot L_0 = \frac{NL_0}{AE}\).
Traction
Sollicitation qui tend à étirer ou allonger un corps.
Compression
Sollicitation qui tend à écraser ou raccourcir un corps.
Domaine Élastique
Plage de contrainte dans laquelle un matériau reprend sa forme initiale après suppression de la charge.
Analyse de la Contrainte et Déformation - Exercice d'Application

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