Vérification de l’équilibre des forces verticales
Comprendre la Vérification de l’équilibre des forces verticales
Vous êtes ingénieur en structure et travaillez sur la conception d’un pont piétonnier. Ce pont est modélisé par une poutre complexe soutenue par deux appuis : un appui fixe (encastrement) à l’une de ses extrémités et un appui simple (rouleau) à l’autre extrémité. La poutre est soumise à des charges réparties et concentrées dues au poids des passants et à l’installation d’éclairages le long du pont.
Pour comprendre le calcul de la Poutre encastrée et Diagramme des Moments, cliquez sur le lien.
Données:
- Longueur de la poutre, L, est de 20 m.
- Une charge uniformément répartie, q, de 5 kN/m sur toute la longueur de la poutre due au poids des passants.
- Une charge concentrée, P, de 30 kN à 5 m du support encastrement due à un élément d’éclairage.
- Le poids propre de la poutre est négligé.
- Le système est en équilibre statique.
Questions:
1. Dessiner le schéma de la poutre avec toutes les charges appliquées et les réactions d’appui.
2. Calculer les réactions aux appuis (notées RA pour l’encastrement et RB pour le rouleau).
3. Vérifier l’équilibre de la poutre en utilisant les équations d’équilibre : \(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\), \(\sum M_A = 0\).
Correction : Vérification de l’équilibre des forces verticales
1. Schéma et repérage
On représente la poutre de longueur \( L = 20 \, \text{m} \) avec :
- Un appui encastré (A) à l’extrémité gauche, qui fournit une réaction verticale \( R_A \) (et des réactions horizontales et moment, ici nous nous concentrons sur le vertical).
- Un appui rouleau (B) à l’extrémité droite, fournissant une réaction verticale \( R_B \).
Les charges appliquées sont :
- Une charge uniformément répartie \( q = 5 \, \text{kN/m} \) agissant sur toute la longueur de la poutre.\\
\(\Rightarrow\) La charge totale due à \( q \) est :
\[ Q = q \times L \] \[ Q = 5 \, \text{kN/m} \times 20 \, \text{m} \] \[ Q = 100 \, \text{kN} \]
Cette charge s’exerce en un point équivalent situé au centre de la poutre, soit à \( \frac{L}{2} = 10 \, \text{m} \) de l’appui A.
\item \textbf{Une charge concentrée} \( P = 30 \, \text{kN} \) appliquée à \( 5 \, \text{m} \) de l’appui encastrement A.
Schéma (représentation schématique) :
- La poutre horizontale de 20 m.
- À A (gauche) : appui encastré avec \( R_A \).
- À B (droite) : appui rouleau avec \( R_B \).
- La charge répartie \( q = 5 \, \text{kN/m} \) agit sur toute la poutre (équivalent à une charge de 100 kN concentrée en 10 m de A).
- La charge concentrée \( P = 30 \, \text{kN} \) est appliquée à 5 m de A.
2. Calcul des réactions aux appuis
Nous appliquons les équations d’équilibre pour le système (statique et plan) :
a) Équilibre vertical (\(\sum F_y = 0\))
Formule :
\[ R_A + R_B = \text{Total des charges appliquées} \]
Données :
- Charge répartie : \(100 \, \text{kN}\)
- Charge concentrée : \(30 \, \text{kN}\)
Calcul :
\[ R_A + R_B = 100 \, \text{kN} + 30 \, \text{kN} = 130 \, \text{kN} \]
(1) \(R_A + R_B = 130 \, \text{kN}\)
b) Équilibre des moments par rapport à A (\(\sum M_A = 0\))
Pour éliminer la réaction \( R_A \) (et le moment d’encastrement) de l’équation, on prend les moments autour de A. Les contributions sont :
- La réaction \( R_B \) (à \( L = 20 \, \text{m} \) de A) génère un moment dans le sens anti-horaire.
- La charge répartie \( Q = 100 \, \text{kN} \) génère un moment (sa ligne d’action passant par 10 m de A) dans le sens horaire.
- La charge concentrée \( P = 30 \, \text{kN} \) à 5 m de A génère également un moment horaire.
Formule :
\[ \sum M_A = 0 = R_B \times L – Q \times \left(\frac{L}{2}\right) – P \times 5 \]
Données :
- \( L = 20 \, \text{m} \)
- \( Q = 100 \, \text{kN} \) et son bras de levier \( = 10 \, \text{m} \)
- \( P = 30 \, \text{kN} \) et son bras de levier \( = 5 \, \text{m} \)
Calcul :
\[ R_B \times 20 – 100 \times 10 – 30 \times 5 = 0 \] \[ R_B \times 20 – 1000 – 150 = 0 \] \[ \Rightarrow \quad R_B \times 20 = 1150 \, \text{kN·m} \] \[ R_B = \frac{1150}{20} = 57,5 \, \text{kN} \]
Résultat : \( R_B = 57,5 \, \text{kN} \)
c) Détermination de \( R_A \) via \(\sum F_y = 0\)
Formule :
\[ R_A = 130 \, \text{kN} – R_B \]
Calcul :
\[ R_A = 130 \, \text{kN} – 57,5 \, \text{kN} = 72,5 \, \text{kN} \]
Résultat : \( R_A = 72,5 \, \text{kN} \)
3. Vérification de l’équilibre de la poutre
a) Vérification \(\sum F_x = 0\)
Dans cet exercice, aucune charge horizontale n’est appliquée.
Formule :
\[ \sum F_x = 0 \]
Données et calcul :
Aucune force horizontale \(\rightarrow\) Équilibre vérifié.
b) Vérification \(\sum F_y = 0\)
Reprise du calcul précédent :
\[ R_A + R_B = 72,5 \, \text{kN} + 57,5 \, \text{kN} \] \[ R_A + R_B = 130 \, \text{kN} \]
Total des charges appliquées = \(100 \, \text{kN} + 30 \, \text{kN} = 130 \, \text{kN}\)
Conclusion : \(\sum F_y = 0\) est vérifié.
c) Vérification \(\sum M_A = 0\)
Reprise du calcul du moment autour de A :
\[ R_B \times 20 – 100 \times 10 – 30 \times 5 = 57,5 \, \text{kN} \times 20 – 1000 \, \text{kN·m} – 150 \, \text{kN·m} \]
\[ = 1150 \, \text{kN·m} – 1000 \, \text{kN·m} – 150 \, \text{kN·m} = 0 \, \text{kN·m} \]
Conclusion : \(\sum M_A = 0\) est vérifié.
Vérification de l’équilibre des forces verticales
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