Module d’Élasticité et de Résistance sous Charge
📝 Situation du Projet
Vous exercez en tant qu'ingénieur structure au sein du Bureau d'Études Techniques "Structure & Conception", mandaté pour superviser la qualité des matériaux de la passerelle piétonne haubanée "Le Lien". Cet ouvrage d'art, qui franchit une voie rapide urbaine avec une portée principale de \(60 \text{ mètres}\), repose intégralement sur un système de câbles en acier haute performance. La sécurité des usagers dépend directement de la capacité de ces tirants à rester dans le domaine élastique sous les charges de service (piétons, vent).
Une non-conformité potentielle a été signalée lors de la réception du lot de tirants n°42 : les certificats matière semblent incomplets. Il existe un risque critique que l'acier livré soit d'une nuance inférieure (S355 au lieu du S460 spécifié), ce qui compromettrait la stabilité de l'ouvrage. Pour lever ce doute sans équivoque, un échantillon représentatif a été prélevé sur le tirant T2 et envoyé au laboratoire pour un essai de traction destructif normalisé.
Votre rôle est crucial : vous devez analyser les données brutes issues de la machine de traction pour recalculer les paramètres intrinsèques du matériau. Votre validation conditionnera l'installation des haubans ou leur rebut total.
En tant qu'Expert Structure, vous devez déterminer expérimentalement le Module d'Élasticité (Young) et la Limite Élastique de l'acier livré à partir des relevés d'essais, puis conclure formellement sur la conformité de la pièce vis-à-vis des notes de calculs initiales (Eurocode 3).
"Attention, ne confondez pas la charge appliquée (Force) avec la contrainte interne (Stress). Les décisions de conformité se prennent toujours sur les valeurs de contraintes (MPa) et non sur les forces brutes (kN), car cela dépend de la section du câble. Soyez précis sur les conversions d'unités."
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif, matériel et expérimental du projet. Ces données sont issues du CCTP du marché de travaux et du rapport brut d'essai fourni par le technicien de laboratoire. Elles constituent la base incontestable pour votre analyse.
📚 Référentiel Normatif & Hypothèses
L'étude s'inscrit strictement dans le cadre des normes européennes de construction métallique. Toute déviation par rapport à ces standards invaliderait le résultat.
NF EN ISO 6892-1 (Essai Traction)Eurocode 3 (Acier)Bien que l'essai soit mécanique, il est utile de rappeler les caractéristiques standards de l'alliage commandé (Acier S460). Ces valeurs servent de repère pour valider la cohérence des résultats obtenus.
| CONSTANTES MATÉRIAU (ACIER) | |
| Masse Volumique | \(7\,850 \text{ kg/m}^3\) |
| Coefficient de Poisson (\(\nu\)) | \(0.3\) |
| Coefficient de Dilatation Thermique | \(12 \times 10^{-6} \text{ /°C}\) |
| OBJECTIF DE QUALITÉ | |
| Nuance Commandée | S460 (Haute Limite Élastique) |
L'éprouvette a été usinée dans la masse du câble T2. Ses dimensions ont été relevées au micromètre laser avant la mise en charge, conformément au protocole ISO. Ces valeurs initiales sont celles qui servent à calculer la contrainte nominale.
| DIMENSIONS INITIALES | |
| Diamètre initial utile | \(d_0 = 13.8 \text{ mm}\) |
| Longueur initiale utile (entre repères) | \(L_0 = 100 \text{ mm}\) |
📊 Relevé Expérimental du Banc d'Essai
Le banc de traction hydraulique de \(200 \text{ kN}\), asservi en déplacement, a permis d'enregistrer la courbe Force-Allongement. Le technicien a extrait quatre points clés caractéristiques du comportement du matériau lors de la montée en charge progressive :
| Point | Description Comportementale | Force Mesurée (kN) | Allongement \(\Delta L\) (mm) |
|---|---|---|---|
| A | État initial (Repos) | \(0\) | \(0\) |
| B | Zone élastique linéaire (intermédiaire) | \(31.4\) | \(0.10\) |
| C | Limite de proportionnalité (Fin zone linéaire) | \(62.8\) | \(0.20\) |
| D | Début du plateau plastique (Écoulement) | \(75.0\) | Non mesuré (Grandes déformations) |
⚖️ Charges de Projet & Sécurité
Pour valider l'éprouvette, il ne suffit pas de caractériser le matériau, il faut le confronter aux charges réelles que subira la passerelle. Le bureau d'études a défini les descentes de charges suivantes :
Critères de Validation
En résumé, voici les 4 valeurs critiques que vous devrez utiliser dans vos calculs pour la suite de l'étude :
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Diamètre initial | \(d_0\) | \(13.8\) | mm |
| Longueur jauge | \(L_0\) | \(100\) | mm |
| Force Point Linéaire | \(F_{\text{lin}}\) | \(62.8\) | kN |
| Allongement Point Linéaire | \(\Delta L_{\text{lin}}\) | \(0.20\) | mm |
E. Protocole de Résolution
Pour passer des mesures brutes (Force en Newton) aux propriétés du matériau (Contrainte en Pascal), nous allons suivre une démarche rigoureuse de normalisation des données.
Normalisation des Données
Calcul de la section initiale \(S_0\), puis conversion des forces en contraintes \(\sigma\) et des allongements en déformations \(\varepsilon\).
Identification de la Rigidité (Young)
Détermination de la pente de la droite élastique pour obtenir le Module de Young \(E\).
Caractérisation de la Résistance
Identification de la limite élastique \(R_e\) (ou \(f_y\)), seuil critique avant déformation irréversible.
Validation Structurelle
Confrontation de la résistance calculée \(N_{\text{Rd}}\) aux charges de projet \(N_{\text{Ed}}\) selon l'Eurocode.
Module d’Élasticité et de Résistance sous Charge
🎯 Objectif
L'objectif fondamental de cette première étape est de s'affranchir de la géométrie spécifique de l'éprouvette testée. En effet, la Force (en Newtons) et l'Allongement (en mm) sont des grandeurs dites "extensives" : elles dépendent de la quantité de matière (un gros câble résiste mieux qu'un fil fin). Pour caractériser le matériau lui-même (l'acier), et non la pièce, nous devons transformer ces grandeurs en grandeurs "intensives" : la Contrainte normale \(\sigma\) et la Déformation conventionnelle \(\varepsilon\).
📚 Référentiel
ISO 6892-1 (Méthode A)Avant de manipuler la moindre formule, il faut impérativement calculer la section transversale de l'éprouvette (\(S_0\)). C'est la surface sur laquelle la force est répartie. Attention aux unités ! En Résistance des Matériaux, l'unité reine est le MPa (Mégapascal), qui est mathématiquement équivalent au N/mm². C'est une astuce cruciale : en gardant les forces en Newtons (\(N\)) et les surfaces en millimètres carrés (\(mm^2\)), le résultat sort directement en MPa sans conversion hasardeuse de puissances de 10.
Dans le domaine élastique (réversible), les atomes de fer s'écartent les uns des autres sans rompre leurs liaisons.
- La Contrainte \(\sigma\) (Sigma) mesure l'intensité des forces de cohésion interne sur une petite surface. C'est une "pression" interne négative qui retient la matière.
- La Déformation \(\varepsilon\) (Epsilon) est un pourcentage d'allongement sans dimension. \(\varepsilon = 0.01\) signifie que la pièce s'est allongée de 1%.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Diamètre \(d_0\) | \(13.8 \text{ mm}\) |
| Force au point C \(F_{\text{C}}\) | \(62.8 \text{ kN}\) |
| Allongement au point C \(\Delta L_{\text{C}}\) | \(0.20 \text{ mm}\) |
| Longueur initiale \(L_0\) | \(100 \text{ mm}\) |
Pour éviter les erreurs d'un facteur 1000 ou 1 000 000, convertissez systématiquement vos forces en Newtons (N) et vos longueurs en millimètres (mm). Ainsi, \(1 \text{ N/mm}^2 = 1 \text{ MPa}\). Ne convertissez jamais en Mètres ou en Pascals sauf si c'est explicitement demandé en physique fondamentale.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous allons effectuer les calculs pour le Point C, qui correspond à la fin de la zone linéaire proportionnelle. C'est le point critique pour nos calculs futurs.
1. Calcul de la Section Initiale (\(S_0\)) :
🔎 Manipulations & Raisonnement :Nous partons de la définition géométrique d'un cercle. La formule classique est \(\pi R^2\), mais en ingénierie, on mesure toujours le diamètre \(d\). Nous remplaçons donc \(R\) par \(d/2\), ce qui donne la formule standardisée \(\pi d^2 / 4\). Cette surface représente la quantité de matière disponible pour résister à la traction.
Interprétation : La surface de matière disponible pour résister à la traction est d'environ \(150 \text{ mm}^2\).
2. Conversion de la Force (\(F_{\text{C}}\)) :
🔎 Manipulations & Raisonnement :La force est donnée en kilonewtons (kN) sur le banc d'essai car les valeurs sont grandes. Pour être cohérent avec les millimètres carrés et obtenir des MégaPascals, nous devons multiplier par 1000 pour revenir à l'unité SI dérivée : le Newton (N).
Interprétation : Cela correspond au poids d'une masse d'environ 6,4 tonnes suspendue au câble.
3. Calcul de la Contrainte au point C (\(\sigma_{\text{C}}\)) :
🔎 Manipulations & Raisonnement :Nous appliquons ici le concept de pression (Force sur Surface). Nous divisons la force totale (en N) par la surface calculée précédemment (en mm²). C'est une simple division qui nous donne la densité d'effort interne.
Interprétation : Chaque millimètre carré de la section du câble supporte une charge de 420 Newtons.
4. Calcul de la Déformation au point C (\(\varepsilon_{\text{C}}\)) :
🔎 Manipulations & Raisonnement :Nous cherchons un pourcentage d'allongement. Nous divisons l'allongement absolu (0.20 mm) par la longueur de référence initiale (100 mm). Le résultat est sans dimension (mm/mm s'annulent).
Interprétation : Le câble s'est allongé de \(0.2\%\) de sa longueur totale sous cette charge.
✅ Interprétation Globale de l'étape : Nous avons réussi à normaliser les données brutes. Nous disposons maintenant d'un couple (Contrainte, Déformation) indépendant de la taille de l'échantillon, qui nous servira de base pour déterminer les propriétés intrinsèques du matériau.
\(420 \text{ MPa}\) est une contrainte élevée mais réaliste pour de l'acier. Si nous avions trouvé \(4000 \text{ MPa}\) (facteur 10), cela aurait été impossible (acier ultra-résistant rare). Si nous avions trouvé \(40 \text{ MPa}\), ce serait du plastique.
Une erreur classique est d'utiliser la longueur totale du câble (60 mètres) pour \(L_0\). Dans l'essai, \(L_0\) est uniquement la longueur entre les mors de la machine (100 mm). De plus, n'oubliez jamais de multiplier les kN par 1000 pour obtenir des N.
🎯 Objectif
Le Module de Young (\(E\)) représente la "rigidité" intrinsèque du matériau. Plus \(E\) est élevé, moins le matériau se déforme sous une charge donnée. Pour l'acier, c'est une constante fondamentale liée à la force des liaisons atomiques fer-fer. Notre but est de vérifier si cet acier est bien "standard" en calculant la pente de la droite dans la zone élastique.
📚 Référentiel
Loi de Hooke (Physique des Solides)Graphiquement, sur un diagramme Contrainte-Déformation (\(\sigma - \varepsilon\)), le Module de Young correspond au coefficient directeur (la pente) de la partie rectiligne initiale. Pour le calculer, il suffit de prendre deux points sur cette droite : le point origine A \((0, 0)\) et le point C \((420, 0.002)\) calculé précédemment.
Contrairement à la limite élastique qui varie selon les traitements thermiques, le Module de Young de l'acier est quasi-immuable (environ \(210\,000 \text{ MPa}\)), car il dépend de la structure cristalline du fer. Une déviation significative indiquerait une pollution majeure de l'alliage.
Dérivée de la loi de Hooke :
Étape 1 : Données de calcul
| Point | Contrainte \(\sigma\) (MPa) | Déformation \(\varepsilon\) (sans dim.) |
|---|---|---|
| Point A (Origine) | \(0\) | \(0\) |
| Point C (Linéaire) | \(420\) | \(0.0020\) |
Pour plus de précision, prenez toujours les deux points les plus éloignés possibles sur la droite linéaire. Ne prenez pas deux points trop proches, car les petites erreurs de mesure seraient amplifiées.
Étape 2 : Calcul Détaillé
Appliquons la formule du taux d'accroissement avec nos valeurs.
Calcul du Module d'Élasticité :
🔎 Manipulations & Raisonnement :C'est une application directe du calcul de pente (\(\Delta y / \Delta x\)). Nous soustrayons les coordonnées du point A à celles du point C pour obtenir les variations ("deltas").
Conversion en GigaPascals :
🔎 Manipulations & Raisonnement :Les valeurs en MPa sont souvent très grandes pour le module de Young. Pour faciliter la lecture et la communication, on divise par 1000 pour passer en GigaPascals (GPa).
Le résultat obtenu est de \(210 \text{ GPa}\). C'est la valeur exacte théorique attendue pour un acier de construction standard. Cela confirme que la structure cristalline du matériau est correcte et n'a pas été altérée.
✅ Interprétation Globale de l'étape : La rigidité du matériau est validée. Le câble se comportera comme prévu sous charge, avec des flèches (déplacements) conformes aux modélisations informatiques initiales.
Si vous aviez trouvé \(70 \text{ GPa}\), ce serait de l'Aluminium. Si vous aviez trouvé \(10 \text{ GPa}\), ce serait du Bois. Trouver \(210 \text{ GPa}\) pour de l'acier est extrêmement rassurant sur la qualité de l'essai et la calibration de la machine.
Attention à ne pas utiliser des points situés après la limite élastique (Point D) pour ce calcul, sinon vous sous-estimeriez gravement le module (module sécant plastique).
🎯 Objectif
La Limite Élastique (\(R_e\) ou \(f_y\) selon l'Eurocode) est la contrainte maximale que le matériau peut supporter sans subir de déformation permanente (plastique). C'est LA valeur pivot pour le dimensionnement : au-delà, la pièce est considérée comme ruinée pour un usage en service.
📚 Référentiel
Critère de Von Mises / TrescaD'après les relevés expérimentaux, le Point C \((62.8 \text{ kN})\) marque la fin de la zone linéaire proportionnelle. Juste après, au Point D \((75 \text{ kN})\), on observe un plateau plastique où l'acier "coule" sans augmentation significative de force. Dans la pratique courante des aciers de construction, on assimile souvent la limite de proportionnalité à la limite élastique conventionnelle. Nous allons donc utiliser la charge au point C pour définir cette limite.
Au-delà de cette limite, les plans atomiques de fer commencent à glisser les uns sur les autres (mouvement de dislocations). Si on relâche la force, ces glissements ne reviennent pas en arrière : la pièce reste allongée définitivement.
Étape 1 : Données Identifiées
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Point limite linéaire | Point C |
| Contrainte au point C | \(420 \text{ MPa}\) (Calculé en Q1) |
Si la courbe n'a pas de palier net (comme pour l'aluminium), on utilise la méthode de la droite parallèle décalée de 0.2% (\(R_{p0.2}\)). Ici, pour l'acier, le décrochement est net, la lecture directe suffit.
Étape 2 : Résultat Direct
Valeur de la limite élastique :
🔎 Manipulations & Raisonnement :Ici, il n'y a pas de nouveau calcul complexe. Il s'agit d'une opération d'identification. Nous reprenons simplement la valeur de contrainte calculée à l'étape 1 qui correspondait au point de décrochage C.
Une limite élastique de \(420 \text{ MPa}\) suggère un acier à haute performance. L'acier standard de construction est généralement du S235 (235 MPa) ou du S355 (355 MPa). Ici, 420 MPa est une valeur élevée, proche de la nuance S420 ou S460.
✅ Interprétation Globale de l'étape : L'acier testé possède une limite élastique de \(420 \text{ MPa}\). Le cahier des charges demandait du S460 (\(460 \text{ MPa}\)). Il y a donc un écart potentiel qu'il faudra vérifier dans la conclusion finale.
\(420 \text{ MPa}\) est une valeur tout à fait standard pour un acier faiblement allié. C'est cohérent avec des aciers de structure modernes.
Ne confondez pas \(R_e\) (Limite élastique) avec \(R_m\) (Résistance à la rupture), qui est beaucoup plus élevée (souvent > 550 MPa) mais correspond à la rupture physique de la pièce.
🎯 Objectif
Maintenant que nous connaissons la capacité réelle du matériau (\(f_y = 420 \text{ MPa}\)), nous devons vérifier si le câble, avec sa géométrie (\(S_0\)), peut supporter les charges prévues (\(N_{\text{Ed}}\)) avec la sécurité requise. C'est l'étape de validation finale qui permet de signer le "Bon pour Exécution".
📚 Référentiel
Eurocode 3 (EN 1993-1-1) - Article 6.2.3L'Eurocode impose une vérification aux États Limites Ultimes (ELU). Le principe est de comparer la charge appliquée de calcul (\(N_{\text{Ed}}\)) à la résistance plastique de calcul de la section (\(N_{\text{pl,Rd}}\)). Nous devons appliquer un coefficient partiel de sécurité \(\gamma_{\text{M0}}\) (fixé à 1.0 pour l'acier standard) pour pondérer la résistance théorique.
La condition de sécurité s'écrit :
Étape 1 : Données Techniques
| Type | Valeur |
|---|---|
| Charge Ultime Projet \(N_{\text{Ed}}\) | \(51.0 \text{ kN}\) |
| Limite élastique mesurée \(f_y\) | \(420 \text{ MPa}\) |
| Section \(S_0\) (ou A) | \(149.6 \text{ mm}^2\) |
| Coeff. Sécurité \(\gamma_{\text{M0}}\) | \(1.0\) |
La formule \(N_{\text{pl,Rd}}\) est simplement le produit de la surface par la résistance du matériau. C'est logique : Force = Pression x Surface.
Étape 2 : Calcul de Vérification
1. Calcul de la Résistance Plastique de Calcul (\(N_{\text{pl,Rd}}\)) :
🔎 Manipulations & Raisonnement :On multiplie la surface par la contrainte limite pour obtenir la force limite. On divise ensuite par le coefficient de sécurité pour obtenir une valeur de résistance "garantie".
Interprétation : Le câble rompra (ou plastifiera) théoriquement à \(62.8 \text{ kN}\).
2. Ratio de Vérification (Taux de Travail) :
🔎 Manipulations & Raisonnement :Nous comparons la sollicitation (Demande) à la résistance (Capacité). Nous cherchons un ratio inférieur à 1.
Le ratio est de \(0.812\), soit \(81.2\%\). Il est inférieur à 1.0, ce qui signifie que la résistance est suffisante.
3. Calcul de la Marge de Sécurité :
🔎 Manipulations & Raisonnement :La marge correspond au pourcentage de capacité restante avant la ruine. C'est le complément à 100% du ratio.
Nous avons une marge de confort de près de \(19\%\).
✅ Interprétation Globale de l'étape : Bien que l'acier ne soit pas du S460 (nous avons trouvé 420 MPa), le dimensionnement initial était suffisamment conservateur. La marge de sécurité reste supérieure aux 15% requis par le cahier des charges. Le câble est donc apte au service.
Une marge de 18% est confortable. Une marge de 1% serait trop risquée (incertitudes de pose). Une marge de 200% indiquerait un surdimensionnement coûteux.
Attention, cette vérification est faite en traction pure sur la section courante. Pour un câble réel, il faudrait impérativement vérifier les ancrages (têtes de câbles, filetages) qui sont souvent les points faibles (concentration de contraintes), ainsi que la fatigue si le chargement est cyclique (vibrations dues au vent).
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
INGÉNIERIE
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 05/02/2026 | Création du document / Première diffusion | Expert RDM |
- NF EN ISO 6892-1 : Matériaux métalliques - Essai de traction
- EN 1993-1-1 : Eurocode 3 - Calcul des structures en acier
| Diamètre nominal (\(d_0\)) | \(13.8 \text{ mm}\) |
| Section résistante (\(S_0\)) | \(149.6 \text{ mm}^2\) |
Vérification de la conformité du matériau et de la résistance ELU sous charge axiale.
Ing. Principal
Dir. Technique
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