Études de cas pratique

EGC

Module d’Élasticité et de Résistance sous Charge

Module d’Élasticité et Résistance sous Charge

Module d’Élasticité et Résistance sous Charge

Comprendre le Module d'Élasticité et la Résistance des Matériaux

Le module d'élasticité (ou module d'Young, \(E\)) est une propriété fondamentale d'un matériau qui décrit sa rigidité, c'est-à-dire sa capacité à résister à la déformation élastique sous l'effet d'une contrainte. La résistance d'un matériau, quant à elle, est souvent caractérisée par sa limite d'élasticité (\(f_y\) ou \(\sigma_e\)), qui est la contrainte maximale qu'il peut supporter sans subir de déformation permanente. L'analyse de ces deux aspects est essentielle pour s'assurer qu'un élément structural peut supporter les charges appliquées sans se rompre ni se déformer excessivement.

Données de l'étude

Une barre d'acier S235 de section circulaire pleine est soumise à un effort de traction axial \(N = 80 \, \text{kN}\).

Caractéristiques de la barre et du matériau :

  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Diamètre de la section circulaire (\(D_0\)) : \(25 \, \text{mm}\)
  • Module d'Young de l'acier S235 (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa}\)
  • Limite d'élasticité de l'acier S235 (\(f_y\)) : \(235 \, \text{MPa}\)

Objectif : Calculer la contrainte normale, la déformation axiale, l'allongement total de la barre, et vérifier si la barre reste dans son domaine élastique.

Schéma : Barre en Traction et Vérification de Résistance
État initial N N L0 = 1.5 m D0 ΔL

Barre circulaire soumise à une traction axiale N.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire (\(A\)) de la section transversale de la barre.
  2. Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) dans la barre.
  3. Calculer la déformation axiale (\(\epsilon\)) de la barre.
  4. Déterminer l'allongement total (\(\Delta L\)) de la barre.
  5. Vérifier si la contrainte dans la barre dépasse la limite d'élasticité (\(f_y\)) de l'acier. Conclure sur le comportement du matériau.

Correction : Analyse de la Contrainte et Déformation

Question 1 : Aire (\(A\)) de la Section Transversale

Principe :

L'aire d'une section circulaire pleine de diamètre \(D_0\) est donnée par la formule \(A = \pi D_0^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{\pi D_0^2}{4}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre initial (\(D_0\)) : \(25 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \cdot (25 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 625 \, \text{mm}^2}{4} \\ &= 156.25\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 490.87385 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale est \(A \approx 490.87 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte Normale (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) est le rapport de l'effort axial normal (\(N\)) à l'aire de la section transversale (\(A\)) sur laquelle il s'applique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = \frac{N}{A}\]
Données spécifiques :
  • Effort axial (\(N\)) : \(80 \, \text{kN} = 80000 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A\)) : \(156.25\pi \, \text{mm}^2 \approx 490.87385 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{80000 \, \text{N}}{156.25\pi \, \text{mm}^2} \\ &= \frac{512}{\pi} \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 162.97466 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 162.97 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale dans la barre est \(\sigma \approx 162.97 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Déformation Axiale (\(\epsilon\))

Principe :

La déformation axiale (\(\epsilon\)), ou allongement relatif, est reliée à la contrainte axiale (\(\sigma\)) par le module d'Young (\(E\)) selon la loi de Hooke : \(\sigma = E \epsilon\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon = \frac{\sigma}{E}\]
Données spécifiques :
  • Contrainte normale (\(\sigma\)) : \(\frac{512}{\pi} \, \text{MPa} \approx 162.97466 \, \text{MPa}\)
  • Module d'Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{162.97466 \, \text{MPa}}{210 \times 10^3 \, \text{MPa}} \\ &\approx 0.00077607 \end{aligned} \]

La déformation est adimensionnelle.

Résultat Question 3 : La déformation axiale est \(\epsilon \approx 0.000776\).

Question 4 : Allongement Total (\(\Delta L\))

Principe :

L'allongement total (\(\Delta L\)) est le produit de la déformation axiale (\(\epsilon\)) et de la longueur initiale (\(L_0\)). Alternativement, il peut être calculé directement avec la formule \(\Delta L = \frac{NL_0}{AE}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta L = \epsilon \cdot L_0 \quad \text{ou} \quad \Delta L = \frac{N L_0}{A E}\]
Données spécifiques :
  • Déformation axiale (\(\epsilon\)) : \(\approx 0.00077607\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(1.5 \, \text{m} = 1500 \, \text{mm}\)
  • Ou : \(N=80000 \, \text{N}\), \(A \approx 490.87385 \, \text{mm}^2\), \(E=210000 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul (méthode 1) :
\[ \begin{aligned} \Delta L &\approx 0.00077607 \cdot 1500 \, \text{mm} \\ &\approx 1.1641 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Calcul (méthode 2, plus précise) :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= \frac{N L_0}{A E} \\ &= \frac{80000 \, \text{N} \cdot 1500 \, \text{mm}}{(156.25\pi \, \text{mm}^2) \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2)} \\ &= \frac{120 \cdot 10^6 \, \text{Nmm}}{32812500\pi \, \text{Nmm}} \\ &= \frac{120}{32812.5\pi} \, \text{mm} \\ &\approx \frac{120}{103083.065} \, \text{mm} \\ &\approx 1.164105 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'allongement total de la barre est \(\Delta L \approx 1.16 \, \text{mm}\).

Question 5 : Vérification du Domaine Élastique

Principe :

Pour vérifier si la barre reste dans son domaine élastique, on compare la contrainte normale calculée (\(\sigma\)) à la limite d'élasticité du matériau (\(f_y\)). Si \(\sigma \leq f_y\), le matériau se comporte élastiquement et reprendra sa forme initiale après suppression de la charge. Si \(\sigma > f_y\), le matériau subit une déformation plastique (permanente).

Données spécifiques :
  • Contrainte normale calculée (\(\sigma\)) : \(\approx 162.97 \, \text{MPa}\)
  • Limite d'élasticité de l'acier S235 (\(f_y\)) : \(235 \, \text{MPa}\)
Vérification :
\[\sigma \approx 162.97 \, \text{MPa}\] \[f_y = 235 \, \text{MPa}\] \[162.97 \, \text{MPa} \leq 235 \, \text{MPa}\]

La contrainte calculée est inférieure à la limite d'élasticité.

Résultat Question 5 : La barre reste dans le domaine élastique car \(\sigma \leq f_y\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la force appliquée \(N\) était de \(120 \, \text{kN}\) au lieu de \(80 \, \text{kN}\), la contrainte normale \(\sigma\) serait : (Utiliser \(A \approx 490.87 \, \text{mm}^2\))

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. Le module d'Young (\(E\)) est une mesure de :

7. La limite d'élasticité (\(f_y\)) représente :

8. Si \(\sigma > f_y\), le matériau est entré dans le domaine :

Glossaire

Module d'Élasticité (Module d'Young, \(E\))
Propriété du matériau qui mesure sa rigidité ou sa résistance à la déformation élastique sous une contrainte axiale. Unité : Pascals (Pa) ou GigaPascals (GPa).
Limite d'Élasticité (\(f_y\) ou \(\sigma_e\))
Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans subir de déformation permanente. Au-delà de cette limite, le matériau entre dans le domaine plastique.
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne agissant perpendiculairement par unité de surface d'une section transversale d'un corps (\(\sigma = N/A\)).
Déformation Axiale (\(\epsilon\))
Mesure du changement relatif de longueur d'un corps sous l'effet d'une contrainte axiale (\(\epsilon = \Delta L / L_0\)).
Loi de Hooke
Relation linéaire entre la contrainte et la déformation pour un matériau élastique : \(\sigma = E \epsilon\).
Domaine Élastique
Région du comportement d'un matériau où il reprend sa forme et ses dimensions initiales après la suppression de la charge appliquée.
Domaine Plastique
Région du comportement d'un matériau où il subit des déformations permanentes même après la suppression de la charge.
Module d’Élasticité et Résistance sous Charge - Exercice d'Application

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