Équations d’Euler et de Bernoulli

Contexte : L'étude d'un convergent-divergent (Venturi)Un conduit qui se rétrécit puis s'élargit, utilisé pour mesurer le débit d'un fluide ou pour créer une dépression..

Cet exercice a pour but d'appliquer les principes fondamentaux de la mécanique des fluides, notamment l'équation de continuité et l'équation de Bernoulli, pour analyser l'écoulement de l'eau dans un conduit à section variable. Nous étudierons comment la vitesseLa rapidité du déplacement du fluide, généralement exprimée en mètres par seconde (m/s). et la pressionLa force exercée par le fluide par unité de surface, exprimée en Pascals (Pa) ou en bars. d'un fluide incompressible évoluent lorsque la section de l'écoulement se modifie.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de comprendre l'effet Venturi, un phénomène essentiel qui lie l'augmentation de la vitesse d'un fluide à une diminution de sa pression. C'est le principe derrière de nombreuses applications, comme les carburateurs ou les trompes à eau.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer l'équation de continuité pour un fluide incompressible.
Utiliser l'équation de Bernoulli pour un écoulement parfait.
Maîtriser les conversions d'unités (diamètre, pression, etc.).
Comprendre et interpréter physiquement l'effet Venturi.

Données de l'étude

On considère un écoulement d'eau permanent et incompressible dans une conduite horizontale. La conduite présente un rétrécissement (col) comme illustré sur le schéma.

Schéma du Tube de Venturi

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre au point 1	\(D_1\)	10	\(\text{cm}\)
Diamètre au point 2	\(D_2\)	5	\(\text{cm}\)
Pression au point 1	\(p_1\)	300	\(\text{kPa}\)
Vitesse au point 1	\(v_1\)	2	\(\text{m/s}\)
Masse volumique de l'eau	\(\rho\)	1000	\(\text{kg/m}^3\)
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	\(\text{m/s}^2\)

Questions à traiter

Calculer les aires des sections droites \(A_1\) et \(A_2\).
En appliquant l'équation de continuité, déterminer la vitesse \(v_2\) au point 2.
En appliquant l'équation de Bernoulli, calculer la pression \(p_2\) au point 2.
Analyser le résultat : pourquoi la pression diminue-t-elle au point 2 ?

Les bases sur la dynamique des fluides parfaits

Pour résoudre cet exercice, deux principes fondamentaux de la mécanique des fluides sont nécessaires : la conservation de la masse et la conservation de l'énergie.

1. Équation de continuité (Conservation de la masse)
Pour un fluide incompressible (dont la masse volumique \(\rho\) est constante), le débit volumique (\(Q_v\)) est constant tout au long de la conduite. Le débit est le produit de l'aire de la section (\(A\)) par la vitesse du fluide (\(v\)). \[ Q_v = A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 = \text{constante} \]

2. Équation de Bernoulli (Conservation de l'énergie)
L'équation de Bernoulli traduit la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant pour un fluide parfait (non visqueux) et incompressible. Elle relie la pression \(p\), la vitesse \(v\) et l'altitude \(z\). \[ \frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 = \text{constante} \] Chaque terme représente une hauteur (en mètres) : hauteur de pression, hauteur cinétique et hauteur potentielle. La somme est la hauteur de charge totale.

Correction : Équations d’Euler et de Bernoulli

Question 1 : Calculer les aires des sections droites \(A_1\) et \(A_2\).

Principe

L'aire d'une section circulaire se calcule à partir de son rayon ou de son diamètre. Cette étape est un prérequis géométrique indispensable pour pouvoir appliquer les lois de la dynamique des fluides.

Mini-Cours

En mécanique des fluides, les propriétés de l'écoulement (comme la vitesse) sont souvent définies par rapport à l'aire de la section traversée par le fluide. Maîtriser ce calcul géométrique de base est donc fondamental pour quantifier le débit et analyser le comportement du fluide.

Remarque Pédagogique

Prenez toujours l'habitude de commencer par lister les données et de vérifier leurs unités. Convertir toutes les grandeurs dans le Système International (mètres, secondes, Pascals, etc.) avant de débuter les calculs permet d'éviter la grande majorité des erreurs.

Normes

Pour cet exercice académique, aucune norme spécifique n'est requise. Dans un contexte industriel (ex: conception de tuyauteries), on se référerait à des normes comme l'ISO ou l'ANSI qui standardisent les dimensions des conduites.

Formule(s)

L'aire \(A\) d'un disque de diamètre \(D\) est donnée par la formule :

A = \frac{\pi D^2}{4}

Hypothèses

Nous supposons que la conduite est parfaitement cylindrique aux points 1 et 2.

Donnée(s)

Les diamètres sont extraits de l'énoncé. Il est crucial de les convertir en mètres pour la cohérence des calculs.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Conversion (SI)
Diamètre 1	\(D_1\)	10	\(\text{cm}\)	\(0.1 \, \text{m}\)
Diamètre 2	\(D_2\)	5	\(\text{cm}\)	\(0.05 \, \text{m}\)

Astuces

Rappelez-vous que l'aire est proportionnelle au carré du diamètre. Si vous divisez le diamètre par 2 (de 10 cm à 5 cm), l'aire sera divisée par \(2^2 = 4\). C'est un excellent moyen de vérifier rapidement la cohérence de vos résultats.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons les deux sections dont nous allons calculer l'aire.

Sections d'étude A1 et A2

Calcul(s)

Calcul de l'aire \(A_1\)

\begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi D_1^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot (0.1 \, \text{m})^2}{4} \\ &\approx 0.007854 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Calcul de l'aire \(A_2\)

\begin{aligned} A_2 &= \frac{\pi D_2^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot (0.05 \, \text{m})^2}{4} \\ &\approx 0.001963 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme illustre la proportion entre les deux aires calculées.

Comparaison des Aires

Réflexions

L'aire de la section au col (\(A_2\)) est quatre fois plus petite que l'aire de la section d'entrée (\(A_1\)). Cette réduction significative de la surface de passage est la cause directe des changements de vitesse et de pression que nous allons étudier.

Points de vigilance

La principale source d'erreur ici est l'oubli de la conversion des centimètres en mètres avant le calcul. Une autre erreur commune est d'oublier que l'aire dépend du carré du diamètre, et non du diamètre lui-même.

Points à retenir

Formule de l'aire d'un disque : \(A = \pi D^2 / 4\).
La conversion d'unités (\(\text{cm}\) en \(\text{m}\)) est une étape cruciale.
L'aire varie avec le carré du diamètre.

Le saviez-vous ?

Le nombre \(\pi\) fascine les mathématiciens depuis l'Antiquité. Les Babyloniens utilisaient une approximation de 3.125. Aujourd'hui, grâce aux supercalculateurs, on connaît plus de 100 000 milliards de décimales de \(\pi\) !

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Les aires des sections sont : \(A_1 \approx 7.854 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\) et \(A_2 \approx 1.963 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\).

A vous de jouer

Quelle serait l'aire d'une section de diamètre \(D=8 \, \text{cm}\) ?

Question 2 : Déterminer la vitesse \(v_2\) dans la section rétrécie.

Principe

Ce calcul repose sur le principe de conservation de la masse (équation de continuité). Pour un fluide incompressible, si la section du tuyau diminue, la vitesse du fluide doit nécessairement augmenter pour que le même volume de fluide passe par unité de temps.

Mini-Cours

L'équation de continuité \(A_1 v_1 = A_2 v_2\) exprime que le débit volumique \(Q_v\) (en \(\text{m}^3/\text{s}\)) est constant. Imaginez un tuyau d'arrosage : si vous pincez l'extrémité (réduisant l'aire \(A\)), l'eau jaillit plus vite (la vitesse \(v\) augmente) pour conserver le même débit.

Remarque Pédagogique

Avant même de calculer, essayez d'anticiper le résultat. Ici, la section \(A_2\) est plus petite que \(A_1\), donc on s'attend logiquement à ce que la vitesse \(v_2\) soit supérieure à \(v_1\). Cette intuition aide à valider le résultat obtenu.

Normes

Ce principe de conservation de la masse est une loi fondamentale de la physique et ne dépend pas d'une norme spécifique. Il est universellement applicable aux fluides incompressibles.

Formule(s)

On utilise l'équation de continuité, réarrangée pour trouver \(v_2\) :

A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 \Rightarrow v_2 = v_1 \cdot \frac{A_1}{A_2}

Donnée(s)

Les données nécessaires pour le calcul de la vitesse \(v_2\) sont les suivantes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse au point 1	\(v_1\)	2	\(\text{m/s}\)
Aire 1	\(A_1\)	0.007854	\(\text{m}^2\)
Aire 2	\(A_2\)	0.001963	\(\text{m}^2\)

Astuces

Le rapport des aires \(A_1/A_2\) est le même que le rapport des carrés des diamètres \((D_1/D_2)^2\). Ici, \((10/5)^2 = 2^2 = 4\). Vous pouvez donc calculer \(v_2\) directement par \(v_2 = v_1 \cdot (D_1/D_2)^2\) sans calculer explicitement les aires.

Schéma (Avant les calculs)

Le fluide s'écoule du point 1 au point 2, en accélérant dans la section rétrécie.

Écoulement de la section 1 à 2

Calcul(s)

Calcul de la vitesse \(v_2\) par l'équation de continuité

\begin{aligned} v_2 &= v_1 \cdot \frac{A_1}{A_2} \\ &= 2 \, \text{m/s} \cdot \frac{0.007854 \, \text{m}^2}{0.001963 \, \text{m}^2} \\ &= 2 \, \text{m/s} \cdot 4 \\ &= 8 \, \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La vitesse est 4 fois plus grande au point 2.

Profil de Vitesse

Réflexions

Le rapport des aires \(A_1/A_2\) est de 4. Comme le diamètre a été divisé par 2, l'aire (qui dépend du carré du diamètre) est divisée par \(2^2=4\). Par conséquent, la vitesse est multipliée par 4, ce qui est cohérent avec le principe de conservation du débit.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser le bon rapport dans la formule (\(A_1/A_2\) et non l'inverse). L'intuition (la vitesse doit augmenter) permet de se prémunir contre cette erreur.

Points à retenir

Le débit volumique \(Q_v = A \cdot v\) est constant.
Si l'aire diminue, la vitesse augmente proportionnellement.
Le rapport des vitesses est l'inverse du rapport des aires.

Le saviez-vous ?

Le même principe de continuité explique pourquoi le courant des rivières est plus rapide dans les zones étroites et peu profondes (les "rapides") et plus lent dans les zones larges et profondes.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La vitesse dans la section rétrécie est \(v_2 = 8 \, \text{m/s}\).

A vous de jouer

Si la vitesse initiale \(v_1\) était de \(3 \, \text{m/s}\), avec les mêmes diamètres, que deviendrait \(v_2\) ?

Question 3 : Calculer la pression \(p_2\) au point 2.

Principe

La conservation de l'énergie, décrite par l'équation de Bernoulli, stipule que si l'énergie cinétique (liée à la vitesse) augmente, une autre forme d'énergie doit diminuer pour que le total reste constant. Ici, comme la conduite est horizontale (énergie potentielle constante), c'est l'énergie de pression qui va diminuer.

Mini-Cours

L'équation de Bernoulli est souvent vue comme un bilan d'énergie par unité de volume. Le terme \(p\) représente l'énergie de pression, et le terme \(\frac{1}{2}\rho v^2\) représente l'énergie cinétique. Leur somme (plus l'énergie potentielle \(\rho g z\)) reste constante pour un fluide parfait.

Remarque Pédagogique

L'équation de Bernoulli est l'une des plus importantes en mécanique des fluides. Comprenez bien chaque terme : pression statique, pression dynamique et pression hydrostatique. Dans notre cas (conduite horizontale), la variation de pression est uniquement due à la variation de vitesse.

Normes

Comme pour la continuité, l'équation de Bernoulli est un principe physique fondamental et non une norme. Cependant, les normes de conception de systèmes hydrauliques (ex: pompes, turbines) sont entièrement basées sur l'application de ce principe.

Formule(s)

Équation de Bernoulli entre les points 1 et 2 (conduite horizontale)

p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2

Formule pour calculer \(p_2\)

p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)

Hypothèses

Pour appliquer Bernoulli sous cette forme, nous supposons que : le fluide est incompressible (\(\rho\) = cste), non visqueux (parfait, pas de pertes par frottement), et l'écoulement est permanent (les propriétés ne varient pas dans le temps).

Donnée(s)

Les données nécessaires pour le calcul de la pression \(p_2\) sont les suivantes. La pression \(p_1\) doit être convertie en Pascals (\(\text{Pa}\)) pour la cohérence des unités.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Conversion (SI)
Pression 1	\(p_1\)	300	\(\text{kPa}\)	\(300 000 \, \text{Pa}\)
Masse Volumique	\(\rho\)	1000	\(\text{kg/m}^3\)	-
Vitesse 1	\(v_1\)	2	\(\text{m/s}\)	-
Vitesse 2	\(v_2\)	8	\(\text{m/s}\)	-

Astuces

Le terme \((v_1^2 - v_2^2)\) sera négatif puisque \(v_2 > v_1\). Cela confirme que la pression \(p_2\) sera inférieure à \(p_1\). Si vous obtenez une pression plus élevée, vous avez probablement inversé les vitesses dans la formule.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des énergies entre les points 1 et 2.

Bilan d'Énergie (Bernoulli)

Calcul(s)

Calcul de la pression \(p_2\)

\begin{aligned} p_2 &= p_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2) \\ &= 300000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (2^2 - 8^2) \\ &= 300000 + 500 \cdot (4 - 64) \\ &= 300000 + 500 \cdot (-60) \\ &= 300000 - 30000 \\ &= 270000 \, \text{Pa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La pression statique diminue au profit de la pression dynamique.

Répartition des Pressions

Réflexions

Le calcul confirme que la pression a chuté de 30 kPa. Cette "perte" d'énergie de pression a été "convertie" en énergie cinétique, ce qui a permis au fluide d'accélérer de 2 à 8 m/s. L'énergie totale du fluide (somme des termes de Bernoulli) est bien conservée.

Points de vigilance

La plus grande erreur est d'oublier de mettre les vitesses au carré dans la formule. Pensez à l'unité de l'énergie cinétique (\(\frac{1}{2}mv^2\)) pour vous en souvenir. Une autre erreur est la conversion des kilopascals (\(\text{kPa}\)) en Pascals (\(\text{Pa}\)) : \(1 \, \text{kPa} = 1000 \, \text{Pa}\).

Points à retenir

Bernoulli = conservation de l'énergie.
Pour une conduite horizontale, \(p + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constante}\).
L'augmentation de vitesse implique une diminution de pression.

Le saviez-vous ?

Daniel Bernoulli, un mathématicien et physicien suisse du 18ème siècle, a publié ce principe fondamental dans son ouvrage "Hydrodynamica" en 1738. Sa famille a produit un nombre impressionnant de scientifiques renommés.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La pression au point 2 est \(p_2 = 270 \, \text{kPa}\).

A vous de jouer

Si la pression initiale \(p_1\) était de \(350 \, \text{kPa}\), mais avec les mêmes vitesses, que deviendrait \(p_2\) ?

Question 4 : Analyser le résultat (Effet Venturi).

Principe

L'analyse du résultat consiste à donner un sens physique aux chiffres obtenus. Il ne s'agit plus de calculer, mais de comprendre et d'expliquer le "pourquoi" du phénomène observé.

Mini-Cours

L'effet Venturi est une manifestation directe de l'équation de Bernoulli. La relation \(p + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{Cste}\) montre qu'il existe un arbitrage entre la pression statique (\(p\)) et la pression dynamique (\(\frac{1}{2}\rho v^2\)). Si l'une augmente, l'autre doit diminuer pour que la somme reste constante (en l'absence de changement d'altitude).

Remarque Pédagogique

Cette question de synthèse est cruciale. En ingénierie, un résultat numérique n'a de valeur que s'il est correctement interprété. Savoir expliquer "pourquoi" est aussi important que de savoir "comment" calculer.

Normes

L'interprétation de l'effet Venturi est basée sur les lois de la physique. Les normes interviennent ensuite pour définir comment utiliser cet effet dans des applications concrètes, comme les débitmètres à Venturi (ex: norme ISO 5167).

Formule(s)

Il n'y a pas de nouvelle formule ici, mais une relecture conceptuelle de l'équation de Bernoulli :

\underbrace{p}_{\text{Énergie de Pression}} + \underbrace{\frac{1}{2} \rho v^2}_{\text{Énergie Cinétique}} = \text{Constante}

Hypothèses

L'analyse reste dans le cadre des hypothèses du fluide parfait et incompressible, où la conversion entre énergie de pression et énergie cinétique se fait sans perte.

Donnée(s)

Le tableau suivant récapitule les variations de vitesse et de pression entre les points 1 et 2.

Paramètre	Point 1	Point 2	Variation
Vitesse	\(2 \, \text{m/s}\)	\(8 \, \text{m/s}\)	▲ Augmentation
Pression	\(300 \, \text{kPa}\)	\(270 \, \text{kPa}\)	▼ Diminution

Réflexions

Nous avons calculé que la vitesse passe de 2 m/s à 8 m/s (augmentation) tandis que la pression passe de 300 kPa à 270 kPa (diminution). Cette relation inverse entre la vitesse et la pression dans un fluide en mouvement est connue sous le nom d'effet Venturi.

Physiquement, pour qu'un volume de fluide puisse accélérer en entrant dans la zone rétrécie, la force agissant sur sa face arrière (à la pression \(p_1\)) doit être supérieure à la force agissant sur sa face avant (à la pression \(p_2\)). Cette différence de forces (\( (p_1 - p_2) \cdot A \)) crée l'accélération nécessaire. Une plus grande force à l'arrière implique une pression plus élevée (\(p_1 > p_2\)).

Points de vigilance

Ne pas confondre cause et conséquence. Ce n'est pas la baisse de pression qui "cause" l'augmentation de vitesse. C'est la géométrie du conduit qui force le fluide à accélérer (continuité), et cette accélération ne peut se produire que si un gradient de pression s'établit (Bernoulli).

Points à retenir

L'effet Venturi est le concept clé à retenir : dans une conduite, les zones de haute vitesse sont des zones de basse pression, et inversement. C'est un principe fondamental avec d'innombrables applications pratiques.

Le saviez-vous ?

L'effet Venturi est le principe qui permet aux ailes d'avion de générer de la portance. L'air se déplaçant plus rapidement sur la surface supérieure (extrados) de l'aile qu'en dessous (intrados), une dépression est créée au-dessus, aspirant l'aile vers le haut.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce concept.

Outil Interactif : Simulateur de Venturi

Utilisez les curseurs pour modifier la vitesse initiale et le diamètre du col. Observez en temps réel comment la vitesse et la pression au point 2 sont affectées.

Paramètres d'Entrée

Vitesse Initiale \(v_1\) (\(\text{m/s}\)) 2 m/s

Diamètre du Col \(D_2\) (\(\text{cm}\)) 5 cm

Résultats Clés

Vitesse au Col \(v_2\) (\(\text{m/s}\)) -

Pression au Col \(p_2\) (\(\text{kPa}\)) -

Équation de Bernoulli: Principe de conservation de l'énergie mécanique appliquée à un fluide en mouvement, reliant sa pression, sa vitesse et son altitude.
Équation de continuité: Principe de conservation de la masse pour un fluide, qui stipule que le débit massique est constant. Pour un fluide incompressible, cela implique que le débit volumique est constant.
Effet Venturi: Phénomène par lequel la pression d'un fluide diminue lorsque sa vitesse augmente, observé dans un conduit rétréci.
Fluide Incompressible: Fluide dont la masse volumique (et donc le volume) est considérée comme constante, indépendamment des variations de pression.
Fluide Parfait (ou non visqueux): Modèle de fluide idéal dans lequel les forces de frottement interne (viscosité) sont négligées.

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