Sélection d’un Acier pour Armatures Passives
📝 Situation du Projet
Le projet concerne la construction d'un ensemble résidentiel de standing "Les Hauts de Seine", situé en zone périurbaine dense. La structure est mixte, composée de voiles en béton armé et de portiques poteaux-poutres pour les grands espaces du rez-de-chaussée destinés aux commerces. En tant qu'ingénieur structure responsable du lot Gros Œuvre, votre attention se porte spécifiquement sur la poutre de reprise P12 du plancher haut du RDC. Cette poutre, soumise à de fortes charges gravitationnelles dues au transfert de charge des étages supérieurs (changement de trame structurelle), est un élément critique de la stabilité globale. Le dimensionnement doit être optimisé pour respecter les contraintes architecturales de hauteur sous plafond tout en garantissant la durabilité requise par l'Eurocode 2.
En tant que Calculateur Projeteur Confirmé, vous devez déterminer la section d'aciers longitudinaux (armatures passives) nécessaire en travée pour rependre le moment fléchissant ultime. Vous devrez ensuite choisir les barres commerciales (nombre et diamètre) et valider leur disposition dans le coffrage imposé.
- Localisation
Nanterre (92), Zone B - Maître d'Ouvrage
Nexity Promotion - Élément Structurel
Poutre P12 (25x50 cm)
"Attention, nous sommes en classe d'exposition XC3 (intérieur avec humidité modérée). Veillez à respecter scrupuleusement l'enrobage nominal pour garantir la durabilité à 50 ans. Ne sous-estimez pas le moment en travée !"
L'étude doit être menée conformément aux normes européennes en vigueur (Eurocodes) et aux spécifications du Cahier des Clauses Techniques Particulières (CCTP) du marché.
📚 Référentiel Normatif
Le cadre normatif est essentiel pour assurer la sécurité et la pérennité de l'ouvrage. Pour ce projet, nous appliquons strictement :
- NF EN 1992-1-1 Eurocode 2 : Calcul des structures en béton (Règles générales).
- NF EN 1992-1-1/NA Annexe Nationale : Spécificités françaises (coefficients de sécurité, etc.).
Note : Ces normes imposent l'utilisation de la méthode des États Limites (ELU pour la sécurité, ELS pour la durabilité).
1. Choix du Béton (Art. 3.1)
Le choix s'est porté sur un béton de classe de résistance C30/37. Cette classe a été sélectionnée pour deux raisons principales : d'une part, elle offre une résistance à la compression caractéristique (\(f_{\text{ck}}\)) de 30 MPa, nécessaire pour reprendre les efforts importants transmis par les étages supérieurs. D'autre part, elle garantit une compacité suffisante pour assurer la protection des aciers contre la corrosion dans un environnement intérieur standard (classe d'exposition XC3).
2. Choix des Aciers (Art. 3.2)
Les armatures prescrites sont de nuance B500B. Il s'agit d'aciers Haute Adhérence (HA) avec une limite d'élasticité de 500 MPa. Ce choix est le standard actuel en France car il offre le meilleur compromis technico-économique : la haute adhérence optimise l'ancrage dans le béton (réduisant les longueurs de scellement) et la classe de ductilité B assure une sécurité suffisante en cas de séisme ou de surcharge accidentelle.
3. Dispositions Constructives (Art. 4.5)
Pour respecter la durée d'utilisation de projet (50 ans), l'enrobage nominal des aciers est fixé à 30 mm. Cette valeur inclut la marge de sécurité pour les tolérances d'exécution (\(\Delta c_{\text{dev}}\)).
📐 Géométrie & Contraintes Architecturales
La section de la poutre P12 a été pré-dimensionnée à 25 x 50 cm. Ce choix résulte d'une synthèse entre contraintes structurelles et architecturales :
- Largeur \(b = 25 \text{ cm}\) : Imposée par l'épaisseur des murs porteurs et des voiles de façade, afin d'éviter tout décrochement visible (poutre noyée dans l'épaisseur des murs).
- Hauteur \(h = 50 \text{ cm}\) : Calculée selon le ratio de pré-dimensionnement \(L/12\) (soit \(600/12 = 50\)). Cette hauteur permet de limiter la flèche nuisible à long terme sans réduire excessivement la hauteur sous plafond du local commercial (HSP requise : 2.70m).
| RÉCAPITULATIF CARACTÉRISTIQUES | |
| Résistance caract. Béton \(f_{\text{ck}}\) | 30 MPa |
| Limite élastique Acier \(f_{\text{yk}}\) | 500 MPa |
| Coefficient sécurité Béton \(\gamma_{\text{c}}\) | 1.50 |
| Coefficient sécurité Acier \(\gamma_{\text{s}}\) | 1.15 |
| Largeur de la section \(b\) | 25 cm |
| Hauteur totale \(h\) | 50 cm |
| Hauteur utile estimée \(d\) | 45 cm (0.45 m) |
⚖️ Hypothèses de Chargement (ELU)
Pour le dimensionnement des armatures de résistance, nous nous plaçons à l'État Limite Ultime (ELU). La combinaison d'actions considérée est la combinaison fondamentale : \(1.35G + 1.5Q\).
Cette pondération majore les charges permanentes (\(G\)) de 35% et les charges d'exploitation (\(Q\)) de 50%, couvrant ainsi les incertitudes sur l'évaluation des charges. Le moment fléchissant maximal en travée qui en résulte est la valeur de référence pour le calcul.
E. Protocole de Résolution
Pour dimensionner correctement les armatures, nous allons suivre rigoureusement la méthode des pivots (ELU) selon l'Eurocode 2. Cette procédure séquentielle garantit la sécurité structurelle.
Calcul des Résistances de Calcul (fcd, fyd)
Avant tout calcul structurel, il faut convertir les résistances caractéristiques des matériaux (valeurs statistiques) en valeurs de calcul (valeurs sécurisées) en appliquant les coefficients partiels de sécurité.
Vérification du Pivot & Moment Réduit
Nous allons calculer le moment réduit ultime \(\mu_{\text{bu}}\). Ce paramètre adimensionnel nous permet de savoir si la section de béton seule suffit à reprendre la compression ou si des aciers comprimés sont nécessaires (Pivot A ou B).
Détermination de la Section d'Acier Théorique (As)
Une fois le bras de levier interne \(z\) déterminé, nous calculerons la quantité exacte d'acier nécessaire (en cm²) pour équilibrer le moment fléchissant.
Choix Technologique et Plan de Ferraillage
C'est l'étape de l'ingénieur "constructeur". Nous choisirons des barres commerciales réelles (diamètres standards) qui satisfont la section théorique et dessinerons leur disposition dans la poutre.
Sélection d’un Acier pour Armatures Passives
🎯 Objectif
L'objectif fondamental de cette première étape est de déterminer les contraintes limites admissibles pour les deux matériaux en présence : le béton et l'acier. Nous ne pouvons pas utiliser directement les résistances commerciales (valeurs caractéristiques) fournies par les fabricants, car elles ne tiennent pas compte des aléas de chantier. Nous devons calculer les "valeurs de calcul" (design values), notées avec l'indice "d", qui intègrent une marge de sécurité réglementaire. C'est la base de la sécurité de l'ouvrage selon l'Eurocode 2.
📚 Référentiel
- EC2 Art 3.1.6 : Définit la résistance de calcul du béton à la compression (\(f_{\text{cd}}\)) et introduit le coefficient \(\alpha_{\text{cc}}\).
- EC2 Art 3.2.7 : Définit la résistance de calcul de l'acier (\(f_{\text{yd}}\)) à partir de sa limite élastique.
Pourquoi ne pas utiliser directement la résistance à 28 jours du béton (30 MPa) ? Parce que le béton est un matériau fabriqué sur place (in-situ), sujet à des variations de dosage, de vibration ou de cure. De plus, la résistance caractéristique correspond à un fractile statistique de 5% (il y a 5% de chances d'avoir moins).
Pour garantir la sécurité des personnes, l'ingénieur doit "pénaliser" cette valeur. On divise donc la résistance théorique par un coefficient partiel de sécurité \(\gamma\).
Le béton, plus incertain, subit un coefficient \(\gamma_{\text{c}} = 1.5\). L'acier, produit industriellement avec un contrôle qualité strict, bénéficie d'un coefficient plus favorable \(\gamma_{\text{s}} = 1.15\). Ces nouvelles valeurs "minorisées" seront nos seules références pour tout le reste du calcul.
Dans la méthode semi-probabiliste des Eurocodes, on vérifie que la résistance de calcul (\(R_{\text{d}}\)) est supérieure à l'effet de l'action de calcul (\(E_{\text{d}}\)).
Ici, nous préparons le terme \(R_{\text{d}}\) (Résistance).
\(f_{\text{cd}}\) signifie "concrete design strength" (résistance de calcul du béton).
\(f_{\text{yd}}\) signifie "yield design strength" (limite élastique de calcul de l'acier).
Formule A : Résistance de calcul du Béton (\(f_{\text{cd}}\))
Cette formule réduit la résistance caractéristique. Le coefficient \(\alpha_{\text{cc}}\) (pris égal à 1.0 en France, mais 0.85 dans d'autres pays) prend en compte les effets de longue durée sur la résistance en compression.
Formule B : Résistance de calcul de l'Acier (\(f_{\text{yd}}\))
C'est la contrainte maximale que l'on autorise dans l'acier avant de considérer qu'il "cède" (plastification) du point de vue de la sécurité.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Résistance caract. Béton \(f_{\text{ck}}\) | 30 MPa |
| Limite élastique caract. Acier \(f_{\text{yk}}\) | 500 MPa |
| Coefficient partiel Béton \(\gamma_{\text{c}}\) | 1.5 |
| Coefficient partiel Acier \(\gamma_{\text{s}}\) | 1.15 |
| Coefficient long terme \(\alpha_{\text{cc}}\) | 1.0 (Annexe France) |
Ces valeurs reviennent tout le temps ! Plutôt que de les recalculer à chaque fois, mémorisez les couples standards :
Pour un acier B500B, \(f_{\text{yd}}\) vaut toujours **435 MPa** (car 500/1.15 = 434.78).
Pour un béton C25/30, \(f_{\text{cd}}\) vaut 16.7 MPa.
Pour notre béton C30/37, retenez **20 MPa**. Cela vous permettra de détecter immédiatement une erreur de saisie.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Application numérique : Résistance du béton \(f_{\text{cd}}\)
Nous divisons la résistance caractéristique du béton (30 MPa) par le coefficient de sécurité du matériau (1.5). Le coefficient alpha est neutre (1.0).
Interprétation : Bien que le béton soit vendu pour résister à 30 MPa, nous ne compterons que sur 20 MPa dans nos calculs de dimensionnement pour absorber les marges d'erreur.
2. Application numérique : Résistance de l'acier \(f_{\text{yd}}\)
Nous divisons la limite d'élasticité de l'acier (500 MPa) par son coefficient de sécurité (1.15).
Interprétation : L'acier sera considéré comme "plastifié" (atteignant sa limite utile) dès 435 MPa. C'est la valeur de contrainte maximale que nous utiliserons pour dimensionner la section d'acier nécessaire.
Nous avons établi nos deux "bornes" de sécurité pour ce projet. Le béton sera considéré comme un matériau résistant à 20 MPa et l'acier comme un matériau résistant à 435 MPa. Toutes les formules suivantes (moment réduit, section d'acier) utiliseront exclusivement ces deux valeurs \(f_{\text{cd}}\) et \(f_{\text{yd}}\).
Les valeurs de calcul sont logiquement inférieures aux valeurs caractéristiques : \(20 < 30\) et \(435 < 500\). Si vous aviez trouvé une valeur plus grande, cela signifierait une erreur de multiplication au lieu d'une division. La sécurité impose toujours une réduction des résistances.
Une erreur fréquente chez les débutants est d'utiliser \(f_{\text{ck}}\) (30) à la place de \(f_{\text{cd}}\) (20) dans la suite du problème. Cela conduirait à surestimer la résistance du béton de 50%, ce qui est extrêmement dangereux pour la stabilité de l'ouvrage !
🎯 Objectif
L'objectif de cette étape critique est de vérifier le comportement du béton comprimé. Nous devons déterminer si la section de béton seule (le rectangle \(b \times h\)) est capable de résister aux efforts de compression induits par la flexion, ou si elle est "saturée" et a besoin d'être renforcée par des aciers comprimés (armatures doubles). C'est ce calcul qui valide ou invalide la géométrie de la poutre.
📚 Référentiel
- EC2 Annexe : Utilisation du "Diagramme rectangulaire simplifié" pour modéliser les contraintes dans le béton.
- Théorie des Pivots : Détermination du domaine de déformation (Pivot A pour la traction pure vs Pivot B pour la flexion simple).
Visualisez la poutre qui se courbe sous la charge. La partie supérieure se raccourcit (compression) et la partie inférieure s'allonge (traction). Le béton est excellent en compression, mais il a une limite physique.
Nous allons calculer un indicateur de "taux de travail" du béton comprimé : le Moment Réduit \(\mu_{\text{bu}}\). C'est un ratio sans unité (un pourcentage, en quelque sorte) qui compare la force de flexion appliquée (\(M_{\text{Ed}}\)) à la capacité résistante maximale offerte par la géométrie et la matière de la poutre (\(b \cdot d^2 \cdot f_{\text{cd}}\)).
Si ce ratio est "faible" (inférieur à une valeur seuil critique de 0.371), cela signifie que le béton tient le coup tout seul. C'est le cas idéal.
Si le ratio est "trop élevé" (> 0.371), le béton "sature" et risque d'éclater en compression de manière fragile. Dans ce cas, il faudrait soit augmenter la hauteur de la poutre (changer l'architecture), soit ajouter des aciers en haut pour l'aider (aciers comprimés), ce qui est coûteux et complexe.
\(\mu_{\text{bu}}\) est fondamentalement le rapport entre le moment externe et le "moment capable" du coffrage. C'est la valeur pivot qui oriente toute la suite du calcul.
- Si \(\mu_{\text{bu}} < 0.186\) : Pivot A (grandes déformations, très sûr).
- Si \(0.186 < \mu_{\text{bu}} < 0.371\) : Pivot B (domaine optimal).
- Si \(\mu_{\text{bu}} > 0.371\) : Section insuffisante, besoin d'aciers comprimés.
Formule : Moment Réduit Ultime
Cette formule normalise le moment de flexion. Elle divise le moment par le produit de la largeur, du carré de la hauteur utile et de la résistance du béton. Le résultat est un nombre pur, sans unité.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur (Unités SI obligatoires) |
|---|---|---|
| Moment Ultime | \(M_{\text{Ed}}\) | 0.185 MNm (soit 185 kNm) |
| Largeur Poutre | \(b\) | 0.25 m |
| Hauteur Utile | \(d\) | 0.45 m (approx 0.9h) |
| Résistance Béton | \(f_{\text{cd}}\) | 20 MPa (ou 20 MN/m²) |
Le piège mortel ici est l'unité du Moment ! Les logiciels donnent souvent des kNm. Or, pour que la formule fonctionne avec des mètres et des MégaPascals, il faut impérativement convertir le moment en MNm.
Rappel simple : \(1 \text{ MNm} = 1000 \text{ kNm}\). Donc divisez vos kNm par 1000. (Ex: \(185 \text{ kNm} \rightarrow 0.185 \text{ MNm}\)).
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Calcul du coefficient \(\mu_{\text{bu}}\)
On remplace les variables par les valeurs SI. Le dénominateur représente la "force" géométrique brute de la poutre.
Interprétation : Le résultat est 0.1827. Cela signifie que le moment appliqué "consomme" environ 18% de la capacité théorique maximale du rectangle de béton. C'est une valeur modérée.
2. Comparaison avec la limite critique (Pivot B)
Nous comparons notre résultat à la valeur limite \(\mu_{\text{lu}}\) (Moment Limite Ultime). Pour des aciers de nuance B500B en calcul linéaire sans redistribution, cette limite est fixée par la norme à 0.371.
Interprétation : La condition est largement vérifiée. Le moment réduit est bien inférieur à la limite critique. Le béton n'est pas saturé en compression et reste dans son domaine de fonctionnement ductile.
Puisque \(\mu_{\text{bu}} < 0.371\), nous concluons que la section de béton est suffisante. Il n'est pas nécessaire d'aider le béton avec des armatures comprimées (\(A'_{\text{s}}\)). Le ferraillage sera constitué uniquement d'armatures tendues en partie basse (Calcul classique en flexion simple). Nous pouvons procéder directement au calcul de la section d'acier.
Une valeur de 0.18 est très classique pour une poutre de bâtiment bien dimensionnée (souvent entre 0.10 et 0.25).
Si vous aviez trouvé 0.01, la poutre serait surdimensionnée (gâchis de béton).
Si vous aviez trouvé 0.8, c'est physiquement impossible pour du béton armé classique (erreur de calcul probable, sûrement les unités).
Si \(\mu_{\text{bu}}\) avait dépassé 0.371, la procédure aurait changé drastiquement : il aurait fallu soit augmenter la hauteur \(h\) de la poutre (solution préférée), soit calculer une section d'aciers comprimés \(A'_{\text{s}}\) (solution de dernier recours).
🎯 Objectif
Maintenant que la géométrie du béton est validée, nous devons déterminer la quantité exacte d'acier (la surface en cm²) à placer en partie basse de la poutre pour équilibrer le moment de flexion. C'est le cœur du dimensionnement : trouver le "muscle" nécessaire pour empêcher la poutre de rompre en traction.
📚 Référentiel
- Théorie du Béton Armé : Équilibre statique des forces internes (Compression = Traction).
Le principe mécanique est celui du levier. La flexion crée un couple de forces internes : le béton pousse en haut (Compression \(N_c\)) et l'acier tire en bas (Traction \(N_s\)). Pour que la poutre ne tourne pas sur elle-même (équilibre), ce couple doit s'opposer exactement au moment externe \(M_{\text{Ed}}\).
L'efficacité de ce couple dépend de la distance entre la force de compression et la force de traction : c'est le Bras de Levier \(z\). Plus ce bras de levier est grand, plus l'acier est efficace (il faut moins de force pour le même moment).
Notre démarche sera séquentielle :
1. Calculer la hauteur de la zone comprimée (\(\alpha\)) pour savoir où s'applique la force du béton.
2. En déduire le bras de levier exact (\(z\)).
3. Calculer la section d'acier (\(A_{\text{s}}\)) en divisant le Moment par (Bras de levier \(\times\) Résistance acier).
Le bras de levier \(z\) est toujours un peu plus petit que la hauteur utile \(d\), car le centre de pression du béton n'est pas tout en haut, mais un peu plus bas. Généralement, \(z \approx 0.9 \times d\). C'est un excellent moyen de vérifier mentalement la cohérence de vos calculs.
Formule A : Hauteur relative de la zone comprimée (\(\alpha\))
Ce paramètre sans dimension (entre 0 et 1) indique la "profondeur" relative du béton qui travaille en compression par rapport à la hauteur utile. Elle dépend directement de \(\mu_{\text{bu}}\).
Formule B : Bras de levier du couple interne (\(z\))
C'est la distance physique (en mètres) entre le centre de gravité des aciers tendus et le point d'application de la résultante de compression du béton.
Formule C : Section d'acier théorique (\(A_{\text{s}}\))
Loi fondamentale : Force (Acier) = Moment / Bras de levier. Donc Surface = Force / Résistance.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Moment réduit \(\mu_{\text{bu}}\) | 0.1827 (calculé préc.) |
| Hauteur utile \(d\) | 0.45 m |
| Moment Ultime \(M_{\text{Ed}}\) | 0.185 MNm |
| Résistance Acier \(f_{\text{yd}}\) | 435 MPa (MN/m²) |
Les unités sont encore une fois cruciales !
Si vous divisez des MNm par des mètres et des MPa (qui sont des MN/m²), le résultat sera mathématiquement en mètres carrés (m²). C'est une unité très petite (ex: 0.001 m²). N'oubliez pas de multiplier le résultat final par \(10^4\) (10 000) pour obtenir des cm², l'unité parlante pour les plans d'exécution.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Calcul du paramètre \(\alpha\)
Nous déterminons d'abord la géométrie de la zone comprimée.
Interprétation : La zone comprimée descend sur environ 25% de la hauteur utile de la poutre (soit environ \(0.254 \times 45 \approx 11.5\) cm depuis le haut). Le reste de la poutre est fissuré et ne sert pas à la résistance en flexion, seulement à tenir les aciers.
2. Calcul du bras de levier \(z\)
Nous calculons maintenant la distance efficace entre la résultante de compression et celle de traction.
Interprétation : Le bras de levier est de 40.4 cm. C'est très proche de notre estimation rapide (\(0.9 \times 45 = 40.5\)), ce qui confirme que le calcul est cohérent.
3. Calcul de la section d'acier requise \(A_{\text{s}}\) (en m²)
Enfin, nous appliquons la formule de dimensionnement. Attention, le résultat brut est en m².
Interprétation : Il faut théoriquement 0.001052 mètres carrés d'acier.
4. Conversion finale en cm²
Transformation en cm² pour pouvoir utiliser les abaques de ferraillage usuels.
Interprétation : C'est la valeur minimale stricte de sécurité. Nous devons fournir au moins 10.52 cm² d'acier dans la section pour qu'elle tienne la charge.
La mécanique est résolue. Le calcul nous indique formellement : pour que la poutre ne casse pas sous 185 kNm, il faut glisser 10.52 cm² d'acier en bas. Tout ferraillage proposant moins que cette surface mettra l'ouvrage en péril. Tout ferraillage proposant plus sera du côté de la sécurité (tant qu'on ne surcharge pas trop la poutre).
10.52 cm² pour une poutre de 25x50 est un ratio d'acier d'environ 0.8% (\(10.52 / (25 \times 50)\)). C'est un ratio très standard et économique (ni trop faible pour être fragile, ni trop ferraillé pour être impossible à bétonner). Cela confirme que le pré-dimensionnement de la poutre était bon.
Cette section est la section "calculée" à l'ELU. Il faudra aussi vérifier plus tard la "Condition de Non-Fragilité" (section minimale réglementaire), bien que pour une poutre fortement chargée comme celle-ci, le calcul ELU l'emporte quasiment toujours sur le minimum réglementaire.
🎯 Objectif
Nous entrons maintenant dans la phase "Constructive". L'objectif est de transformer le résultat théorique abstrait (10.52 cm²) en une solution concrète et réalisable sur chantier. Nous devons sélectionner des barres dans le catalogue standard des diamètres disponibles (HA10, 12, 14, 16, 20, 25...) pour obtenir une section réelle supérieure ou égale au besoin, tout en respectant les contraintes d'espacement pour le bétonnage.
📚 Tableau des Sections (Rappel)
Voici les sections cumulées (en cm²) pour les diamètres usuels en bâtiment. C'est l'outil quotidien du projeteur :
| Diamètre | 1 barre | 2 barres | 3 barres | 4 barres | 5 barres |
|---|---|---|---|---|---|
| HA 12 | 1.13 | 2.26 | 3.39 | 4.52 | 5.65 |
| HA 14 | 1.54 | 3.08 | 4.62 | 6.16 | 7.70 |
| HA 16 | 2.01 | 4.02 | 6.03 | 8.04 | 10.05 |
| HA 20 | 3.14 | 6.28 | 9.42 | 12.57 | 15.71 |
| HA 25 | 4.91 | 9.82 | 14.73 | 19.64 | 24.54 |
Nous devons trouver une combinaison qui donne une surface \(A_{s,\text{prov}} > 10.52 \text{ cm}^2\). Mais attention, le calcul ne suffit pas, il faut penser "chantier" !
Plusieurs critères guident notre choix :
1. Symétrie : Il est impératif de disposer les barres symétriquement par rapport à l'axe vertical pour éviter la torsion accidentelle de la poutre. On privilégie donc des nombres pairs ou des dispositions symétriques.
2. Encombrement (Largeur) : La poutre ne fait que 25 cm de large. En enlevant l'enrobage (3cm de chaque côté) et l'épaisseur des cadres (0.8cm), il reste environ 17 cm utiles. Il faut laisser au moins 2 à 3 cm entre chaque barre pour que le béton (et ses graviers) puisse passer. On ne peut donc pas aligner 5 ou 6 grosses barres côte à côte sur un seul lit.
3. Optimisation économique : On cherche à être au plus près de 10.52 cm² pour ne pas gaspiller d'acier inutilement.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée (Analyse des options)
Comparons les différentes solutions possibles en consultant le tableau :
- Option A (Diamètre HA 16) : Il faudrait \(10.52 / 2.01 \approx 5.2\) barres. Soit 6 barres HA16 (12.06 cm²).
❌ Problème : 6 barres ne tiennent pas sur un seul lit horizontal dans 25cm. Il faudrait 2 lits de 3 barres. C'est faisable mais cela encombre la poutre et demande plus de ligatures. - Option B (Diamètre HA 20) : Il faudrait \(10.52 / 3.14 \approx 3.35\) barres. On passe à l'entier supérieur pair ou symétrique : 4 barres HA 20 (12.57 cm²).
✅ Avantage : Solution robuste. 4 barres est un bon chiffre. Le diamètre 20mm est adapté aux charges lourdes. La surconsommation d'acier est raisonnable. - Option C (Diamètre HA 25) : Il faudrait \(10.52 / 4.91 \approx 2.14\) barres. Soit 3 barres HA 25 (14.73 cm²).
⚠️ Problème : 14.73 cm² est beaucoup trop par rapport au besoin de 10.52 cm² (40% de gaspillage). De plus, le diamètre 25 est très rigide et difficile à façonner.
Nous retenons la solution la plus rationnelle et facile à mettre en œuvre :
Ces barres seront disposées en priorité sur un seul lit si l'espacement le permet, ou plus probablement en deux lits superposés (paquet) pour faciliter le passage du béton.
Vérifions si 4 barres de 20mm tiennent sur un seul lit dans une largeur de 25cm.
Largeur totale \(b = 250 \text{ mm}\).
Moins les enrobages (\(2 \times 30 = 60 \text{ mm}\)).
Moins les cadres (\(2 \times 8 = 16 \text{ mm}\)).
Espace disponible total = \(174 \text{ mm}\).
Les 4 barres prennent \(4 \times 20 = 80 \text{ mm}\).
Il reste \(174 - 80 = 94 \text{ mm}\) de vide à répartir en 3 intervalles entre les barres.
Intervalle moyen = \(94 / 3 \approx 31 \text{ mm}\).
Le plus gros gravier standard fait 20mm. Comme \(31 \text{ mm} > 20 \text{ mm}\), le béton passera bien entre les barres. La solution 4 HA 20 sur un seul lit est VALIDE.
Le plan de ferraillage prévoira 4 barres de 20mm en nappe inférieure. Cela assure une section réelle de 12.57 cm², soit une marge de sécurité supplémentaire de 19% par rapport au calcul strict (10.52 cm²). C'est une conception saine et durable.
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