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Dimensionnement d’une Semelle Filante

Dimensionnement d’une Semelle Filante

Dimensionnement d’une Semelle Filante

Contexte : L'interface entre la structure et le sol.

En géotechnique, la fondation est l'ouvrage qui assure la transmission des charges d'une structure (bâtiment, pont, mur de soutènement) vers le sol. La semelle filanteType de fondation superficielle, généralement en béton armé, qui est continue sous un mur ou une ligne de poteaux. Elle répartit la charge sur une plus grande surface pour éviter le poinçonnement du sol. est l'un des types de fondations superficielles les plus courants. Son dimensionnement est une étape critique qui garantit la stabilité de l'ensemble de l'ouvrage. Il s'agit de trouver la largeur minimale de la semelle pour que la contrainte transmise au sol ne dépasse pas sa capacité portante, tout en limitant les tassements. Cet exercice vous guidera à travers les vérifications fondamentales selon l'Eurocode 7.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche de l'ingénieur géotechnicien. À partir des charges de la structure et des caractéristiques du sol, nous allons dimensionner un élément d'interface (la semelle) en vérifiant sa sécurité vis-à-vis de deux états limites : l'État Limite Ultime (ELU), qui concerne la ruine de l'ouvrage, et l'État Limite de Service (ELS), qui concerne son bon fonctionnement et le confort des usagers (tassements).

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les combinaisons d'actions de l'Eurocode à l'ELU et à l'ELS.
  • Calculer la capacité portanteContrainte maximale que le sol peut supporter avant de rompre. Elle dépend des caractéristiques du sol (cohésion, angle de frottement) et de la géométrie de la fondation. d'un sol sous une fondation superficielle.
  • Déterminer la largeur requise d'une semelle pour satisfaire au critère de poinçonnement à l'ELU.
  • Vérifier que la contrainte appliquée au sol reste admissible à l'ELS.
  • Comprendre le rôle des coefficients de sécurité partiels en géotechnique.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner la semelle filante en béton armé sous un mur en béton. La semelle est fondée à une profondeur D dans un sol homogène. Les charges, caractéristiques du sol et coefficients sont donnés ci-dessous.

Schéma de la Semelle Filante
G'k, Qk Sol (c', φ', γ) D B = ?
Paramètre Symbole Valeur Unité
Charge permanente (poids propre mur + planchers) \(G'_{\text{k}}\) 150 \(\text{kN/ml}\)
Charge d'exploitation \(Q_{\text{k}}\) 80 \(\text{kN/ml}\)
Profondeur d'ancrage \(D\) 1.0 \(\text{m}\)
Poids volumique du sol \(\gamma\) 18 \(\text{kN/m³}\)
Angle de frottement interne du sol \(\phi'\) 25 \(\text{°}\)
Cohésion effective du sol \(c'\) 10 \(\text{kPa}\)
Poids volumique du béton \(\gamma_{\text{béton}}\) 25 \(\text{kN/m³}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la charge de calcul à l'État Limite Ultime (ELU), \(V_{\text{d,ELU}}\), en tenant compte du poids propre estimé de la semelle.
  2. Déterminer la largeur minimale \(B\) de la semelle pour vérifier la condition de non-poinçonnement du sol à l'ELU.
  3. Avec la largeur \(B\) calculée, vérifier que la contrainte sur le sol à l'État Limite de Service (ELS) est acceptable.

Les bases de la Géotechnique des Fondations

Avant de commencer, rappelons quelques principes de l'Eurocode 7.

1. États Limites (ELU & ELS) :
L'ingénieur vérifie la structure pour deux scénarios. L'ELU (État Limite Ultime) s'assure que la structure ne s'effondre pas. On majore les charges (ex: 1.35G + 1.5Q) et on minore les résistances du sol avec des coefficients de sécurité partiels. L'ELS (État Limite de Service) garantit que la structure se comporte bien en service (pas de tassements excessifs, de fissures...). On utilise les charges non pondérées (G + Q).

2. Capacité Portante du Sol :
C'est la pression maximale que le sol peut supporter. Selon l'Eurocode 7, pour une semelle filante sous charge verticale, la résistance de calcul \(R_{\text{d}}\) est l'aire de la semelle \(A' = B \times 1\,\text{m}\) multipliée par la capacité portante de calcul \(q_{\text{net,d}}\). La condition à vérifier à l'ELU est : \[ V_{\text{d,ELU}} \le R_{\text{d}} = A' \cdot q_{\text{net,d}} \] La capacité portante nette de calcul \(q_{\text{net,d}}\) se calcule avec une formule complexe (dite de Terzaghi ou Meyerhof), qui dépend de la cohésion, de l'angle de frottement et de la profondeur de la fondation. Les caractéristiques du sol (\(c'\), \(\tan(\phi')\)) sont divisées par des coefficients partiels (\(\gamma_{\text{c}}\), \(\gamma_{\phi}\)) pour obtenir les valeurs de calcul.

Correction : Dimensionnement de la Semelle Filante

Question 1 : Calculer la charge de calcul à l'ELU

Principe (le concept physique)

Pour vérifier la sécurité à la ruine (ELU), on doit imaginer le scénario le plus défavorable. On majore donc les charges permanentes (G) et variables (Q) avec des coefficients de sécurité. La charge totale inclut les charges descendant du mur, mais aussi le poids propre de la semelle elle-même, qui n'est pas encore connue. On doit donc faire une première estimation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison d'actions fondamentale à l'ELU selon l'Eurocode 0 est : \(P_{\text{d}} = \gamma_G \cdot G_{\text{k}} + \gamma_Q \cdot Q_{\text{k}}\). En France, pour un bâtiment, les coefficients standards sont \(\gamma_G = 1.35\) et \(\gamma_Q = 1.5\). Le poids de la semelle est une charge permanente \(G_{\text{k}}\), il doit donc être multiplié par 1.35.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'estimation du poids de la semelle est un problème "itératif". On suppose une dimension, on calcule, puis on vérifie si la dimension était correcte. Pour une première approche, on estime souvent que le poids de la semelle et des terres au-dessus représente environ 5% à 10% des charges Gk+Qk. Ici, nous allons estimer une hauteur de semelle pour démarrer.

Normes (la référence réglementaire)

Les combinaisons d'actions et les coefficients partiels de sécurité pour les charges sont définis dans l'Eurocode 0 (NF EN 1990). L'application pour le calcul géotechnique est ensuite précisée dans l'Eurocode 7 (NF EN 1997-1) et son Annexe Nationale.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge de calcul totale à l'ELU :

\[ V_{\text{d,ELU}} = 1.35 \cdot (G'_{\text{k}} + G_{\text{semelle,k}}) + 1.5 \cdot Q_{\text{k}} \]

Avec le poids propre de la semelle (par mètre linéaire) :

\[ G_{\text{semelle,k}} = B \cdot h \cdot \gamma_{\text{béton}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On fait une première estimation de la hauteur de la semelle, \(h\), à 0.30 m. La largeur \(B\) est l'inconnue, mais pour estimer le poids, on peut prendre une valeur de départ plausible, par exemple \(B \approx 1.2\) m. On affinera ce calcul plus tard.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(G'_{\text{k}} = 150 \, \text{kN/ml}\)
  • \(Q_{\text{k}} = 80 \, \text{kN/ml}\)
  • \(\gamma_{\text{béton}} = 25 \, \text{kN/m³}\)
  • Estimation : \(h = 0.30 \, \text{m}\), \(B = 1.2 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une pré-estimation rapide, on peut majorer la somme des charges caractéristiques (Gk+Qk) de 10% pour tenir compte du poids de la fondation, puis appliquer la formule de l'ELU. Ex: \((150+80) \times 1.1 = 253\) kN/ml. Puis \(1.35 \times (150+ (0.1 \times 230)) + 1.5 \times 80 \approx 353\) kN/ml. C'est un peu plus conservatif mais permet de dégrossir le problème.

Schéma (Avant les calculs)
Charges Caractéristiques sur la Fondation
Semelle (Poids G_semelle?)G'k, Qk
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Estimer le poids propre de la semelle :

\[ \begin{aligned} G_{\text{semelle,k}} &= 1.2 \, \text{m} \cdot 0.30 \, \text{m} \cdot 25 \, \text{kN/m³} \\ &= 9.0 \, \text{kN/ml} \end{aligned} \]

2. Calculer la charge totale à l'ELU :

\[ \begin{aligned} V_{\text{d,ELU}} &= 1.35 \cdot (150 + 9.0) + 1.5 \cdot 80 \\ &= 1.35 \cdot 159 + 120 \\ &= 214.65 + 120 \\ &= 334.65 \, \text{kN/ml} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge de Calcul ELU
Vd,ELU = 335 kN/ml
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge de calcul que la fondation devra transmettre au sol dans le scénario le plus défavorable est d'environ 335 kN par mètre de mur. C'est cette valeur qui servira à dimensionner la largeur de la semelle contre la rupture du sol.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier le poids propre de la fondation dans les charges permanentes. Omettre ce poids, même s'il est faible par rapport aux autres charges, est une erreur de principe et peut conduire à un sous-dimensionnement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'ELU vise la sécurité et la non-rupture.
  • On majore les charges : \(1.35 G_{\text{k}} + 1.5 Q_{\text{k}}\).
  • Le poids de la fondation est une charge permanente \(G_{\text{k}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les coefficients 1.35 et 1.5 proviennent d'analyses statistiques et probabilistes. Ils tiennent compte des incertitudes sur les valeurs réelles des charges (ex: un poids de matériau un peu plus élevé que prévu) et de la probabilité que les charges d'exploitation maximales soient atteintes simultanément.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le coefficient pour G (1.35) est-il plus faible que pour Q (1.5) ?

Les charges permanentes (G) sont généralement mieux connues et moins variables que les charges d'exploitation (Q). Le poids d'un mur en béton est assez prévisible, alors que la charge de neige ou le nombre de personnes dans une pièce sont beaucoup plus incertains. Le coefficient de sécurité est donc plus élevé pour les charges les plus variables.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge de calcul à l'ELU est \(V_{\text{d,ELU}} \approx 335\) kN/ml.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge d'exploitation Qk était de 100 kN/ml au lieu de 80, quelle serait la nouvelle charge Vd,ELU (en kN/ml) ?

Question 2 : Déterminer la largeur minimale B de la semelle

Principe (le concept physique)

La largeur de la semelle doit être suffisante pour "étaler" la charge de 335 kN/ml sur une surface assez grande pour que la pression exercée sur le sol soit inférieure à sa résistance. On doit donc d'abord calculer la résistance du sol (sa capacité portante) puis en déduire la surface, et donc la largeur B, nécessaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La capacité portante nette de calcul \(q_{\text{net,d}}\) est donnée par la formule de l'Eurocode 7. Pour un sol avec frottement et cohésion, et une charge verticale, elle s'écrit : \[ q_{\text{net,d}} = \frac{c'_{\text{d}} \cdot N_{\text{c}} + q' \cdot N_{\text{q}} - q'}{\gamma_{\text{R,v}}} \] Où \(c'_{\text{d}}\) et \(\phi'_{\text{d}}\) sont les propriétés de calcul du sol (\(c'_{\text{k}}/\gamma_{\text{c}}\), \(\arctan(\tan\phi'_{\text{k}}/\gamma_{\phi})\)), \(q'\) est la contrainte effective au niveau de la base de la fondation, et \(N_{\text{c}}, N_{\text{q}}\) sont des facteurs de portance qui dépendent de \(\phi'_{\text{d}}\). Le coefficient \(\gamma_{\text{R,v}}\) est un coefficient de sécurité sur la résistance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez marcher sur de la neige. Avec des chaussures normales, vous vous enfoncez (poinçonnement). Avec des raquettes, votre poids est réparti sur une plus grande surface, la pression diminue, et la neige vous porte. La semelle joue exactement le rôle des raquettes pour le bâtiment.

Normes (la référence réglementaire)

Selon l'Annexe Nationale Française de l'Eurocode 7, pour les fondations superficielles (Approche 2), les coefficients partiels sur les propriétés du sol sont \(\gamma_{\text{c}} = 1.25\) et \(\gamma_{\phi} = 1.25\). Le coefficient de sécurité sur la résistance à la portance est \(\gamma_{\text{R,v}} = 1.4\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Propriétés de calcul du sol :

\[ c'_{\text{d}} = \frac{c'_{\text{k}}}{\gamma_{\text{c}}} \]
\[ \phi'_{\text{d}} = \arctan\left(\frac{\tan \phi'_{\text{k}}}{\gamma_{\phi}}\right) \]

2. Facteurs de portance (formules approchées pour \(\phi'_{\text{d}}\)) :

\[ N_{\text{q}} = e^{\pi \tan \phi'_{\text{d}}} \tan^2(45^\circ + \phi'_{\text{d}}/2) \]
\[ N_{\text{c}} = (N_{\text{q}} - 1) \cot \phi'_{\text{d}} \]

3. Contrainte de calcul \(q_{\text{net,d}}\) et condition de dimensionnement :

\[ V_{\text{d,ELU}} / B \le q_{\text{net,d}} \quad \Rightarrow \quad B \ge \frac{V_{\text{d,ELU}}}{q_{\text{net,d}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol est homogène sur une profondeur significative sous la semelle, que la nappe phréatique est profonde (n'influence pas le poids volumique du sol), et que la charge est appliquée au centre de la semelle (pas d'excentricité).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(c'_{\text{k}} = 10 \, \text{kPa}\) ; \(\phi'_{\text{k}} = 25^\circ\)
  • \(\gamma_{\text{c}} = 1.25\) ; \(\gamma_{\phi} = 1.25\) ; \(\gamma_{\text{R,v}} = 1.4\)
  • \(D=1.0 \, \text{m}\) ; \(\gamma=18 \, \text{kN/m³}\)
  • \(V_{\text{d,ELU}} = 335 \, \text{kN/ml}\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Les facteurs de portance \(N_{\text{c}}\) et \(N_{\text{q}}\) augmentent très rapidement avec l'angle de frottement \(\phi'\). Une petite amélioration des caractéristiques du sol peut donc entraîner une réduction significative de la taille des fondations. Des abaques (graphiques) existent pour trouver rapidement les valeurs de Nq et Nc sans passer par les formules complexes.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre des Pressions à l'ELU
Contrainte appliquéeVd,ELU / BRésistance du solq_net,d≤
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer les propriétés de calcul du sol :

\[ c'_{\text{d}} = \frac{10}{1.25} = 8 \, \text{kPa} \]
\[ \begin{aligned} \phi'_{\text{d}} &= \arctan\left(\frac{\tan 25^\circ}{1.25}\right) \\ &= \arctan(0.373) \\ &= 20.45^\circ \end{aligned} \]

2. Calculer les facteurs de portance pour \(\phi'_{\text{d}} = 20.45^\circ\) :

\[ N_{\text{q}} \approx 6.75 \quad ; \quad N_{\text{c}} \approx 15.4 \]

3. Calculer la contrainte effective à la base \(q'\) :

\[ \begin{aligned} q' &= \gamma \cdot D \\ &= 18 \, \text{kN/m³} \cdot 1.0 \, \text{m} \\ &= 18 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

4. Calculer la capacité portante nette de calcul \(q_{\text{net,d}}\) :

\[ \begin{aligned} q_{\text{net,d}} &= \frac{8 \cdot 15.4 + 18 \cdot 6.75 - 18}{1.4} \\ &= \frac{123.2 + 121.5 - 18}{1.4} \\ &= \frac{226.7}{1.4} \\ &\approx 162 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

5. Déterminer la largeur B minimale :

\[ \begin{aligned} B &\ge \frac{335 \, \text{kN/ml}}{162 \, \text{kPa}} \\ &= 2.068 \, \text{m} \end{aligned} \]

On choisit une largeur constructive. Par exemple, \(B = 2.10 \, \text{m}\).

Schéma (Après les calculs)
Dimension Finale de la Semelle
B = 2.10 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul montre qu'il faut une semelle de 2.10 m de large pour répartir la charge de manière sûre. Cette largeur est assez importante et reflète un sol aux caractéristiques moyennes (\(\phi'=25^\circ\)). Si le sol était meilleur (ex: \(\phi'=35^\circ\)), la largeur requise serait bien plus faible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper dans les unités (kPa vs Pa, kN vs N) ou d'oublier d'appliquer l'un des coefficients de sécurité partiels. La démarche Eurocode est systématique : on calcule les actions de calcul, les propriétés de calcul des matériaux, puis on vérifie que la sollicitation est inférieure à la résistance.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La condition à l'ELU est \(V_{\text{d,ELU}} \le R_{\text{d}}\).
  • La résistance du sol (\(R_{\text{d}}\)) dépend de ses caractéristiques minorées (\(c'_{\text{d}}, \phi'_{\text{d}}\)) et de coefficients de sécurité.
  • La largeur B est l'inconnue que l'on cherche pour satisfaire la condition.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe trois modes de rupture du sol sous une fondation : la rupture par cisaillement général (pour les sols denses), la rupture par cisaillement localisé, et la rupture par poinçonnement (pour les sols très lâches). Les formules de l'Eurocode sont basées sur le mécanisme de cisaillement général, le plus courant.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la charge n'est pas centrée ?

Si la charge est excentrée, elle crée un moment sur la fondation. La distribution des contraintes sous la semelle n'est plus uniforme mais devient trapézoïdale ou triangulaire. Le calcul est plus complexe : on utilise une "largeur efficace" réduite pour tenir compte de l'excentricité, ce qui augmente la contrainte maximale et nécessite souvent une semelle plus large.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La largeur minimale requise est de 2.07 m. On adopte une largeur constructive de B = 2.10 m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le sol était un sable dense avec \(\phi'_{\text{k}} = 32^\circ\) et \(c'_{\text{k}} = 0\) kPa, quelle serait la nouvelle largeur B requise (en m) ?

Question 3 : Vérifier la contrainte à l'ELS

Principe (le concept physique)

Maintenant que la semelle est dimensionnée pour ne pas casser le sol (ELU), on doit vérifier qu'en conditions normales d'utilisation (ELS), la pression exercée n'est pas excessive. Une pression trop forte, même si elle ne cause pas la rupture, peut entraîner des tassements importants qui endommageraient la structure (fissures, portes qui ferment mal...). On compare donc la contrainte de service à une contrainte admissible.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

À l'ELS, on utilise les charges non pondérées (\(G_{\text{k}} + Q_{\text{k}}\)). La contrainte admissible, \(q_{\text{adm}}\), est souvent définie par le géotechnicien. Une règle courante est de prendre la capacité portante caractéristique et de la diviser par un facteur de sécurité global (souvent 3). \[ \sigma_{\text{ELS}} = \frac{V_{\text{k,ELS}}}{B} \le q_{\text{adm}} \approx \frac{q_{\text{net,k}}}{3} \] Cela garantit que la charge de service est loin de la charge de rupture, limitant ainsi les déformations.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La vérification à l'ELS est une question de "confort" et de durabilité de l'ouvrage. Un pont peut être parfaitement sûr à l'ELU, mais s'il vibre trop au passage des camions (un problème d'ELS), il sera inutilisable. Pour les fondations, le problème principal est le tassement.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 stipule que les tassements doivent être vérifiés, mais ne donne pas de valeurs limites chiffrées, car elles dépendent fortement du type de structure. Celles-ci sont généralement spécifiées dans les documents du projet. La méthode de la contrainte admissible est une approche simplifiée et courante pour s'assurer indirectement que les tassements resteront faibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Charge totale à l'ELS (avec la largeur B=2.10m et h=0.30m) :

\[ V_{\text{k,ELS}} = G'_{\text{k}} + G_{\text{semelle,k}} + Q_{\text{k}} \]

2. Contrainte de service :

\[ \sigma_{\text{ELS}} = \frac{V_{\text{k,ELS}}}{B \times 1\,\text{m}} \]

3. Contrainte admissible (règle du tiers) :

\[ q_{\text{adm}} \approx \frac{c'_{\text{k}} \cdot N_{\text{c}} + q' \cdot N_{\text{q}} - q'}{3} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la règle empirique consistant à limiter la contrainte de service au tiers de la capacité portante caractéristique est une justification suffisante pour les tassements dans le cadre de ce projet.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(G'_{\text{k}} = 150 \, \text{kN/ml}\) ; \(Q_{\text{k}} = 80 \, \text{kN/ml}\)
  • \(B = 2.10 \, \text{m}\) ; \(h=0.30 \, \text{m}\)
  • Pour \(\phi'_{\text{k}} = 25^\circ\), les facteurs de portance sont \(N_{\text{c}} \approx 20.7\), \(N_{\text{q}} \approx 10.7\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Si le dimensionnement à l'ELU a été fait avec l'Approche 2 de l'EC7, la vérification à l'ELS est souvent satisfaite pour les semelles sur des sols de portance moyenne. En effet, le produit des coefficients de sécurité (\(\gamma_G, \gamma_Q, \gamma_\phi, \gamma_c, \gamma_{R,v}\)) est généralement proche de 3, ce qui est le facteur de sécurité global souvent utilisé pour l'ELS.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification du Tassement (ELS)
Tassement ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Recalculer le poids propre de la semelle avec B = 2.10 m :

\[ \begin{aligned} G_{\text{semelle,k}} &= 2.10 \, \text{m} \cdot 0.30 \, \text{m} \cdot 25 \, \text{kN/m³} \\ &= 15.75 \, \text{kN/ml} \end{aligned} \]

2. Calculer la charge totale à l'ELS :

\[ \begin{aligned} V_{\text{k,ELS}} &= 150 + 15.75 + 80 \\ &= 245.75 \, \text{kN/ml} \end{aligned} \]

3. Calculer la contrainte de service \(\sigma_{\text{ELS}}\) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{ELS}} &= \frac{245.75 \, \text{kN/ml}}{2.10 \, \text{m}} \\ &= 117 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

4. Calculer la contrainte admissible \(q_{\text{adm}}\) :

\[ \begin{aligned} q_{\text{net,k}} &= 10 \cdot 20.7 + 18 \cdot 10.7 - 18 \\ &= 207 + 192.6 - 18 \\ &= 381.6 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} q_{\text{adm}} &\approx \frac{381.6}{3} \\ &\approx 127 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

5. Vérifier la condition :

\[ \sigma_{\text{ELS}} = 117 \, \text{kPa} \le q_{\text{adm}} = 127 \, \text{kPa} \quad \Rightarrow \quad \text{OK!} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification ELS Satisfaite
σ_ELS < q_adm ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vérification est satisfaite. La contrainte sous la semelle en conditions de service normales (117 kPa) est inférieure à la limite usuelle de 127 kPa. Cela indique que les tassements de la fondation devraient rester dans des limites acceptables. Le dimensionnement à l'ELU a été ici le plus contraignant, ce qui est souvent le cas pour les sols de qualité moyenne à bonne.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais utiliser les charges de calcul de l'ELU (avec 1.35 et 1.5) pour une vérification à l'ELS. Cela conduirait à une contrainte de service surestimée et pourrait mener à un surdimensionnement inutile et coûteux de la fondation.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'ELS vise le confort et la fonctionnalité.
  • On utilise les charges caractéristiques (non pondérées) : \(G_{\text{k}} + Q_{\text{k}}\).
  • On vérifie que la contrainte de service est inférieure à une contrainte admissible pour limiter les tassements.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le tassement le plus dangereux pour un bâtiment n'est pas le tassement uniforme (où tout le bâtiment s'enfonce de la même quantité), mais le tassement différentiel (une partie s'enfonce plus qu'une autre). C'est ce qui crée des contraintes internes et des fissures dans la structure. La Tour de Pise en est l'exemple le plus célèbre !

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que le calcul de tassement est toujours aussi simple ?

Non, l'approche par la contrainte admissible est une simplification. Pour les projets sensibles ou les sols compressibles (comme les argiles), les ingénieurs réalisent un calcul de tassement détaillé en utilisant des méthodes plus complexes (comme la méthode œdométrique) qui estiment la valeur du tassement en millimètres, pour la comparer aux limites du projet.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte à l'ELS est de 117 kPa, ce qui est inférieur à la contrainte admissible de 127 kPa. La dimension B = 2.10 m est validée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec la largeur B=2.10m, quelle est la charge d'exploitation Qk maximale (en kN/ml) que l'on pourrait appliquer sans dépasser la contrainte admissible de 127 kPa ?

Outil Interactif : Paramètres de la Semelle

Modifiez les charges et les propriétés du sol pour voir leur influence sur la largeur requise.

Paramètres d'Entrée
150 kN/ml
25 °
10 kPa
Résultats Clés
Largeur B requise (m) -
Contrainte à l'ELS (kPa) -
Ratio de sécurité ELS -

Le Saviez-Vous ?

Karl von Terzaghi (1883-1963) est considéré comme le "père de la mécanique des sols". Ingénieur autrichien puis américain, il a transformé la géotechnique, jusqu'alors empirique, en une véritable science de l'ingénieur. Sa théorie de la consolidation et sa formule de la capacité portante, bien que modifiées depuis, restent les fondements de la discipline.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le sol n'est pas homogène ?

La situation se complique grandement. Si une couche de sol plus faible se trouve sous la semelle, elle peut gouverner le dimensionnement. L'ingénieur doit alors utiliser des modèles de calcul plus avancés qui prennent en compte la stratification du sol pour identifier le mécanisme de rupture le plus probable et s'assurer que la fondation est stable.

Pourquoi ne calcule-t-on pas le ferraillage de la semelle ici ?

Cet exercice est centré sur la géotechnique, c'est-à-dire l'interaction sol-structure. Le dimensionnement des aciers à l'intérieur de la semelle (le ferraillage) relève du calcul de béton armé. Il consiste à s'assurer que la semelle elle-même est assez résistante pour ne pas casser sous l'effet de la pression du sol. C'est une étape ultérieure, tout aussi importante.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle de frottement du sol augmente, la largeur de semelle requise...

2. La vérification à l'ELU (État Limite Ultime) a pour but principal de...

Capacité Portante
Contrainte maximale (pression) que le sol peut supporter avant de subir une rupture par poinçonnement. C'est la résistance ultime du sol.
État Limite Ultime (ELU)
État qui correspond à la ruine ou à un dommage structurel majeur. Les calculs à l'ELU utilisent des charges majorées et des résistances minorées pour garantir la sécurité.
État Limite de Service (ELS)
État qui correspond à une perte de fonctionnalité ou de confort (tassements excessifs, vibrations, fissures...). Les calculs à l'ELS utilisent des charges non pondérées.
Dimensionnement d’une Semelle Filante

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