EGC

Calcul de la Pression dans un Réservoir d’Eau

Exercice : Pression dans un Réservoir d'Eau

Calcul de la Pression dans un Réservoir d’Eau

Contexte : La pression hydrostatiqueLa pression exercée par un fluide au repos, due à la force de la gravité. Elle augmente proportionnellement à la profondeur..

En ingénierie civile et en hydraulique, comprendre comment la pression s'exerce dans un fluide au repos est fondamental. Que ce soit pour concevoir un barrage, un château d'eau ou un système de distribution d'eau, le calcul de la pression hydrostatique est une étape cruciale. Il permet de dimensionner correctement les parois des structures pour qu'elles résistent aux forces exercées par l'eau. Cet exercice vous guidera à travers les calculs de base de la pression dans un réservoir d'eau simple.

Remarque Pédagogique : Cet exercice a pour but de vous familiariser avec l'application de la loi fondamentale de l'hydrostatique, un pilier de la mécanique des fluides. Vous apprendrez à distinguer la pression relative de la pression absolue et à jongler avec différentes unités de mesure.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et appliquer la loi fondamentale de l'hydrostatique (\(P = \rho \cdot g \cdot h\)).
  • Calculer la pression à différentes profondeurs dans un fluide au repos.
  • Distinguer et calculer la pression relative et la pression absolue.
  • Convertir les unités de pression courantes : Pascals (Pa), bars, et mètres de colonne d'eau (mCE).

Données de l'étude

On étudie un réservoir d'eau cylindrique ouvert à l'atmosphère, utilisé pour alimenter un petit réseau d'irrigation. Le réservoir est partiellement rempli d'eau.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Type de réservoir Cylindrique, vertical
Fluide Eau
Condition Surface libre à la pression atmosphérique
Schéma du Réservoir d'Eau
h = 12 m Point A z = 5 m Point B (Fond) P_atm
Paramètre Symbole Valeur Unité
Hauteur totale d'eau \(h\) 12 m
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 1000 kg/m³
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 m/s²
Pression atmosphérique \(P_{\text{atm}}\) 101325 Pa

Questions à traiter

  1. Calculer la pression relative au point A, situé à une profondeur \(z = 5\) mètres sous la surface libre de l'eau.
  2. En déduire la pression absolue au même point A.
  3. Calculer la pression relative au point B, situé au fond du réservoir.
  4. Exprimer cette pression au fond du réservoir en bars et en mètres de colonne d'eau (mCE).
  5. Un manomètre (qui mesure la pression relative) est placé au fond du réservoir. S'il indique une valeur de 1.5 bar, quelle est la hauteur d'eau réelle dans le réservoir à ce moment-là ?

Les bases sur l'Hydrostatique

L'hydrostatique est la branche de la mécanique des fluides qui étudie les fluides au repos. Le concept central est la pression, qui représente la force exercée par le fluide par unité de surface. Cette pression n'est pas la même partout : elle augmente avec la profondeur.

1. Loi fondamentale de l'hydrostatique
Cette loi stipule que la différence de pression entre deux points d'un fluide homogène au repos est proportionnelle à la différence de hauteur verticale entre ces deux points. Pour un point situé à une profondeur \(h\) sous la surface libre, la pression relative (pression due uniquement au poids du fluide) est donnée par : \[ P_{\text{relative}} = \rho \cdot g \cdot h \] Où \(\rho\) est la masse volumique du fluide, \(g\) l'accélération de la pesanteur, et \(h\) la profondeur.

2. Pression Relative et Pression Absolue
La pression relative (ou manométrique) est la pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique ambiante. C'est la surpression exercée par le fluide. La pression absolue est la pression totale exercée en un point. Elle est la somme de la pression relative et de la pression atmosphérique qui s'exerce sur la surface libre du fluide. \[ P_{\text{absolue}} = P_{\text{relative}} + P_{\text{atmosphérique}} \]

Correction : Calcul de la Pression dans un Réservoir d’Eau

Question 1 : Calculer la pression relative au point A (z = 5 m)

Principe

La pression relative en un point d'un fluide est directement proportionnelle à la hauteur de la colonne de fluide située au-dessus de ce point. C'est le poids de cette colonne d'eau qui exerce une force sur la surface considérée, créant ainsi la pression.

Mini-Cours

La loi fondamentale de l'hydrostatique établit une relation linéaire entre la pression et la profondeur. Cela signifie que si vous doublez la profondeur, vous doublez la pression relative. Cette relation est valable pour un fluide incompressible (dont la masse volumique ne change pas avec la pression) et au repos.

Remarque Pédagogique

L'approche la plus sûre est de toujours identifier clairement les trois composantes de la formule : la masse volumique (\(\rho\)), la gravité (\(g\)), et surtout la hauteur de fluide (\(h\)) au-dessus du point d'intérêt. Une erreur sur \(h\) est la source la plus commune d'échec.

Normes

Ce calcul ne fait pas appel à une norme de construction spécifique (comme les Eurocodes), mais repose sur des principes fondamentaux de la physique et de la mécanique des fluides, universellement reconnus et enseignés.

Formule(s)

Formule de la pression relative

\[ P_{A, \text{relative}} = \rho \cdot g \cdot z \]
Hypothèses
  • Le fluide (eau) est considéré comme incompressible (masse volumique constante).
  • Le fluide est au repos (conditions hydrostatiques).
  • L'accélération de la pesanteur \(g\) est constante sur toute la hauteur du réservoir.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique de l'eau\(\rho\)1000kg/m³
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81m/s²
Profondeur du point A\(z\)5m
Astuces

Pour une estimation rapide, on peut utiliser \(g \approx 10 \text{ m/s}^2\). La pression en Pascals serait alors \(1000 \times 10 \times 5 = 50000\) Pa, ce qui est très proche du résultat exact et permet de vérifier l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la hauteur d'eau pour le Point A
Az = 5 m
Calcul(s)

Application numérique

On remplace les valeurs numériques dans la formule. Toutes les unités sont déjà dans le Système International, aucune conversion n'est nécessaire pour ce calcul.

\[ \begin{aligned} P_{A, \text{relative}} &= 1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 5 \text{ m} \\ &= 49050 \frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}^2} \cdot \frac{1}{\text{m}^2} \\ &= 49050 \frac{\text{N}}{\text{m}^2} \\ &= 49050 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Pression Relative
P=049050 Pa
Réflexions

Une pression de 49 050 Pa (ou 49 kPa) signifie que chaque mètre carré de surface à 5m de profondeur supporte une force de 49 050 Newtons due au poids de l'eau, soit l'équivalent d'environ 5 tonnes !

Points de vigilance

L'unité du résultat est le N/m², qui est par définition le Pascal (Pa). Il est crucial de ne pas se tromper dans les unités pour obtenir un résultat cohérent. Toujours vérifier que les données d'entrée sont en kg, m, et s.

Points à retenir

La pression relative ne dépend que de la hauteur verticale de fluide. La formule \(P = \rho \cdot g \cdot h\) est l'un des outils les plus fondamentaux en mécanique des fluides.

Le saviez-vous ?

Le principe de l'hydrostatique explique pourquoi les oreilles d'un plongeur lui font mal en descendant : la pression extérieure de l'eau augmente rapidement et devient supérieure à la pression de l'air à l'intérieur de l'oreille moyenne.

FAQ
La pression serait-elle la même si le réservoir était conique ?

Oui. C'est le paradoxe de l'hydrostatique : la pression en un point ne dépend que de la profondeur, pas de la forme du contenant ni du volume total de liquide.

Résultat Final
La pression relative au point A est de 49 050 Pa.
A vous de jouer

Quelle serait la pression relative au point A si le réservoir contenait de l'huile d'olive (\(\rho \approx 920 \text{ kg/m}^3\))?

Question 2 : Calculer la pression absolue au point A

Principe

La pression absolue est la pression "totale" ou "vraie" en un point. Elle prend en compte non seulement le poids du fluide (pression relative), mais aussi le poids de toute l'atmosphère terrestre qui appuie sur la surface libre du fluide.

Mini-Cours

La pression atmosphérique n'est pas constante. Elle diminue avec l'altitude. La valeur standard de 101 325 Pa correspond au niveau de la mer. En ingénierie, il est crucial de savoir si un capteur mesure une pression relative (par rapport à l'air ambiant) ou absolue (par rapport au vide).

Remarque Pédagogique

Pensez à la pression absolue comme un empilement : au fond, vous avez la pression du vide (zéro), puis la pression de l'atmosphère, et enfin la pression de la colonne d'eau. La pression absolue est la somme de tout cet empilement.

Normes

La définition de la pression atmosphérique standard (1 atm = 101 325 Pa) est fixée par l'Union internationale de chimie pure et appliquée (IUPAC).

Formule(s)

Formule de la pression absolue

\[ P_{A, \text{absolue}} = P_{A, \text{relative}} + P_{\text{atm}} \]
Hypothèses

On suppose que la pression atmosphérique standard au niveau de la mer est applicable dans cet exercice.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression relative au point A\(P_{A, \text{relative}}\)49050Pa
Pression atmosphérique\(P_{\text{atm}}\)101325Pa
Astuces

Une bonne approximation est de retenir que la pression atmosphérique vaut environ 1 bar ou 100 000 Pa. Cela simplifie les calculs mentaux rapides.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Réservoir d'Eau
h = 12 mPoint Az = 5 mPoint B (Fond)P_atm
Calcul(s)

Application numérique

On additionne simplement les deux pressions, qui sont déjà exprimées dans la même unité (Pascals).

\[ \begin{aligned} P_{A, \text{absolue}} &= 49050 \text{ Pa} + 101325 \text{ Pa} \\ &= 150375 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Pression Absolue
P_atm150375 Pa
Réflexions

Le résultat de 150 375 Pa (ou ~1.5 bar absolu) montre que, même à 5 mètres de profondeur, la contribution de la pression atmosphérique est encore majoritaire (environ 2/3 de la pression totale).

Points de vigilance

Ne jamais mélanger pressions relatives et absolues dans un même calcul sans savoir ce que l'on fait. Toujours clarifier si une donnée est relative ou absolue.

Points à retenir

La pression absolue est la somme de la pression relative et de la pression atmosphérique. C'est la pression "réelle" par rapport au vide.

Le saviez-vous ?

Les prévisions météorologiques sont basées sur les variations de la pression atmosphérique. Un anticyclone (haute pression) est souvent synonyme de beau temps, tandis qu'une dépression (basse pression) amène nuages et pluie.

FAQ
Pourquoi les ingénieurs utilisent-ils souvent la pression relative ?

Parce que la plupart des structures sont soumises à la pression atmosphérique à la fois à l'intérieur et à l'extérieur. Cette dernière s'annule donc. Seule la surpression (la pression relative) exercée par le fluide crée des efforts nets sur la structure.

Résultat Final
La pression absolue au point A est de 150 375 Pa.
A vous de jouer

Si l'exercice se déroulait en altitude où la pression atmosphérique n'est que de 95 000 Pa, quelle serait la pression absolue au point A ?

Question 3 : Calculer la pression relative au fond du réservoir (point B)

Principe

Le principe est rigoureusement le même que pour la question 1. On applique la loi fondamentale de l'hydrostatique, mais cette fois-ci en utilisant la hauteur totale de la colonne d'eau, \(h=12\) m, car le point B est situé au fond.

Mini-Cours

La force totale exercée par l'eau sur le fond plat du réservoir peut être calculée en multipliant cette pression \(P_B\) par la surface du fond (\(F = P_B \times S_{\text{fond}}\)). C'est cette force que la fondation du réservoir doit être capable de supporter.

Remarque Pédagogique

Même si le calcul est simple, prenez l'habitude de bien poser toutes les étapes. Cela vous aidera à ne pas faire d'erreur lorsque les problèmes deviendront plus complexes, avec plusieurs fluides ou des surfaces inclinées.

Normes

Les normes de conception des réservoirs, comme l'API 650 pour les réservoirs en acier, utilisent ces calculs de pression de base pour déterminer l'épaisseur requise des parois et du fond.

Formule(s)

Formule de la pression relative

\[ P_{B, \text{relative}} = \rho \cdot g \cdot h \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : fluide incompressible au repos et gravité constante.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique de l'eau\(\rho\)1000kg/m³
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81m/s²
Hauteur totale d'eau\(h\)12m
Astuces

Pas d'astuce particulière ici, c'est une application directe.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la hauteur totale d'eau pour le Point B
Bh = 12 m
Calcul(s)

Application numérique

On applique la formule avec la hauteur totale d'eau.

\[ \begin{aligned} P_{B, \text{relative}} &= 1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 12 \text{ m} \\ &= 117720 \frac{\text{N}}{\text{m}^2} \\ &= 117720 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Pression Relative
P=0117720 Pa
Réflexions

La pression au fond est plus de deux fois supérieure à celle à 5m de profondeur (117 720 Pa contre 49 050 Pa), ce qui est cohérent avec la relation linéaire entre pression et profondeur.

Points de vigilance

Assurez-vous de bien utiliser la hauteur totale de l'eau (\(h\)) et non une autre dimension du réservoir.

Points à retenir

La pression maximale dans un réservoir ouvert est toujours au point le plus bas (le fond).

Le saviez-vous ?

La pression au fond de la fosse des Mariannes, le point le plus profond des océans (environ 11 000 m), dépasse 1 100 bars, soit plus de 1 100 fois la pression atmosphérique !

FAQ

Aucune nouvelle FAQ pour cette question.

Résultat Final
La pression relative au fond du réservoir est de 117 720 Pa.
A vous de jouer

Quelle serait la pression relative au fond si le réservoir ne faisait que 3 mètres de haut ?

Question 4 : Exprimer la pression au fond en bars et en mCE

Principe

Il s'agit d'une conversion d'unités pour exprimer le résultat précédent dans des termes plus courants en ingénierie. Le bar est pratique pour les ordres de grandeur, et le mètre de colonne d'eau est très intuitif en hydraulique.

Mini-Cours

Le mètre de colonne d'eau (mCE) est une unité de pression qui représente la pression exercée par une colonne d'eau de 1 mètre de haut. C'est une unité très visuelle : une pression de 12 mCE signifie simplement qu'elle équivaut à la pression sous 12 mètres d'eau.

Remarque Pédagogique

Mémoriser les facteurs de conversion clés est très utile. Retenez surtout : \(1 \text{ bar} \approx 100 \text{ kPa} \approx 10 \text{ mCE}\). Cela vous permettra de faire des estimations rapides et de vérifier la cohérence de vos résultats.

Normes

Bien que le Pascal (Pa) soit l'unité SI officielle, le bar est une unité "acceptée" pour l'usage avec le SI en raison de sa grande utilisation pratique.

Formule(s)

Relation bar-Pascal

\[ 1 \text{ bar} = 100 000 \text{ Pa} = 10^5 \text{ Pa} \]

Relation mCE-Pascal

\[ P_{\text{mCE}} = \frac{P_{\text{Pa}}}{\rho \cdot g} \]
Hypothèses

On utilise les valeurs standards de \(\rho\) et \(g\) pour la conversion en mCE.

Donnée(s)

On part du résultat de la question 3 : \(P_{B, \text{relative}} = 117 720\) Pa.

Astuces

Puisque la pression a été calculée avec \(h=12\) m, la conversion en mCE doit logiquement redonner 12 mCE. C'est une excellente façon de vérifier son calcul initial.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Unités de Pression
Équivalence Visuelle117 720 Pa1.18 bar12 mCE
Calcul(s)

Calcul de la pression en bars

\[ \begin{aligned} P_{\text{bar}} &= \frac{117720 \text{ Pa}}{100000 \text{ Pa/bar}} \\ &= 1.1772 \text{ bar} \end{aligned} \]

Calcul de la pression en mètres de colonne d'eau (mCE)

\[ \begin{aligned} P_{\text{mCE}} &= \frac{117720 \text{ Pa}}{1000 \text{ kg/m}^3 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &= \frac{117720}{9810} \text{ m} \\ &= 12 \text{ mCE} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma comparatif reste le même, montrant l'équivalence des valeurs calculées.

Réflexions

Le résultat en mCE est parfaitement logique et confirme le calcul : la pression sous 12 mètres d'eau est de 12 mCE. Le résultat en bar (~1.18 bar) est aussi cohérent avec l'approximation de 1 bar pour 10m d'eau.

Points de vigilance

Attention aux zéros dans les conversions. Une erreur fréquente est de diviser par 10 000 ou 1 000 000 au lieu de 100 000 pour passer des Pascals aux bars.

Points à retenir

Savoir convertir les Pascals en bars et en mCE est une compétence essentielle en hydraulique appliquée.

Le saviez-vous ?

Les météorologues utilisent souvent le millibar (mbar) ou l'hectopascal (hPa) pour mesurer la pression atmosphérique. 1 mbar = 1 hPa = 100 Pa. La pression atmosphérique standard est donc de 1013.25 mbar ou hPa.

FAQ

Aucune nouvelle FAQ pour cette question.

Résultat Final
La pression relative au fond est de 1,18 bar (arrondi) ou 12 mCE.
A vous de jouer

Une pression de 50 000 Pa correspond à combien de bars ?

Question 5 : Calculer la hauteur d'eau pour une pression de 1.5 bar

Principe

C'est le problème inverse des questions précédentes. On connaît la pression relative (mesurée par un manomètre) et on cherche la hauteur d'eau qui la génère. Pour cela, il suffit d'isoler la hauteur \(h\) dans la loi fondamentale de l'hydrostatique.

Mini-Cours

Cette opération est courante en instrumentation. De nombreux capteurs de niveau de liquide dans les cuves industrielles sont en réalité des capteurs de pression placés au fond. En mesurant la pression, on peut en déduire en continu la hauteur de liquide, et donc le volume stocké.

Remarque Pédagogique

La première étape cruciale est de convertir la pression donnée dans l'unité du Système International (le Pascal) avant de l'injecter dans la formule. Ne jamais faire de calcul avec des unités "exotiques" comme le bar.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une application directe de la physique.

Formule(s)

Formule de la hauteur

En partant de \(P = \rho \cdot g \cdot h\), on obtient par réarrangement :

\[ h = \frac{P}{\rho \cdot g} \]
Hypothèses

On suppose que le manomètre est correctement calibré et mesure bien la pression relative. On utilise les mêmes hypothèses sur le fluide et la gravité.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression relative mesurée\(P\)1.5bar
Masse volumique de l'eau\(\rho\)1000kg/m³
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81m/s²
Astuces

En utilisant l'approximation \(1 \text{ bar} \approx 10 \text{ mCE}\), on peut immédiatement estimer que la hauteur sera d'environ \(1.5 \times 10 = 15\) mètres. C'est un excellent moyen de vérifier le résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Problème : Hauteur Inconnue
h = ?1.5 bar
Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la pression en Pascals

Le calcul doit se faire avec des unités du Système International. Il faut donc d'abord convertir les bars en Pascals.

\[ \begin{aligned} P &= 1.5 \text{ bar} \times 100000 \frac{\text{Pa}}{\text{bar}} \\ &= 150000 \text{ Pa} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la hauteur

On applique la formule inversée avec la pression en Pascals.

\[ \begin{aligned} h &= \frac{150000 \text{ Pa}}{1000 \text{ kg/m}^3 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &= \frac{150000}{9810} \text{ m} \\ &\approx 15.29 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Solution : Hauteur Calculée
h = 15.29 m1.5 bar
Réflexions

Le résultat de 15.29 m est très proche de l'estimation rapide de 15 m, ce qui confirme la validité du calcul. Cela signifie que le niveau d'eau est plus élevé que dans la situation initiale de l'énoncé (12 m).

Points de vigilance

L'erreur la plus classique ici est d'oublier de convertir les bars en Pascals avant d'appliquer la formule, ce qui mènerait à un résultat complètement faux.

Points à retenir

La mesure de pression est une méthode indirecte mais très efficace et répandue pour mesurer des niveaux de liquide.

Le saviez-vous ?

Les altimètres dans les avions et les montres de randonnée sont aussi des capteurs de pression. Ils mesurent la pression atmosphérique et la convertissent en altitude en utilisant un modèle de l'atmosphère standard.

FAQ

Aucune nouvelle FAQ pour cette question.

Résultat Final
Pour une pression de 1.5 bar, la hauteur d'eau dans le réservoir est de 15.29 mètres.
A vous de jouer

Et si le manomètre indiquait 0.8 bar, quelle serait la hauteur d'eau ?

Outil Interactif : Simulateur de Pression

Utilisez les curseurs pour faire varier la hauteur d'eau et la masse volumique du fluide (par exemple, pour simuler de l'huile ou de l'eau salée) et observez en temps réel l'impact sur la pression relative au fond du réservoir.

Paramètres d'Entrée
12 m
1000 kg/m³
Résultats Clés au Fond
Pression (Pascals) -
Pression (bars) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La pression hydrostatique dépend principalement de :

2. Quelle est la pression absolue à la surface d'un lac de montagne ?

3. Si vous doublez la profondeur de plongée dans une piscine, la pression relative :

4. L'unité "mètre de colonne d'eau" (mCE) est une unité de :

5. La formule \(P = \rho \cdot g \cdot h\) donne la pression :

Glossaire

Pression Hydrostatique
La pression exercée en un point d'un liquide au repos. Elle est due au poids de la colonne de liquide se trouvant au-dessus de ce point.
Pression Relative
Également appelée pression manométrique, c'est la pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique ambiante. C'est la surpression par rapport à l'air ambiant.
Pression Absolue
C'est la pression totale en un point, incluant la pression atmosphérique. \(P_{\text{absolue}} = P_{\text{relative}} + P_{\text{atmosphérique}}\).
Masse Volumique (\(\rho\))
La masse d'un matériau par unité de volume. Pour l'eau douce, elle est d'environ 1000 kg/m³.
Calcul de la Pression dans un Réservoir d’Eau

D’autres exercices d’hydraulique:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *