EGC

Conception d’une Charpente en Bois

Conception d’une Charpente en Bois (Eurocode 5)

Conception d’une Charpente en Bois

Contexte : L'arbalétrier, la colonne vertébrale de la charpente.

Au sein d'une charpente traditionnelle ou d'une ferme, l'arbalétrier est la pièce maîtresse inclinée qui reçoit les charges de la toiture (via les pannes) et les transmet aux appuis. Contrairement à une simple poutre, il est soumis à un chargement complexe : non seulement il fléchit sous le poids de la couverture et de la neige, mais il est également comprimé par l'effort axial qui descend le long de la pente. Ce cas de charge, appelé flexion composéeSollicitation simultanée de flexion (qui courbe la pièce) et d'un effort normal (compression ou traction). La vérification de la résistance doit tenir compte de l'interaction entre ces deux effets., requiert une attention particulière, notamment vis-à-vis du risque de flambementPhénomène d'instabilité d'une pièce élancée soumise à un effort de compression. Au lieu de simplement s'écraser, la pièce se déforme brusquement de manière latérale..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une étape supérieure au simple calcul de flexion. Il vous confrontera à la réalité du dimensionnement des barres d'une structure en treillis (ou ferme). Nous allons décomposer les charges, calculer les efforts internes (flexion et compression), et surtout, utiliser les formules d'interaction de l'Eurocode 5 pour vérifier que l'arbalétrier est stable et ne flambera pas sous l'effet combiné des deux sollicitations.

Objectifs Pédagogiques

  • Décomposer les charges de toiture selon les axes locaux d'une barre inclinée.
  • Calculer l'effort normal de compression et le moment de flexion dans un arbalétrier.
  • Comprendre et calculer l'élancement d'une pièce pour évaluer son risque de flambement.
  • Appliquer les formules d'interaction de l'Eurocode 5 pour la flexion composée et le flambement.
  • Justifier le choix d'une section pour un élément structurel complexe.

Données de l'étude

On dimensionne l'arbalétrier d'une ferme en bois C24, située à Strasbourg (Altitude < 200m). La ferme a une portée de 10m et une pente de 30°. L'arbalétrier est considéré comme articulé à ses extrémités (au faîtage et au niveau du mur). Les pannes sont espacées de 1.5m.

Schéma de la ferme et de l'arbalétrier
Arbalétrier (à vérifier) Charges des pannes Portée = 10.0 m 30°
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la ferme - 10.0 \(\text{m}\)
Pente de la toiture \(\alpha\) 30 \(\text{degrés}\)
Charges permanentes (G) \(g_k\) 0.60 \(\text{kN/m}^2\)
Charge de neige (Strasbourg) \(s_k\) 0.55 \(\text{kN/m}^2\)
Entraxe des fermes - 4.0 \(\text{m}\)
Classe de résistance du bois / service C24 / Classe 2 -

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort normal de compression de calcul \(N_{c,d}\) et la charge transversale \(q_{z,d}\) agissant sur l'arbalétrier.
  2. Pour une section de 100x300 mm, calculer la contrainte de compression et la contrainte de flexion.
  3. Vérifier la stabilité au flambement de la pièce vis-à-vis de la compression seule.
  4. Vérifier la stabilité de la pièce en utilisant les formules d'interaction de la flexion composée.

Les bases de la Stabilité des Barres

La vérification d'une pièce en flexion composée est la plus complète en résistance des matériaux.

1. Flexion Composée :
Une pièce est en flexion composée lorsqu'elle est soumise simultanément à un effort normal (compression ou traction) et à un moment fléchissant. Les contraintes de ces deux sollicitations s'additionnent. La contrainte maximale est : \(\sigma_{\text{max}} = \frac{N}{A} + \frac{M}{W}\). On ne peut pas simplement comparer cette contrainte à la résistance. L'Eurocode 5 impose des formules d'interaction plus complexes.

2. Flambement (ou Flambage) :
Une barre longue et fine soumise à de la compression (comme un arbalétrier) peut se déformer brusquement latéralement bien avant que la matière elle-même n'atteigne sa limite de résistance. C'est le flambement. La capacité d'une barre à résister au flambement dépend de son élancement \(\lambda\), qui est le rapport entre sa longueur et la "taille" de sa section. Plus l'élancement est grand, plus le risque de flambement est élevé.

3. Formules d'Interaction (Eurocode 5) :
Pour vérifier une barre en flexion composée, on utilise deux formules qui s'assurent que la combinaison des "taux de travail" en compression et en flexion ne dépasse pas 1. La formule la plus critique est souvent : \[ \left(\frac{\sigma_{c,d}}{f_{c,d}}\right)^2 + \frac{\sigma_{m,d}}{f_{m,d}} \le 1.0 \] Cette formule est une simplification, la version complète inclut des facteurs \(k_c\) et \(k_m\).

Correction : Conception d’une Charpente en Bois

Question 1 : Calculer les efforts de calcul sur l'arbalétrier

Principe (le concept physique)

Les charges de toiture (neige, poids propre) sont verticales. Comme l'arbalétrier est incliné, ces charges verticales doivent être décomposées en deux composantes : une perpendiculaire à l'arbalétrier, qui crée de la flexion, et une parallèle à l'arbalétrier, qui s'ajoute à l'effort de compression global de la ferme. Nous devons d'abord calculer la charge totale sur la ferme, puis la réaction d'appui, et enfin en déduire l'effort de compression et la charge de flexion sur notre arbalétrier.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La descente de charge consiste à déterminer la zone d'influence de chaque élément porteur. L'arbalétrier supporte la moitié de la charge totale appliquée à la ferme. L'effort de compression est trouvé par l'équilibre statique du nœud d'appui, tandis que la charge de flexion est la composante de la charge des pannes perpendiculaire à l'arbalétrier.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous êtes l'arbalétrier : vous vous sentez à la fois "écrasé" par une force qui vous pousse vers le bas de la pente (compression) et "plié" par le poids des pannes qui appuient sur votre dos (flexion). Notre but est de quantifier ces deux sensations.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison d'actions pour l'ELU (\(1.35G + 1.5Q\)) est définie dans l'Eurocode 0 (EN 1990). Les charges de neige sont issues de l'Eurocode 1 (EN 1991-1-3). La décomposition des forces relève des principes fondamentaux de la statique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge surfacique ELU :

\[ p_d = 1.35 g_k + 1.5 s_k \]

Effort normal :

\[ N_{c,d} = \frac{R_V}{\sin(\alpha)} \]

Charge de flexion :

\[ q_{z,d} = (p_d \cdot \text{Entraxe pannes}) \cdot \cos(\alpha) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les liaisons de la ferme sont des articulations parfaites (rotules), ce qui est une hypothèse courante et sécuritaire pour les fermes traditionnelles. Les charges des pannes sont considérées comme uniformément réparties le long de l'arbalétrier.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes, \(g_k = 0.60 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charge de neige, \(s_k = 0.55 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entraxe fermes = 4.0 m ; Entraxe pannes = 1.5 m
  • Portée = 10 m ; Pente \(\alpha = 30^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour trouver l'effort de compression, on peut calculer la réaction d'appui verticale totale sur la ferme (\(R_V\)) et la décomposer. La charge totale sur la ferme est \(p_d \times (10 \, \text{m} \times 4 \, \text{m})\). La réaction \(R_V\) est la moitié de cela. L'effort dans l'arbalétrier sera alors \(N_{c,d} = R_V / \sin(30^\circ)\).

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition des forces sur l'arbalétrier
F_vertF_axialF_perp
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Charge surfacique de calcul (ELU) :

\[ \begin{aligned} p_d &= 1.35 \cdot g_k + 1.5 \cdot s_k \\ &= 1.35 \cdot 0.60 + 1.5 \cdot 0.55 \\ &= 0.81 + 0.825 = 1.635 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned} \]

2. Longueur de l'arbalétrier :

\[ L_{\text{arba}} = \frac{5 \, \text{m}}{\cos(30^\circ)} \approx 5.77 \, \text{m} \]

3. Réaction d'appui verticale :

\[ \begin{aligned} R_V &= p_d \cdot (\text{demi-portée proj.}) \cdot (\text{Entraxe fermes}) \\ &= 1.635 \cdot 5 \cdot 4 \\ &= 32.7 \, \text{kN} \end{aligned} \]

4. Effort normal de compression dans l'arbalétrier :

\[ N_{c,d} = \frac{R_V}{\sin(30^\circ)} = \frac{32.7}{0.5} = 65.4 \, \text{kN} \]

5. Charge linéique perpendiculaire à l'arbalétrier :

\[ \begin{aligned} q_{z,d} &= (p_d \cdot \text{Entraxe pannes}) \cdot \cos(30^\circ) \\ &= (1.635 \cdot 1.5) \cdot \cos(30^\circ) \\ &\approx 2.12 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Efforts de calcul sur l'arbalétrier
q_z,d = 2.12 kN/mN_c,d = 65.4 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant quantifié les deux sollicitations qui agissent sur l'arbalétrier. L'effort de compression de plus de 6.5 tonnes est significatif et rendra la vérification au flambement critique. La charge de flexion est plus modérée mais ne peut être négligée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de mal décomposer les forces. Il faut bien faire la différence entre la charge surfacique sur la toiture (en m² projetés), la charge linéique sur l'arbalétrier (en m) et les efforts internes (en kN). Une autre erreur est d'oublier les entraxes (des pannes et des fermes).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les charges verticales doivent être décomposées selon les axes de l'élément incliné.
  • L'effort de compression dépend de la géométrie globale de la ferme.
  • La charge de flexion dépend de l'espacement des pannes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les charpentiers du Moyen-Âge n'avaient pas de calculatrices, mais ils maîtrisaient la "statique graphique". En dessinant la ferme à l'échelle et en y reportant les forces (également à l'échelle), ils pouvaient mesurer directement sur leur plan (l'épure) les efforts dans chaque barre avec une précision surprenante.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'effort de compression est-il plus grand que la réaction d'appui ?

C'est l'effet de la décomposition des forces. La réaction d'appui verticale se divise en une composante de compression dans l'arbalétrier et une composante de traction dans l'entrait (la barre horizontale de la ferme). Comme l'arbalétrier est incliné, l'effort qu'il doit reprendre pour équilibrer la force verticale est mathématiquement plus grand.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les efforts de calcul sont : un effort de compression \(N_{c,d} = 65.4 \, \text{kN}\) et une charge de flexion \(q_{z,d} = 2.12 \, \text{kN/m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'entraxe des fermes était de 5.0 m, quel serait le nouvel effort de compression \(N_{c,d}\) en kN ?

Question 2 : Calculer les contraintes

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous avons les efforts, nous pouvons les traduire en contraintes en les divisant par les propriétés géométriques de la section choisie (100x300 mm) : l'aire (A) pour l'effort de compression, et le module de flexion (W) pour le moment fléchissant.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte est une mesure de la force interne par unité de surface. La contrainte de compression (\(\sigma_c = N/A\)) est uniforme sur toute la section. La contrainte de flexion (\(\sigma_m = M/W\)) est nulle au centre de la section et maximale sur les bords supérieur et inférieur. En flexion composée, ces deux distributions de contraintes se superposent.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est crucial de bien distinguer les efforts (en N ou kN), qui sont globaux à une section, et les contraintes (en Pa ou MPa), qui représentent l'état de la matière en un point précis de cette section. Les formules de résistance comparent toujours des contraintes, pas des efforts.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5, dans ses annexes, fournit les formules pour calculer les propriétés géométriques (Aire A, Moment quadratique I, Module de flexion W) pour les sections standards comme les rectangles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte de compression :

\[ \sigma_{c,d} = \frac{N_{c,d}}{A} \]

Moment maximal :

\[ M_{y,d} = \frac{q_{z,d} \cdot L_{\text{arba}}^2}{8} \]

Contrainte de flexion :

\[ \sigma_{m,d} = \frac{M_{y,d}}{W_y} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique l'hypothèse de Navier-Bernoulli : les sections planes perpendiculaires à la fibre moyenne avant déformation restent planes et perpendiculaires après déformation. Cela garantit une distribution linéaire des contraintes de flexion.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(N_{c,d} = 65.4 \, \text{kN}\) ; \(q_{z,d} = 2.12 \, \text{kN/m}\)
  • \(L_{\text{arba}} = 5.77 \, \text{m}\)
  • Section, \(b=100\) mm, \(h=300\) mm
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs de conversion, travaillez systématiquement en N et mm. Les efforts en N, les longueurs en mm. Le résultat des contraintes sera alors directement en N/mm², ce qui est exactement la définition du Mégapascal (MPa).

Schéma (Avant les calculs)
Superposition des Contraintes
Compression+Flexion=Flexion Composée
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Propriétés géométriques (en mm) :

\[ A = 100 \cdot 300 = 30000 \, \text{mm}^2 \]
\[ W_y = \frac{100 \cdot 300^2}{6} = 1,500,000 \, \text{mm}^3 \]

2. Contrainte de compression (en MPa = N/mm²) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{c,d} &= \frac{65400 \, \text{N}}{30000 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 2.18 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Moment de flexion (en N·mm) :

\[ \begin{aligned} M_{y,d} &= \frac{(2.12 \, \text{N/mm}) \cdot (5770 \, \text{mm})^2}{8} \\ &\approx 8.82 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

4. Contrainte de flexion (en MPa) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,d} &= \frac{8.82 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{1,500,000 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 5.88 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Distribution des Contraintes Calculées
-σ_c - σ_m = -8.06 MPa-σ_c + σ_m = +3.70 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte maximale de compression est de 8.06 MPa sur la fibre la plus comprimée. Sur la fibre opposée, la contrainte de traction due à la flexion (5.88 MPa) est supérieure à la contrainte de compression (2.18 MPa), résultant en une légère traction de 3.70 MPa. La section n'est donc pas entièrement comprimée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas se tromper dans le calcul du module de flexion W (\(bh^2/6\)) et du moment quadratique I (\(bh^3/12\)). Une erreur fréquente est de les confondre ou d'utiliser la mauvaise formule.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de compression est uniforme sur la section.
  • La contrainte de flexion est maximale sur les bords.
  • Les deux contraintes s'additionnent (ou se soustraient) pour donner la contrainte résultante.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les structures en béton précontraint, on comprime intentionnellement le béton avec des câbles en acier tendus. Cette pré-compression annule les futures contraintes de traction dues à la flexion, car le béton est très mauvais pour résister à la traction. La section reste ainsi toujours comprimée.

FAQ (pour lever les doutes)
La contrainte de flexion est-elle toujours plus grande que la contrainte de compression ?

Non, cela dépend entièrement de la géométrie et des charges. Pour un arbalétrier très long et peu chargé par les pannes, la compression pourrait être prédominante. Pour une panne courte et très chargée, la flexion sera largement majoritaire.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les contraintes de calcul sont \(\sigma_{c,d} = 2.18 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_{m,d} = 5.88 \, \text{MPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour une section de 120x250 mm, quelle serait la nouvelle contrainte de flexion \(\sigma_{m,d}\) en MPa ?

Question 3 : Vérifier la stabilité au flambement (compression seule)

Principe (le concept physique)

Avant de combiner les effets, nous vérifions si la pièce est stable sous l'effet de la compression seule. Pour cela, on calcule son élancement \(\lambda\), qui mesure sa "finesse". Plus l'élancement est élevé, plus la pièce est sensible au flambement et plus sa résistance effective à la compression est réduite par un coefficient \(k_c\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La théorie du flambement a été initiée par Euler. Il a montré qu'il existe une "charge critique" au-delà de laquelle une colonne parfaite flambe. L'Eurocode 5 adapte cette théorie pour le bois, qui n'est pas un matériau parfait, en introduisant l'élancement relatif \(\lambda_{\text{rel}}\) et des courbes de flambement pour déterminer le coefficient de réduction \(k_c\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une simple règle en plastique. Si vous la compressez dans le sens de la longueur, elle va facilement "flancher" sur le côté. C'est le flambement. Si maintenant vous la tenez avec vos doigts au milieu, il devient beaucoup plus difficile de la faire flancher. Vous avez réduit sa "longueur de flambement". C'est exactement ce que font les pannes pour l'arbalétrier.

Normes (la référence réglementaire)

La méthode de vérification au flambement est détaillée dans la section 6.3.2 de l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1). Les formules pour \(\lambda_{\text{rel}}\) et \(k_c\) y sont explicitement données.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Rayon de giration :

\[ i = \sqrt{I/A} \]

Élancement :

\[ \lambda = L_{\text{flamb}} / i \]

Élancement relatif :

\[ \lambda_{\text{rel}} = \frac{\lambda}{\pi} \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0.05}}} \]

Critère de vérification :

\[ \sigma_{c,d} \le k_c \cdot f_{c,0,d} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les pannes créent un maintien latéral efficace, empêchant le déplacement de l'arbalétrier perpendiculairement au plan de la ferme. La longueur de flambement hors plan est donc la distance entre les pannes (1.5 m).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Bois C24 : \(f_{c,0,k} = 21\, \text{MPa}\), \(E_{0.05} = 7400\, \text{MPa}\)
  • Longueur de flambement \(L_{\text{flamb}} = 1.5\, \text{m}\) (distance entre pannes)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le flambement se produit toujours selon l'axe le plus faible. Pour une section rectangulaire, c'est l'axe parallèle à la plus petite dimension (la base 'b'). C'est pourquoi on utilise le rayon de giration \(i_z\) pour le flambement hors plan.

Schéma (Avant les calculs)
Concept de Longueur de Flambement
L_arba = 5.77 mFlambement globalMaintien par les pannesL_flamb = 1.5 m
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Rayon de giration (axe faible z) :

\[ \begin{aligned} i_z &= \frac{b}{\sqrt{12}} \\ &= \frac{100}{\sqrt{12}} \approx 28.87 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Élancement :

\[ \lambda_z = \frac{1500}{28.87} \approx 52.0 \]

3. Élancement relatif :

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel},z} &= \frac{52.0}{\pi} \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0.05}}} \\ &= \frac{52.0}{\pi} \sqrt{\frac{21}{7400}} \\ &\approx 0.88 \end{aligned} \]

4. Coefficient de flambement : pour \(\lambda_{\text{rel},z}=0.88\), on trouve \(k_{c,z} \approx 0.75\).

5. Résistance de calcul en compression :

\[ \begin{aligned} f_{c,0,d} &= \frac{k_{\text{mod}} f_{c,0,k}}{\gamma_M} \\ &= \frac{0.8 \cdot 21}{1.3} \approx 12.92 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

6. Vérification :

\[ \begin{aligned} \sigma_{c,d} &\le k_{c,z} \cdot f_{c,0,d} \\ 2.18 \, \text{MPa} &\le 0.75 \cdot 12.92 \\ 2.18 \, \text{MPa} &\le 9.69 \, \text{MPa} \quad (\text{OK !}) \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Stabilité
σ_c,d=2.18Résistance au flambement k_c*f_c,d=9.69 MPaOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La première tentative de calcul montrait l'importance capitale du maintien latéral. Sans les pannes, la pièce se serait brisée par instabilité. En tenant compte du maintien, la contrainte de compression (2.18 MPa) est bien inférieure à la résistance au flambement (9.69 MPa). La pièce est donc stable vis-à-vis de la compression seule.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La détermination de la longueur de flambement est l'étape la plus délicate et la plus importante. Une mauvaise estimation peut conduire à un sous-dimensionnement dangereux ou à un surdimensionnement coûteux. Il faut toujours analyser comment la pièce est connectée et maintenue dans les deux directions (dans le plan et hors du plan).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le flambement réduit la capacité d'une pièce à supporter la compression.
  • Cette réduction dépend de l'élancement \(\lambda\).
  • La longueur de flambement dépend des maintiens latéraux.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les arcs-boutants des cathédrales gothiques sont des chefs-d'œuvre de gestion du flambement. Leur forme massive et leur poids ne sont pas seulement esthétiques ; ils sont conçus pour maintenir les forces de compression à l'intérieur de la maçonnerie (le "noyau central") et éviter toute instabilité sur ces hauteurs vertigineuses.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si il n'y avait pas de pannes ?

S'il n'y avait pas de pannes pour assurer le maintien (cas d'une ferme supportant une verrière, par exemple), la section 100x300 serait totalement inadaptée. Il faudrait soit utiliser une section beaucoup plus large (ex: 200x300) pour réduire l'élancement, soit ajouter un système de contreventement spécifique (des barres anti-flambement) entre les fermes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
En considérant le maintien latéral par les pannes (\(L_{\text{flamb}}=1.5\,\text{m}\)), la stabilité au flambement en compression seule est vérifiée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la longueur de flambement maximale (en m) que cette section pourrait supporter avant que la vérification ne soit plus satisfaite ?

Question 4 : Vérifier la stabilité en flexion composée

Principe (le concept physique)

C'est la vérification ultime. Nous utilisons les formules d'interaction de l'Eurocode 5 qui combinent les "taux de travail" en compression (en tenant compte du flambement via \(k_c\)) et en flexion. Si la somme pondérée de ces taux est inférieure à 1, la section est considérée comme stable et résistante.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les formules d'interaction sont basées sur des modèles théoriques et des milliers d'essais en laboratoire. Elles représentent une "surface de sécurité". Tant que la combinaison des sollicitations place la pièce à l'intérieur de cette surface, elle est considérée comme sûre. La formule avec le terme de compression au carré est plus adaptée aux sections très élancées, tandis que l'autre est plus générale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous portez un sac à dos lourd (compression) tout en vous penchant pour ramasser quelque chose (flexion). Votre capacité à soulever l'objet est réduite par le poids du sac. Les formules d'interaction quantifient exactement cette "réduction de capacité" mutuelle entre les deux types d'efforts.

Normes (la référence réglementaire)

Ces formules sont spécifiées dans la section 6.3.3 de l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1). Le coefficient \(k_m\), qui prend en compte la redistribution des contraintes dans les sections rectangulaires, est également défini ici.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule 1 (Flambement hors plan) :

\[ \frac{\sigma_{c,d}}{k_{c,z} \cdot f_{c,0,d}} + \frac{\sigma_{m,d}}{f_{m,d}} \le 1 \]

Formule 2 (Déversement) :

\[ \frac{\sigma_{c,d}}{k_{c,y} \cdot f_{c,0,d}} + k_m \cdot \frac{\sigma_{m,d}}{f_{m,d}} \le 1 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le plan de flexion est le plan de la ferme (flexion autour de l'axe fort y). Le flambement est critique hors de ce plan (autour de l'axe faible z). On considère que le déversement (torsion due à la flexion) est empêché par la toiture.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma_{c,d} = 2.18\) MPa ; \(\sigma_{m,d} = 5.88\) MPa
  • \(f_{c,0,d} = 12.92\) MPa ; \(f_{m,d} = 14.77\) MPa
  • \(k_{c,z} = 0.75\) (flambement hors plan)
  • \(k_{c,y} = 1.0\) (pas de flambement dans le plan)
  • \(k_m = 0.7\) (pour sections rectangulaires)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez chaque "taux de travail" séparément avant de les injecter dans les formules. Taux de compression (flambement) = \(\sigma_{c,d} / (k_{c,z} \cdot f_{c,0,d})\). Taux de flexion = \(\sigma_{m,d} / f_{m,d}\). Cela rend les formules d'interaction beaucoup plus lisibles et faciles à vérifier.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme d'Interaction (Principe)
FlexionCompressionZone de sécuritéNotre point ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des taux de travail :

\[ \text{Taux de compression (flambement z)} = \frac{2.18}{0.75 \cdot 12.92} \approx 0.225 \]
\[ \text{Taux de flexion} = \frac{5.88}{14.77} \approx 0.398 \]

2. Vérification du flambement hors plan + flexion :

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{c,d}}{k_{c,z} \cdot f_{c,0,d}} + \frac{\sigma_{m,d}}{f_{m,d}} &= 0.225 + 0.398 \\ &= 0.623 \le 1 \quad \text{(OK !)} \end{aligned} \]

3. Vérification du déversement + flexion (avec \(k_{c,y}=1\)) :

\[ \text{Taux de compression (sans flambement)} = \frac{2.18}{1.0 \cdot 12.92} \approx 0.169 \]
\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{c,d}}{k_{c,y} \cdot f_{c,0,d}} + k_m \cdot \frac{\sigma_{m,d}}{f_{m,d}} &= 0.169 + 0.7 \cdot 0.398 \\ &= 0.169 + 0.279 \\ &= 0.448 \le 1 \quad \text{(OK !)} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme d'Interaction (Résultat)
Taux FlexionTaux CompressionZone de sécuritéPoint (0.225, 0.398)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les deux critères d'interaction sont largement satisfaits. Le taux de travail le plus élevé est de 62%. La section de 100x300 mm est donc non seulement adéquate, mais elle possède une marge de sécurité importante. On pourrait potentiellement optimiser en choisissant une section légèrement plus petite, mais il faudrait alors refaire toutes les vérifications, y compris celle de la flèche (ELS), non demandée ici.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas mélanger les axes ! La première formule utilise le coefficient de flambement \(k_{c,z}\) car elle vérifie l'instabilité hors du plan de flexion. La deuxième utilise \(k_{c,y}\) car elle vérifie une instabilité dans le plan de flexion. Il est essentiel de bien identifier le plan de flambement critique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La flexion composée se vérifie avec des formules d'interaction.
  • Ces formules combinent les taux de travail en compression et en flexion.
  • Le résultat de la formule doit être inférieur ou égal à 1.0 pour que la section soit valide.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La forme des fermes en bois (triangulaire) n'est pas un hasard. Le triangle est la seule forme géométrique indéformable. Cette propriété intrinsèque permet aux fermes de reprendre des charges importantes avec des éléments relativement minces travaillant principalement en compression et en traction, ce qui est idéal pour le bois.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y a-t-il deux formules d'interaction ?

Elles correspondent à deux modes de ruine possibles. La première vérifie l'instabilité par flambement hors du plan de la ferme (l'arbalétrier "sort" sur le côté). La seconde vérifie l'instabilité dans le plan de la ferme, où la flexion et la compression interagissent pour provoquer une rupture de la matière.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La section 100x300 mm est stable et résistante. Les critères de l'Eurocode 5 pour la flexion composée sont satisfaits (taux de travail max = 62%).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'effort de compression était de 80 kN, la section serait-elle toujours valable ? Calculez le nouveau taux de travail de la première formule d'interaction.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que le déversement ?

Le déversement est un phénomène d'instabilité similaire au flambement, mais qui concerne les poutres en flexion. Une poutre haute et fine, fléchie, peut avoir tendance à "se coucher" sur le côté, c'est-à-dire à se tordre en même temps qu'elle fléchit. La deuxième formule d'interaction vérifie ce risque.

Pourquoi la longueur de flambement n'est pas toujours la longueur de la barre ?

La longueur de flambement dépend de la manière dont la barre est maintenue. Si des éléments (comme les pannes) l'empêchent de se déplacer latéralement à intervalles réguliers, la longueur sur laquelle elle peut "flamber" est réduite à la distance entre ces maintiens. C'est un point crucial du dimensionnement.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le phénomène de flambement concerne principalement les pièces...

2. Si on augmente la pente de la toiture (ex: 45°), l'effort de compression dans l'arbalétrier va...

Arbalétrier
Élément principal incliné d'une ferme de charpente, qui supporte les pannes et travaille en flexion composée (compression + flexion).
Flambement
Phénomène d'instabilité latérale d'une pièce élancée soumise à un effort de compression axial. C'est un critère de dimensionnement majeur.
Flexion Composée
Sollicitation combinée d'un effort normal (compression/traction) et d'un moment fléchissant sur une même section.
Élancement (\(\lambda\))
Rapport entre la longueur de flambement d'une pièce et son rayon de giration. Il caractérise sa sensibilité au flambement.
Conception d’une Charpente en Bois

D’autres exercices  de structures en bois:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *