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Évaluation de la Capacité de Traction d’une Poutre

Évaluation de la Capacité de Traction d’une Poutre en RdM

Évaluation de la Capacité de Traction d’une Poutre

Contexte : La résistance à la traction, un pilier de la sécurité structurelle.

En Résistance des Matériaux (RdM), la traction simple est l'une des sollicitations les plus fondamentales. Elle se produit lorsqu'un élément de structure, comme un tirant, un câble ou une barre d'armature, est "étiré" par des forces agissant le long de son axe. Comprendre comment un matériau se comporte sous traction est essentiel pour garantir qu'il ne se rompra pas en service. Cet exercice vous guidera dans le calcul de la force maximale qu'un tirant peut supporter avant d'atteindre sa limite de résistance, ainsi que l'allongement qui en résulte.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le concept de base du dimensionnement en ingénierie : comparer une contrainte appliquée à une contrainte admissible. Nous partirons des propriétés d'un matériau (sa limite élastique) et de la géométrie d'une pièce pour déterminer sa capacité portante. C'est le calcul fondamental pour la conception de nombreux éléments structurels.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'aire d'une section transversale.
  • Appliquer la formule de la contrainte normale pour déterminer la force maximale admissible.
  • Utiliser la loi de Hooke et le Module de Young pour calculer l'allongement d'une barre.
  • Évaluer le coefficient de sécurité d'un élément sous une charge de service donnée.
  • Maîtriser les unités de force (N, kN), de contrainte (MPa) et de longueur (mm, m).

Données de l'étude

On étudie un tirant en acier de section rectangulaire, suspendu verticalement et soumis à une charge de traction. On souhaite vérifier sa résistance et calculer son allongement.

Schéma du tirant en traction
F L = 2000 mm ΔL
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur initiale du tirant \(L\) 2000 \(\text{mm}\)
Largeur de la section \(b\) 50 \(\text{mm}\)
Épaisseur de la section \(h\) 10 \(\text{mm}\)
Limite élastique de l'acier \(\sigma_{\text{e}}\) 235 \(\text{MPa}\)
Module de Young de l'acier \(E\) 210 \(\text{GPa}\)
Force de service appliquée \(F_{\text{ser}}\) 80 \(\text{kN}\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire \(A\) de la section transversale du tirant.
  2. Déterminer la force de traction maximale \(F_{\text{max}}\) que le tirant peut supporter sans déformation plastique.
  3. Calculer l'allongement total \(\Delta L\) du tirant lorsqu'il est soumis à cette force maximale \(F_{\text{max}}\).
  4. Calculer la contrainte de service \(\sigma_{\text{ser}}\) et le coefficient de sécurité de la poutre pour la force de service \(F_{\text{ser}}\).

Les bases de la Résistance des Matériaux en Traction

Avant de commencer la correction, rappelons les principes fondamentaux de la traction.

1. La Contrainte Normale (\(\sigma\)) :
La contrainte est une mesure de la force répartie sur une surface. En traction simple, c'est la force de traction \(F\) divisée par l'aire \(A\) de la section perpendiculaire à la force. Elle représente l'effort "interne" que subit la matière. \[ \sigma = \frac{F}{A} \] Elle s'exprime en Pascals (Pa) ou, plus couramment, en Mégapascals (MPa), où 1 MPa = 1 N/mm².

2. La Déformation ou Allongement Relatif (\(\epsilon\)) :
La déformation est une mesure de l'allongement d'un matériau par rapport à sa longueur initiale. C'est une grandeur sans dimension, souvent exprimée en % ou en mm/mm. \[ \epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{\text{Allongement}}{\text{Longueur initiale}} \]

3. La Loi de Hooke :
Dans le domaine élastique, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation. La constante de proportionnalité est le Module de Young (\(E\)), qui caractérise la rigidité du matériau. \[ \sigma = E \cdot \epsilon \] Cette loi simple est le fondement de la plupart des calculs de déformation en RdM.

Correction : Évaluation de la Capacité de Traction d’une Poutre

Question 1 : Calculer l'aire de la section

Principe (le concept physique)

L'aire de la section transversale est la surface sur laquelle la force de traction se répartit. C'est une propriété purement géométrique qui est fondamentale pour déterminer la contrainte. Plus cette aire est grande, plus la force est "diluée" et plus la contrainte est faible.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'aire est une grandeur scalaire qui mesure la superficie d'une surface plane. En RdM, on s'intéresse à l'aire de la section droite, c'est-à-dire la surface obtenue en coupant la pièce perpendiculairement à son axe principal. Pour des sections complexes, on peut la décomposer en formes simples (rectangles, triangles, cercles) et additionner leurs aires.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que la force est une pluie de petites billes. L'aire de la section est le seau qui les reçoit. Un grand seau (grande aire) répartit mieux l'impact des billes (la force) qu'un petit seau (petite aire), où la pression (la contrainte) au fond sera plus forte.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction, comme l'Eurocode, ne définissent pas comment calculer l'aire d'un rectangle, mais elles spécifient les aires nominales des profilés standards (IPE, HEA, etc.) à utiliser dans les calculs pour garantir l'uniformité des conceptions.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur (ou épaisseur) \(h\) :

\[ A = b \cdot h \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est parfaitement rectangulaire et que ses dimensions sont constantes sur toute la longueur du tirant.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Largeur de la section, \(b = 50 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de la section, \(h = 10 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour des calculs rapides, il est utile de mémoriser les aires des sections courantes. Pour un rectangle, c'est trivial, mais connaître la formule de l'aire d'un cercle (\(\pi R^2\)) ou d'un triangle (\(bh/2\)) est indispensable.

Schéma (Avant les calculs)
Section transversale du tirant
b = 50 mmh = 10 mm
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec les dimensions en mm. L'unité de l'aire sera des mm².

\[ \begin{aligned} A &= 50 \, \text{mm} \cdot 10 \, \text{mm} \\ &= 500 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Aire calculée
A = 500 mm²
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une aire de 500 mm² (soit 5 cm²) est une section modeste mais courante pour des éléments de structure secondaires. Cette valeur est le point de départ de tous les calculs de résistance et de déformation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est une mauvaise conversion d'unités. Si les dimensions étaient données en mètres, il faudrait les convertir en millimètres pour obtenir une aire en mm², ce qui est cohérent avec l'unité MPa (N/mm²) pour la contrainte.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'aire de la section est la surface qui "résiste" à la force.
  • Pour un rectangle, \(A = \text{base} \times \text{hauteur}\).
  • La cohérence des unités (utiliser des mm pour obtenir des mm²) est cruciale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les assemblages boulonnés, on ne considère pas l'aire brute de la section, mais l' "aire nette", qui est l'aire brute moins l'aire des trous des boulons. La rupture se produira en effet dans cette section affaiblie.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette aire est-elle la même pour la flexion ?

Oui, l'aire géométrique est la même, mais son rôle est différent. En traction, toute l'aire travaille uniformément. En flexion, différentes parties de l'aire travaillent différemment (traction, compression), et c'est le moment quadratique (qui dépend de la forme de l'aire) qui devient le paramètre clé.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'aire de la section transversale est de 500 mm².
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le tirant était une barre circulaire de 20 mm de diamètre, quelle serait son aire en mm² ? (Rappel : \(A = \pi \cdot R^2\))

Question 2 : Déterminer la force de traction maximale

Principe (le concept physique)

La force maximale admissible est la force qui amène la contrainte interne dans le matériau exactement à sa limite élastique (\(\sigma_{\text{e}}\)). Au-delà de cette force, le matériau commence à se déformer de manière permanente (déformation plastique). Le calcul de cette force est donc un critère de résistance fondamental.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation \(F = \sigma \cdot A\) est la pierre angulaire du dimensionnement en résistance des matériaux. La limite élastique \(\sigma_{\text{e}}\) est une propriété intrinsèque du matériau, déterminée expérimentalement par un essai de traction. En multipliant cette contrainte limite par l'aire de la section, on obtient la force maximale que la pièce peut supporter avant de plastifier. C'est ce qu'on appelle la "résistance plastique" de la section.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un fil. Sa résistance dépend de deux choses : le matériau dont il est fait (un fil d'acier est plus résistant qu'un fil de coton, \(\sigma_{\text{e}}\) est plus élevée) et son épaisseur (un gros câble est plus résistant qu'un petit fil, \(A\) est plus grande). Notre calcul combine simplement ces deux facteurs.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 (pour l'acier) définit la résistance plastique en traction d'une section comme \(N_{\text{pl,Rd}} = A \cdot f_{\text{y}} / \gamma_{\text{M0}}\), où \(f_{\text{y}}\) est la limite élastique (\(\sigma_{\text{e}}\)) et \(\gamma_{\text{M0}}\) est un coefficient de sécurité partiel sur le matériau (généralement 1.0).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On part de la définition de la contrainte et on l'applique à la limite élastique pour trouver la force maximale :

\[ \sigma_{\text{e}} = \frac{F_{\text{max}}}{A} \Rightarrow F_{\text{max}} = \sigma_{\text{e}} \cdot A \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la force est appliquée de manière parfaitement axiale (pas d'excentricité qui créerait de la flexion) et que la contrainte est uniforme sur toute la section. On néglige les concentrations de contraintes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Limite élastique, \(\sigma_{\text{e}} = 235 \, \text{MPa} = 235 \, \text{N/mm}^2\)
  • Aire de la section, \(A = 500 \, \text{mm}^2\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Gardez les unités cohérentes. En utilisant la contrainte en MPa (qui est N/mm²) et l'aire en mm², le résultat de la force sera directement en Newtons (N). C'est très pratique. Pour convertir en kiloNewtons (kN), il suffit de diviser par 1000.

Schéma (Avant les calculs)
Relation Force-Contrainte-Aire
F_max = ?=σ_e×A(235 MPa)(500 mm²)
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la formule.

\[ \begin{aligned} F_{\text{max}} &= 235 \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \cdot 500 \, \text{mm}^2 \\ &= 117500 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kiloNewtons (kN) :

\[ \begin{aligned} F_{\text{max}} &= \frac{117500}{1000} \, \text{kN} \\ &= 117.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Capacité Maximale du Tirant
F_max = 117.5 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le tirant peut supporter une charge de 117.5 kN (environ 11.7 tonnes) avant de commencer à se déformer de façon permanente. C'est sa capacité portante ultime en service élastique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la force (en N ou kN) et la contrainte (en MPa). La force est l'effort global appliqué à la pièce, tandis que la contrainte est cet effort rapporté à la surface. Une grosse poutre et une petite poutre peuvent être soumises à la même contrainte, mais la grosse poutre supportera une force bien plus grande.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force maximale est le produit de la contrainte limite par l'aire.
  • \(F_{\text{max}} = \sigma_{\text{e}} \cdot A\).
  • C'est la capacité de résistance de la section.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les câbles des ponts suspendus sont des exemples extrêmes d'éléments travaillant en traction. Ils sont faits d'aciers à très haute résistance (\(\sigma_{\text{e}}\) pouvant dépasser 1500 MPa) et sont constitués de milliers de fils individuels pour former des torons, afin d'atteindre des forces de traction de plusieurs milliers de tonnes.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette force maximale est-elle la force de rupture ?

Non. C'est la force à la limite élastique. Pour les aciers ductiles, il existe une marge importante entre la limite élastique et la rupture. Le matériau peut supporter une contrainte (et donc une force) encore plus élevée (appelée résistance à la traction, \(\sigma_u\)) avant de rompre, mais au prix de déformations plastiques très importantes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La force de traction maximale admissible est de 117.5 kN.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait un acier plus performant avec \(\sigma_{\text{e}} = 355\) MPa, quelle serait la nouvelle force maximale en kN ?

Question 3 : Calculer l'allongement total

Principe (le concept physique)

Lorsqu'un matériau est mis en traction, il s'allonge. La loi de Hooke nous dit que cet allongement est proportionnel à la contrainte appliquée, tant qu'on reste dans le domaine élastique. Nous allons calculer cet allongement pour la charge maximale, ce qui représente l'étirement maximal que la poutre peut subir tout en étant capable de revenir à sa longueur initiale si on retire la charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(\Delta L = FL/(AE)\) peut être comprise comme suit : l'allongement est proportionnel à la force \(F\) et à la longueur \(L\) (plus on tire fort et plus la barre est longue, plus elle s'allonge). Il est inversement proportionnel à l'aire \(A\) et au module \(E\) (plus la barre est épaisse et plus le matériau est rigide, moins elle s'allonge). Le terme \(AE\) est souvent appelé "rigidité axiale" de la barre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un élastique. Pour l'allonger, il faut tirer dessus (\(F\)). Un élastique plus long (\(L\)) s'allongera plus facilement. Un élastique plus épais (\(A\)) sera plus difficile à allonger. Et un élastique de "meilleure qualité" (\(E\) élevé) sera aussi plus difficile à étirer. La formule mathématique traduit simplement ces intuitions physiques.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction limitent parfois l'allongement (ou la flèche pour la flexion) pour des raisons de service. Par exemple, un allongement excessif d'un tirant pourrait causer des fissures dans des cloisons ou des finitions adjacentes. Le calcul de \(\Delta L\) est donc nécessaire pour ces vérifications à l' "État Limite de Service" (ELS).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On combine la loi de Hooke (\(\sigma = E \cdot \epsilon\)) et la définition de la déformation (\(\epsilon = \Delta L / L\)) :

\[ \frac{F}{A} = E \cdot \frac{\Delta L}{L} \Rightarrow \Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot E} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le matériau suit la loi de Hooke (comportement linéaire élastique), ce qui est vrai puisque nous calculons l'allongement à la limite élastique. On suppose également que E est constant sur toute la longueur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force maximale, \(F_{\text{max}} = 117500 \, \text{N}\) (du calcul Q2)
  • Longueur initiale, \(L = 2000 \, \text{mm}\)
  • Aire de la section, \(A = 500 \, \text{mm}^2\) (du calcul Q1)
  • Module de Young, \(E = 210 \, \text{GPa} = 210000 \, \text{MPa} = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut aussi calculer la déformation d'abord : \(\epsilon = \sigma_{\text{e}} / E = 235 / 210000 \approx 0.00112\). Puis multiplier par la longueur : \(\Delta L = \epsilon \cdot L = 0.00112 \cdot 2000 \, \text{mm} \approx 2.24 \, \text{mm}\). Cela permet de séparer le calcul en deux étapes logiques.

Schéma (Avant les calculs)
Allongement d'un Tirant
ΔL = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec des unités cohérentes (N, mm, N/mm²).

\[ \begin{aligned} \Delta L &= \frac{117500 \, \text{N} \cdot 2000 \, \text{mm}}{500 \, \text{mm}^2 \cdot 210000 \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2}} \\ &= \frac{235000000}{105000000} \, \text{mm} \\ &\approx 2.24 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Allongement Calculé
ΔL ≈ 2.24 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

À sa charge élastique maximale, le tirant de 2 mètres s'allonge de seulement 2.24 mm. C'est une illustration de la grande rigidité de l'acier. Cet allongement est faible mais crucial pour la conception, notamment pour tenir compte de la dilatation et des interactions avec d'autres éléments de la structure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est la gestion de l'unité du Module de Young. Il est souvent donné en GPa. Il faut impérativement le convertir en MPa (N/mm²) pour être cohérent avec les autres unités (N et mm). 1 GPa = 1000 MPa.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'allongement dépend de la force, de la longueur, de l'aire et du matériau.
  • La formule clé est \(\Delta L = FL / (AE)\).
  • Un matériau rigide (E élevé) s'allonge peu.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La dilatation thermique produit un effet similaire à un allongement mécanique. Une variation de température \(\Delta T\) cause un allongement \(\Delta L = \alpha \cdot L \cdot \Delta T\), où \(\alpha\) est le coefficient de dilatation thermique. Les ingénieurs doivent souvent combiner les deux effets dans leurs calculs.

FAQ (pour lever les doutes)
L'allongement est-il toujours aussi faible ?

Pour les métaux dans leur domaine élastique, oui. Cependant, pour des matériaux comme les élastomères (caoutchouc), les allongements peuvent être très grands (plus de 100%) et la loi de Hooke ne s'applique plus. De plus, si l'acier entre dans son domaine plastique, les allongements deviennent rapidement beaucoup plus importants avant la rupture.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'allongement total à la force maximale est d'environ 2.24 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le tirant était en aluminium (E ≈ 70 GPa), quel serait son allongement en mm sous la même force de 117.5 kN ?

Question 4 : Calculer la contrainte de service et le coefficient de sécurité

Principe (le concept physique)

En ingénierie, on ne charge jamais une structure à sa capacité maximale. On applique une charge de service, qui est la charge normale d'utilisation. Le coefficient de sécurité est le rapport entre la capacité maximale du matériau et la contrainte réellement appliquée. Il représente notre "marge de sécurité" face aux incertitudes (surcharges imprévues, défauts du matériau, etc.).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le concept de coefficient de sécurité est au cœur de la méthode de calcul "aux contraintes admissibles", une approche de dimensionnement plus ancienne mais très intuitive. Les normes modernes (comme les Eurocodes) utilisent une approche "semi-probabiliste" aux états limites, avec des coefficients de sécurité partiels appliqués à la fois sur les charges (on les majore) et sur les résistances des matériaux (on les minore).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le coefficient de sécurité, c'est votre assurance. Si vous savez que votre corde peut porter 100 kg (\(\sigma_{\text{e}}\)), vous n'allez pas l'utiliser pour soulever une charge de 99 kg. Vous allez peut-être vous limiter à 50 kg (\(\sigma_{\text{ser}}\)). Votre coefficient de sécurité est alors de 100/50 = 2. Vous avez une marge de 100% en cas de problème.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes fixent les valeurs minimales des coefficients de sécurité à respecter. Par exemple, pour des appareils de levage, des coefficients de 4 ou 5 sont courants en raison des risques élevés. Pour un bâtiment statique, des valeurs plus faibles (autour de 1.5) sont acceptables.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Contrainte de service :

\[ \sigma_{\text{ser}} = \frac{F_{\text{ser}}}{A} \]

2. Coefficient de sécurité :

\[ \gamma = \frac{\text{Contrainte limite}}{\text{Contrainte de service}} = \frac{\sigma_{\text{e}}}{\sigma_{\text{ser}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la force de service donnée est la charge maximale que la poutre verra en conditions normales d'utilisation, et que la limite élastique est une valeur garantie pour le matériau.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force de service, \(F_{\text{ser}} = 80 \, \text{kN} = 80000 \, \text{N}\)
  • Aire de la section, \(A = 500 \, \text{mm}^2\) (du calcul Q1)
  • Limite élastique, \(\sigma_{\text{e}} = 235 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut aussi calculer le coefficient de sécurité directement avec les forces : \(\gamma = F_{\text{max}} / F_{\text{ser}}\). En utilisant le résultat de la Q2 : \(\gamma = 117.5 \, \text{kN} / 80 \, \text{kN} \approx 1.47\). C'est souvent plus rapide si la force maximale a déjà été calculée.

Schéma (Avant les calculs)
Jauge de Contrainte
0σ_e=235σ_ser = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la contrainte de service :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{ser}} &= \frac{80000 \, \text{N}}{500 \, \text{mm}^2} \\ &= 160 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Calcul du coefficient de sécurité :

\[ \begin{aligned} \gamma &= \frac{235 \, \text{MPa}}{160 \, \text{MPa}} \\ &\approx 1.47 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Coefficient de Sécurité
LimiteServiceSécurité γ ≈ 1.47
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte sous la charge normale d'utilisation est de 160 MPa, ce qui est bien inférieur à la limite de 235 MPa. Le coefficient de sécurité de 1.47 est une valeur plausible en génie civil, bien que les normes exigent souvent des valeurs légèrement supérieures (ex: 1.5 à 2.0) selon le type de structure et les risques associés. Cela signifie que la structure peut supporter environ 47% de charge en plus avant d'atteindre sa limite élastique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Il ne faut jamais inverser le rapport du coefficient de sécurité. C'est toujours \(\frac{\text{Résistance}}{\text{Sollicitation}}\). Un coefficient inférieur à 1.0 signifie que la structure est en théorie déjà rompue ou plastifiée, ce qui indique une erreur de conception majeure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de service est la contrainte sous charge normale.
  • Le coefficient de sécurité est la marge entre la capacité et l'utilisation.
  • \(\gamma = \sigma_{\text{e}} / \sigma_{\text{ser}}\) doit toujours être supérieur à 1.0.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La Tour Eiffel est un chef-d'œuvre d'optimisation où la matière (le fer puddlé) n'est présente que là où les contraintes l'exigent. Gustave Eiffel et ses ingénieurs ont utilisé des calculs graphiques (épure de Cremona) pour visualiser les efforts de traction et de compression dans chaque barre et ainsi dimensionner chaque élément au plus juste, créant cette structure à la fois résistante et incroyablement légère.

FAQ (pour lever les doutes)
Ce coefficient de sécurité est-il suffisant ?

Cela dépend du contexte. Pour une structure temporaire avec des charges bien connues, 1.47 peut être acceptable. Pour un élément critique d'un pont ou d'un bâtiment public, les normes imposeraient probablement des coefficients de majoration des charges et de minoration des résistances qui conduiraient à exiger une section plus grande pour obtenir une sécurité équivalente plus élevée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de service est de 160 MPa et le coefficient de sécurité est d'environ 1.47.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle force de service (en kN) correspondrait à un coefficient de sécurité de 2.0 ?

Outil Interactif : Diagramme Contrainte-Déformation

Modifiez la force appliquée pour voir l'évolution de la contrainte et de la déformation sur le diagramme caractéristique de l'acier.

Paramètres d'Entrée
80 kN
500 mm²
Résultats Clés
Contrainte Appliquée (MPa) -
Allongement (mm pour L=2m) -
Coefficient de Sécurité -

Le Saviez-Vous ?

Le phénomène de "striction" se produit en traction juste avant la rupture. Lorsque la limite de résistance est dépassée, la section transversale de l'éprouvette diminue rapidement en un point localisé, formant un "goulot" où la rupture finira par se produire. C'est un comportement ductile typique des métaux comme l'acier.

Foire Aux Questions (FAQ)

La compression est-elle juste l'inverse de la traction ?

Pour les matériaux "symétriques" comme l'acier, oui. La limite élastique et le module de Young sont quasiment identiques en traction et en compression. Cependant, pour des matériaux comme le béton, la différence est énorme : il résiste très bien à la compression mais très mal à la traction. De plus, en compression, un nouveau phénomène peut apparaître pour les pièces élancées : le flambement.

Que se passe-t-il si on dépasse la limite élastique ?

Le matériau entre dans le domaine plastique. La déformation n'est plus proportionnelle à la contrainte et, si l'on retire la charge, la pièce ne revient pas à sa longueur initiale ; elle conserve une déformation résiduelle permanente. Pour l'acier, une phase de "palier plastique" peut apparaître où la déformation augmente fortement sans que la contrainte n'augmente.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double l'aire (A) d'un tirant tout en gardant la même force (F), la contrainte (\(\sigma\)) sera...

2. Un matériau avec un Module de Young (E) plus élevé sera, pour une même contrainte...

Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface. En traction, \(\sigma = F/A\). Unité : Pascal (Pa) ou Mégapascal (MPa).
Limite Élastique (\(\sigma_{\text{e}}\))
Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans subir de déformation permanente. C'est la limite de son comportement réversible.
Allongement (\(\Delta L\))
Augmentation de la longueur d'une pièce soumise à une force de traction. Unité : mètre (m) ou millimètre (mm).
Évaluation de la Capacité de Traction d’une Poutre

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