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Étude de la Variation de Pression

Étude de la Variation de Pression

Étude de la Variation de Pression

Contexte : L'HydrostatiqueBranche de la mécanique des fluides qui étudie les fluides au repos et la pression qu'ils exercent. et son application dans les réseaux d'eau potable.

L'alimentation en eau potable de nos villes repose sur des principes physiques fondamentaux. Les châteaux d'eau, que l'on voit souvent dans le paysage, jouent un rôle crucial en utilisant la gravité pour distribuer l'eau avec une pression suffisante. Cet exercice se concentre sur le calcul de la pression de l'eau à différents points d'un système simplifié, en appliquant le principe fondamental de l'hydrostatique. Nous allons déterminer comment la hauteur de l'eau dans le réservoir influence la pression disponible au robinet d'une habitation.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un problème physique simple, à appliquer une loi fondamentale (le principe de l'hydrostatique) et à interpréter les résultats pour comprendre comment la pression de l'eau est gérée dans un réseau de distribution.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et appliquer le principe fondamental de l'hydrostatique.
  • Calculer la pression absolue en un point d'un fluide en fonction de l'altitude.
  • Maîtriser les conversions d'unités de pression (Pascals, bars).
  • Analyser l'influence de la hauteur d'eau et de la masse volumique sur la pression.

Données de l'étude

On étudie un système d'alimentation en eau potable composé d'un château d'eau cylindrique qui dessert une maison située en contrebas. La surface libre de l'eau dans le château (point A) est à l'air libre.

Fiche Technique du Système
Caractéristique Valeur
Fluide Eau (considérée comme incompressible)
État du fluide Au repos (statique)
Pression à la surface libre Pression atmosphérique standard
Schéma du Système Château d'Eau - Habitation
Point A (zₐ) Point B (zₑ) z Niveau de référence (z=0)
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Altitude de la surface libre de l'eau \(z_A\) 50 \(\text{m}\)
Altitude du robinet \(z_B\) 25 \(\text{m}\)
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 1000 \(\text{kg/m³}\)
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 \(\text{m/s²}\)
Pression atmosphérique \(p_{\text{atm}}\) 101325 \(\text{Pa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la pression absolue au point B (au niveau du robinet).
  2. Exprimer cette pression en bars.
  3. Quelle serait la pression au point B si le château d'eau était rempli non pas d'eau, mais d'une huile de masse volumique \(\rho_{\text{huile}} = 850 \text{ kg/m³}\) ?
  4. Si la pression minimale requise au robinet pour un bon fonctionnement est de 3 bars (pression relative), quelle doit être l'altitude minimale \(z_A\) de la surface libre de l'eau dans le château ?

Les bases sur l'Hydrostatique

L'hydrostatique est l'étude des fluides au repos. La pression dans un fluide augmente avec la profondeur. Cette variation est décrite par une loi fondamentale.

Principe Fondamental de l'Hydrostatique
Pour un fluide incompressible au repos, la différence de pression entre deux points A et B est proportionnelle à la différence d'altitude entre ces deux points. La relation s'écrit : \[ p_B - p_A = \rho \cdot g \cdot (z_A - z_B) \] Où :

  • \(p_A\) et \(p_B\) sont les pressions aux points A et B (en \(\text{Pascals, Pa}\)).
  • \(\rho\) (rho) est la masse volumique du fluide (en \(\text{kg/m³}\)).
  • \(g\) est l'accélération de la pesanteur (en \(\text{m/s²}\)).
  • \(z_A\) et \(z_B\) sont les altitudes des points A et B (en \(\text{mètres, m}\)).

Correction : Étude de la Variation de Pression

Question 1 : Calculer la pression absolue au point B (au niveau du robinet).

Principe

Pour trouver la pression au point B, nous allons appliquer le principe fondamental de l'hydrostatique entre le point A (la surface libre de l'eau, où la pression est connue) et le point B (le robinet).

Mini-Cours

Le principe de l'hydrostatique est une conséquence directe de l'équilibre des forces sur une particule de fluide. Il nous dit que dans un fluide au repos, la pression ne dépend que de la profondeur (ou de l'altitude) et de la nature du fluide, mais pas de la forme du contenant. C'est pourquoi la pression au fond d'un lac est la même à une profondeur donnée, que l'on soit près du bord ou au milieu.

Remarque Pédagogique

L'astuce pour ne jamais se tromper est de toujours partir d'un point où la pression est connue (ici, la surface libre à la pression atmosphérique) et de "descendre" ou "monter" jusqu'au point désiré. Si on descend, la pression augmente. Si on monte, elle diminue.

Normes

Bien qu'il n'y ait pas de "norme" de calcul à proprement parler pour ce principe de base, les applications en ingénierie (réseaux d'eau, barrages) sont régies par des réglementations strictes comme les normes NF EN pour la conception des systèmes d'alimentation en eau, qui fixent les pressions minimales et maximales de service.

Formule(s)

Relation fondamentale de l'hydrostatique

\[ p_B - p_A = \rho \cdot g \cdot (z_A - z_B) \]

Formule pour calculer \(p_B\)

\[ p_B = p_A + \rho \cdot g \cdot (z_A - z_B) \]
Hypothèses

Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :

  • L'eau est un fluide incompressible (\(\rho\) est constant).
  • Le système est à l'équilibre (l'eau ne s'écoule pas).
  • Les points A et B sont reliés par le même fluide (l'eau).
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression au point A (pression atmosphérique)\(p_A = p_{\text{atm}}\)101325\(\text{Pa}\)
Altitude du point A\(z_A\)50\(\text{m}\)
Altitude du point B\(z_B\)25\(\text{m}\)
Masse volumique de l'eau\(\rho\)1000\(\text{kg/m³}\)
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81\(\text{m/s²}\)
Astuces

Pour une estimation rapide, retenez que 10 mètres de colonne d'eau (mCE) correspondent environ à 1 bar de pression relative. Ici, avec 25 mètres de différence, on s'attend à une pression relative d'environ 2.5 bars. C'est un excellent moyen de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Système (Rappel)
Point A (zₐ)Point B (zₑ)zNiveau de référence (z=0)
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la différence d'altitude (\(z_A - z_B\))

\[ \begin{aligned} z_A - z_B &= 50 \text{ m} - 25 \text{ m} \\ &= 25 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la pression au point B

\[ \begin{aligned} p_B &= p_{\text{atm}} + \rho \cdot g \cdot (z_A - z_B) \\ &= 101325 \text{ Pa} + (1000 \text{ kg/m³} \cdot 9.81 \text{ m/s²} \cdot 25 \text{ m}) \\ &= 101325 + 245250 \\ &= 346575 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Pression Hydrostatique
zPressionz_Az_Bp_Ap_B
Réflexions

Le résultat de 346 575 Pa est bien supérieur à la pression atmosphérique (101 325 Pa), ce qui est logique. La pression au robinet est la somme de la pression atmosphérique qui s'exerce sur la surface libre et de la pression exercée par la colonne d'eau de 25 mètres de hauteur.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier la pression atmosphérique \(p_{\text{atm}}\) pour calculer la pression absolue. Si l'on ne l'ajoute pas, on calcule la pression relative (ou manométrique), qui est la différence de pression par rapport à l'atmosphère.

Points à retenir

Trois points essentiels à retenir de cette question :

  • La pression dans un fluide augmente avec la profondeur : \( P = P_0 + \rho g h \).
  • La pression absolue est la somme de la pression relative et de la pression atmosphérique.
  • La cohérence des unités (Système International) est cruciale avant tout calcul.

Le saviez-vous ?

Blaise Pascal, qui a donné son nom à l'unité de pression, a démontré avec son expérience du "crève-tonneau" qu'une petite quantité d'eau dans une colonne très haute pouvait exercer une pression immense, capable de faire éclater un tonneau. C'est la hauteur, et non le volume, qui détermine la pression hydrostatique.

FAQ

Voici les questions les plus fréquentes sur ce sujet.

La forme du château d'eau a-t-elle une importance ?

Non, pour ce calcul, la forme ou le diamètre du réservoir n'ont aucune influence. Seule la différence de hauteur verticale entre la surface libre et le point de mesure compte. C'est le paradoxe de l'hydrostatique.

Que se passe-t-il si l'eau s'écoule ?

Si l'eau est en mouvement, le principe de l'hydrostatique ne s'applique plus directement. Il faut utiliser des principes plus généraux de la dynamique des fluides, comme l'équation de Bernoulli, qui prend en compte la vitesse du fluide et les pertes de charge (frottements).

Résultat Final
La pression absolue au point B est de 346 575 Pascals.
A vous de jouer

Maintenant, à vous ! Si le château d'eau était situé en montagne, où la pression atmosphérique n'est que de 95 000 Pa, quelle serait la nouvelle pression absolue au point B ?

Question 2 : Exprimer cette pression en bars.

Principe

Il s'agit d'une simple conversion d'unités. Le bar est une unité de pression couramment utilisée dans l'industrie et la vie de tous les jours (météo, pression des pneus), bien qu'elle ne fasse pas partie du Système International. Il faut connaître le facteur de conversion entre le Pascal (Pa) et le bar.

Mini-Cours

Le système d'unités international (SI) est essentiel pour la cohérence des calculs scientifiques. Cependant, des unités "pratiques" subsistent. Le bar a été défini pour être très proche de la pression atmosphérique moyenne au niveau de la mer, ce qui le rend facile à interpréter intuitivement (1 bar ≈ pression de l'air qui nous entoure).

Remarque Pédagogique

Pour passer des Pascals aux bars, il suffit de "décaler la virgule de 5 rangs vers la gauche". C'est une méthode simple pour éviter les erreurs de calcul mental ou de calculatrice.

Normes

Les normes internationales (ISO) et les publications scientifiques exigent l'utilisation des unités SI (donc le Pascal). Cependant, les normes industrielles et les manomètres sur le terrain sont très souvent gradués en bars. Un ingénieur doit savoir jongler entre les deux.

Formule(s)

Relation de conversion Pascal - Bar

\[ 1 \text{ bar} = 100\ 000 \text{ Pa} = 10^5 \text{ Pa} \]
Hypothèses

Aucune hypothèse physique n'est nécessaire, il s'agit d'une conversion mathématique pure.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression au point B\(p_B\)346575\(\text{Pa}\)
Astuces

Un bar vaut 100 kiloPascals (kPa). Vous pouvez donc d'abord convertir les Pascals en kPa (en divisant par 1000), puis diviser par 100. 346575 Pa = 346.575 kPa. Puis 346.575 / 100 ≈ 3.47 bars.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Conversion
346 575 Pa÷ 100 000? bars
Calcul(s)

Conversion de la pression en bars

\[ \begin{aligned} p_B (\text{en bars}) &= \frac{p_B (\text{en Pa})}{100000} \\ &= \frac{346575}{100000} \\ &= 3.46575 \text{ bars} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Conversion
346 575 Paest égal à3.47 bars
Réflexions

Le résultat de 3.47 bars est plus facile à interpréter que 346 575 Pa. On comprend immédiatement que c'est environ 3.5 fois la pression atmosphérique normale, ce qui est une pression d'eau courante pour un réseau domestique.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre avec le mégaPascal (MPa). 1 MPa = 10 bars. C'est une autre conversion fréquente en résistance des matériaux.

Points à retenir

La conversion clé à mémoriser : 1 bar = 100 000 Pa. C'est la base de toutes les conversions de pression courantes.

Le saviez-vous ?

L'unité "bar" vient du mot grec "βάρος" (baros), qui signifie "poids". Elle a été introduite par le météorologue norvégien Vilhelm Bjerknes en 1904, un pionnier de la prévision météorologique moderne.

FAQ

Voici les questions les plus fréquentes sur ce sujet.

Pourquoi ne pas utiliser que des Pascals ?

Par habitude et par commodité. Le bar donne des chiffres plus simples à manipuler pour les pressions rencontrées dans la vie courante. Dire "2.2 bars" est plus simple que "220 000 Pascals" pour la pression d'un pneu.

Résultat Final
La pression absolue au point B est d'environ 3.47 bars.
A vous de jouer

Convertissez une pression de 550 kPa en bars.

Question 3 : Quelle serait la pression au point B si le fluide était une huile de \(\rho_{\text{huile}} = 850\) kg/m³ ?

Principe

La logique du calcul reste identique à la question 1. La seule chose qui change est la valeur de la masse volumique \(\rho\) du fluide. L'huile étant moins dense que l'eau, on s'attend à une pression plus faible pour la même hauteur de colonne.

Mini-Cours

La masse volumique (\(\rho\)) est une propriété intrinsèque d'un matériau. Elle mesure la "concentration" de matière. Dans la formule de l'hydrostatique, la pression est directement proportionnelle à \(\rho\). Un fluide plus dense, comme le mercure (\(\rho \approx 13600\) kg/m³), générera une pression beaucoup plus élevée qu'un fluide moins dense comme l'huile pour la même hauteur.

Remarque Pédagogique

C'est une excellente question pour tester votre compréhension de l'influence de chaque paramètre. Avant de calculer, essayez toujours d'anticiper le résultat : si \(\rho\) diminue, alors \(p\) doit diminuer. Cette intuition physique vous aide à détecter d'éventuelles erreurs de calcul.

Normes

Les fiches techniques des produits pétroliers et des huiles industrielles spécifient toujours leur masse volumique (ou leur densité) selon des normes de mesure précises (par ex. ISO 12185) car cette propriété est cruciale pour les calculs de stockage et de transfert.

Formule(s)

Formule de la pression avec l'huile

\[ p_{B,\text{huile}} = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{huile}} \cdot g \cdot (z_A - z_B) \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : fluide incompressible et au repos.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression atmosphérique\(p_{\text{atm}}\)101325\(\text{Pa}\)
Altitude du point A\(z_A\)50\(\text{m}\)
Altitude du point B\(z_B\)25\(\text{m}\)
Masse volumique de l'huile\(\rho_{\text{huile}}\)850\(\text{kg/m³}\)
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81\(\text{m/s²}\)
Astuces

Vous pouvez calculer le ratio des masses volumiques (850/1000 = 0.85) et l'appliquer à la pression relative calculée à la question 1 : \(245250 \text{ Pa} \times 0.85 = 208462.5 \text{ Pa}\). C'est plus rapide que de refaire tout le produit.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Système avec un Fluide Différent
Point A (zₐ)Point B (zₑ)zNiveau de référence (z=0)
Calcul(s)

Calcul de la pression avec l'huile

\[ \begin{aligned} p_{B,\text{huile}} &= p_{\text{atm}} + \rho_{\text{huile}} \cdot g \cdot (z_A - z_B) \\ &= 101325 \text{ Pa} + (850 \text{ kg/m³} \cdot 9.81 \text{ m/s²} \cdot 25 \text{ m}) \\ &= 101325 + 208462.5 \\ &= 309787.5 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Diagrammes de Pression
zPressionEauHuilez_Az_B
Réflexions

Comme prévu, la pression avec l'huile (environ 3.10 bars) est inférieure à la pression avec l'eau (3.47 bars). Cela confirme que pour une même hauteur de colonne, un fluide moins dense exerce une pression plus faible.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser la bonne valeur de masse volumique et de ne pas la mélanger avec celle de l'eau dans le même calcul. L'organisation des données est la clé.

Points à retenir

La pression hydrostatique est directement proportionnelle à la masse volumique du fluide. Si vous changez de fluide, vous changez la pression générée par une même hauteur.

Le saviez-vous ?

La différence de masse volumique entre l'eau salée et l'eau douce est la raison pour laquelle il est plus facile de flotter dans la mer que dans un lac. L'eau de mer, plus dense, exerce une poussée d'Archimède plus forte.

FAQ

Voici les questions les plus fréquentes sur ce sujet.

La température de l'eau influence-t-elle le calcul ?

Oui, très légèrement. La masse volumique de l'eau varie un peu avec la température (elle est maximale à 4°C). Cependant, pour la plupart des calculs d'ingénierie civile, cette variation est négligeable et on utilise une valeur constante de 1000 kg/m³.

Résultat Final
Avec de l'huile, la pression absolue au point B serait de 309 787.5 Pa (soit environ 3.10 bars).
A vous de jouer

Calculez la pression absolue au point B si le fluide était du glycérol (\(\rho = 1260 \text{ kg/m³}\)).

Question 4 : Quelle doit être l'altitude minimale \(z_A\) pour avoir 3 bars de pression relative au robinet ?

Principe

C'est un problème "inverse". Cette fois, la pression au point B est une contrainte (une exigence de conception) et l'inconnue est une dimension géométrique : l'altitude \(z_A\). Nous allons utiliser la même loi physique, mais en la réarrangeant pour trouver notre inconnue.

Mini-Cours

Ce type de calcul est au cœur du métier de l'ingénieur : le dimensionnement. On ne calcule pas seulement ce qui existe, on détermine les caractéristiques nécessaires pour qu'un système fonctionne comme désiré. Ici, on dimensionne la hauteur du château d'eau pour garantir un service correct à l'usager.

Remarque Pédagogique

La clé est d'identifier correctement ce que l'on cherche (\(z_A\)) et de manipuler l'équation algébriquement AVANT de remplacer par les valeurs numériques. Isoler l'inconnue en premier lieu rend le calcul plus clair et moins sujet aux erreurs.

Normes

Les réglementations sur la distribution d'eau potable (comme le Code de la santé publique en France) imposent des pressions minimales au point de livraison pour garantir le bon fonctionnement des appareils (chauffe-eau, lave-linge) et éviter les risques de contamination du réseau. Une valeur de 3 bars est une exigence typique.

Formule(s)

Relation de base pour la pression relative

\[ p_{B,\text{rel}} = \rho \cdot g \cdot (z_A - z_B) \]

Formule pour isoler l'altitude \(z_A\)

\[ z_A = z_B + \frac{p_{B,\text{rel}}}{\rho \cdot g} \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes : eau incompressible au repos.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression relative requise au point B\(p_{B,\text{rel}}\)3\(\text{bars}\)
Altitude du point B\(z_B\)25\(\text{m}\)
Masse volumique de l'eau\(\rho\)1000\(\text{kg/m³}\)
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81\(\text{m/s²}\)
Astuces

Utilisez l'approximation "1 bar ≈ 10 mCE". Pour avoir 3 bars de pression, il faut environ \(3 \times 10 = 30\) mètres de colonne d'eau. L'altitude \(z_A\) devra donc être d'environ \(z_B + 30 = 25 + 30 = 55\) mètres. Cela donne un excellent ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Problème Inverse
?Point A (zₐ = ?)Point B (P_rel = 3 bars)z
Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la pression relative cible en Pascals

\[ \begin{aligned} p_{B,\text{rel}} &= 3 \text{ bars} \\ &= 3 \times 10^5 \text{ Pa} \\ &= 300\ 000 \text{ Pa} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la hauteur de colonne d'eau nécessaire

\[ \begin{aligned} h &= \frac{p_{B,\text{rel}}}{\rho g} \\ &= \frac{300000 \text{ Pa}}{1000 \text{ kg/m³} \times 9.81 \text{ m/s²}} \\ &\approx 30.58 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul de l'altitude \(z_A\) minimale

\[ \begin{aligned} z_A &= z_B + h \\ &= 25 \text{ m} + 30.58 \text{ m} \\ &= 55.58 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Configuration Requise
zₐ = 55.58 mzₑ = 25 mz
Réflexions

Le résultat de 55.58 m est supérieur à la hauteur initiale de 50 m. C'est cohérent, car pour obtenir une pression plus élevée (3 bars relatifs, soit 294300 Pa) que celle que nous avions (245250 Pa), il faut bien une colonne d'eau plus haute.

Points de vigilance

La principale erreur est de mal isoler l'inconnue dans l'équation. Faites bien attention aux opérations mathématiques. Une autre erreur est d'oublier de convertir les bars en Pascals avant d'injecter la valeur dans la formule.

Points à retenir

La relation hydrostatique peut être utilisée dans "tous les sens" : pour calculer une pression à partir d'une géométrie, ou pour calculer une géométrie (une hauteur, une profondeur) à partir d'une pression imposée.

Le saviez-vous ?

Dans les zones très vallonnées, les compagnies des eaux utilisent plusieurs réservoirs à différentes altitudes, ou des "surpresseurs" (pompes), pour garantir que chaque habitation ait une pression correcte, ni trop faible (pour les points hauts), ni trop forte (pour les points bas).

FAQ

Voici les questions les plus fréquentes sur ce sujet.

Pourquoi parle-t-on de pression "minimale" ?

Parce que la consommation d'eau dans la ville fait varier le niveau dans le château d'eau. La hauteur \(z_A\) calculée correspond au niveau le plus bas que l'eau doit atteindre. En fonctionnement normal, le niveau sera plus haut, garantissant une pression supérieure au minimum requis.

Résultat Final
Pour obtenir une pression relative de 3 bars au robinet, la surface libre de l'eau dans le château d'eau doit être à une altitude minimale de 55.58 mètres.
A vous de jouer

Si l'altitude du robinet \(z_B\) était de 40 m, quelle serait la nouvelle altitude \(z_A\) minimale requise pour garantir les 3 bars de pression relative ?

Outil Interactif : Simulateur de Pression

Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier la hauteur d'eau dans le château et la position du robinet. Observez l'impact direct sur la pression disponible et sur le graphique pression/profondeur.

Paramètres d'Entrée
50 m
25 m
Résultats Clés
Hauteur de la colonne d'eau (\(\text{m}\)) -
Pression relative au robinet (\(\text{bar}\)) -
Pression absolue au robinet (\(\text{bar}\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Selon le principe de l'hydrostatique, si l'on double la hauteur de la colonne d'eau au-dessus du robinet, la pression relative au robinet...

2. Quelle est la pression à la surface libre de l'eau dans le château d'eau (Point A) ?

3. Si on déplace le robinet 10 mètres plus bas, la pression...

Glossaire

Pression Absolue
La pression totale en un point, incluant la pression atmosphérique. C'est la pression mesurée par rapport au vide absolu.
Pression Relative (ou Manométrique)
La différence entre la pression absolue et la pression atmosphérique locale. C'est la surpression par rapport à l'air ambiant. Un pneu de voiture est gonflé à une pression relative.
Masse Volumique (\(\rho\))
La masse d'un matériau par unité de volume. Pour l'eau, elle est d'environ 1000 kg/m³.
Pascal (Pa)
L'unité de pression du Système International. 1 Pascal correspond à une force de 1 Newton appliquée sur une surface de 1 mètre carré.
Étude de la Variation de Pression

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