EGC

Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

Exercice : Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

Contexte : L'écoulement potentielModèle mathématique décrivant l'écoulement d'un fluide parfait (non-visqueux et incompressible) et irrotationnel..

L'étude de l'écoulement d'un fluide autour d'un obstacle est un pilier de la mécanique des fluides, avec des applications cruciales en aérodynamique (ailes d'avion) et en hydrodynamique (piles de pont, coques de navire). Ce problème est souvent simplifié en considérant un fluide parfait dans un écoulement irrotationnel. L'écoulement autour d'un cylindre circulaire est un cas d'école classique qui permet de comprendre comment la superposition d'écoulements simples peut modéliser des situations complexes et d'analyser la distribution de vitesse et de pression sur un obstacle.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans la construction du modèle d'écoulement autour d'un cylindre par la superposition d'un écoulement uniforme et d'un doublet. Vous apprendrez à dériver les champs de vitesse et de pression, et à interpréter physiquement les résultats, y compris le célèbre paradoxe de d'Alembert.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et appliquer le principe de superposition des écoulements potentiels.
  • Déterminer la fonction de courant et les composantes de la vitesse pour l'écoulement autour d'un cylindre.
  • Appliquer le théorème de Bernoulli pour calculer la distribution de pression.
  • Analyser et interpréter le concept de coefficient de pression et les points caractéristiques de l'écoulement.

Données de l'étude

On considère un écoulement bidimensionnel, permanent, incompressible et irrotationnel d'un fluide parfait autour d'un cylindre de rayon \(R\), infiniment long. Loin de l'obstacle (à l'amont), l'écoulement est uniforme avec une vitesse \(U_{\infty}\) parallèle à l'axe des x.

Propriétés de l'Écoulement
Caractéristique Description
Fluide Parfait (masse volumique \(\rho\), non-visqueux)
Régime d'écoulement Permanent, irrotationnel, incompressible
Obstacle Cylindre fixe de rayon \(R\)
Modélisation de l'écoulement autour du cylindre
R U∞ y x
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Vitesse de l'écoulement amont \(U_{\infty}\) 10 \(\text{m/s}\)
Rayon du cylindre \(R\) 1 \(\text{m}\)
Masse volumique du fluide (eau) \(\rho\) 1000 \(\text{kg/m³}\)
Pression à l'infini \(P_{\infty}\) 101325 \(\text{Pa}\)

Questions à traiter

  1. Établir la fonction de courant \(\psi(r, \theta)\) de l'écoulement résultant de la superposition d'un écoulement uniforme et d'un doublet.
  2. Montrer que la ligne de courant \(\psi=0\) correspond au corps du cylindre de rayon R. En déduire la relation liant l'intensité du doublet \(\mu\) à \(U_{\infty}\) et \(R\).
  3. Déterminer les expressions des composantes radiale (\(v_r\)) et orthoradiale (\(v_{\theta}\)) de la vitesse du fluide en tout point.
  4. Calculer la vitesse à la surface du cylindre (\(r=R\)). Identifier les positions angulaires des points d'arrêt et des points de vitesse maximale.
  5. En utilisant le théorème de Bernoulli, déterminer l'expression du coefficient de pression \(C_p\) à la surface du cylindre.

Les bases sur l'Écoulement Potentiel

La théorie des écoulements potentiels est un cadre mathématique puissant pour analyser les écoulements de fluides parfaits. Elle repose sur l'existence d'une fonction scalaire, le potentiel des vitesses \(\phi\), dont le gradient donne le vecteur vitesse. Pour les écoulements plans, on utilise aussi la fonction de courant \(\psi\), qui est constante le long d'une ligne de courant.

1. Fonction de Courant (\(\psi\)) en Coordonnées Polaires
La fonction de courant \(\psi(r, \theta)\) permet de calculer les composantes de la vitesse (radiale \(v_r\) et orthoradiale \(v_{\theta}\)) : \[ v_r = \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} \quad \text{et} \quad v_{\theta} = -\frac{\partial\psi}{\partial r} \]

2. Superposition des Écoulements
L'équation régissant les écoulements potentiels est linéaire. On peut donc superposer des solutions élémentaires pour en construire de plus complexes. La fonction de courant résultante est simplement la somme des fonctions de courant individuelles : \(\psi_{\text{total}} = \sum \psi_i\).

  • Écoulement uniforme de vitesse \(U_{\infty}\) : \(\psi_{\text{unif}} = U_{\infty} r \sin\theta\)
  • Doublet d'intensité \(\mu\) à l'origine : \(\psi_{\text{doublet}} = -\frac{\mu}{r}\sin\theta\)

Correction : Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

Question 1 : Établir la fonction de courant \(\psi(r, \theta)\)

Principe

L'écoulement autour d'un cylindre peut être modélisé en combinant deux écoulements plus simples. L'idée est que l'écoulement uniforme représente le fluide qui arrive de loin, et le doublet représente l'obstacle (le cylindre) qui "écarte" les lignes de courant.

Mini-Cours

Le Principe de Superposition : En mécanique des fluides parfaits, l'équation de Laplace qui régit le potentiel des vitesses (\(\nabla^2\phi = 0\)) est linéaire. Cela signifie que si \(\phi_1\) et \(\phi_2\) sont deux solutions, alors leur somme \(\phi_1 + \phi_2\) est aussi une solution. La même propriété s'applique à la fonction de courant \(\psi\). Cette astuce mathématique permet de construire des écoulements complexes (comme autour d'un obstacle) en additionnant des écoulements très simples dont on connaît déjà la solution.

Remarque Pédagogique

L'astuce ici est de "deviner" la bonne combinaison d'écoulements simples. Pour un corps non-portant comme un cylindre, la combinaison d'un écoulement uniforme et d'un doublet est le choix classique. Pensez-y comme à des briques de Lego : on choisit les bonnes briques pour construire la forme désirée.

Normes

Ce calcul ne fait pas appel à une norme de construction (comme l'Eurocode), mais il est le fondement théorique présenté dans tous les ouvrages de référence en mécanique des fluides (par ex., "Fluid Mechanics" de F.M. White) pour l'étude des écoulements externes.

Formule(s)

Principe de superposition pour la fonction de courant

\[ \psi(r, \theta) = \psi_{\text{unif}}(r, \theta) + \psi_{\text{doublet}}(r, \theta) \]
Hypothèses

Ce calcul repose entièrement sur les hypothèses du fluide parfait :

  • Fluide incompressible (\(\rho\) = constante).
  • Fluide non-visqueux (pas de frottement).
  • Écoulement irrotationnel (les particules de fluide ne tournent pas sur elles-mêmes).
Donnée(s)

Pour cette première question, les seules "données" sont les expressions mathématiques des fonctions de courant élémentaires.

Astuces

Lors de la somme, repérez immédiatement les termes communs. Ici, \(\sin\theta\) est présent dans les deux expressions, ce qui simplifie grandement la factorisation.

Schéma (Avant les calculs)
Superposition des écoulements
Écoulement Uniforme +Doublet
Calcul(s)

Somme des fonctions de courant

\[ \psi(r, \theta) = U_{\infty} r \sin\theta - \frac{\mu}{r}\sin\theta \]

Factorisation de l'expression

\[ \psi(r, \theta) = \left(U_{\infty}r - \frac{\mu}{r}\right)\sin\theta \]
Schéma (Après les calculs)
Lignes de courant résultantes
Réflexions

L'expression obtenue combine les effets de l'écoulement global (\(U_{\infty}r\)) et de l'obstacle (\(\mu/r\)). On voit que l'influence de l'obstacle diminue à mesure que \(r\) augmente, ce qui est physiquement logique.

Points de vigilance

Attention au signe négatif de la fonction de courant du doublet. Une erreur de signe changerait complètement la physique du problème (on modéliserait un objet qui "aspire" le fluide au lieu de le repousser).

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Superposition des écoulements.
  • Formule Essentielle : \(\psi_{\text{total}} = \psi_{\text{unif}} + \psi_{\text{doublet}}\).
Le saviez-vous ?

Le concept de "doublet" est purement mathématique. Il n'existe pas physiquement, mais il est un outil incroyablement efficace pour modéliser la façon dont un corps solide et imperméable dévie un écoulement.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi utilise-t-on un doublet et non une source ?

Une source simple créerait un flux net de matière depuis l'origine, ce qui ne représente pas un obstacle solide. Un doublet, étant une combinaison source-puits, a un flux net nul et ne fait que "dévier" l'écoulement, ce qui est parfait pour modéliser un objet imperméable.

Résultat Final
La fonction de courant de l'écoulement résultant est : \(\psi(r, \theta) = \left(U_{\infty}r - \frac{\mu}{r}\right)\sin\theta\).
A vous de jouer

Quelle serait la fonction de courant si l'écoulement uniforme arrivait selon l'axe des y ? (Indice : \(\psi_{\text{unif, y}} = -U_{\infty} r \cos\theta\))

Question 2 : Identifier la ligne de courant \(\psi=0\) et trouver \(\mu\)

Principe

La surface d'un objet solide dans un écoulement doit être une ligne de courant, car le fluide ne peut pas la traverser. En trouvant la ligne de courant sur laquelle \(\psi\) est nulle, nous pouvons identifier la forme de l'obstacle modélisé et ajuster les paramètres pour qu'il corresponde à un cylindre de rayon R.

Mini-Cours

Lignes de Courant et Obstacles : Dans un écoulement permanent, les trajectoires des particules de fluide coïncident avec les lignes de courant. La condition d'imperméabilité sur une surface solide fixe signifie que la composante normale de la vitesse du fluide à cette surface doit être nulle. Mathématiquement, cela équivaut à dire que la surface elle-même est une ligne de courant (une courbe où \(\psi\) est constant).

Remarque Pédagogique

C'est une étape cruciale : nous passons d'une construction mathématique abstraite à un modèle physique. En posant \(\psi=0\), nous cherchons une "frontière" dans notre écoulement. Le but est de faire coïncider cette frontière mathématique avec la frontière physique de notre cylindre.

Normes

La condition de glissement parfait (vitesse tangentielle non nulle mais vitesse normale nulle) sur la paroi est une condition aux limites standard pour les problèmes de fluides parfaits.

Formule(s)

Condition pour la ligne de courant de l'obstacle

\[ \left(U_{\infty}r - \frac{\mu}{r}\right)\sin\theta = 0 \]
Hypothèses

On suppose que le cylindre est centré à l'origine du repère polaire, là où le doublet a été placé.

Donnée(s)
Rayon du cylindre\(R\)1\(\text{m}\)
Astuces

Quand vous avez un produit de facteurs qui est nul (A * B = 0), n'oubliez pas d'analyser toutes les possibilités : soit A=0, soit B=0. Ici, cela donne deux solutions distinctes avec des significations physiques différentes.

Schéma (Avant les calculs)
Identification de la ligne \(\psi=0\)
ψ=0ψ=0ψ=0
Calcul(s)

L'équation \(\left(U_{\infty}r - \frac{\mu}{r}\right)\sin\theta = 0\) est satisfaite si :
1. \(\sin\theta = 0 \Rightarrow \theta = 0\) ou \(\theta = \pi\). C'est l'axe des x.
2. \(U_{\infty}r - \frac{\mu}{r} = 0 \Rightarrow U_{\infty}r^2 = \mu \Rightarrow r = \sqrt{\frac{\mu}{U_{\infty}}}\).

Cette deuxième solution décrit un cercle de rayon constant. Pour que ce cercle soit notre cylindre de rayon \(R\), il faut imposer :

Détermination de l'intensité du doublet \(\mu\)

\[ \begin{aligned} R &= \sqrt{\frac{\mu}{U_{\infty}}} \\ \Rightarrow R^2 &= \frac{\mu}{U_{\infty}} \\ \Rightarrow \mu &= U_{\infty}R^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne de courant \(\psi=0\) identifiée
ψ=0ψ=0ψ=0
Réflexions

Nous avons "calibré" notre modèle. L'intensité du doublet \(\mu\) n'est plus un paramètre libre ; elle est maintenant fixée par les caractéristiques physiques du problème (\(U_{\infty}\) et \(R\)). Cela montre comment les conditions aux limites (la présence du cylindre) déterminent la nature de l'écoulement.

Points de vigilance

Ne pas conclure trop vite que \(r=R\) est la seule ligne de courant \(\psi=0\). L'axe des abscisses l'est aussi. Physiquement, cela représente la ligne de courant qui se sépare en deux au point d'arrêt amont et se rejoint au point d'arrêt aval.

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : La paroi d'un obstacle solide est une ligne de courant.
  • Résultat Essentiel : L'intensité du doublet qui modélise un cylindre est \(\mu = U_{\infty}R^2\).
Le saviez-vous ?

Cette méthode, appelée "méthode des singularités", est très puissante. En distribuant des doublets, sources, puits et vortex le long d'une surface, on peut modéliser l'écoulement potentiel autour de formes arbitrairement complexes, comme un profil d'aile d'avion.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi avoir choisi la ligne \(\psi=0\) ?

C'est le choix le plus simple. On aurait pu choisir n'importe quelle constante, mais choisir \(\psi=0\) simplifie les calculs et correspond à la ligne de courant qui passe par l'origine dans l'écoulement du doublet seul, ce qui est cohérent.

Résultat Final
La relation liant l'intensité du doublet au rayon du cylindre et à la vitesse amont est : \(\mu = U_{\infty}R^2\).
A vous de jouer

Si \(U_{\infty} = 20 \text{ m/s}\) et \(R = 0.5 \text{ m}\), quelle doit être l'intensité \(\mu\) du doublet ?

Question 3 : Déterminer les composantes de la vitesse

Principe

Maintenant que la fonction de courant \(\psi\) est entièrement déterminée en fonction des paramètres physiques \(U_{\infty}\) et \(R\), nous pouvons l'utiliser pour trouver le champ de vitesse en tout point de l'écoulement en appliquant les définitions des composantes de la vitesse en coordonnées polaires.

Mini-Cours

Vitesse en Coordonnées Polaires : Le vecteur vitesse \(\vec{V}\) peut être décomposé en une composante radiale (\(v_r\)), qui indique si le fluide s'éloigne ou se rapproche de l'origine, et une composante orthoradiale (\(v_{\theta}\)), qui indique si le fluide tourne autour de l'origine. Ces composantes sont obtenues par dérivation partielle de la fonction de courant, ce qui garantit automatiquement que la condition d'incompressibilité (\(\nabla \cdot \vec{V} = 0\)) est satisfaite.

Remarque Pédagogique

C'est une étape de pur calcul mathématique, mais qui a un sens physique profond. La dérivation de \(\psi\) par rapport à une coordonnée d'espace (comme \(r\) ou \(\theta\)) nous donne des informations sur la variation de l'écoulement dans cette direction, ce qui est précisément ce que mesure la vitesse.

Normes

Les relations \(v_r = \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\) et \(v_{\theta} = -\frac{\partial\psi}{\partial r}\) sont des définitions standard en mécanique des fluides.

Formule(s)

Fonction de courant finale

\[ \psi(r, \theta) = U_{\infty}\left(r - \frac{R^2}{r}\right)\sin\theta \]

Définition des composantes de la vitesse

\[ v_r = \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} \quad \text{et} \quad v_{\theta} = -\frac{\partial\psi}{\partial r} \]
Hypothèses

Les hypothèses du fluide parfait sont toujours valables. On suppose également que la fonction \(\psi\) est continue et dérivable partout sauf à l'origine (\(r=0\)).

Donnée(s)
Vitesse de l'écoulement amont\(U_{\infty}\)10\(\text{m/s}\)
Rayon du cylindre\(R\)1\(\text{m}\)
Astuces

Lors de la dérivation par rapport à une variable (par ex. \(\theta\)), traitez toutes les autres variables (ici, \(r\)) comme des constantes. N'oubliez pas la règle de dérivation de \(1/r\) (ou \(r^{-1}\)), qui est \(-1/r^2\) (ou \(-r^{-2}\)).

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la vitesse en coordonnées polaires
OP(r,θ)θvᵣvᶿV
Calcul(s)

Calcul de \(v_r\)

\[ \begin{aligned} v_r &= \frac{1}{r} \frac{\partial\psi}{\partial\theta} \\ &= \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ U_{\infty}\left(r - \frac{R^2}{r}\right)\sin\theta \right] \\ &= \frac{1}{r} \left[ U_{\infty}\left(r - \frac{R^2}{r}\right)\cos\theta \right] \\ &= U_{\infty}\left(1 - \frac{R^2}{r^2}\right)\cos\theta \end{aligned} \]

Calcul de \(v_{\theta}\)

\[ \begin{aligned} v_{\theta} &= -\frac{\partial\psi}{\partial r} \\ &= -\frac{\partial}{\partial r} \left[ U_{\infty}\left(r - \frac{R^2}{r}\right)\sin\theta \right] \\ &= -U_{\infty}\sin\theta \frac{\partial}{\partial r} \left(r - R^2r^{-1}\right) \\ &= -U_{\infty}\sin\theta \left(1 - (-1)R^2r^{-2}\right) \\ &= -U_{\infty}\left(1 + \frac{R^2}{r^2}\right)\sin\theta \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Champ de vecteurs vitesse autour du cylindre
Réflexions

Les expressions montrent comment la présence du cylindre (termes en \(R^2/r^2\)) modifie l'écoulement uniforme. Loin du cylindre (\(r \to \infty\)), les termes en \(R^2/r^2\) tendent vers zéro, et on retrouve \(v_r \to U_{\infty}\cos\theta\) et \(v_{\theta} \to -U_{\infty}\sin\theta\), ce qui correspond bien aux composantes d'un écoulement uniforme \(U_{\infty}\) en coordonnées polaires.

Points de vigilance

Le signe négatif dans la définition de \(v_{\theta}\) est une convention cruciale. L'oublier inverserait le sens de la vitesse tangentielle.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : La dérivation de la fonction de courant donne les composantes de la vitesse.
  • Formules Essentielles : Les expressions de \(v_r(r, \theta)\) et \(v_{\theta}(r, \theta)\).
Le saviez-vous ?

Le champ de vitesse que nous venons de calculer est dit "irrotationnel". Cela signifie que si on plaçait une petite roue à aubes n'importe où dans l'écoulement (sauf à l'origine), elle serait entraînée par le fluide mais ne tournerait pas sur son propre axe.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Que représente le signe de \(v_{\theta}\) ?

En convention mathématique, un angle \(\theta\) positif est anti-horaire. Un \(v_{\theta}\) positif correspond donc à une rotation anti-horaire autour de l'origine. Ici, pour \(\theta\) entre 0 et \(\pi\) (au-dessus du cylindre), \(\sin\theta > 0\) et donc \(v_{\theta} < 0\), ce qui indique une vitesse dans le sens horaire, ce qui est correct pour un écoulement de gauche à droite.

Résultat Final
Les composantes de la vitesse sont :
\(v_r(r, \theta) = U_{\infty}\left(1 - \frac{R^2}{r^2}\right)\cos\theta\)
\(v_{\theta}(r, \theta) = -U_{\infty}\left(1 + \frac{R^2}{r^2}\right)\sin\theta\)
A vous de jouer

Calculez la vitesse radiale \(v_r\) au point (\(r=2R, \theta=0\)). La réponse doit être un multiple de \(U_{\infty}\).

Question 4 : Vitesse à la surface du cylindre

Principe

Nous nous intéressons maintenant spécifiquement à ce qui se passe sur la "peau" de l'obstacle. En évaluant le champ de vitesse pour \(r=R\), nous pouvons trouver les points les plus lents (points d'arrêt) et les plus rapides, qui sont cruciaux pour l'analyse des pressions.

Mini-Cours

Points d'Arrêt (Stagnation) : Ce sont des points où le fluide est amené au repos complet par l'obstacle. La ligne de courant qui atteint ce point est appelée "ligne d'arrêt". Dans un écoulement symétrique, il y a généralement un point d'arrêt amont (face au vent) et un point d'arrêt aval (à l'arrière).

Remarque Pédagogique

Cette étape est une application directe des résultats de la question 3. C'est un bon test pour vérifier la cohérence de vos calculs. Par exemple, on s'attend physiquement à ce que la vitesse radiale soit nulle sur la paroi d'un cylindre imperméable. Vérifions si nos équations le confirment !

Normes

L'analyse des points de vitesse maximale est fondamentale dans de nombreuses normes de conception, car ce sont souvent les zones où les pressions sont les plus faibles et où des phénomènes comme la cavitation (en hydrodynamique) peuvent apparaître.

Formule(s)

On reprend les expressions de \(v_r\) et \(v_{\theta}\) et on y remplace \(r\) par \(R\).

Hypothèses

Les hypothèses sont inchangées.

Donnée(s)
Vitesse de l'écoulement amont\(U_{\infty}\)10\(\text{m/s}\)
Rayon du cylindre\(R\)1\(\text{m}\)
Astuces

Une fois \(v_r\) trouvé nul, la norme du vecteur vitesse \(\vec{V}\) est simplement la valeur absolue de la composante restante, \(|v_{\theta}|\). Pour trouver les maxima d'une fonction en \(\sin\theta\), on cherche les angles où \(|\sin\theta|\) vaut 1.

Schéma (Avant les calculs)
Vitesse du fluide autour du cylindre
V=0V=0VmaxVmax
Calcul(s)

Calcul de \(v_r\) à la surface (\(r=R\))

\[ \begin{aligned} v_r(R, \theta) &= U_{\infty}\left(1 - \frac{R^2}{R^2}\right)\cos\theta \\ &= U_{\infty}(1-1)\cos\theta \\ &= 0 \end{aligned} \]

Calcul de \(v_{\theta}\) à la surface (\(r=R\))

\[ \begin{aligned} v_{\theta}(R, \theta) &= -U_{\infty}\left(1 + \frac{R^2}{R^2}\right)\sin\theta \\ &= -U_{\infty}(1+1)\sin\theta \\ &= -2U_{\infty}\sin\theta \end{aligned} \]

La vitesse totale sur le cylindre est \(V(\theta) = |v_{\theta}| = 2U_{\infty}|\sin\theta|\).
• Vitesse nulle (points d'arrêt) si \(|\sin\theta|=0 \Rightarrow \theta=0\) et \(\theta=\pi\).
• Vitesse maximale si \(|\sin\theta|=1 \Rightarrow \theta=\pi/2\) et \(\theta=3\pi/2\). La valeur est \(V_{\text{max}} = 2U_{\infty}\).

Schéma (Après les calculs)
Distribution de la vitesse sur le cylindre
θV/U∞0120°90°180°270°360°
Réflexions

Le fluide accélère pour contourner le cylindre, atteignant une vitesse double de la vitesse amont sur les "épaules" du cylindre. C'est une conséquence directe de la conservation de la masse (principe de continuité) dans une section d'écoulement qui se rétrécit.

Points de vigilance

Ne pas oublier la valeur absolue pour la norme de la vitesse. La vitesse est une grandeur scalaire positive, tandis que \(v_{\theta}\) est une composante qui peut être négative.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Le fluide accélère sur les côtés d'un obstacle.
  • Résultats Essentiels : Points d'arrêt à \(\theta=0, \pi\). Vitesse max \(V_{\text{max}}=2U_{\infty}\) à \(\theta=\pi/2, 3\pi/2\).
Le saviez-vous ?

Dans un écoulement réel (visqueux), la vitesse à la surface du cylindre est en fait nulle partout (condition de non-glissement). L'accélération se produit dans une fine couche proche de la paroi appelée "couche limite". Notre modèle de fluide parfait est une simplification qui reste très utile pour comprendre la physique globale de l'écoulement loin de la paroi.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi la vitesse est-elle exactement \(2U_{\infty}\) ?

C'est une conséquence de la géométrie circulaire et des équations du potentiel. Intuitivement, l'aire de passage du fluide au niveau du diamètre vertical est réduite, forçant le fluide à accélérer pour maintenir le même débit.

Résultat Final
À la surface du cylindre, la vitesse est purement tangentielle et vaut \(v_{\theta} = -2U_{\infty}\sin\theta\). Les points d'arrêt sont à \(\theta=0\) et \(\theta=\pi\). La vitesse est maximale à \(\theta=\pi/2\) et \(\theta=3\pi/2\), où elle atteint \(2U_{\infty}\).
A vous de jouer

Si \(U_{\infty} = 15 \text{ m/s}\), quelle est la vitesse maximale \(V_{\text{max}}\) sur le cylindre ?

Question 5 : Coefficient de pression \(C_p\)

Principe

Le théorème de Bernoulli établit une relation inverse entre la vitesse et la pression : là où le fluide est rapide, la pression est faible, et vice-versa. En utilisant ce théorème, nous pouvons calculer la pression en tout point de la surface du cylindre à partir de la vitesse que nous venons de trouver.

Mini-Cours

Théorème de Bernoulli : Pour un écoulement de fluide parfait, incompressible et permanent, la quantité \(P + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho g z\) est constante le long d'une ligne de courant. Pour un écoulement irrotationnel, cette constante est la même pour toutes les lignes de courant. En négligeant la gravité (écoulement horizontal), on a \(P + \frac{1}{2}\rho V^2 = \text{constante}\). Le terme \(\frac{1}{2}\rho V^2\) est appelé pression dynamique.

Remarque Pédagogique

Le coefficient de pression \(C_p\) est un outil formidable. Il permet de présenter les résultats de pression de manière adimensionnelle, c'est-à-dire indépendante de la vitesse \(U_{\infty}\) et de la masse volumique \(\rho\). Ainsi, la courbe de \(C_p\) que nous allons trouver est universelle pour tous les écoulements potentiels autour d'un cylindre, que ce soit de l'air, de l'eau ou tout autre fluide parfait !

Normes

Le calcul du \(C_p\) est une procédure standard en aérodynamique et en hydrodynamique pour évaluer les efforts exercés par un fluide sur une structure. Les normes de construction contre le vent (par ex. Eurocode 1) fournissent des valeurs de \(C_p\) pour différentes formes de bâtiments.

Formule(s)

Théorème de Bernoulli

\[ P_{\infty} + \frac{1}{2}\rho U_{\infty}^2 = P(\theta) + \frac{1}{2}\rho V(\theta)^2 \]

Définition du coefficient de pression

\[ C_p = \frac{P(\theta) - P_{\infty}}{\frac{1}{2}\rho U_{\infty}^2} \]
Hypothèses

Les hypothèses de Bernoulli sont les mêmes que celles de l'écoulement potentiel (fluide parfait, incompressible, permanent, irrotationnel).

Donnée(s)
Vitesse à la surface\(V(\theta)\)\(2U_{\infty}|\sin\theta|\)\(\text{m/s}\)
Astuces

Réarrangez d'abord l'équation de Bernoulli pour isoler \(P - P_{\infty}\). Vous verrez que le terme \(\frac{1}{2}\rho U_{\infty}^2\) apparaît naturellement, ce qui simplifie la division pour obtenir le \(C_p\).

Schéma (Avant les calculs)
Distribution de pression attendue
PmaxPminPmin
Calcul(s)

Expression du \(C_p\) en fonction des vitesses

\[ \begin{aligned} C_p &= \frac{P(\theta) - P_{\infty}}{\frac{1}{2}\rho U_{\infty}^2} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\rho (U_{\infty}^2 - V^2)}{\frac{1}{2}\rho U_{\infty}^2} \\ &= 1 - \left(\frac{V}{U_{\infty}}\right)^2 \end{aligned} \]

Calcul final du \(C_p\) sur le cylindre

\[ \begin{aligned} C_p &= 1 - \left(\frac{2U_{\infty}|\sin\theta|}{U_{\infty}}\right)^2 \\ &= 1 - (2|\sin\theta|)^2 \\ &= 1 - 4\sin^2\theta \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Distribution du Coefficient de Pression sur le Cylindre
θCp01-30°90°180°270°360°
Réflexions

La pression la plus élevée (\(C_p=1\)) se trouve aux points d'arrêt, où le fluide est stoppé. La pression la plus faible (\(C_p=-3\)) se trouve sur les côtés, où le fluide est le plus rapide. Cette dépression est ce qui peut "aspirer" des objets légers vers un corps en mouvement rapide (par exemple, près d'un train).

Points de vigilance

Ne confondez pas la pression \(P\) et le coefficient de pression \(C_p\). Le \(C_p\) est adimensionnel, tandis que la pression s'exprime en Pascals (Pa). Le \(C_p\) est un outil de comparaison, la pression est une grandeur physique absolue.

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Le théorème de Bernoulli relie vitesse et pression.
  • Formule Essentielle : \(C_p = 1 - (V/U_{\infty})^2\).
  • Résultat Essentiel : Pour un cylindre, \(C_p(\theta) = 1 - 4\sin^2\theta\).
Le saviez-vous ?

Si l'on ajoute un vortex à la superposition (écoulement uniforme + doublet + vortex), on crée une circulation autour du cylindre. Cela brise la symétrie de l'écoulement et, par le théorème de Kutta-Jukowski, génère une force de portance perpendiculaire à l'écoulement. C'est la base de l'effet Magnus, qui fait dévier les balles en rotation dans le sport.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Un coefficient de pression négatif signifie-t-il une pression négative ?

Non. Un \(C_p\) négatif signifie que la pression locale \(P\) est inférieure à la pression de référence \(P_{\infty}\). La pression absolue \(P\) reste presque toujours positive. Par exemple, si \(P_{\infty}\) est la pression atmosphérique (~100 000 Pa), une forte dépression correspondra toujours à une pression absolue positive.

Résultat Final
Le coefficient de pression à la surface du cylindre est donné par \(C_p(\theta) = 1 - 4\sin^2\theta\).
A vous de jouer

Quel est le coefficient de pression \(C_p\) à un angle de \(\theta = 30^\circ\) ? (Rappel : \(\sin(30^\circ) = 0.5\))

Outil Interactif : Simulateur de Pression

Ce simulateur vous permet d'explorer comment la vitesse maximale et la pression minimale à la surface du cylindre varient en fonction de la vitesse de l'écoulement amont et de la masse volumique du fluide.

Paramètres d'Entrée
10 m/s
1000 kg/m³
Résultats Clés
Vitesse Maximale \(V_{\text{max}}\) (m/s) -
Pression Minimale \(P_{\text{min}}\) (Pa) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'écoulement potentiel autour d'un cylindre est obtenu en superposant quels écoulements élémentaires ?

2. Où se situent les points d'arrêt sur le cylindre ?

3. Quelle est la vitesse maximale atteinte par le fluide à la surface du cylindre ?

4. Quelle est la valeur du coefficient de pression (\(C_p\)) aux points d'arrêt ?

5. Le paradoxe de d'Alembert, qui prédit une traînée nulle, est une conséquence de quelle hypothèse ?

Écoulement Potentiel
Un modèle mathématique décrivant l'écoulement d'un fluide parfait (non-visqueux et incompressible) et irrotationnel, où la vitesse dérive d'une fonction potentielle.
Ligne de Courant
Une courbe qui est partout tangente au vecteur vitesse du fluide à un instant donné. Le fluide ne traverse jamais une ligne de courant.
Doublet
Un écoulement potentiel élémentaire obtenu par la superposition d'une source et d'un puits de même débit qui sont infiniment rapprochés.
Point d'Arrêt (ou de Stagnation)
Un point dans un champ d'écoulement où la vitesse locale du fluide est nulle.
Coefficient de Pression (\(C_p\))
Un nombre sans dimension qui décrit la pression relative en un point d'un champ d'écoulement. Il permet de comparer les distributions de pression sur des corps de formes différentes.
Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

D'autres exercices d'hydraulique:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *