Calcul des moments d'inertie - Exercice corrigé

Comprendre les Moments d'Inertie

En Résistance des Matériaux (RDM), le moment d'inertie (ou moment quadratique) d'une section transversale est une propriété géométrique qui caractérise la manière dont ses points sont distribués par rapport à un axe donné. Il est fondamental pour analyser le comportement des poutres sous flexion ou torsion. Plus le moment d'inertie est élevé, plus la poutre est résistante à la déformation pour un matériau donné.

Cet exercice se concentre sur le calcul des moments d'inertie d'une section composée par rapport à ses axes centroïdaux.

Données de l'étude

On étudie une section composée d'un rectangle (R) surmonté d'un triangle isocèle (T). Le repère d'étude (O, x, y) a son origine O au coin inférieur gauche du rectangle, l'axe x est horizontal et l'axe y est vertical.

Dimensions (en mm) :

Rectangle (R) :
- Base \(b_R = 60 \, \text{mm}\)
- Hauteur \(h_R = 100 \, \text{mm}\)
Triangle (T) :
- Base \(b_T = 60 \, \text{mm}\) (coïncide avec le côté supérieur du rectangle)
- Hauteur \(h_T = 30 \, \text{mm}\)

Schéma de la Section Composée

Section composée d'un rectangle (R) et d'un triangle isocèle (T). Toutes les dimensions sont en mm.

Questions à traiter

Calculer l'aire \(A_R\) du rectangle et l'aire \(A_T\) du triangle. En déduire l'aire totale \(A_{tot}\) de la section composée.
Déterminer les coordonnées (\(x_R, y_R\)) du centre de gravité \(G_R\) du rectangle et les coordonnées (\(x_T, y_T\)) du centre de gravité \(G_T\) du triangle, par rapport au repère (O, x, y).
Calculer les coordonnées (\(X_G, Y_G\)) du centre de gravité global G de la section composée.
Calculer les moments d'inertie \(I_{gRx}\) et \(I_{gRy}\) du rectangle par rapport à ses propres axes centroïdaux (passant par \(G_R\)).
Calculer les moments d'inertie \(I_{gTx}\) et \(I_{gTy}\) du triangle par rapport à ses propres axes centroïdaux (passant par \(G_T\)).
En utilisant le théorème de Huygens (ou théorème des axes parallèles), calculer les moments d'inertie \(I_{GX,R}\) et \(I_{GY,R}\) du rectangle par rapport aux axes \(X_G\) et \(Y_G\) (axes centroïdaux globaux de la section composée).
De même, calculer les moments d'inertie \(I_{GX,T}\) et \(I_{GY,T}\) du triangle par rapport aux axes \(X_G\) et \(Y_G\).
Calculer les moments d'inertie totaux \(I_{GX}\) et \(I_{GY}\) de la section composée par rapport à ses axes centroïdaux globaux.

Correction : Calcul des Moments d'Inertie

Question 1 : Aires des sections

Principe :

L'aire d'un rectangle est le produit de sa base par sa hauteur. L'aire d'un triangle est la moitié du produit de sa base par sa hauteur. L'aire totale est la somme des aires des formes simples.

Formule(s) utilisée(s) :

A_R = b_R \times h_R \] \[ A_T = \frac{1}{2} \times b_T \times h_T \] \[ A_{tot} = A_R + A_T

Données spécifiques :

Rectangle (R): \(b_R = 60 \, \text{mm}\), \(h_R = 100 \, \text{mm}\)
Triangle (T): \(b_T = 60 \, \text{mm}\), \(h_T = 30 \, \text{mm}\)

Calcul :

A_R = 60 \times 100 = 6000 \, \text{mm}^2 \] \[ A_T = \frac{1}{2} \times 60 \times 30 = 900 \, \text{mm}^2 \] \[ A_{tot} = 6000 + 900 = 6900 \, \text{mm}^2

Résultat Question 1 :
Aire du rectangle \(A_R = 6000 \, \text{mm}^2\).
Aire du triangle \(A_T = 900 \, \text{mm}^2\).
Aire totale \(A_{tot} = 6900 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Centres de gravité des formes simples

Principe :

Le centre de gravité d'un rectangle est à l'intersection de ses diagonales (milieu de la base, milieu de la hauteur). Pour un triangle, le centre de gravité est situé à un tiers de la hauteur à partir de sa base. Les coordonnées sont exprimées par rapport à l'origine O du repère global.

Formule(s) utilisée(s) :

Pour le rectangle (origine O en bas à gauche du rectangle) :

x_R = \frac{b_R}{2}, \quad y_R = \frac{h_R}{2}

Pour le triangle (posé sur le rectangle, origine O en bas à gauche du rectangle) :

x_T = \frac{b_R}{2}, \quad y_T = h_R + \frac{h_T}{3}

Calcul :

\begin{aligned} x_R &= \frac{60}{2} = 30 \, \text{mm} \\ y_R &= \frac{100}{2} = 50 \, \text{mm} \\ \Rightarrow G_R &= (30 \, \text{mm}, 50 \, \text{mm}) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} x_T &= \frac{60}{2} = 30 \, \text{mm} \\ y_T &= 100 + \frac{30}{3} = 100 + 10 = 110 \, \text{mm} \\ \Rightarrow G_T &= (30 \, \text{mm}, 110 \, \text{mm}) \end{aligned}

Résultat Question 2 :
Centre de gravité du rectangle \(G_R = (30 \, \text{mm}, 50 \, \text{mm})\).
Centre de gravité du triangle \(G_T = (30 \, \text{mm}, 110 \, \text{mm})\).

Question 3 : Centre de gravité global G

Principe :

Les coordonnées du centre de gravité d'une section composée sont la moyenne pondérée des coordonnées des centres de gravité de ses formes simples, où la pondération est l'aire de chaque forme.

Formule(s) utilisée(s) :

X_G = \frac{\sum (A_i \cdot x_i)}{\sum A_i} = \frac{A_R x_R + A_T x_T}{A_R + A_T} \] \[ Y_G = \frac{\sum (A_i \cdot y_i)}{\sum A_i} = \frac{A_R y_R + A_T y_T}{A_R + A_T}

Calcul :

\begin{aligned} X_G &= \frac{(6000 \times 30) + (900 \times 30)}{6000 + 900} \\ &= \frac{180000 + 27000}{6900} \\ &= \frac{207000}{6900} \\ &= 30 \, \text{mm} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Y_G &= \frac{(6000 \times 50) + (900 \times 110)}{6000 + 900} \\ &= \frac{300000 + 99000}{6900} \\ &= \frac{399000}{6900} \\ &\approx 57.826 \, \text{mm} \end{aligned}

Note : \(X_G = 30 \, \text{mm}\) était attendu en raison de la symétrie de la section par rapport à l'axe vertical passant par \(x=30 \, \text{mm}\).

Résultat Question 3 :
Centre de gravité global \(G = (30 \, \text{mm}, 57.826 \, \text{mm})\).

Question 4 : Moments d'inertie du rectangle (\(I_{gRx}\), \(I_{gRy}\))

Principe :

Les moments d'inertie d'un rectangle de base \(b\) et de hauteur \(h\) par rapport à ses axes centroïdaux sont donnés par des formules standards.

Formule(s) utilisée(s) :

I_{gRx} = \frac{b_R h_R^3}{12} \] \[ I_{gRy} = \frac{h_R b_R^3}{12}

Calcul :

I_{gRx} = \frac{60 \times (100)^3}{12} = \frac{60 \times 1000000}{12} = 5 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \] \[ I_{gRy} = \frac{100 \times (60)^3}{12} = \frac{100 \times 216000}{12} = 1.8 \times 10^6 \, \text{mm}^4

Résultat Question 4 :
\(I_{gRx} = 5 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).
\(I_{gRy} = 1.8 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).

Question 5 : Moments d'inertie du triangle (\(I_{gTx}\), \(I_{gTy}\))

Principe :

Les moments d'inertie d'un triangle de base \(b\) et de hauteur \(h\) par rapport à ses axes centroïdaux. Pour un triangle isocèle avec base parallèle à l'axe x :

Formule(s) utilisée(s) :

I_{gTx} = \frac{b_T h_T^3}{36} \] \[ I_{gTy} = \frac{h_T b_T^3}{48} \quad \text{(pour un triangle isocèle, axe y passant par le sommet et le milieu de la base)}

Calcul :

I_{gTx} = \frac{60 \times (30)^3}{36} = \frac{60 \times 27000}{36} = 45000 \, \text{mm}^4 \] \[ I_{gTy} = \frac{30 \times (60)^3}{48} = \frac{30 \times 216000}{48} = 135000 \, \text{mm}^4

Résultat Question 5 :
\(I_{gTx} = 45 \times 10^3 \, \text{mm}^4\).
\(I_{gTy} = 135 \times 10^3 \, \text{mm}^4\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le théorème de Huygens est utilisé pour calculer le moment d'inertie par rapport à :

L'axe passant par la base de la forme.
Un axe parallèle à un axe centroïdal, mais ne passant pas par le centre de gravité de la forme simple.
N'importe quel axe de la section.
Uniquement les axes x et y globaux.

Question 6 : Application de Huygens pour le rectangle

Principe :

Le théorème de Huygens (axes parallèles) permet de calculer le moment d'inertie d'une section par rapport à un axe parallèle à son axe centroïdal. La formule est \(I_x = I_{gx} + A \cdot d_y^2\) et \(I_y = I_{gy} + A \cdot d_x^2\), où \(d_y\) est la distance verticale entre les deux axes x parallèles, et \(d_x\) la distance horizontale entre les deux axes y parallèles.

Ici, \(d_{yR} = Y_G - y_R\) et \(d_{xR} = X_G - x_R\).

Formule(s) utilisée(s) :

I_{GX,R} = I_{gRx} + A_R (Y_G - y_R)^2 \] \[ I_{GY,R} = I_{gRy} + A_R (X_G - x_R)^2

Données spécifiques :

\(I_{gRx} = 5 \times 10^6 \, \text{mm}^4\), \(I_{gRy} = 1.8 \times 10^6 \, \text{mm}^4\)
\(A_R = 6000 \, \text{mm}^2\)
\(G_R = (30 \, \text{mm}, 50 \, \text{mm})\)
\(G = (30 \, \text{mm}, 57.826 \, \text{mm})\)

Calcul :

Distance pour l'axe X : \(d_{yR} = Y_G - y_R = 57.826 - 50 = 7.826 \, \text{mm}\)

Distance pour l'axe Y : \(d_{xR} = X_G - x_R = 30 - 30 = 0 \, \text{mm}\)

\begin{aligned} I_{GX,R} &= I_{gRx} + A_R (Y_G - y_R)^2 \\ &= 5 \times 10^6 + 6000 \times (7.826)^2 \\ &= 5 \times 10^6 + 6000 \times 61.246 \\ &\approx 5 \times 10^6 + 367476 \\ &\approx 5.367 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \] \[ I_{GY,R} = I_{gRy} + A_R (X_G - x_R)^2 = 1.8 \times 10^6 + 6000 \times (0)^2 = 1.8 \times 10^6 \, \text{mm}^4

Résultat Question 6 :
\(I_{GX,R} \approx 5.367 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).
\(I_{GY,R} = 1.8 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).

Question 7 : Application de Huygens pour le triangle

Principe :

Même principe que pour le rectangle. \(d_{yT} = Y_G - y_T\) et \(d_{xT} = X_G - x_T\).

Formule(s) utilisée(s) :

I_{GX,T} = I_{gTx} + A_T (Y_G - y_T)^2 \] \[ I_{GY,T} = I_{gTy} + A_T (X_G - x_T)^2

Données spécifiques :

\(I_{gTx} = 45000 \, \text{mm}^4\), \(I_{gTy} = 135000 \, \text{mm}^4\)
\(A_T = 900 \, \text{mm}^2\)
\(G_T = (30 \, \text{mm}, 110 \, \text{mm})\)
\(G = (30 \, \text{mm}, 57.826 \, \text{mm})\)

Calcul :

Distance pour l'axe X : \(d_{yT} = Y_G - y_T = 57.826 - 110 = -52.174 \, \text{mm}\)

Distance pour l'axe Y : \(d_{xT} = X_G - x_T = 30 - 30 = 0 \, \text{mm}\)

\begin{aligned} I_{GX,T} &= I_{gTx} + A_T (Y_G - y_T)^2 \\ &= 45000 + 900 \times (-52.174)^2 \\ &= 45000 + 900 \times 2722.126 \\ &\approx 45000 + 2449913 \\ &\approx 2.495 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \] \[ I_{GY,T} = I_{gTy} + A_T (X_G - x_T)^2 = 135000 + 900 \times (0)^2 = 135000 \, \text{mm}^4

Résultat Question 7 :
\(I_{GX,T} \approx 2.495 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).
\(I_{GY,T} = 0.135 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).

Question 8 : Moments d'inertie totaux (\(I_{GX}\), \(I_{GY}\))

Principe :

Les moments d'inertie totaux de la section composée par rapport à ses axes centroïdaux globaux sont la somme des moments d'inertie de chaque forme simple par rapport à ces mêmes axes.

Formule(s) utilisée(s) :

I_{GX} = I_{GX,R} + I_{GX,T} \] \[ I_{GY} = I_{GY,R} + I_{GY,T}

Calcul :

\begin{aligned} I_{GX} &= I_{GX,R} + I_{GX,T} \\ &\approx 5.367 \times 10^6 + 2.495 \times 10^6 \\ &\approx 7.862 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_{GY} &= I_{GY,R} + I_{GY,T} \\ &= 1.8 \times 10^6 + 0.135 \times 10^6 \\ &= 1.935 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned}

Note : Pour \(I_{GY}\), comme \(X_G\) coïncide avec l'axe de symétrie vertical des deux formes (\(x_R=x_T=X_G=30\)), le théorème de Huygens pour le transport horizontal donne \(d_x=0\). Ainsi, \(I_{GY} = I_{gRy} + I_{gTy}\). \(1.8 \times 10^6 + 135000 = 1935000 = 1.935 \times 10^6 \, \text{mm}^4\). Les calculs sont cohérents.

Résultat Question 8 :
Moment d'inertie total par rapport à l'axe \(X_G\) : \(I_{GX} \approx 7.862 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).
Moment d'inertie total par rapport à l'axe \(Y_G\) : \(I_{GY} = 1.935 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).

Glossaire

Moment d'Inertie (ou Moment Quadratique): Propriété géométrique d'une section plane qui quantifie sa résistance à la flexion ou à la torsion. Il dépend de la forme de la section et de la position de l'axe par rapport auquel il est calculé. Unité : \( \text{longueur}^4 \) (ex: \(\text{mm}^4\)).
Centre de Gravité (G): Point géométrique d'une section où l'on peut considérer que toute son aire est concentrée. Pour une section homogène, c'est aussi le centre de masse. Les axes passant par G sont appelés axes centroïdaux.
Théorème de Huygens (ou Théorème des Axes Parallèles): Théorème permettant de calculer le moment d'inertie d'une section par rapport à un axe quelconque, connaissant son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par son centre de gravité. Formule : \(I_z = I_{Gz} + A \cdot d^2\), où \(I_{Gz}\) est le moment d'inertie par rapport à l'axe centroïdal, \(A\) l'aire de la section, et \(d\) la distance entre les deux axes parallèles.
Section Composée: Section géométrique formée par l'assemblage de plusieurs formes simples (rectangles, triangles, cercles, etc.).
Aire (A): Mesure de la surface d'une section plane. Unité : \( \text{longueur}^2 \) (ex: \(\text{mm}^2\)).

Calcul des moments d’inertie

Données de l'étude

Schéma de la Section Composée

Questions à traiter

Correction : Calcul des Moments d'Inertie

Question 1 : Aires des sections

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 2 : Centres de gravité des formes simples

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Question 3 : Centre de gravité global G

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Question 4 : Moments d'inertie du rectangle (\(I_{gRx}\), \(I_{gRy}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Question 5 : Moments d'inertie du triangle (\(I_{gTx}\), \(I_{gTy}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Question 6 : Application de Huygens pour le rectangle

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 7 : Application de Huygens pour le triangle

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 8 : Moments d'inertie totaux (\(I_{GX}\), \(I_{GY}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Glossaire

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