Calcul des moments d’inertie
📝 Situation du Projet
Vous avez intégré le bureau d'études "Structural Engineering Solutions" en tant qu'ingénieur calculateur junior. Le cabinet a remporté un appel d'offres prestigieux pour la conception d'une passerelle piétonne haubanée reliant deux rives d'un canal urbain à forte fréquentation. L'ouvrage, d'une portée libre de 45 mètres, doit allier légèreté architecturale et rigueur mécanique pour résister aux vents violents de la vallée et aux charges dynamiques des foules.
La structure principale du tablier repose sur une poutre maîtresse en acier reconstitué soudé (PRS). Ce choix technologique permet une adaptation précise de la matière aux efforts : une semelle supérieure large pour reprendre la compression et offrir un appui au platelage, et une semelle inférieure plus étroite pour la traction. Avant de lancer les simulations numériques complexes aux éléments finis, le Chef de Projet, soucieux de la vérification manuelle des ordres de grandeur, vous confie une tâche critique : déterminer avec une précision absolue les caractéristiques géométriques de la section transversale critique à mi-travée.
En tant qu'Ingénieur Structure, vous devez calculer la position exacte du centre de gravité (G) et le moment quadratique (Inertie Igz) de la section transversale du profilé acier par rapport à son axe de flexion fort. Ces valeurs conditionneront directement le calcul des contraintes normales et la validation de la flèche.
"Attention, le profilé est asymétrique (semelle supérieure plus large pour la compression). Ne confondez pas l'axe de symétrie vertical avec l'axe horizontal qui, lui, n'est pas à mi-hauteur ! Soyez rigoureux sur les unités (mm⁴ c'est grand !)."
L'étude porte sur une section droite transversale d'une poutre PRS (Profilé Reconstitué Soudé). Les dimensions sont fixées par le pré-dimensionnement architectural et les contraintes de fabrication en atelier. Le matériau utilisé est un acier de construction standard dont les propriétés sont supposées homogènes et isotropes.
📚 Référentiel Normatif & Théorique
L'ensemble de l'étude est régi par les normes européennes en vigueur pour la construction métallique. Ces documents définissent les coefficients de sécurité, les limites d'élasticité et les méthodes de calcul des caractéristiques géométriques.
Eurocode 3 (EN 1993-1-1) Théorie des Poutres (Bernoulli)Les caractéristiques géométriques présentées ci-dessous correspondent aux dimensions nominales de découpe en atelier. Le matériau retenu est un acier de nuance S355 (limite élastique \(f_y = 355 \text{ MPa}\)), choisi pour ses performances mécaniques élevées qui permettent d'affiner les sections. La densité prise en compte pour les calculs de poids propre ultérieurs sera de \(7850 \text{ kg/m}^3\).
La section est composée de trois plats soudés : deux semelles (plates-bandes) et une âme. Notez l'asymétrie volontaire : la semelle supérieure (\(b_1=300 \text{ mm}\)) est plus large pour optimiser la résistance au déversement et la reprise des charges d'exploitation sur le tablier.
| SEMELLE SUPÉRIEURE (S1) | |
| Largeur (\(b_1\)) | 300 mm |
| Épaisseur (\(t_1\)) | 20 mm |
| ÂME CENTRALE (S2) | |
| Hauteur (\(h_w\)) | 400 mm |
| Épaisseur (\(t_w\)) | 15 mm |
| SEMELLE INFÉRIEURE (S3) | |
| Largeur (\(b_2\)) | 200 mm |
| Épaisseur (\(t_2\)) | 25 mm |
E. Protocole de Résolution
Le calcul d'inertie d'une section composée suit une logique séquentielle immuable. Nous appliquerons la méthode de décomposition surfacique.
Décomposition & Géométrie Élémentaire
Division de la section complexe en formes géométriques simples (rectangles) et calcul de leurs aires (\(A_i\)) et positions locales (\(y_i\)).
Position du Centre de Gravité (G)
Utilisation du principe des moments statiques pour localiser l'axe neutre global de la section par rapport à une référence fixe.
Inerties Propres (\(I_{Gi}\))
Calcul de la rigidité de chaque sous-élément rectangle par rapport à son propre centre de gravité local.
Théorème de Huygens (Transport)
Transfert des inerties locales vers l'axe global G et sommation pour obtenir l'inertie totale de la section (\(I_{Gz}\)).
Calcul des moments d’inertie
🎯 Objectif
L'objectif fondamental de cette première étape est de transformer un problème géométrique complexe (une section en forme de I asymétrique) en une somme de problèmes simples. Nous devons préparer le terrain pour l'application des théorèmes de mécanique en identifiant clairement chaque sous-élément constitutif de la poutre et en déterminant ses propriétés intrinsèques (Aire) et sa position spatiale verticale par rapport à une origine commune (Repère). Cette rigueur initiale est indispensable pour éviter les erreurs de bras de levier par la suite.
📚 Référentiel
Géométrie des masses Additivité des airesDans la pratique du calcul de structure, nous choisissons toujours un repère de travail. Ici, pour simplifier les calculs d'altitudes (\(y\)), nous plaçons l'origine \(O\) tout en bas de la section (fibre inférieure de la semelle basse). Ainsi, toutes les coordonnées \(y\) seront positives. Nous découpons la section en 3 rectangles distincts :
1. La Semelle Supérieure (Rectangle 1)
2. L'Âme Centrale (Rectangle 2)
3. La Semelle Inférieure (Rectangle 3)
Pour un rectangle de hauteur \(h\) positionné verticalement, le centre de gravité local se situe exactement à mi-hauteur (\(h/2\)) par rapport à sa propre base. Cependant, nous devons exprimer cette position par rapport à notre repère global (le sol), il faudra donc ajouter l'altitude cumulée des éléments situés en dessous ("cote cumulée").
📋 Données d'Entrée
| Élément | Largeur (\(b\)) | Hauteur (\(h\)) | Altitude Base (\(y_{\text{base}}\)) |
|---|---|---|---|
| S1 (Sup) | 300 mm | 20 mm | 425 mm |
| S2 (Âme) | 15 mm | 400 mm | 25 mm |
| S3 (Inf) | 200 mm | 25 mm | 0 mm |
Dessinez toujours votre repère \((O, y, z)\) sur votre feuille de brouillon. Une erreur courante est d'oublier l'épaisseur de la semelle inférieure lors du calcul de la hauteur de l'âme.
📝 Calculs Détaillés des Sous-Éléments
A. Étude de la Semelle Supérieure (Pièce 1)
La semelle supérieure est située tout en haut. Son centre de gravité local \(y_1\) se trouve à la moitié de son épaisseur (\(20/2 = 10 \text{ mm}\)), auquel on ajoute la hauteur de l'âme (\(400 \text{ mm}\)) et l'épaisseur de la semelle inférieure (\(25 \text{ mm}\)).
Détail de la manipulation pour \(y_1\) : Nous partons du point le plus bas (la référence 0). Pour atteindre le centre de la semelle supérieure, il faut "empiler" les épaisseurs : d'abord traverser toute la semelle inférieure (\(t_2\)), puis toute la hauteur de l'âme (\(h_w\)), et enfin remonter de la moitié de l'épaisseur de la semelle supérieure elle-même (\(t_1/2\)).
Calcul de l'Aire A1 et Position y1 :Interprétation : Le centre de gravité de la semelle supérieure est très haut, ce qui va "tirer" le centre de gravité global vers le haut.
B. Étude de l'Âme Centrale (Pièce 2)
L'âme est l'élément vertical reliant les semelles. Son centre se trouve à mi-hauteur de l'âme (\(400/2 = 200 \text{ mm}\)), décalé vers le haut par l'épaisseur de la semelle inférieure.
Détail de la manipulation pour \(y_2\) : On commence au niveau 0. On ajoute l'épaisseur de la semelle inférieure (\(t_2 = 25 \text{ mm}\)) pour arriver au pied de l'âme. Ensuite, on ajoute la moitié de la hauteur de l'âme (\(h_w / 2 = 200 \text{ mm}\)) pour atteindre son centre.
Calcul de l'Aire A2 et Position y2 :Interprétation : L'âme est centrée géométriquement, mais son altitude relative est modifiée par le socle que constitue la semelle inférieure.
C. Étude de la Semelle Inférieure (Pièce 3)
C'est l'élément de base. Son centre de gravité est simplement à la moitié de son épaisseur, car elle repose sur l'origine du repère (\(y=0\)).
Détail de la manipulation pour \(y_3\) : Comme la semelle repose sur le sol (\(y=0\)), son centre est simplement à mi-épaisseur.
Calcul de l'Aire A3 et Position y3 :Interprétation : La semelle inférieure est l'élément le plus bas, son bras de levier est donc très faible.
✅ Interprétation Globale
Nous avons décomposé avec succès la section complexe en trois entités simples parfaitement définies. Nous connaissons désormais la "masse" (surface) de chaque partie et sa position exacte dans l'espace. La surface totale est la somme simple des trois aires calculées.
La surface totale d'acier est la somme des aires calculées : \(A_{\text{tot}} = 6000 + 6000 + 5000 = 17\,000 \text{ mm}^2\). Ce chiffre est cohérent avec un profilé lourd destiné à un ouvrage d'art (170 cm² d'acier).
Attention aux unités : restez systématiquement en millimètres (mm) pour les longueurs et en millimètres carrés (mm²) pour les aires afin d'éviter les erreurs de conversion de puissance 10.
🎯 Objectif
Nous cherchons maintenant l'altitude \(y_G\) du centre de gravité de l'ensemble de la section. Ce point est crucial car il définit la position de l'axe neutre mécanique (fibre neutre), c'est-à-dire la ligne où, sous flexion simple, la contrainte longitudinale est nulle (ni compression, ni traction). C'est le point d'équilibre des moments statiques.
📚 Référentiel
Théorème du Barycentre Principe des Moments StatiquesLa formule du barycentre est une moyenne pondérée. Chaque surface (\(A_i\)) "pèse" d'autant plus lourd dans le calcul qu'elle est grande et éloignée de l'origine. Le produit \(A_i \times y_i\) s'appelle le "Moment Statique". Nous allons sommer tous les moments statiques partiels et diviser le tout par l'aire totale. C'est analogue à trouver le point d'équilibre d'une balance.
Le moment statique d'une surface par rapport à un axe est la mesure de la distribution de cette surface par rapport à l'axe. Si l'axe passe par le centre de gravité, le moment statique est nul. Ici, nous calculons le moment par rapport à l'axe de base (\(y=0\)) pour trouver à quelle distance se situe l'axe où ce moment s'annulerait.
C'est le rapport entre le Moment Statique Total et l'Aire Totale.
📋 Données d'Entrée
| Variable | Valeur issue de l'étape 1 |
|---|---|
| \(A_1 \cdot y_1\) | \(6000 \cdot 435\) |
| \(A_2 \cdot y_2\) | \(6000 \cdot 225\) |
| \(A_3 \cdot y_3\) | \(5000 \cdot 12,5\) |
| \(A_{\text{tot}}\) | \(17\,000\) |
Vous pouvez vérifier visuellement votre résultat : comme la semelle du haut est plus grosse que celle du bas, le centre de gravité DOIT être situé au-dessus de la mi-hauteur géométrique.
📝 Calculs Détaillés
A. Calcul du Moment Statique Total (\(S_x\))
Calculons d'abord le numérateur de la fraction, qui représente la somme des moments de chaque surface par rapport à l'axe de base.
Détail de la manipulation : Pour chaque élément, on multiplie son aire par son altitude. Cela donne son "poids géométrique".
Moment Statique de la Semelle Sup :Interprétation : Contribution majeure due à la grande altitude.
Moment Statique de l'Âme :Interprétation : Contribution moyenne.
Moment Statique de la Semelle Inf :Interprétation : Contribution négligeable car très proche de l'axe zéro.
B. Calcul Final de la position yG
Nous faisons maintenant la somme des moments divisée par la somme des aires pour obtenir la distance moyenne pondérée.
Détail de la manipulation : On additionne \(S_1, S_2, S_3\) pour avoir le moment total, puis on divise par \(17\,000\) (aire totale).
Calcul du barycentre :Interprétation : C'est la position d'équilibre de la section.
✅ Interprétation Globale
La position du centre de gravité est fixée à 236,62 mm du bas de la poutre. C'est l'axe autour duquel la poutre va pivoter sous l'effet de la flexion. C'est également à cet endroit que le moment statique de la partie supérieure équilibre exactement celui de la partie inférieure.
La section totale mesure \(25 + 400 + 20 = 445 \text{ mm}\) de haut. Le milieu géométrique est à \(222,5 \text{ mm}\). Notre résultat de \(236,62 \text{ mm}\) est légèrement au-dessus du milieu géométrique. C'est parfaitement cohérent car la semelle supérieure est plus large et plus lourde (\(A_1 > A_3\)), elle "attire" donc le centre de gravité vers le haut.
N'oubliez jamais que ce résultat de \(236,62 \text{ mm}\) est mesuré depuis le bas de la semelle inférieure. C'est une altitude absolue, pas relative à l'âme.
🎯 Objectif
Avant de considérer l'ensemble, nous devons calculer la rigidité individuelle de chaque rectangle autour de son propre axe neutre horizontal local. C'est ce qu'on appelle le moment quadratique propre (ou inertie locale). C'est la capacité de chaque planche rectangulaire à résister à la flexion si elle était isolée dans l'espace.
📚 Référentiel
Moment Quadratique Rectangle Résistance des MatériauxLe moment d'inertie mesure la dispersion de la matière par rapport à l'axe de flexion. Pour un rectangle, la matière éloignée de l'axe compte au cube ! La dimension perpendiculaire à l'axe (la hauteur \(h\)) est donc prépondérante. Attention à ne pas confondre \(b\) (dimension parallèle à l'axe de flexion) et \(h\) (dimension perpendiculaire).
L'inertie d'un rectangle par rapport à son axe de symétrie horizontal dépend linéairement de sa base et cubiquement de sa hauteur. C'est pourquoi une poutre est toujours placée "debout" (hauteur maximale) plutôt que "couchée".
Ici, l'axe de flexion est horizontal (z-z), donc \(h\) correspond à la dimension verticale de la pièce.
📋 Données d'Entrée
| Élément | Base \(b\) (Horiz) | Hauteur \(h\) (Vert) | Cube de h (\(h^3\)) |
|---|---|---|---|
| S1 | 300 | 20 | 8 000 |
| S2 | 15 | 400 | 64 000 000 |
| S3 | 200 | 25 | 15 625 |
Ne calculez pas encore le terme de transport. Ici on se concentre uniquement sur la géométrie interne de chaque rectangle, comme s'ils flottaient seuls dans le vide.
📝 Calculs Détaillés
A. Inertie Propre Semelle Supérieure (Rectangle "couché")
Ici, la base est grande (\(300\)) mais la hauteur est faible (\(20\)). Comme la hauteur est au cube, l'inertie propre sera relativement faible.
Détail de la manipulation : On applique la formule \(b \cdot h^3 / 12\) en prenant bien \(300\) pour \(b\) et \(20\) pour \(h\).
Interprétation : Faible inertie propre car très plat.
B. Inertie Propre de l'Âme (Rectangle "debout")
C'est l'inverse : la base est petite (\(15\)) mais la hauteur est très grande (\(400\)). L'âme contribue énormément à l'inertie propre car elle s'étend loin de son propre centre.
Détail de la manipulation : Ici, \(b=15\) et \(h=400\). Le terme \(400^3\) est énorme, d'où la grande valeur.
Interprétation : Énorme inertie propre due à la hauteur importante.
C. Inertie Propre Semelle Inférieure
Semelle légèrement plus épaisse que la supérieure, donc son inertie propre sera un peu plus élevée.
Détail de la manipulation : On utilise \(b=200\) et \(h=25\).
Interprétation : Faible inertie propre, similaire à la semelle sup.
✅ Interprétation Globale
Nous disposons maintenant des rigidités intrinsèques. On observe que l'âme, grâce à sa hauteur, possède une inertie propre 400 fois supérieure à celle de la semelle supérieure. Cependant, cette étape ne raconte qu'une partie de l'histoire, car elle néglige la position des éléments dans la structure globale.
Remarquez l'écart gigantesque : \(80 \times 10^6\) pour l'âme contre \(0,2 \times 10^6\) pour la semelle sup. C'est normal : dans un profilé en I, c'est l'âme qui porte l'inertie *propre*, tandis que les semelles apporteront de l'inertie par *transport* (voir étape suivante).
Une erreur fréquente est de diviser par 12 une valeur qui n'est pas rectangulaire ou d'inverser \(b\) et \(h\). Rappelez-vous : c'est toujours la dimension perpendiculaire à l'axe de rotation qui est au cube.
🎯 Objectif
Nous touchons au but. Nous avons les inerties locales, mais elles sont calculées autour d'axes différents (\(y_1, y_2, y_3\)). Pour obtenir la rigidité globale de la poutre, nous devons tout ramener à l'axe neutre global \(G\) que nous avons trouvé à l'étape 2 (\(y_G = 236,62 \text{ mm}\)). C'est le rôle du terme de transport.
📚 Référentiel
Théorème de Huygens (ou Koenig) Additivité des moments quadratiquesLe théorème dit que l'inertie par rapport à un axe décalé est égale à l'inertie propre PLUS le produit de l'aire par le carré de la distance de transport (\(d^2\)). Plus une surface est éloignée de l'axe neutre (grand \(d\)), plus elle rigidifie la structure. C'est pour cela qu'on met de la matière loin du centre (les semelles d'un IPN) !
L'inertie est additive, mais uniquement si tous les moments sont exprimés par rapport au même axe. Le théorème de Huygens permet de "déplacer" un moment d'inertie d'un axe local vers un axe parallèle distant de \(d\).
Le terme \(A \cdot d^2\) est le "Supplément de transport". Il est toujours positif.
📋 Données d'Entrée
| Position Globale (\(y_G\)) | 236,62 mm |
|---|---|
| Position S1 (\(y_1\)) | 435 mm |
| Position S2 (\(y_2\)) | 225 mm |
| Position S3 (\(y_3\)) | 12,5 mm |
Le carré de la distance rend le signe de \((y_i - y_G)\) inutile. Que la pièce soit au-dessus ou en dessous, elle contribue positivement à l'inertie.
📝 Calculs Détaillés
A. Contribution de la Semelle Supérieure
Distance de transport \(d_1 = |y_1 - y_G| = |435 - 236,62| = 198,38 \text{ mm}\).
Détail de la manipulation : On calcule la distance au carré (\(198,38^2 \approx 39354\)), on la multiplie par l'aire (\(6000\)), et on ajoute l'inertie propre (\(200,000\)).
Calcul du terme I1 transféré :Interprétation : L'effet de transport est colossal (\(236 \times 10^6\)) comparé à l'inertie propre (\(0,2 \times 10^6\)).
B. Contribution de l'Âme
Distance de transport \(d_2 = |y_2 - y_G| = |225 - 236,62| = 11,62 \text{ mm}\). L'âme est très proche du centre de gravité, le terme de transport sera faible.
Détail de la manipulation : La distance \(d_2\) est petite (\(11,62\)), son carré aussi. Le terme \(A \cdot d^2\) sera donc faible devant l'inertie propre.
Calcul du terme I2 transféré :Interprétation : L'effet de transport est minime, l'inertie vient principalement de la hauteur propre de l'âme.
C. Contribution de la Semelle Inférieure
Distance de transport \(d_3 = |y_3 - y_G| = |12,5 - 236,62| = 224,12 \text{ mm}\).
Détail de la manipulation : Grande distance (\(224,12\)), donc grand carré (\(50229\)). Multiplié par l'aire (\(5000\)), cela donne un gros apport.
Calcul du terme I3 transféré :Interprétation : Comme pour la semelle sup, l'effet de transport est prépondérant.
D. Sommation Totale
Il ne reste plus qu'à additionner les trois contributions pour obtenir la rigidité totale de la section.
Inertie globale Igz :Interprétation : C'est la valeur finale qui sera utilisée dans les formules de RDM (\(\sigma = \frac{M \cdot y}{I}\)).
✅ Interprétation Globale
L'inertie totale est dominée par les semelles (environ 236 et 251 millions de mm4) grâce à l'effet de transport, bien que leur inertie propre soit faible. L'âme contribue par son inertie propre (80 millions) mais peu par le transport. C'est une répartition optimale de la matière pour résister à la flexion.
Nous obtenons environ \(568,5 \times 10^6 \text{ mm}^4\), soit \(56\,855 \text{ cm}^4\). Comparons cela à un profilé standard HEA 450 (proche en dimension) qui fait environ \(63\,700 \text{ cm}^4\). Notre résultat est du même ordre de grandeur, ce qui valide le calcul.
Une erreur classique est d'oublier de mettre les distances \(d_i\) au carré. Cela fausserait totalement le résultat, car le transport est souvent prépondérant pour les semelles.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| 0 | 17/01/2026 | Émission initiale pour validation géométrique | Ing. Calculateur |
- Type : I Asymétrique à âme pleine
- Hauteur totale du profil : 445 mm
- Matériau : Acier S355 (Module Young E = 210 GPa)
| Élément | Dimensions (mm) | Aire (\(\text{mm}^2\)) |
|---|---|---|
| Semelle Sup. | 300 x 20 | 6 000 |
| Âme | 400 x 15 | 6 000 |
| Semelle Inf. | 200 x 25 | 5 000 |
| TOTAL SECTION | - | 17 000 |
Calculs menés selon le principe de décomposition en rectangles élémentaires et théorème de Huygens.
Jean DUPONT
Dr. M. MARTIN
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