EGC

Critère de Rupture de Von Mises

Critère de Rupture de Von Mises en RdM

Critère de Rupture de Von Mises pour une Console

Contexte : La sécurité des assemblages structuraux.

Dans de nombreuses structures de génie civil, des éléments comme des consoles ou des attaches sont soumis à des sollicitations complexes, combinant flexion, cisaillement et parfois torsion. Contrairement à une poutre simple en traction, il n'existe pas une seule contrainte, mais un état de contraintes multiples. Pour prédire si un matériau ductile comme l'acier va atteindre sa limite et se déformer plastiquement, on ne peut pas simplement comparer une seule contrainte à la limite élastique. Le critère de Von MisesUn critère de résistance utilisé pour les matériaux ductiles (comme l'acier). Il postule que la plastification commence lorsque l'énergie de distorsion élastique atteint une valeur critique. Il combine toutes les composantes de contrainte en une seule valeur scalaire, la contrainte équivalente de Von Mises (\(\sigma_{\text{vM}}\)). est l'un des outils les plus fiables et les plus utilisés par les ingénieurs pour évaluer la sécurité de ces pièces en état de contraintes planes ou tridimensionnelles.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous fera passer d'une vision unidimensionnelle de la résistance des matériaux (comme la traction simple) à une vision bidimensionnelle. Vous apprendrez à décomposer un chargement complexe en contraintes simples (normale et cisaillement), puis à les recombiner en une seule valeur de contrainte "équivalente" pour la comparer à la limite du matériau. C'est une compétence fondamentale pour le dimensionnement de pièces mécaniques et d'assemblages.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier et calculer les contraintes normales dues à la flexion.
  • Identifier et calculer les contraintes de cisaillement dues à l'effort tranchant.
  • Déterminer l'état de contrainte en un point critique d'une structure.
  • Appliquer la formule de Von Mises pour calculer la contrainte équivalente.
  • Vérifier la sécurité d'un composant en comparant la contrainte de Von Mises à la limite élastique.

Données de l'étude

Une console en acier, de section rectangulaire, est encastrée dans un mur et supporte une charge verticale à son extrémité. On souhaite vérifier la sécurité de la structure au point A, situé à l'encastrement sur la fibre supérieure, qui est a priori l'un des points les plus sollicités.

Schéma de la console et du point d'analyse A
F L = 400 mm h A
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la console \(L\) 400 \(\text{mm}\)
Largeur de la section \(b\) 20 \(\text{mm}\)
Hauteur de la section \(h\) 60 \(\text{mm}\)
Force appliquée \(F\) 3000 \(\text{N}\)
Limite élastique de l'acier \(\sigma_e\) 250 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte normale \(\sigma_x\) au point A due au moment fléchissant.
  2. Calculer la contrainte de cisaillement \(\tau_{xy}\) au point A due à l'effort tranchant.
  3. Représenter l'état de contrainte plane sur un élément de volume au point A.
  4. Calculer la contrainte équivalente de Von Mises \(\sigma_{\text{vM}}\) au point A.
  5. Conclure sur la sécurité de la console en calculant le coefficient de sécurité.

Les bases du Critère de Von Mises

Avant la correction, revoyons les concepts fondamentaux.

1. L'État de Contrainte Plane :
Quand un point dans un matériau est sollicité, on décrit son état par les contraintes agissant sur les facettes d'un cube infiniment petit. En contrainte plane (cas des plaques ou poutres peu épaisses), on ne considère que les contraintes dans un plan : \(\sigma_x\) (normale en x), \(\sigma_y\) (normale en y) et \(\tau_{xy}\) (cisaillement).

2. Contraintes dues aux Efforts Internes :
- Le moment fléchissant (M) crée une contrainte normale : \(\sigma_x = \frac{M \cdot y}{I}\). Elle est maximale sur les fibres extrêmes. - L'effort tranchant (T) crée une contrainte de cisaillement : \(\tau_{xy} = \frac{T \cdot S_z}{I \cdot b}\). Pour une section rectangulaire, elle est maximale à l'axe neutre et nulle sur les fibres extrêmes.

3. La Contrainte Équivalente de Von Mises :
Pour un état de contrainte plane, cette contrainte fictive qui représente l'ensemble des sollicitations est calculée par : \[ \sigma_{\text{vM}} = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x \sigma_y + 3\tau_{xy}^2} \] Dans notre cas, \(\sigma_y = 0\), la formule se simplifie en : \[ \sigma_{\text{vM}} = \sqrt{\sigma_x^2 + 3\tau_{xy}^2} \] Le critère de sécurité s'écrit alors : \(\sigma_{\text{vM}} \le \sigma_e\).

Correction : Critère de Rupture de Von Mises pour une Console

Question 1 : Calculer la contrainte normale σx au point A

Principe (le concept physique)

La force F à l'extrémité de la console crée un moment fléchissant qui est maximal à l'encastrement. Ce moment tend à étirer les fibres supérieures de la poutre (traction) et à comprimer les fibres inférieures (compression). Le point A étant sur la fibre supérieure, il subit une contrainte normale de traction maximale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation \(\sigma_x = My/I\) découle de l'hypothèse de Navier-Bernoulli (les sections planes restent planes). Elle montre une distribution linéaire de la contrainte à travers la section : nulle à l'axe neutre (y=0) et maximale aux extrémités (y = ±h/2). Le moment M est un effort interne qui équilibre les moments des forces externes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez la console comme une plongeoir. Quand quelqu'un est au bout, le dessus du plongeoir s'étire (traction) et le dessous se comprime. La contrainte que nous calculons est une mesure de cet étirement interne de la matière au point le plus critique, juste à côté du mur.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des contraintes de flexion est une base de toutes les normes de construction, comme l'Eurocode 3 (EN 1993) pour les structures en acier. Ces normes spécifient comment calculer les efforts et vérifier les contraintes en y ajoutant des coefficients de sécurité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Moment fléchissant maximal (à l'encastrement) :

\[ M_{\text{max}} = F \cdot L \]

2. Moment quadratique de la section rectangulaire :

\[ I = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

3. Contrainte normale de flexion :

\[ \sigma_x = \frac{M_{\text{max}} \cdot y}{I} \]

Au point A, la distance à l'axe neutre est maximale : \(y = h/2\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le matériau est homogène et isotrope, que le comportement reste dans le domaine élastique linéaire, et que l'hypothèse de Navier-Bernoulli est applicable (poutre élancée).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force, \(F = 3000 \, \text{N}\)
  • Portée, \(L = 400 \, \text{mm}\)
  • Largeur, \(b = 20 \, \text{mm}\)
  • Hauteur, \(h = 60 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut utiliser le "module de flexion" \(W_{\text{el}} = I/y_{\text{max}} = bh^2/6\). Le calcul devient alors direct : \(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{max}} / W_{\text{el}}\). Ici, \(W_{\text{el}} = (20 \cdot 60^2) / 6 = 12000 \, \text{mm}^3\). Puis \(\sigma_x = 1,200,000 / 12000 = 100 \, \text{MPa}\).

Schéma (Avant les calculs)
Distribution attendue de la contrainte normale
+σ max?-σ maxAxe Neutre
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment fléchissant :

\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} &= 3000 \, \text{N} \cdot 400 \, \text{mm} \\ &= 1,200,000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

2. Calcul du moment quadratique :

\[ \begin{aligned} I &= \frac{20 \cdot 60^3}{12} \\ &= \frac{20 \cdot 216000}{12} \\ &= 360,000 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

3. Calcul de la contrainte normale en A (avec \(y = h/2 = 30 \, \text{mm}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma_x &= \frac{1,200,000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \cdot 30 \, \text{mm}}{360,000 \, \text{mm}^4} \\ &= 100 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Distribution calculée de la contrainte normale
100 MPa-100 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Au point A, la matière est soumise à une traction de 100 MPa. Si c'était la seule contrainte, la pièce serait en sécurité car 100 MPa < 250 MPa. Mais nous devons aussi considérer le cisaillement, même si nous nous attendons à ce qu'il soit nul en ce point précis.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est le signe de la contrainte. Pour une console avec une charge vers le bas, la fibre supérieure est toujours en traction (+), et la fibre inférieure en compression (-). Une erreur de signe n'affecte pas le calcul de Von Mises ici, mais elle est conceptuellement grave.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment dans une console est \(M(x) = F \cdot (L-x)\), il est donc maximal à l'encastrement (\(x=0\)).
  • La contrainte normale de flexion est maximale sur les "peaux" (fibres extrêmes).
  • Le système d'unités N, mm, MPa est très pratique et évite les erreurs de conversion.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La concentration de contraintes près des appuis et des changements de géométrie est un phénomène réel. En pratique, un ingénieur utiliserait un calcul par éléments finis qui montrerait que la contrainte au point A est en réalité légèrement supérieure à 100 MPa à cause de la singularité de l'encastrement parfait.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne prend-on pas en compte le poids propre de la poutre ?

Dans de nombreux exercices et cas pratiques, le poids propre est négligeable par rapport aux charges appliquées. Ici, le poids de la poutre en acier serait d'environ 5.6 kg (55 N), soit moins de 2% de la charge F. Le négliger est donc une simplification acceptable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte normale au point A est \(\sigma_x = 100 \, \text{MPa}\) (Traction).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la hauteur 'h' était de 50 mm au lieu de 60 mm, quelle serait la nouvelle contrainte \(\sigma_x\) en MPa ?

Question 2 : Calculer la contrainte de cisaillement τxy au point A

Principe (le concept physique)

La force F crée également un effort tranchant constant tout le long de la poutre, égal à F. Cet effort provoque des contraintes de cisaillement \(\tau_{xy}\) qui tendent à faire glisser les sections transversales les unes par rapport aux autres. Pour une section rectangulaire, la distribution de cette contrainte n'est pas uniforme : elle est maximale au centre (axe neutre) et nulle sur les surfaces supérieure et inférieure.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de Juravski (\(\tau = T S_z / (Ib)\)) montre que la contrainte de cisaillement dépend du moment statique \(S_z\). Le moment statique est l'intégrale de la surface au-dessus (ou en dessous) du point d'intérêt, multipliée par la distance de son centroïde à l'axe neutre. Pour la fibre extrême (y=h/2), la surface "au-dessus" est nulle, donc \(S_z=0\) et \(\tau=0\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez un jeu de cartes que vous pliez. Les cartes glissent les unes sur les autres. Ce glissement est maximal au milieu du paquet (l'axe neutre). Sur la carte du dessus et celle du dessous, il n'y a rien avec quoi "glisser", donc le cisaillement y est nul. C'est exactement ce qui se passe dans la poutre.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 permet de vérifier la résistance au cisaillement en comparant la contrainte de cisaillement maximale à la limite de cisaillement du matériau, qui est généralement déduite de la limite élastique en traction (\(\sigma_e / \sqrt{3}\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La distribution de la contrainte de cisaillement dans une section rectangulaire est parabolique :

\[ \tau_{xy}(y) = \frac{T}{2I} \left( \left(\frac{h}{2}\right)^2 - y^2 \right) \]

L'effort tranchant T est constant et égal à F.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la contrainte de cisaillement est uniformément répartie sur la largeur 'b' de la section.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort tranchant, \(T = F = 3000 \, \text{N}\)
  • Hauteur, \(h = 60 \, \text{mm}\)
  • Moment quadratique, \(I = 360,000 \, \text{mm}^4\)
  • Position du point A, \(y = h/2 = 30 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les fibres extrêmes d'une poutre en flexion, il n'y a pas besoin de calcul : la contrainte de cisaillement due à l'effort tranchant est toujours nulle. Vous pouvez directement poser \(\tau_{xy} = 0\).

Schéma (Avant les calculs)
Distribution attendue du cisaillement
τ max?τ=0τ=0
Calcul(s) (l'application numérique)

Le point A est situé sur la fibre supérieure de la section, où \(y = h/2 = 30 \, \text{mm}\). Appliquons la formule :

\[ \begin{aligned} \tau_{xy}(y=30) &= \frac{3000}{2 \cdot 360000} \left( (30)^2 - (30)^2 \right) \\ &= \frac{3000}{720000} \cdot 0 \\ &= 0 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Distribution calculée du cisaillement
3.75 MPa0 MPa0 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme attendu, la contrainte de cisaillement est nulle au point A. Cela confirme que l'état de contrainte en ce point est uniaxiale. Le point le plus cisaillé se trouve à l'axe neutre (y=0), où \(\tau_{\text{max}} = 1.5 \cdot T/A = 1.5 \cdot 3000 / (20 \cdot 60) = 3.75 \, \text{MPa}\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est de penser que le cisaillement est constant sur la section. Il est crucial de se rappeler que pour la flexion, la contrainte normale est maximale là où le cisaillement est nul (sur les peaux), et le cisaillement est maximal là où la contrainte normale est nulle (à l'axe neutre).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de cisaillement due à la flexion est nulle sur les fibres extrêmes.
  • Elle est maximale à l'axe neutre pour une section rectangulaire.
  • Sa distribution est parabolique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les profilés en I, l'âme (la partie verticale) reprend la quasi-totalité de l'effort tranchant, tandis que les semelles (parties horizontales) reprennent quasi-exclusivement le moment fléchissant. C'est une optimisation parfaite de la matière !

FAQ (pour lever les doutes)
Cette contrainte de cisaillement est-elle toujours petite ?

Non. Dans les poutres courtes et trapues, la contrainte de cisaillement peut devenir prépondérante et causer la rupture. C'est pourquoi les ingénieurs doivent toujours vérifier à la fois la flexion et le cisaillement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de cisaillement au point A est \(\tau_{xy} = 0 \, \text{MPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) (en MPa) à l'axe neutre (y=0) ?

Question 3 : Représenter l'état de contrainte au point A

Principe (le concept physique)

On représente l'état de contrainte en isolant un petit cube de matière au point A. On dessine ensuite des flèches sur les faces de ce cube pour représenter les contraintes calculées. Comme \(\tau_{xy} = 0\) et \(\sigma_y = 0\), seule la contrainte \(\sigma_x\) agit sur les faces perpendiculaires à l'axe x.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette représentation est appelée "élément de volume" ou "état de contrainte en un point". C'est un concept fondamental car il permet de visualiser le tenseur des contraintes. Les flèches sortantes représentent la traction (positives), les flèches entrantes la compression (négatives). Les flèches tangentes représentent le cisaillement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Dessiner ce petit carré est la meilleure façon de ne pas se tromper. Il vous force à identifier quelles contraintes sont nulles et quelles sont les directions. C'est le point de départ de calculs plus avancés comme la détermination des contraintes principales ou le tracé du cercle de Mohr.

Normes (la référence réglementaire)

La convention de signe (traction positive) et la notation (\(\sigma\) pour normale, \(\tau\) pour cisaillement) sont universellement adoptées dans les manuels et les normes d'ingénierie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Il s'agit d'une représentation graphique, pas d'une formule. L'état de contrainte est décrit par le tenseur :

\[ \begin{aligned} [\sigma] &= \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 100 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place dans l'hypothèse des contraintes planes, ce qui est justifié car la pièce n'est pas sollicitée dans la direction de son épaisseur (z).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma_x = +100 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{xy} = 0 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_y = 0 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour la traction, dessinez toujours les flèches sortant de la matière. Pour la compression, dessinez-les pointant vers la matière. C'est une convention visuelle simple et efficace.

Schéma (Avant les calculs)
Élément de volume générique
σxσyτxy
Calcul(s) (l'application numérique)

Il n'y a pas de calculs, seulement l'application des résultats précédents au schéma.

Schéma (Après les calculs)
État de Contrainte au Point A
σx
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'état de contrainte au point A est un état de traction simple (uniaxial). C'est un cas particulier où le critère de Von Mises se simplifiera grandement, comme nous le verrons dans la question suivante.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la règle de réciprocité du cisaillement (\(\tau_{xy} = \tau_{yx}\)). Si vous dessinez un cisaillement sur une face, vous devez dessiner les cisaillements correspondants sur les autres faces pour que l'élément soit en équilibre.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'état de contrainte en un point est la base de l'analyse de la rupture.
  • En flexion pure, la fibre extrême est en traction/compression pure.
  • Le schéma de l'élément de volume est un outil de communication essentiel en mécanique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'état de contrainte change si on change l'orientation du petit cube ! Il existe une orientation particulière, appelée "directions principales", pour laquelle les contraintes de cisaillement s'annulent. Les contraintes normales sont alors maximales/minimales. C'est le principe du cercle de Mohr.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi \(\sigma_y\) est-il nul ?

Dans ce modèle de poutre simple, il n'y a pas de force appliquée dans la direction verticale (y) sur les faces horizontales de l'élément de volume. Les forces ne sont appliquées qu'aux extrémités de la poutre. La contrainte \(\sigma_y\) n'est donc pas nulle partout (par exemple, juste sous la charge F), mais elle est considérée comme nulle dans la théorie des poutres classique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'état de contrainte au point A est un état de traction uniaxiale avec \(\sigma_x = 100 \, \text{MPa}\) et toutes les autres composantes nulles.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Comment représenteriez-vous l'état de contrainte au point symétrique, sur la fibre inférieure ?

Question 4 : Calculer la contrainte de Von Mises σvM au point A

Principe (le concept physique)

On utilise la formule de Von Mises pour combiner les contraintes \(\sigma_x\) et \(\tau_{xy}\) en une seule valeur scalaire, qui représente l'intensité "globale" de la sollicitation au point A. Cette valeur est ensuite comparée à la résistance du matériau obtenue lors d'un simple essai de traction.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le critère de Von Mises est basé sur la théorie de l'énergie de distorsion. Il stipule que la plastification d'un matériau ductile se produit lorsque l'énergie de déformation due au changement de forme (distorsion) atteint la même valeur que celle qui provoque la plastification dans un essai de traction simple. La formule de \(\sigma_{\text{vM}}\) est la traduction mathématique de ce principe énergétique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Dans le cas d'une contrainte uniaxiale (traction ou compression simple), la contrainte de Von Mises est simplement égale à la valeur absolue de cette contrainte. Le critère devient \(\sigma_x \le \sigma_e\), ce qui est logique. L'intérêt de Von Mises apparaît dès que le cisaillement n'est plus nul, car il pondère l'effet du cisaillement (le facteur 3) qui est très efficace pour provoquer la plastification.

Normes (la référence réglementaire)

Le critère de Von Mises est explicitement mentionné et utilisé dans de nombreuses normes de conception mécanique et structurale (par exemple, ASME pour les appareils à pression, et implicitement dans les vérifications combinées de l'Eurocode 3).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un état de contrainte plane avec \(\sigma_y = 0\), la formule est :

\[ \sigma_{\text{vM}} = \sqrt{\sigma_x^2 + 3\tau_{xy}^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le matériau est ductile et que son comportement en traction et en compression est symétrique, ce qui est une excellente approximation pour l'acier.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma_x = 100 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{xy} = 0 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un état de contrainte où le cisaillement est nul (traction/compression pure), la contrainte de Von Mises est simplement la contrainte normale. Le calcul est immédiat.

Schéma (Avant les calculs)
Combinaison des contraintes
σxτxyσvM = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{vM}} &= \sqrt{(100 \, \text{MPa})^2 + 3 \cdot (0 \, \text{MPa})^2} \\ &= \sqrt{100^2} \\ &= 100 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la contrainte équivalente
100 MPa0 MPaσvM = 100 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte équivalente de 100 MPa représente l'intensité de la sollicitation au point A. C'est cette valeur que nous devons comparer à la "jauge" de résistance du matériau, sa limite élastique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur 3 devant le terme de cisaillement ! C'est une erreur très courante. De plus, n'oubliez pas de prendre la racine carrée à la fin. La contrainte de Von Mises doit avoir la même unité qu'une contrainte simple (MPa).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Von Mises combine les contraintes normales et de cisaillement en une seule valeur.
  • La formule pour la contrainte plane est \(\sigma_{\text{vM}} = \sqrt{\sigma_x^2 + 3\tau_{xy}^2}\) (si \(\sigma_y=0\)).
  • Pour une traction/compression simple, \(\sigma_{\text{vM}} = |\sigma_x|\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Graphiquement, le critère de Von Mises se représente dans l'espace des contraintes principales par une ellipse. Le critère de Tresca se représente par un hexagone inscrit dans cette ellipse. C'est pourquoi Tresca est toujours plus conservateur.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si j'ai aussi une contrainte \(\sigma_y\) ?

Il faut utiliser la formule complète : \(\sigma_{\text{vM}} = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x \sigma_y + 3\tau_{xy}^2}\). C'est le cas par exemple dans une cuve sous pression, où il y a des contraintes dans deux directions (circonférentielle et axiale).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte équivalente de Von Mises au point A est \(\sigma_{\text{vM}} = 100 \, \text{MPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Imaginez un autre point où \(\sigma_x = 60\) MPa et \(\tau_{xy} = 40\) MPa. Quelle serait la contrainte de Von Mises (en MPa) ?

Question 5 : Conclure sur la sécurité de la console

Principe (le concept physique)

On compare la contrainte équivalente de Von Mises (\(\sigma_{\text{vM}}\)), qui représente la demande sur le matériau, à la limite élastique (\(\sigma_e\)), qui représente la capacité du matériau. Si la capacité est supérieure à la demande, la structure est sûre. Le coefficient de sécurité (\(s\)) quantifie cette marge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le concept de coefficient de sécurité est au cœur de la conception en ingénierie. Il vise à couvrir toutes les incertitudes : sur les charges appliquées, sur les propriétés réelles du matériau, sur les imperfections de fabrication, et sur les limites du modèle de calcul. La valeur de ce coefficient est fixée par les normes en fonction du domaine d'application et des conséquences d'une rupture.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un coefficient de sécurité n'est pas "juste un nombre". C'est une mesure de confiance. Un \(s=1.1\) peut être acceptable pour une pièce non critique sous charges bien connues, tandis qu'un \(s=5\) ou plus peut être requis pour un crochet de levage ou un élément d'ascenseur où la vie humaine est en jeu.

Normes (la référence réglementaire)

Les Eurocodes utilisent une approche "semi-probabiliste" appelée méthode des états limites. Plutôt qu'un seul coefficient de sécurité global, on applique des coefficients de majoration sur les charges (\(\gamma_F\)) et des coefficients de minoration sur les résistances (\(\gamma_M\)). Le principe reste le même : s'assurer que la demande majorée reste inférieure à la résistance minorée.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ s = \frac{\sigma_e}{\sigma_{\text{vM}}} \]

La condition de sécurité est \(s \ge 1\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la limite élastique de 250 MPa est une valeur caractéristique fiable pour le matériau utilisé.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma_{\text{vM}} = 100 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_e = 250 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul est direct. L'important est l'interprétation : un coefficient de 2.5 signifie que la contrainte actuelle ne représente que \(1/2.5 = 40\%\) de la capacité du matériau.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Demande vs Capacité
Demande σvMCapacité σes = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} s &= \frac{250 \, \text{MPa}}{100 \, \text{MPa}} \\ &= 2.5 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Marge de Sécurité
100 MPa250 MPas = 2.5 > 1 (OK ✔️)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le coefficient de sécurité est de 2.5. Cela signifie que l'on pourrait appliquer une charge 2.5 fois plus grande (soit 7500 N) avant d'atteindre la limite élastique du matériau au point A. En génie civil, un coefficient de sécurité de 2.5 est généralement considéré comme confortable et sûr pour ce type d'application statique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais concevoir avec un coefficient de sécurité de 1 ! C'est la limite théorique de la rupture. Un bon dimensionnement implique toujours une marge de sécurité significative pour tenir compte des aléas.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La sécurité est vérifiée en comparant la contrainte équivalente à la limite élastique.
  • Le coefficient de sécurité \(s = \sigma_e / \sigma_{\text{vM}}\) doit être supérieur à une valeur minimale imposée.
  • Un coefficient élevé indique une grande marge de sécurité.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans l'aéronautique, où le poids est critique, les ingénieurs travaillent avec des coefficients de sécurité beaucoup plus faibles, souvent autour de 1.5. Cela est rendu possible par une connaissance extrêmement précise des charges, des matériaux de haute qualité et des inspections rigoureuses.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si le coefficient était inférieur à 1 ?

Cela signifierait que, selon le calcul, la pièce se déformerait de manière permanente (plastification) sous la charge appliquée. La structure ne s'effondrerait pas forcément (grâce à l'écrouissage de l'acier), mais elle serait considérée comme hors service. La conception doit être revue, par exemple en augmentant la hauteur 'h' de la poutre.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de sécurité est de 2.5. La console est donc correctement dimensionnée et ne présente pas de risque de rupture par déformation plastique.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la force maximale (en N) que la console peut supporter si on exige un coefficient de sécurité minimum de 2.0 ?

Outil Interactif : Analyse d'un Point Critique

Le point le plus critique n'est pas forcément le point A. Analysons le point B, situé à l'axe neutre (\(y=0\)) à l'encastrement. Modifiez la force pour voir l'évolution des contraintes et du critère de Von Mises en ce point.

Paramètres d'Entrée (Point B, y=0)
3000 N
Résultats au Point B (Axe Neutre)
Contrainte Normale \(\sigma_x\) (MPa) 0.0
Contrainte de Cisaillement \(\tau_{xy}\) (MPa) -
Contrainte de Von Mises \(\sigma_{\text{vM}}\) (MPa) -
Coefficient de Sécurité -

Le Saviez-Vous ?

Richard von Mises (1883-1953) était un scientifique et mathématicien autrichien. En plus de sa célèbre contribution à la mécanique des solides, il a été un pionnier de l'aérodynamique et de la théorie des probabilités. Il a fui l'Europe pendant la Seconde Guerre mondiale et a terminé sa carrière à l'Université Harvard.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quand doit-on utiliser le critère de Von Mises plutôt que celui de Tresca ?

Les deux critères sont pour les matériaux ductiles. Le critère de Tresca (cisaillement maximal) est plus simple à calculer et plus conservateur (il prédit la rupture pour des charges plus faibles). Le critère de Von Mises est légèrement plus complexe mais correspond mieux aux données expérimentales pour la plupart des métaux. En pratique, Von Mises est le plus souvent utilisé dans les logiciels de calcul par éléments finis.

Ce critère fonctionne-t-il pour des matériaux comme le béton ou la fonte ?

Non. Le béton, la fonte, les roches sont des matériaux "fragiles". Ils se rompent sans déformation plastique significative et leur résistance en compression est bien supérieure à leur résistance en traction. Pour ces matériaux, on utilise d'autres critères, comme le critère de Mohr-Coulomb ou celui de Rankine (contrainte normale maximale).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Au point B (axe neutre, y=0) de notre console, quel est l'état de contrainte ?

2. Si on double la force F, la contrainte de Von Mises au point A sera...

Contrainte de Von Mises (\(\sigma_{\text{vM}}\))
Une contrainte scalaire équivalente qui combine les composantes d'un état de contrainte complexe. Elle est utilisée pour prédire la plastification des matériaux ductiles.
État de Contrainte Plane
Un état où les contraintes agissent uniquement dans un plan (x, y), les contraintes dans la troisième direction (z) étant considérées comme nulles. C'est une hypothèse courante pour les pièces minces.
Coefficient de Sécurité (s)
Le rapport entre la contrainte admissible d'un matériau (généralement sa limite élastique) et la contrainte de service calculée (par exemple, \(\sigma_{\text{vM}}\)). Il mesure la marge de sécurité d'une conception.
Critère de Rupture de Von Mises pour une Console

D’autres exercices de Rdm:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *