Études de cas pratique

EGC

Système d’Irrigation à Partir d’une Rivière Locale

Calcul d’un Système d’Irrigation à Partir d’une Rivière Locale

Calcul d’un Système d’Irrigation à Partir d’une Rivière Locale

Comprendre le Dimensionnement d'un Système d'Irrigation

La conception d'un système d'irrigation efficace nécessite de déterminer avec précision les besoins en eau des cultures, de dimensionner correctement les conduites pour minimiser les pertes de charge tout en assurant un débit suffisant, et de sélectionner une pompe capable de fournir la pression et le débit requis. Cet exercice explore les étapes clés du calcul hydraulique pour un système d'irrigation par pompage à partir d'une source d'eau locale (rivière).

Données de l'étude

On souhaite concevoir un système d'irrigation pour une parcelle agricole de maïs à partir d'une rivière voisine. Le système utilisera des asperseurs.

Caractéristiques du site, des cultures et du système :

  • Superficie de la parcelle à irriguer (\(S_{\text{parcelle}}\)) : \(10 \, \text{ha}\)
  • Besoin en eau journalier de pointe du maïs (\(B_{\text{eau,jour}}\)) : \(6 \, \text{mm/jour}\)
  • Durée d'irrigation journalière maximale (\(T_{\text{irrigation}}\)) : \(10 \, \text{heures/jour}\)
  • Efficience globale du système d'irrigation (application + transport) (\(\eta_{\text{global}}\)) : \(75\%\)
  • Niveau d'eau moyen dans la rivière par rapport au point le plus bas de la parcelle (datum) (\(Z_{\text{riviere}}\)) : \(-1.5 \, \text{m}\) (la rivière est plus basse)
  • Altitude moyenne de la parcelle irriguée par rapport au datum (\(Z_{\text{parcelle}}\)) : \(0 \, \text{m}\)
  • Altitude de l'axe de la pompe par rapport au datum (\(Z_{\text{pompe}}\)) : \(-0.5 \, \text{m}\)
  • Pression de service requise aux asperseurs (\(P_{\text{asp}}\)) : \(3.0 \, \text{bars}\)
  • Conduite principale (aspiration + refoulement jusqu'à la parcelle) : Longueur totale \(L_{\text{total}} = 250 \, \text{m}\). On supposera un coefficient de frottement de Darcy-Weisbach \(f = 0.022\).
  • Pertes de charge singulières totales estimées dans le réseau (hors pompe, incluant crépine, coudes, vannes, té, etc.) : \(\Sigma K_{\text{total}} = 8.5\) (ce coefficient s'appliquera à la vitesse dans la conduite principale).
  • Fluide : Eau. Masse volumique \(\rho_w = 1000 \, \text{kg/m}^3\).
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\).
  • Rendement de la pompe estimé (\(\eta_{\text{pompe}}\)) : \(0.70\).
Schéma : Système d'Irrigation par Pompage
Rivière Zrivière = -1.5m P Zpompe = -0.5m Ltotal, D, f Parcelle (Maïs) Zparcelle = 0m Pasp Datum (Point bas parcelle = 0m) 1.5m H_géo_parcelle Schéma du Système d'Irrigation

Schéma illustratif d'un système d'irrigation pompant l'eau d'une rivière vers une parcelle agricole.

Questions à traiter

  1. Calculer le besoin en eau brut journalier de la parcelle en \(\text{m}^3/\text{jour}\).
  2. Calculer le débit d'équipement (débit de pompage requis) \(Q_{\text{pompe}}\) en \(\text{m}^3/\text{s}\).
  3. En supposant une vitesse économique dans la conduite principale \(V_{\text{econ}} = 1.5 \, \text{m/s}\), calculer le diamètre intérieur théorique \(D_{\text{th}}\) de cette conduite. Choisir un diamètre normalisé commercial (DN) et recalculer la vitesse réelle \(V_{\text{reel}}\). (Utiliser par exemple : DN80, DN100, DN125, DN150 mm).
  4. Calculer les pertes de charge linéaires totales (\(\Delta H_l\)) dans la conduite principale.
  5. Calculer les pertes de charge singulières totales (\(\Delta H_s\)) dans le système.
  6. Calculer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) que la pompe doit fournir. (Inclure la hauteur géométrique totale, les pertes de charge et la pression requise aux asperseurs convertie en hauteur d'eau).
  7. Calculer la puissance hydraulique (\(P_h\)) fournie par la pompe au fluide.
  8. Calculer la puissance à l'arbre (\(P_a\)) requise par la pompe.

Correction : Calcul d’un Système d’Irrigation

Question 1 : Besoin en Eau Brut Journalier

Principe :

Le besoin en eau net est la quantité d'eau que les plantes doivent recevoir. Le besoin brut tient compte de l'efficience du système d'irrigation.

Besoin net (\(\text{mm}\)) = \(B_{\text{eau,jour}}\)

Besoin net (\(\text{m}^3/\text{ha}\)) = \(B_{\text{eau,jour}} \text{ (mm)} \times 10\)

Besoin net total (\(\text{m}^3/\text{jour}\)) = Besoin net (\(\text{m}^3/\text{ha/jour}\)) \(\times S_{\text{parcelle}} \text{ (ha)}\)

Besoin brut (\(\text{m}^3/\text{jour}\)) = \(\frac{\text{Besoin net total}}{\eta_{\text{global}}}\)

Données spécifiques :
  • \(S_{\text{parcelle}} = 10 \, \text{ha}\)
  • \(B_{\text{eau,jour}} = 6 \, \text{mm/jour}\)
  • \(\eta_{\text{global}} = 0.75\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Besoin net (m}^3\text{/ha/jour)} &= 6 \, \text{mm/jour} \times 10 \, \frac{\text{m}^3/\text{ha}}{\text{mm}} \\ &= 60 \, \text{m}^3\text{/ha/jour} \\ \text{Besoin net total (m}^3\text{/jour)} &= 60 \, \text{m}^3\text{/ha/jour} \times 10 \, \text{ha} \\ &= 600 \, \text{m}^3\text{/jour} \\ \text{Besoin brut total (m}^3\text{/jour)} &= \frac{600 \, \text{m}^3\text{/jour}}{0.75} \\ &= 800 \, \text{m}^3\text{/jour} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le besoin en eau brut journalier de la parcelle est de \(800 \, \text{m}^3/\text{jour}\).

Question 2 : Débit d'Équipement (\(Q_{\text{pompe}}\))

Principe :

Le débit de pompage requis est le besoin brut journalier réparti sur la durée d'irrigation journalière maximale, converti en \(\text{m}^3/\text{s}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_{\text{pompe}} = \frac{\text{Besoin brut total (m}^3\text{/jour)}}{T_{\text{irrigation}} \text{ (heures/jour)} \times 3600 \text{ (s/heure)}}\]
Données spécifiques :
  • Besoin brut total \(= 800 \, \text{m}^3/\text{jour}\)
  • \(T_{\text{irrigation}} = 10 \, \text{heures/jour}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_{\text{pompe}} &= \frac{800 \, \text{m}^3/\text{jour}}{10 \, \text{h/jour} \times 3600 \, \text{s/h}} \\ &= \frac{800 \, \text{m}^3}{36000 \, \text{s}} \\ &\approx 0.02222 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Soit \(Q_{\text{pompe}} \approx 22.22 \, \text{L/s}\) ou \(80 \, \text{m}^3/\text{h}\).

Résultat Question 2 : Le débit d'équipement (débit de pompage) requis est \(Q_{\text{pompe}} \approx 0.02222 \, \text{m}^3/\text{s}\).

Question 3 : Diamètre de la Conduite Principale et Vitesse Réelle

Principe :

Le diamètre théorique est calculé à partir du débit et de la vitesse économique visée (\(Q = V \cdot A \Rightarrow A = Q/V \Rightarrow \pi D^2/4 = Q/V\)). On choisit ensuite un diamètre normalisé (DN) commercialement disponible, puis on recalcule la vitesse réelle avec ce DN.

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{th}} = \sqrt{\frac{4 Q_{\text{pompe}}}{\pi V_{\text{econ}}}}\] \[V_{\text{reel}} = \frac{Q_{\text{pompe}}}{\pi D_{\text{choisi}}^2 / 4}\]
Données spécifiques :
  • \(Q_{\text{pompe}} \approx 0.02222 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • \(V_{\text{econ}} = 1.5 \, \text{m/s}\)
  • Diamètres normalisés possibles : DN80 (0.08m), DN100 (0.1m), DN125 (0.125m), DN150 (0.15m).
Calcul du diamètre théorique :
\[ \begin{aligned} D_{\text{th}} &= \sqrt{\frac{4 \times 0.02222 \, \text{m}^3/\text{s}}{\pi \times 1.5 \, \text{m/s}}} \\ &= \sqrt{\frac{0.08888 \, \text{m}^2}{\pi \times 1.5}} \\ &= \sqrt{\frac{0.08888}{4.71238}} \, \text{m} \\ &= \sqrt{0.01886} \, \text{m} \\ &\approx 0.1373 \, \text{m} \text{ (soit 137.3 mm)} \end{aligned} \]

Le diamètre théorique est de 137.3 mm. Le DN commercial le plus proche et supérieur (pour ne pas trop augmenter la vitesse et les pertes) serait DN150 (0.150 m). Cependant, pour des raisons économiques ou de disponibilité, on pourrait aussi considérer DN125 (0.125 m) si la vitesse reste acceptable.

Choisissons **DN150** (\(D_{\text{choisi}} = 0.150 \, \text{m}\)).

Calcul de la vitesse réelle avec DN150 :
\[ \begin{aligned} A_{\text{reel}} &= \frac{\pi (0.150 \, \text{m})^2}{4} = \frac{\pi \times 0.0225 \, \text{m}^2}{4} \approx 0.01767 \, \text{m}^2 \\ V_{\text{reel}} &= \frac{0.02222 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.01767 \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.257 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Cette vitesse est acceptable (proche de \(V_{\text{econ}}\) et dans les limites usuelles).

Si on avait choisi **DN125** (\(D_{\text{choisi}} = 0.125 \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} A_{\text{reel}} &= \frac{\pi (0.125 \, \text{m})^2}{4} = \frac{\pi \times 0.015625 \, \text{m}^2}{4} \approx 0.01227 \, \text{m}^2 \\ V_{\text{reel}} &= \frac{0.02222 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.01227 \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.811 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Cette vitesse est également acceptable, bien qu'un peu plus élevée. Pour la suite des calculs, nous utiliserons le **DN150** avec \(V_{\text{reel}} \approx 1.257 \, \text{m/s}\) et \(D = 0.150 \, \text{m}\).

Résultat Question 3 :
  • Diamètre théorique \(D_{\text{th}} \approx 0.137 \, \text{m}\).
  • Choix du diamètre normalisé : DN150 (\(D = 0.150 \, \text{m}\)).
  • Vitesse réelle dans la conduite principale \(V_{\text{reel}} \approx 1.257 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Pertes de Charge Linéaires Totales (\(\Delta H_l\))

Principe :

Les pertes de charge linéaires sont calculées avec la formule de Darcy-Weisbach : \(\Delta H_l = f \frac{L_{\text{total}}}{D} \frac{V_{\text{reel}}^2}{2g}\).

Données spécifiques :
  • \(f = 0.022\)
  • \(L_{\text{total}} = 250 \, \text{m}\)
  • \(D = 0.150 \, \text{m}\)
  • \(V_{\text{reel}} \approx 1.257 \, \text{m/s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta H_l &= 0.022 \times \frac{250 \, \text{m}}{0.150 \, \text{m}} \times \frac{(1.257 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 0.022 \times 1666.67 \times \frac{1.580049 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{19.62 \, \text{m/s}^2} \\ &= 36.6667 \times 0.08053 \, \text{m} \\ &\approx 2.953 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Les pertes de charge linéaires totales sont \(\Delta H_l \approx 2.95 \, \text{m}\).

Question 5 : Pertes de Charge Singulières Totales (\(\Delta H_s\))

Principe :

Les pertes de charge singulières sont calculées par \(\Delta H_s = \Sigma K_{\text{total}} \frac{V_{\text{reel}}^2}{2g}\).

Données spécifiques :
  • \(\Sigma K_{\text{total}} = 8.5\)
  • \(V_{\text{reel}} \approx 1.257 \, \text{m/s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta H_s &= 8.5 \times \frac{(1.257 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 8.5 \times 0.08053 \, \text{m} \\ &\approx 0.685 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Les pertes de charge singulières totales sont \(\Delta H_s \approx 0.69 \, \text{m}\).

Question 6 : Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Principe :

La HMT est la somme de la hauteur géométrique totale, des pertes de charge totales (linéaires + singulières), et de la pression requise aux asperseurs convertie en hauteur d'eau (\(P_{\text{asp}} / (\rho_w g)\)). Hauteur géométrique totale \(H_{\text{géo,tot}} = (Z_{\text{parcelle}} - Z_{\text{riviere}})\) + hauteur des asperseurs au-dessus du sol de la parcelle (si significative, ici on considère que la pression aux asperseurs inclut cette élévation locale ou que les asperseurs sont au niveau \(Z_{\text{parcelle}}\)). Plus précisément, on applique Bernoulli entre la surface libre de la rivière et la sortie des asperseurs. \( \text{HMT} = (Z_{\text{parcelle}} - Z_{\text{riviere}}) + \frac{P_{\text{asp}}}{\rho_w g} + \Delta H_l + \Delta H_s \). Note: La position de la pompe \(Z_{\text{pompe}}\) est utilisée pour le NPSH, pas directement dans la HMT si on considère les points extrêmes du système. La hauteur géométrique à vaincre est la différence d'altitude entre le point de refoulement le plus haut (niveau des asperseurs, que l'on considère à \(Z_{\text{parcelle}}\) pour la charge géométrique statique) et le niveau d'eau à l'aspiration (\(Z_{\text{riviere}}\)).

Données spécifiques :
  • \(Z_{\text{parcelle}} = 0 \, \text{m}\)
  • \(Z_{\text{riviere}} = -1.5 \, \text{m}\)
  • \(P_{\text{asp}} = 3.0 \, \text{bars} = 3.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(\rho_w = 1000 \, \text{kg/m}^3\), \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(\Delta H_l \approx 2.953 \, \text{m}\)
  • \(\Delta H_s \approx 0.685 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} H_{\text{géo,tot}} &= Z_{\text{parcelle}} - Z_{\text{riviere}} \\ &= 0 \, \text{m} - (-1.5 \, \text{m}) = 1.5 \, \text{m} \\ \frac{P_{\text{asp}}}{\rho_w g} &= \frac{3.0 \times 10^5 \, \text{Pa}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{300000}{9810} \, \text{m} \approx 30.58 \, \text{m} \\ \text{HMT} &= H_{\text{géo,tot}} + \frac{P_{\text{asp}}}{\rho_w g} + \Delta H_l + \Delta H_s \\ &= 1.5 \, \text{m} + 30.58 \, \text{m} + 2.953 \, \text{m} + 0.685 \, \text{m} \\ &= 35.718 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La Hauteur Manométrique Totale est \(\text{HMT} \approx 35.72 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : La HMT d'une pompe représente :

Question 7 : Puissance Hydraulique (\(P_h\))

Principe :

La puissance hydraulique est la puissance utile transférée au fluide : \(P_h = \rho_w \cdot g \cdot Q_{\text{pompe}} \cdot \text{HMT}\).

Données spécifiques :
  • \(\rho_w = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(Q_{\text{pompe}} \approx 0.02222 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • \(\text{HMT} \approx 35.718 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_h &= 1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 0.02222 \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \times 35.718 \, \text{m} \\ &= 9810 \frac{\text{N}}{\text{m}^3} \times 0.02222 \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \times 35.718 \, \text{m} \\ &\approx 217.978 \, \frac{\text{N}}{\text{s}} \times 35.718 \, \text{m} \\ &\approx 7786.5 \, \text{W} \end{aligned} \]

Soit \(P_h \approx 7.79 \, \text{kW}\).

Résultat Question 7 : La puissance hydraulique est \(P_h \approx 7787 \, \text{W}\) (ou \(7.79 \, \text{kW}\)).

Question 8 : Puissance à l'Arbre (\(P_a\))

Principe :

La puissance à l'arbre (ou absorbée) est la puissance que le moteur doit fournir, en tenant compte du rendement de la pompe : \(P_a = \frac{P_h}{\eta_{\text{pompe}}}\).

Données spécifiques :
  • \(P_h \approx 7786.5 \, \text{W}\)
  • \(\eta_{\text{pompe}} = 0.70\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{7786.5 \, \text{W}}{0.70} \\ &\approx 11123.6 \, \text{W} \end{aligned} \]

Soit \(P_a \approx 11.12 \, \text{kW}\). Il faudrait choisir un moteur d'une puissance nominale supérieure (ex: 12 kW ou 15 kW).

Résultat Question 8 : La puissance à l'arbre requise est \(P_a \approx 11124 \, \text{W}\) (ou \(11.12 \, \text{kW}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Un rendement de pompe plus élevé signifie que pour une même HMT et un même débit :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le besoin en eau brut d'une culture est toujours :

2. La formule de Darcy-Weisbach est utilisée pour calculer :

3. La Hauteur Manométrique Totale (HMT) d'une pompe doit compenser :

Glossaire

Besoin en Eau des Cultures
Quantité d'eau nécessaire pour la croissance optimale d'une culture, généralement exprimée en mm/jour ou mm/période.
Efficience d'Irrigation
Rapport entre la quantité d'eau effectivement utilisée par les plantes et la quantité totale d'eau appliquée par le système d'irrigation.
Débit d'Équipement
Débit que le système d'irrigation (et donc la pompe) doit fournir pour satisfaire les besoins en eau bruts dans la durée d'irrigation impartie.
Pertes de Charge Linéaires
Pertes d'énergie dues au frottement de l'eau contre les parois internes des conduites sur leur longueur.
Pertes de Charge Singulières
Pertes d'énergie localisées dues aux obstacles et changements de direction dans le réseau (coudes, vannes, tés, crépines, etc.).
Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie totale par unité de poids que la pompe doit fournir au fluide pour le transporter du point d'aspiration au point de refoulement, en vainquant la dénivellation, les frottements et en assurant la pression requise à l'utilisation.
Puissance Hydraulique (\(P_h\))
Puissance utile transférée par la pompe au fluide.
Puissance à l'Arbre (\(P_a\))
Puissance mécanique que le moteur doit fournir à l'arbre de la pompe, en tenant compte du rendement de la pompe.
Calcul d’un Système d’Irrigation - Exercice d'Application

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