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Erreurs dans un Levé Topographique

Erreurs dans un Levé Topographique

Erreurs dans un Levé Topographique

Contexte : Le Levé Topographique par PolygonaleAussi appelé cheminement, c'est une méthode de levé topographique qui consiste à déterminer la position de points (stations) en mesurant les angles et les distances entre eux, formant ainsi une ligne brisée ou un polygone..

En topographie, les mesures d'angles et de distances sur le terrain ne sont jamais parfaites. De petites erreurs, qu'elles soient dues à l'instrument, à l'opérateur ou aux conditions, s'accumulent inévitablement. Pour un levé de haute précision, il est crucial de quantifier ces erreurs et de les corriger. Cet exercice simule un cas réel de levé d'une parcelle par une polygonale fermée, où le point de départ et le point d'arrivée sont identiques. Nous allons détecter les erreurs de mesure et appliquer une méthode de compensation pour obtenir des coordonnées fiables.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il enseigne la démarche de contrôle et de validation des données de terrain. Savoir calculer une fermeture et compenser un levé est une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur en topographie, garantissant la qualité et la précision des plans finaux.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la somme théorique des angles internes d'un polygone.
  • Déterminer l'erreur de fermeture angulaire et calculer les angles compensés.
  • Calculer les gisements de chaque côté du polygone.
  • Déterminer l'erreur de fermeture linéaire en X et Y.
  • Appliquer la méthode de compensation de Bowditch pour obtenir les coordonnées ajustées.

Données de l'étude

Une équipe de topographes a réalisé le levé d'un terrain en utilisant une polygonale fermée à 5 stations (A, B, C, D, E). Les mesures brutes des angles internes et des distances horizontales sont consignées ci-dessous. Le point de départ A a pour coordonnées connues et le premier côté AB a un gisement de référence.

Fiche Technique du Levé
Caractéristique Valeur
Type de Levé Polygonale fermée à 5 sommets
Coordonnées de départ (Point A) X = 1000.00 m | Y = 500.00 m
Gisement de départ (Côté AB) Gisement GAB = 125.00 gr
Schéma de la Polygonale
A B C D E D_AB D_BC D_CD D_DE D_EA αA αB αC αD αE
Station Angle Interne Mesuré (gr) Côté Distance Mesurée (m)
A 118.54 AB 125.45
B 121.28 BC 150.12
C 119.88 CD 110.80
D 120.50 DE 135.67
E 119.65 EA 142.30

Questions à traiter

  1. Vérifier la fermeture angulaire du polygone en calculant l'erreur de fermeture angulaire (fa).
  2. Calculer les angles compensés en répartissant l'erreur angulaire.
  3. Calculer les gisements de chaque côté en partant du gisement de référence GAB.
  4. Calculer les coordonnées provisoires de chaque station et déterminer l'erreur de fermeture linéaire (fx, fy) et totale (fT).
  5. Compenser les coordonnées par la méthode de Bowditch pour obtenir les coordonnées définitives de B, C, D et E.

Les bases du calcul de polygonale

Pour résoudre cet exercice, plusieurs concepts clés de la topographie sont nécessaires.

1. Fermeture Angulaire
Dans un polygone fermé, la somme des angles internes mesurés doit être égale à une valeur théorique qui ne dépend que du nombre de sommets (n). L'écart entre la somme mesurée et la somme théorique est l'erreur de fermeture angulaire. \[ \sum \alpha_{\text{théorique}} = (n - 2) \times 200 \text{ gr} \] \[ f_a = \sum \alpha_{\text{mesurés}} - \sum \alpha_{\text{théorique}} \]

2. Calcul et Propagation de Gisement
Le gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y) vers une direction donnée. Il est généralement exprimé en grades (gr). d'un côté est son orientation par rapport au Nord. On peut calculer le gisement d'un côté à partir du précédent et de l'angle interne mesuré entre les deux. \[ G_{\text{suivant}} = G_{\text{précédent}} + \alpha_{\text{interne}} \pm 200 \text{ gr} \]

3. Fermeture Linéaire et Compensation de Bowditch
Pour un polygone fermé, la somme des déplacements partiels en X (ΔX) et en Y (ΔY) doit être nulle. L'écart constaté est l'erreur de fermeture linéaire (fx, fy). La méthode de Bowditch répartit cette erreur proportionnellement à la longueur de chaque côté. \[ \Delta X = D \times \sin(G) \quad ; \quad \Delta Y = D \times \cos(G) \] \[ C_{x_i} = -f_x \times \frac{D_i}{\text{Périmètre}} \quad ; \quad C_{y_i} = -f_y \times \frac{D_i}{\text{Périmètre}} \]

Correction : Erreurs dans un Levé Topographique

Question 1 : Vérifier la fermeture angulaire du polygone

Principe

La géométrie euclidienne impose que la somme des angles internes d'un polygone fermé soit une valeur fixe, qui ne dépend que de son nombre de côtés. La première étape de contrôle d'un levé consiste à comparer la somme des angles mesurés sur le terrain à cette valeur théorique. L'écart entre les deux est l'erreur de fermeture angulaire.

Mini-Cours

Un polygone à 'n' sommets peut être décomposé en (n-2) triangles. Comme la somme des angles d'un triangle est de 200 grades (ou 180°), la somme théorique des angles internes du polygone est simplement (n-2) multiplié par 200 gr. Cette règle est la base de tout contrôle de cohérence angulaire.

Remarque Pédagogique

Pensez à cette étape comme aux fondations d'une maison. Si le contrôle angulaire n'est pas bon, tout le reste des calculs (gisements, coordonnées) sera erroné. Il faut toujours commencer par valider les angles avant de poursuivre.

Normes

En pratique, les cahiers des charges topographiques définissent des tolérances de fermeture. Par exemple, pour un levé de précision standard, une tolérance pourrait être de Tang = 0.05 gr * √n. Dans notre cas, T = 0.05 * √5 ≈ 0.11 gr. Notre erreur de -0.15 gr est légèrement supérieure, mais nous l'accepterons pour la suite de l'exercice pédagogique.

Formule(s)
\[ \sum \alpha_{\text{théorique}} = (n - 2) \times 200 \text{ gr} \]
\[ f_a = \sum \alpha_{\text{mesurés}} - \sum \alpha_{\text{théorique}} \]
Hypothèses

Nous faisons l'hypothèse que le levé a été réalisé sur un plan horizontal (projection) et que les erreurs de mesure sont accidentelles et peuvent être réparties uniformément. Nous supposons aussi qu'il n'y a pas d'erreur grossière (faute de lecture par exemple).

Donnée(s)
StationAngle Mesuré (gr)
A118.54
B121.28
C119.88
D120.50
E119.65
Astuces

Pour un pentagone (5 côtés), la somme théorique est toujours 600 gr. C'est un chiffre facile à mémoriser. En additionnant rapidement les unités et les premières décimales des angles mesurés, on peut vite estimer si on est proche du compte ou non.

Schéma (Avant les calculs)
Angles internes à sommer
ABCDEαAαBαCαDαE
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la somme théorique

\[ \begin{aligned} \sum \alpha_{\text{théorique}} &= (5 - 2) \times 200 \\ &= 3 \times 200 \\ &= 600.00 \text{ gr} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la somme mesurée

\[ \begin{aligned} \sum \alpha_{\text{mesurés}} &= 118.54 + 121.28 + 119.88 + 120.50 + 119.65 \\ &= 599.85 \text{ gr} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul de l'erreur de fermeture

\[ \begin{aligned} f_a &= 599.85 - 600.00 \\ &= -0.15 \text{ gr} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation conceptuelle de l'erreur angulaire
Polygone mesuréFermeture théoriquefa < 0
Réflexions

Nous avons une erreur de -0.15 grades. Le signe négatif indique que la somme de nos angles mesurés est inférieure à la somme théorique; notre polygone "ne se referme pas" correctement, il y a un petit jour. Cette erreur, bien que légèrement hors tolérance théorique, est suffisamment petite pour être considérée comme une accumulation d'erreurs accidentelles et non une faute grossière.

Points de vigilance

La principale erreur à éviter est de se tromper dans le nombre 'n' de sommets. Assurez-vous aussi que tous les angles sont bien des angles internes. Si un angle externe a été mesuré, il faut le convertir (Angle interne = 400 - Angle externe).

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : La somme des angles internes d'un polygone est une constante géométrique.
  • Formule Essentielle : \( \sum \alpha_{\text{th}} = (n - 2) \times 200 \text{ gr} \)
  • Point de Vigilance Majeur : Toujours effectuer ce contrôle avant tout autre calcul.
Le saviez-vous ?

L'unité du grade (ou gradian) a été introduite en France après la Révolution, en même temps que le système métrique. L'idée était de diviser l'angle droit en 100 unités (au lieu de 90 degrés), pour faciliter les calculs décimaux. C'est pourquoi un cercle complet fait 400 grades.

FAQ
Que faire si l'erreur est très grande (ex: plusieurs grades) ?

Une erreur importante signale une faute (erreur de lecture, de retranscription, ou de visée sur le terrain). Il est alors inutile de continuer les calculs. La seule solution est de retourner sur le terrain pour refaire les mesures et trouver l'origine de la faute.

Résultat Final
L'erreur de fermeture angulaire est fa = -0.15 gr.
A vous de jouer

Quelle serait la somme théorique des angles internes pour un levé hexagonal (6 côtés) ?

Question 2 : Calculer les angles compensés

Principe

Puisque nous avons une erreur de fermeture, cela signifie que nos angles mesurés sont tous légèrement faux. Pour que notre polygone soit géométriquement correct, nous devons ajuster nos mesures. La méthode la plus simple, en l'absence d'information sur la précision de chaque mesure, est de supposer que l'erreur s'est répartie de manière égale sur chaque angle.

Mini-Cours

La compensation angulaire consiste à répartir l'erreur de fermeture (changée de signe) sur les angles mesurés. La répartition uniforme est la plus courante pour les levés de précision standard. Pour des levés de haute précision, on pourrait utiliser une pondération, en donnant moins de correction aux angles mesurés avec plus de certitude (par exemple, sur des visées plus courtes).

Remarque Pédagogique

La correction est toujours de signe opposé à l'erreur. Si l'erreur est négative (fa = -0.15 gr), cela veut dire qu'il "manque" des grades, donc la correction doit être positive pour "rajouter" ce qui manque. C'est un moyen simple de ne pas se tromper de signe.

Normes

Il n'y a pas de norme stricte pour la méthode de compensation, mais la répartition uniforme est universellement acceptée pour les polygonales classiques. Elle est simple et donne des résultats cohérents lorsque les conditions de mesure sont homogènes à chaque station.

Formule(s)
\[ C_{\alpha} = - \frac{f_a}{n} \]
\[ \alpha_{\text{compensé}} = \alpha_{\text{mesuré}} + C_{\alpha} \]
Hypothèses

Nous faisons l'hypothèse que chaque mesure d'angle a été réalisée avec la même précision, et donc que chaque mesure a contribué de manière égale à l'erreur totale. C'est pourquoi nous pouvons répartir la correction uniformément.

Donnée(s)

Nous utilisons l'erreur calculée \(f_a = -0.15 \text{ gr}\) et le nombre de sommets \(n = 5\).

Astuces

Après avoir calculé les angles compensés, faites-en la somme ! Vous devez impérativement retomber sur la somme théorique (600.00 gr dans notre cas). C'est un excellent moyen de vérifier que vous n'avez pas fait d'erreur de calcul dans la répartition.

Schéma (Avant les calculs)
Répartition de la correction sur chaque angle
ABCDE+Cα+Cα+Cα+Cα+Cα
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la correction unitaire

\[ \begin{aligned} C_{\alpha} &= - \frac{f_a}{n} \\ &= - \frac{-0.15}{5} \\ &= +0.03 \text{ gr} \end{aligned} \]

Étape 2 : Application de la correction

StationAngle Mesuré (gr)Correction (gr)Angle Compensé (gr)
A118.54+0.03118.57
B121.28+0.03121.31
C119.88+0.03119.91
D120.50+0.03120.53
E119.65+0.03119.68
Somme599.85+0.15600.00
Schéma (Après les calculs)
Polygone aux angles géométriquement justes
ABCDEΣα = 600.00 gr
Réflexions

Chaque angle a été légèrement augmenté pour que la somme totale soit correcte. La modification est faible (0.03 gr), ce qui est cohérent avec l'idée d'une petite erreur de mesure accidentelle. Nous disposons maintenant d'un ensemble d'angles géométriquement parfaits.

Points de vigilance

Attention au signe de la correction ! C'est l'opposé de l'erreur. Une autre erreur commune est d'arrondir la correction unitaire trop tôt, ce qui peut entraîner une somme finale légèrement différente de la somme théorique.

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : L'erreur doit être distribuée pour assurer la cohérence géométrique.
  • Formule Essentielle : \( C_{\alpha} = -f_a / n \)
  • Point de Vigilance Majeur : Vérifier que la somme des angles compensés est égale à la somme théorique.
Le saviez-vous ?

La méthode de compensation des moindres carrés est une technique beaucoup plus rigoureuse. Elle prend en compte la précision estimée de chaque mesure (angles et distances) pour répartir les erreurs de manière statistiquement optimale. Elle est utilisée dans tous les logiciels de calcul topographique modernes.

FAQ
Pourquoi ne pas appliquer toute la correction sur un seul angle ?

Ce serait arbitraire. Nous n'avons aucune raison de penser qu'un angle est plus faux qu'un autre. La répartition uniforme est l'hypothèse la plus juste lorsque toutes les mesures ont été faites dans les mêmes conditions.

Résultat Final
Les angles compensés sont : A=118.57, B=121.31, C=119.91, D=120.53, E=119.68 gr.
A vous de jouer

Si l'erreur de fermeture angulaire sur un carré (4 côtés) était de +0.08 gr, quelle correction faudrait-il appliquer à chaque angle ?

Question 3 : Calculer les gisements de chaque côté

Principe

Le gisement est l'angle qui oriente un segment par rapport à une direction de référence fixe (le Nord). En connaissant le gisement d'un côté et l'angle interne au sommet suivant, on peut "transporter" cette orientation pour déterminer le gisement du côté suivant. C'est comme faire tourner une boussole à chaque station.

Mini-Cours

La formule de propagation des gisements est Gsuivant = Gprécédent + αinterne ± 200 gr. Pour les angles internes d'un parcours horaire comme ici, la formule est Gn, n+1 = Gn-1, n + αn. On ajoute ou on soustrait 200 gr pour normaliser le résultat (le garder entre 0 et 400 gr).

Remarque Pédagogique

Le plus difficile est de savoir quand ajouter ou soustraire 200 gr. Une règle simple : si la somme (Gprécédent + α) est inférieure à 200, on ajoute 200. Si elle est supérieure à 200, on soustrait 200. L'objectif est de simuler le passage de la direction "arrière" à la direction "avant".

Normes

Le calcul de gisement est une procédure mathématique standardisée en topographie. Le système de référence (Nord Lambert, etc.) et l'unité (grades, degrés) sont les seules conventions qui peuvent changer.

Formule(s)
\[ G_{n, n+1} = G_{n-1, n} + \alpha_n \pm 200 \text{ gr} \]
Hypothèses

Nous utilisons les angles compensés calculés à la question précédente, car ils sont géométriquement corrects. Le gisement de départ GAB est considéré comme exact.

Donnée(s)

Gisement de départ \(G_{\text{AB}} = 125.00 \text{ gr}\). Angles compensés de la question 2.

Astuces

Le test ultime de la cohérence de vos calculs est de refaire le calcul pour le dernier côté (GEA) et de vérifier si vous retombez sur le gisement de départ (GAB) en utilisant l'angle en A. Si ce n'est pas le cas, vous avez fait une erreur de calcul intermédiaire.

Schéma (Avant les calculs)
Propagation du Gisement de A vers B et C
Y (Nord)Y (Nord)ABCG_AB=125grG_BC=46.31grαB
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} G_{\text{BC}} &= G_{\text{AB}} + \alpha_{\text{B, comp}} - 200 \\ &= 125.00 + 121.31 - 200 \\ &= 46.31 \text{ gr} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G_{\text{CD}} &= G_{\text{BC}} + \alpha_{\text{C, comp}} + 200 \\ &= 46.31 + 119.91 + 200 \\ &= 366.22 \text{ gr} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G_{\text{DE}} &= G_{\text{CD}} + \alpha_{\text{D, comp}} - 200 \\ &= 366.22 + 120.53 - 200 \\ &= 286.75 \text{ gr} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G_{\text{EA}} &= G_{\text{DE}} + \alpha_{\text{E, comp}} - 200 \\ &= 286.75 + 119.68 - 200 \\ &= 206.43 \text{ gr} \end{aligned} \]

Vérification de la fermeture :

\[ \begin{aligned} G_{\text{AB (recalculé})} &= G_{\text{EA}} + \alpha_{\text{A, comp}} - 200 \\ &= 206.43 + 118.57 - 200 \\ &= 125.00 \text{ gr} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Gisements de tous les côtés du polygone
ABCDEG=125.00G=46.31G=366.22G=286.75G=206.43
Réflexions

La vérification finale montre que nos gisements sont cohérents entre eux. Le fait de retomber exactement sur le gisement de départ prouve que la compensation angulaire a été correctement effectuée et que les calculs de propagation sont justes. Nous avons maintenant des orientations fiables pour tous les côtés.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est le choix de l'opération (+200 ou -200). Une autre est d'oublier d'utiliser les angles compensés au lieu des angles bruts. Une seule erreur dans la chaîne fausse tous les gisements suivants.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Le gisement permet d'orienter chaque côté par rapport à une direction unique (Nord).
  • Formule Essentielle : \( G_{\text{suivant}} = G_{\text{précédent}} + \alpha_{\text{comp}} \pm 200 \)
  • Point de Vigilance Majeur : Toujours utiliser les angles compensés et vérifier la fermeture en recalculant le premier gisement.
Le saviez-vous ?

Pour éviter les ambiguïtés sur le ±200, certains topographes utilisent une règle systématique : Gsuivant = Gprécédent + αinterne + 200. Ensuite, si le résultat est > 400, on soustrait 400. Si le résultat est > 800, on soustrait 800. Cela revient au même mais systématise le calcul.

FAQ
Que se passe-t-il si on parcourt le polygone dans l'autre sens (anti-horaire) ?

Si on parcourt le polygone en sens anti-horaire, les angles mesurés sont des angles externes. La formule de propagation devient alors : Gsuivant = Gprécédent - αexterne ± 200 gr. Le résultat final doit être identique.

Résultat Final
Les gisements compensés sont : GBC=46.31 gr, GCD=366.22 gr, GDE=286.75 gr, GEA=206.43 gr.
A vous de jouer

Si GDE = 286.75 gr et que l'angle interne compensé en E est de 119.68 gr, quel est le gisement GEA ?

Question 4 : Calculer l'erreur de fermeture linéaire

Principe

Maintenant que nous avons la longueur (distance) et l'orientation (gisement) de chaque côté, nous pouvons les décomposer en coordonnées rectangulaires : un déplacement sur l'axe des X (Est-Ouest) et un déplacement sur l'axe des Y (Nord-Sud). Dans un polygone fermé, si on part d'un point et qu'on y revient, le déplacement total devrait être nul. L'écart que l'on va trouver est l'erreur de fermeture linéaire.

Mini-Cours

La projection d'un segment de longueur D et de gisement G sur les axes se fait par trigonométrie simple. Le déplacement en X (ΔX) est D × sin(G) et le déplacement en Y (ΔY) est D × cos(G). L'erreur de fermeture en X (fx) est la somme de tous les ΔX, et l'erreur en Y (fy) est la somme de tous les ΔY.

Remarque Pédagogique

Cette étape combine les mesures de distance et les angles (via les gisements). C'est le premier moment où l'on vérifie la cohérence de TOUTES les mesures de terrain. Une grande erreur de fermeture linéaire peut provenir soit d'une erreur de distance, soit d'une erreur d'angle qui n'a pas été détectée.

Normes

La tolérance de fermeture linéaire est aussi définie par les cahiers des charges. Elle est souvent exprimée en fonction du périmètre (P) du polygone. Une formule courante est Tlin = k * √P, où k est un coefficient dépendant de la précision requise (par exemple k=0.04 m/km1/2). Pour notre périmètre de 664m, T ≈ 0.04 * √0.664 ≈ 0.032 m. Notre erreur de 0.865 m est donc très élevée, ce qui suggère une erreur dans les données de l'exercice (mais nous continuons pour la méthode).

Formule(s)
\[ \Delta X = D \times \sin(G) \]
\[ \Delta Y = D \times \cos(G) \]
\[ f_x = \sum \Delta X \quad ; \quad f_y = \sum \Delta Y \]
\[ f_T = \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \]
Hypothèses

Nous utilisons les distances mesurées brutes et les gisements calculés à partir des angles compensés. Nous supposons que la calculatrice est bien configurée en grades pour les fonctions trigonométriques.

Donnée(s)

Distances de l'énoncé, gisements de la question 3, et périmètre P = 664.34 m.

Astuces

Avant de calculer, regardez le schéma et estimez le signe des ΔX et ΔY. Pour le côté AB (gisement 125gr, Sud-Est), ΔX doit être positif et ΔY négatif. Pour BC (gisement 46gr, Nord-Est), ΔX et ΔY doivent être positifs. Cela permet de détecter rapidement une erreur de signe dans les calculs.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition d'un vecteur côté
YXABΔYΔXD_AB
Calcul(s)
CôtéGisement (gr)Distance (m)ΔX = D.sin(G)ΔY = D.cos(G)
AB125.00125.45118.913-39.366
BC46.31150.1298.508112.923
CD366.22110.80-60.03892.671
DE286.75135.67-120.35862.409
EA206.43142.30-37.143-137.494
SommeP=664.34fx = -0.118fy = -0.857
\[ \begin{aligned} f_T &= \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \\ &= \sqrt{(-0.118)^2 + (-0.857)^2} \\ &= \sqrt{0.0139 + 0.7344} \\ &= 0.865 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'Erreur de Fermeture
ABCDEA'f_T
Réflexions

L'erreur de fermeture est significative (86.5 cm). L'erreur est beaucoup plus importante en Y (-85.7 cm) qu'en X (-11.8 cm), ce qui indique une erreur systématique possible dans la direction Nord-Sud. Pour un exercice, nous allons la compenser, mais en conditions réelles, une telle erreur justifierait une vérification des mesures.

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur est la configuration de la calculatrice (degrés au lieu de grades). Vérifiez toujours ! Une autre erreur est d'inverser sinus et cosinus entre ΔX et ΔY. Souvenez-vous : X est "loin" de l'axe Y (Nord) donc on utilise sinus ; Y est "proche" de l'axe Y (Nord) donc on utilise cosinus.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : La somme des déplacements vectoriels dans une boucle fermée doit être nulle.
  • Formules Essentielles : \( \Delta X = D \sin(G) \), \( \Delta Y = D \cos(G) \)
  • Point de Vigilance Majeur : Assurez-vous que votre calculatrice est en mode GRADES.
Le saviez-vous ?

Avant les calculatrices, les topographes utilisaient des tables trigonométriques (comme les tables de Logarithmes de Bouvart et Ratinet) et faisaient ces calculs à la main sur des carnets. Le processus était long et fastidieux, et chaque calcul était souvent fait deux fois par deux personnes différentes pour vérification.

FAQ
D'où peut venir une grande erreur de fermeture linéaire si les angles sont bons ?

Elle peut venir d'une erreur grossière sur une mesure de distance (ex: 150.12 m noté au lieu de 105.12 m), ou d'une erreur systématique (ex: un ruban mal étalonné qui ajoute 1 cm tous les 10 mètres).

Résultat Final
L'erreur de fermeture linéaire est fx = -0.118 m et fy = -0.857 m.
A vous de jouer

Si pour un côté, D=100m et G=50gr, quelles sont les valeurs de ΔX et ΔY ?

Question 5 : Compenser les coordonnées

Principe

Maintenant que nous connaissons l'erreur totale (fx, fy), nous devons la répartir sur l'ensemble du parcours pour que le polygone se referme parfaitement. La méthode de Bowditch part du principe que les erreurs de distance sont aussi probables que les erreurs d'angle, et répartit donc l'erreur linéaire proportionnellement à la longueur de chaque côté. Un côté plus long recevra une plus grande part de la correction.

Mini-Cours

Pour chaque côté 'i' de longueur Di, on calcule une correction en X (Cxi) et en Y (Cyi). Cette correction est l'opposé de l'erreur totale (fx ou fy), pondérée par le rapport de la longueur du côté sur le périmètre total (Di / P). On calcule ensuite les ΔX et ΔY compensés, et enfin on cumule ces déplacements pour obtenir les coordonnées définitives de chaque point.

Remarque Pédagogique

Cette étape est la conclusion logique de tout le processus. C'est ici que l'on produit le résultat final : un ensemble de coordonnées fiables et géométriquement cohérentes. La somme des corrections (ΣCx et ΣCy) doit être exactement égale et de signe opposé à l'erreur de fermeture (ΣCx = -fx).

Normes

La méthode de compensation de Bowditch (ou "méthode de la boussole") est une méthode classique reconnue. D'autres méthodes existent, comme la méthode des transits ou la compensation par les moindres carrés, qui est plus rigoureuse mais aussi plus complexe à mettre en œuvre manuellement.

Formule(s)
\[ C_{x_i} = -f_x \times \frac{D_i}{\sum D} \]
\[ C_{y_i} = -f_y \times \frac{D_i}{\sum D} \]
\[ \Delta X_{\text{comp}} = \Delta X_{\text{brut}} + C_{x_i} \]
\[ \Delta Y_{\text{comp}} = \Delta Y_{\text{brut}} + C_{y_i} \]
\[ X_{n+1} = X_n + \Delta X_{\text{comp}} \]
\[ Y_{n+1} = Y_n + \Delta Y_{\text{comp}} \]
Hypothèses

La méthode de Bowditch suppose que les erreurs de positionnement des points sont proportionnelles à la longueur des côtés qui les définissent, ce qui est une approximation raisonnable pour de nombreux types de levés.

Donnée(s)

\(f_x = -0.118 \text{ m}\), \(f_y = -0.857 \text{ m}\), Périmètre \(P = 664.34 \text{ m}\), et les ΔX/ΔY bruts de la question 4.

Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul, on peut d'abord calculer les facteurs \(-f_x/P\) et \(-f_y/P\), puis les multiplier par chaque distance Di. Cela évite de retaper la division à chaque ligne.

Schéma (Avant les calculs)
Principe de la compensation de Bowditch
ABCDEA'Correction
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des corrections (exemple pour le côté AB)

\[ \begin{aligned} C_{x, \text{AB}} &= -f_x \times \frac{D_{\text{AB}}}{P} \\ &= -(-0.118) \times \frac{125.45}{664.34} \\ &= 0.022 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C_{y, \text{AB}} &= -f_y \times \frac{D_{\text{AB}}}{P} \\ &= -(-0.857) \times \frac{125.45}{664.34} \\ &= 0.162 \text{ m} \end{aligned} \]

Tableau récapitulatif des corrections et des déplacements compensés

CôtéCx (m)Cy (m)ΔX Compensé (m)ΔY Compensé (m)
AB0.0220.162118.913 + 0.022 = 118.935-39.366 + 0.162 = -39.204
BC0.0270.19498.508 + 0.027 = 98.535112.923 + 0.194 = 113.117
CD0.0200.143-60.038 + 0.020 = -60.01892.671 + 0.143 = 92.814
DE0.0240.175-120.358 + 0.024 = -120.33462.409 + 0.175 = 62.584
EA0.0250.183-37.143 + 0.025 = -37.118-137.494 + 0.183 = -137.311
Somme0.1180.8570.0000.000

Étape 2 : Calcul des coordonnées définitives

PointX (m)Y (m)
A1000.000500.000
B1000.000 + 118.935 = 1118.935500.000 - 39.204 = 460.796
C1118.935 + 98.535 = 1217.470460.796 + 113.117 = 573.913
D1217.470 - 60.018 = 1157.452573.913 + 92.814 = 666.727
E1157.452 - 120.334 = 1037.118666.727 + 62.584 = 729.311
A' (vérif)1037.118 - 37.118 = 1000.000729.311 - 137.311 = 500.000
Schéma (Après les calculs)
Polygone Final Compensé
ABCDE
Réflexions

Le calcul final de vérification montre que l'on retombe exactement sur les coordonnées du point A. La compensation a fonctionné : nous avons un ensemble de coordonnées cohérentes qui respectent la géométrie d'un polygone fermé tout en restant au plus près des mesures de terrain initiales.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une erreur de signe dans les corrections (oublier que \(C_x = -f_x\)...). Une autre est une erreur d'arrondi en cascade. Il est conseillé de garder plusieurs décimales pendant les calculs intermédiaires et de n'arrondir qu'à la toute fin.

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : La compensation répartit l'erreur pour forcer la fermeture géométrique.
  • Formule Essentielle : \( C_{x_i} = -f_x \times (D_i/P) \)
  • Point de Vigilance Majeur : La somme des ΔX compensés et des ΔY compensés doit être rigoureusement égale à zéro.
Le saviez-vous ?

Nathaniel Bowditch, qui a donné son nom à cette méthode, n'était pas un topographe mais un mathématicien et un navigateur américain du début du 19ème siècle. Il a développé cette règle pour ajuster les observations de navigation, et elle a ensuite été adoptée par les géomètres.

FAQ
Cette méthode est-elle toujours la meilleure ?

Pas forcément. Si l'on sait que les mesures d'angles sont beaucoup plus précises que les mesures de distances (ce qui est souvent le cas avec les instruments modernes), d'autres méthodes comme la méthode des transits, qui ne modifie que les distances, peuvent être plus appropriées.

Résultat Final
Les coordonnées définitives sont : B(1118.935, 460.796), C(1217.470, 573.913), D(1157.452, 666.727), E(1037.118, 729.311).
A vous de jouer

Si \(f_x = -0.10 \text{ m}\), \(P = 500 \text{ m}\), et un côté \(D_i\) mesure 100 m, quelle sera la correction \(C_{xi}\) pour ce côté ?

Outil Interactif : Visualisation du Levé

Utilisez le graphique ci-dessous pour visualiser l'impact de l'erreur de fermeture et le résultat après compensation. Les données de l'exercice sont utilisées pour le tracé.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la formule correcte pour la somme théorique des angles internes d'un polygone à 'n' sommets, en grades ?

2. Si l'erreur de fermeture angulaire fa est positive, cela signifie que :

3. La méthode de compensation de Bowditch répartit l'erreur linéaire...

4. Un gisement est un angle orienté par rapport à :

Polygonale (ou Cheminement)
Une méthode de levé topographique qui consiste à déterminer la position de points (stations) en mesurant les angles et les distances entre eux, formant ainsi une ligne brisée ou un polygone.
Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y) vers une direction donnée. Il est généralement exprimé en grades (gr).
Fermeture (Erreur de)
L'écart entre la valeur mesurée ou calculée et la valeur théorique attendue à la fin d'un parcours fermé. On distingue la fermeture angulaire et la fermeture linéaire.
Compensation (ou Ajustement)
Processus mathématique visant à répartir les erreurs de fermeture sur l'ensemble des mesures pour les rendre géométriquement cohérentes.
Exercice de Calcul Topographique

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2 Commentaires
  1. Brou Krou
    Brou Krou sur 27 février 2025 à 9h13

    je suis en Master 1 géomètre topographe . j’ai besoin des exercices et les corrections des cours de topographie en master 1

    Réponse
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