Études de cas pratique

EGC

Erreurs dans un Levé Topographique

Analyse des Erreurs dans un Levé Topographique

Comprendre les Erreurs en Topographie

Toute mesure en topographie est entachée d'erreurs, qu'elles soient systématiques (dues à un défaut de l'instrument ou de la méthode), accidentelles (aléatoires et imprévisibles) ou grossières (fautes de l'opérateur). L'analyse de la propagation de ces erreurs est cruciale pour évaluer la précision des résultats finaux (coordonnées de points, distances, angles). On utilise souvent l'écart-type (\(\sigma\)) pour quantifier l'incertitude sur une mesure. La loi de propagation des variances permet d'estimer l'incertitude sur une grandeur calculée à partir de plusieurs mesures indépendantes, chacune ayant sa propre incertitude.

Données de l'étude

Un topographe a mesuré par rayonnement un point P à partir d'une station S dont les coordonnées sont connues avec une très grande précision (considérées comme exactes pour cet exercice). Les mesures polaires (gisement et distance) pour déterminer P sont entachées d'erreurs.

Données de la station et des mesures :

  • Coordonnées de la station S : \(X_S = 200.000 \, \text{m}\), \(Y_S = 300.000 \, \text{m}\)
  • Mesures polaires de S vers P :
    • Distance horizontale mesurée (\(D_{SP}\)) : \(150.000 \, \text{m}\)
    • Écart-type sur la mesure de distance (\(\sigma_{D_{SP}}\)) : \(\pm 0.005 \, \text{m}\)
    • Gisement mesuré (\(G_{SP}\)) : \(50.0000 \, \text{gon}\)
    • Écart-type sur la mesure du gisement (\(\sigma_{G_{SP}}\)) : \(\pm 0.0020 \, \text{gon}\)

Rappels :

  • \(X_P = X_S + D_{SP} \sin(G_{SP})\)
  • \(Y_P = Y_S + D_{SP} \cos(G_{SP})\)
  • Pour la propagation des variances (erreurs indépendantes) : si \(Z = f(A, B)\), alors \(\sigma_Z^2 = \left(\frac{\partial f}{\partial A}\right)^2 \sigma_A^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial B}\right)^2 \sigma_B^2\).
  • Convertir les angles en radians pour les dérivées : \(\text{angle}_{\text{rad}} = \text{angle}_{\text{gon}} \times \frac{\pi}{200}\). L'écart-type sur l'angle doit aussi être converti en radians.

Schéma : Levé par Rayonnement et Propagation d'Erreur
S (X_S, Y_S) P (X_P, Y_P) D_SP ± σ_D N G_SP ± σ_G Propagation d'Erreurs

Levé du point P depuis la station S, avec indication des incertitudes sur la distance et le gisement, et l'ellipse d'erreur résultante sur P.

Questions à traiter

  1. Convertir le gisement \(G_{SP}\) et son écart-type \(\sigma_{G_{SP}}\) en radians.
  2. Calculer les coordonnées \(X_P\) et \(Y_P\) du point P.
  3. Calculer les dérivées partielles nécessaires pour la propagation des variances : \(\frac{\partial X_P}{\partial D_{SP}}\), \(\frac{\partial X_P}{\partial G_{SP}}\), \(\frac{\partial Y_P}{\partial D_{SP}}\), et \(\frac{\partial Y_P}{\partial G_{SP}}\).
  4. Calculer la variance de \(X_P\) (\(\sigma_{X_P}^2\)) et l'écart-type \(\sigma_{X_P}\).
  5. Calculer la variance de \(Y_P\) (\(\sigma_{Y_P}^2\)) et l'écart-type \(\sigma_{Y_P}\).

Correction : Analyse des Erreurs dans un Levé Topographique

Question 1 : Conversion du gisement et de son écart-type en radians

Principe :

Les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus) dans la plupart des langages de calcul et des formules de dérivation attendent des angles en radians. Il est donc nécessaire de convertir le gisement et son écart-type, donnés en grades (gon), en radians. La relation est \( \text{angle}_{\text{rad}} = \text{angle}_{\text{gon}} \times \frac{\pi}{200} \).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{Angle en radians} = \text{Angle en gon} \times \frac{\pi}{200}\]
Données spécifiques :
  • Gisement \(G_{SP}\) : \(50.0000 \, \text{gon}\)
  • Écart-type \(\sigma_{G_{SP}}\) : \(0.0020 \, \text{gon}\)
Calcul :

Gisement en radians :

\[ \begin{aligned} G_{SP\text{_rad}} &= 50.0000 \, \text{gon} \times \frac{\pi}{200 \, \text{gon}} \\ &= \frac{\pi}{4} \, \text{radians} \\ &\approx 0.785398 \, \text{radians} \end{aligned} \]

Écart-type du gisement en radians :

\[ \begin{aligned} \sigma_{G_{SP}\text{_rad}} &= 0.0020 \, \text{gon} \times \frac{\pi}{200 \, \text{gon}} \\ &= \frac{0.0020 \pi}{200} \, \text{radians} \\ &\approx 0.000031416 \, \text{radians} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
\(G_{SP\text{_rad}} \approx 0.7854 \, \text{radians}\)
\(\sigma_{G_{SP}\text{_rad}} \approx 0.0000314 \, \text{radians}\)

Question 2 : Calcul des coordonnées \(X_P\) et \(Y_P\)

Principe :

Les coordonnées rectangulaires d'un point P levé par rayonnement depuis une station S sont calculées en ajoutant aux coordonnées de S les décalages en X et Y. Ces décalages sont obtenus en utilisant le gisement de la direction SP et la distance SP.

Formule(s) utilisée(s) :
\[X_P = X_S + D_{SP} \sin(G_{SP\text{_rad}})\]
\[Y_P = Y_S + D_{SP} \cos(G_{SP\text{_rad}})\]
Données spécifiques :
  • \(X_S = 200.000 \, \text{m}\), \(Y_S = 300.000 \, \text{m}\)
  • \(D_{SP} = 150.000 \, \text{m}\)
  • \(G_{SP\text{_rad}} \approx 0.785398 \, \text{radians}\) (soit \(\pi/4\) radians ou \(50\) gon ou \(45^\circ\))
Calcul :

Note : \(\sin(\pi/4) = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.70710678\)

\[ \begin{aligned} X_P &= 200.000 + 150.000 \times \sin(0.785398) \\ &\approx 200.000 + 150.000 \times 0.70710678 \\ &\approx 200.000 + 106.066 \\ &\approx 306.066 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_P &= 300.000 + 150.000 \times \cos(0.785398) \\ &\approx 300.000 + 150.000 \times 0.70710678 \\ &\approx 300.000 + 106.066 \\ &\approx 406.066 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les coordonnées du point P sont :
\(X_P \approx 306.066 \, \text{m}\)
\(Y_P \approx 406.066 \, \text{m}\)

Question 3 : Calcul des dérivées partielles

Principe :

Pour appliquer la loi de propagation des variances, nous devons calculer les dérivées partielles des fonctions de calcul des coordonnées (\(X_P\) et \(Y_P\)) par rapport à chaque variable mesurée (\(D_{SP}\) et \(G_{SP}\)). Les angles doivent être en radians pour ces dérivations.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{\partial X_P}{\partial D_{SP}} = \sin(G_{SP\text{_rad}})\]
\[\frac{\partial X_P}{\partial G_{SP}} = D_{SP} \cos(G_{SP\text{_rad}})\]
\[\frac{\partial Y_P}{\partial D_{SP}} = \cos(G_{SP\text{_rad}})\]
\[\frac{\partial Y_P}{\partial G_{SP}} = -D_{SP} \sin(G_{SP\text{_rad}})\]
Données spécifiques :
  • \(D_{SP} = 150.000 \, \text{m}\)
  • \(G_{SP\text{_rad}} \approx 0.785398 \, \text{radians}\)
  • \(\sin(G_{SP\text{_rad}}) \approx 0.70710678\)
  • \(\cos(G_{SP\text{_rad}}) \approx 0.70710678\)
Calcul :
\[ \frac{\partial X_P}{\partial D_{SP}} \approx 0.70710678 \]
\[ \begin{aligned} \frac{\partial X_P}{\partial G_{SP}} &\approx 150.000 \times 0.70710678 \\ &\approx 106.066017 \, \text{m/rad} \end{aligned} \]
\[ \frac{\partial Y_P}{\partial D_{SP}} \approx 0.70710678 \]
\[ \begin{aligned} \frac{\partial Y_P}{\partial G_{SP}} &\approx -150.000 \times 0.70710678 \\ &\approx -106.066017 \, \text{m/rad} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
\(\frac{\partial X_P}{\partial D_{SP}} \approx 0.7071\)
\(\frac{\partial X_P}{\partial G_{SP}} \approx 106.066 \, \text{m/rad}\)
\(\frac{\partial Y_P}{\partial D_{SP}} \approx 0.7071\)
\(\frac{\partial Y_P}{\partial G_{SP}} \approx -106.066 \, \text{m/rad}\)

Question 4 : Variance \(\sigma_{X_P}^2\) et écart-type \(\sigma_{X_P}\)

Principe :

La variance de la coordonnée \(X_P\) est calculée en utilisant la loi de propagation des variances, en supposant que les erreurs sur la distance et le gisement sont indépendantes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{X_P}^2 = \left(\frac{\partial X_P}{\partial D_{SP}}\right)^2 \sigma_{D_{SP}}^2 + \left(\frac{\partial X_P}{\partial G_{SP}}\right)^2 \sigma_{G_{SP}\text{_rad}}^2\]
\[\sigma_{X_P} = \sqrt{\sigma_{X_P}^2}\]
Données spécifiques :
  • \(\frac{\partial X_P}{\partial D_{SP}} \approx 0.70710678\)
  • \(\sigma_{D_{SP}} = 0.005 \, \text{m}\)
  • \(\frac{\partial X_P}{\partial G_{SP}} \approx 106.066017 \, \text{m/rad}\)
  • \(\sigma_{G_{SP}\text{_rad}} \approx 0.000031416 \, \text{radians}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{X_P}^2 &\approx (0.70710678)^2 \times (0.005)^2 + (106.066017)^2 \times (0.000031416)^2 \\ &\approx (0.5000) \times (0.000025) + (11250.00) \times (9.8696 \times 10^{-10}) \\ &\approx 0.0000125 + 0.0000111033 \\ &\approx 0.0000236033 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_{X_P} &= \sqrt{0.0000236033} \\ &\approx 0.004858 \, \text{m} \end{aligned} \]

Soit environ \(4.9 \, \text{mm}\).

Résultat Question 4 : L'écart-type sur la coordonnée \(X_P\) est \(\sigma_{X_P} \approx 0.0049 \, \text{m}\) (ou \(4.9 \, \text{mm}\)).

Question 5 : Variance \(\sigma_{Y_P}^2\) et écart-type \(\sigma_{Y_P}\)

Principe :

De même, la variance de la coordonnée \(Y_P\) est calculée en utilisant la loi de propagation des variances.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{Y_P}^2 = \left(\frac{\partial Y_P}{\partial D_{SP}}\right)^2 \sigma_{D_{SP}}^2 + \left(\frac{\partial Y_P}{\partial G_{SP}}\right)^2 \sigma_{G_{SP}\text{_rad}}^2\]
\[\sigma_{Y_P} = \sqrt{\sigma_{Y_P}^2}\]
Données spécifiques :
  • \(\frac{\partial Y_P}{\partial D_{SP}} \approx 0.70710678\)
  • \(\sigma_{D_{SP}} = 0.005 \, \text{m}\)
  • \(\frac{\partial Y_P}{\partial G_{SP}} \approx -106.066017 \, \text{m/rad}\)
  • \(\sigma_{G_{SP}\text{_rad}} \approx 0.000031416 \, \text{radians}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{Y_P}^2 &\approx (0.70710678)^2 \times (0.005)^2 + (-106.066017)^2 \times (0.000031416)^2 \\ &\approx (0.5000) \times (0.000025) + (11250.00) \times (9.8696 \times 10^{-10}) \\ &\approx 0.0000125 + 0.0000111033 \\ &\approx 0.0000236033 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Note : Les termes sont identiques à ceux pour \(\sigma_{X_P}^2\) car \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ)\) et le carré de la dérivée partielle par rapport à \(G_{SP}\) est le même.

\[ \begin{aligned} \sigma_{Y_P} &= \sqrt{0.0000236033} \\ &\approx 0.004858 \, \text{m} \end{aligned} \]

Soit environ \(4.9 \, \text{mm}\).

Résultat Question 5 : L'écart-type sur la coordonnée \(Y_P\) est \(\sigma_{Y_P} \approx 0.0049 \, \text{m}\) (ou \(4.9 \, \text{mm}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si l'erreur sur la mesure de distance est la seule source d'erreur (\(\sigma_{G_{SP}}=0\)), l'ellipse d'erreur du point P serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La propagation des variances est utilisée pour :

2. Un écart-type plus petit sur une mesure signifie :

3. Pour les calculs de propagation d'erreur impliquant des fonctions trigonométriques, les angles et leurs écarts-types doivent généralement être exprimés en :

Glossaire

Erreur de Mesure
Différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie (ou considérée comme telle) d'une grandeur.
Écart-type (\(\sigma\))
Mesure statistique de la dispersion des valeurs d'un ensemble de données autour de leur moyenne. En topographie, il quantifie la précision d'une mesure ou d'une grandeur calculée.
Variance (\(\sigma^2\))
Carré de l'écart-type. C'est une mesure de la dispersion des données.
Loi de Propagation des Variances
Formule mathématique permettant de calculer la variance (et donc l'écart-type) d'une fonction de plusieurs variables aléatoires indépendantes, connaissant les variances de ces variables.
Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction Nord jusqu'à une direction donnée.
Coordonnées Polaires
Système de coordonnées pour localiser un point par un angle (gisement) et une distance par rapport à un point d'origine.
Coordonnées Rectangulaires (Cartésiennes)
Système de coordonnées pour localiser un point par ses distances aux axes d'un système orthogonal (X, Y).
Rayonnement (Topographie)
Méthode de levé de points par mesure d'angle et de distance depuis une station connue.
Analyse des Erreurs dans un Levé Topographique - Exercice d'Application

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2 Commentaires
  1. Brou Krou
    Brou Krou sur 27 février 2025 à 9h13

    je suis en Master 1 géomètre topographe . j’ai besoin des exercices et les corrections des cours de topographie en master 1

    Réponse
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