Études de cas pratique

EGC

Calcul des altitudes en topographie

Calcul des Altitudes en Topographie

Calcul des Altitudes en Topographie

Comprendre le Calcul des Altitudes

Le calcul des altitudes est une opération fondamentale en topographie, permettant de déterminer la hauteur d'un point par rapport à une surface de référence, généralement le niveau moyen de la mer (représenté par des repères de nivellement). Plusieurs méthodes existent, dont le nivellement direct (géométrique) et le nivellement indirect (trigonométrique). Le nivellement indirect trigonométrique, souvent réalisé avec une station totale, utilise la mesure d'un angle vertical (ou zénithal) et d'une distance (inclinée ou horizontale) pour calculer la dénivelée entre la station de l'instrument et le point visé. Il faut également tenir compte de la hauteur de l'instrument et de la hauteur du prisme ou de la mire sur le point visé.

Données de l'étude

Un topographe stationne son instrument (station totale) au point S, dont l'altitude est connue. Il vise successivement deux points P1 et P2 pour déterminer leurs altitudes.

Données de la station S :

  • Altitude de la station S (\(Z_{\text{S}}\)) : \(152.350 \, \text{m}\)
  • Hauteur de l'instrument à la station S (\(h_i\)) : \(1.580 \, \text{m}\)

Mesures effectuées depuis la station S :

Point Visé Angle Zénithal (\(A_z\))
(en degrés décimaux)		 Distance Inclinée (\(D_i\))
(en mètres)		 Hauteur du Prisme/Mire (\(h_p\))
(en mètres)
P1 \(88.5250^\circ\) \(75.450 \, \text{m}\) \(1.600 \, \text{m}\)
P2 \(92.1750^\circ\) \(110.230 \, \text{m}\) \(1.850 \, \text{m}\)

Note : L'angle zénithal est l'angle mesuré depuis la verticale (zénith) vers la visée. Un angle \(< 90^\circ\) indique une visée montante, \(> 90^\circ\) une visée descendante, et \(90^\circ\) une visée horizontale.

Schéma : Nivellement Indirect Trigonométrique
Station S P1 hi Axe optique Di_P1 hp_P1 Zénith Az_P1 DH_P1 ΔZ_P1 Calcul d'Altitude par Nivellement Indirect

Schéma illustrant le nivellement indirect trigonométrique d'un point P1 depuis une station S.

Questions à traiter

  1. Définir le nivellement indirect (ou trigonométrique). Quelle est la différence principale avec le nivellement direct ?
  2. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z_{\text{SP1}}\)) entre l'axe optique de l'instrument à la station S et le point visé sur le prisme en P1.
  3. Calculer l'altitude du point P1 (\(Z_{\text{P1}}\)).
  4. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z_{\text{SP2}}\)) entre l'axe optique de l'instrument à la station S et le point visé sur le prisme en P2.
  5. Calculer l'altitude du point P2 (\(Z_{\text{P2}}\)).
  6. Calculer la dénivelée entre P1 et P2 (\(\Delta Z_{\text{P1P2}}\)). Le point P2 est-il plus haut ou plus bas que P1 ?

Correction : Calcul des Altitudes en Topographie

Question 1 : Définition du nivellement indirect

Définition :

Le nivellement indirect, ou nivellement trigonométrique, est une méthode de détermination des différences d'altitude (dénivelées) entre des points en mesurant des angles verticaux (ou zénithaux) et des distances (inclinées ou horizontales). Contrairement au nivellement direct qui utilise un plan de visée strictement horizontal, le nivellement indirect permet des visées inclinées.

Différence principale avec le nivellement direct :

La différence principale réside dans le type de mesure et l'instrumentation. Le nivellement direct utilise un niveau pour établir un plan de visée horizontal et mesure directement des hauteurs sur une mire graduée. Les calculs sont basés sur des additions et soustractions de lectures de mire et d'altitudes de plans de visée. Le nivellement indirect utilise un théodolite ou une station totale pour mesurer des angles verticaux (ou zénithaux) et des distances. Les dénivelées sont ensuite calculées par des relations trigonométriques. Il est souvent plus rapide pour des terrains accidentés ou pour des visées longues, mais peut être moins précis sur de courtes distances que le nivellement direct de haute précision si les conditions atmosphériques ne sont pas prises en compte (réfraction).

Résultat Question 1 : Le nivellement indirect calcule les dénivelées via mesures d'angles verticaux et de distances, contrairement au nivellement direct qui utilise un plan de visée horizontal et des lectures directes sur mire.

Question 2 : Dénivelée (\(\Delta Z_{\text{SP1}}\)) entre axe optique et prisme P1

Principe :

La dénivelée (\(\Delta Z\)) entre l'axe optique de l'instrument et le point visé sur le prisme est calculée à partir de la distance inclinée (\(D_i\)) et de l'angle zénithal (\(A_z\)). L'angle vertical \(V\) par rapport à l'horizontale est \(V = 90^\circ - A_z\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta Z = D_i \cdot \cos(A_z) \]

Alternativement, avec l'angle vertical \(V = 90^\circ - A_z\):

\[ \Delta Z = D_i \cdot \sin(V) \]
Données spécifiques pour P1 :
  • Distance Inclinée \(D_{i,P1} = 75.450 \, \text{m}\)
  • Angle Zénithal \(A_{z,P1} = 88.5250^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{SP1}} &= D_{i,P1} \cdot \cos(A_{z,P1}) \\ &= 75.450 \, \text{m} \cdot \cos(88.5250^\circ) \\ &= 75.450 \, \text{m} \cdot 0.025746 \\ &\approx +1.942 \, \text{m} \end{aligned} \]

Un \(\Delta Z\) positif indique que le point visé sur le prisme est plus haut que l'axe optique de l'instrument (visée montante, car \(A_z < 90^\circ\)).

Résultat Question 2 : La dénivelée entre l'axe optique à S et le prisme en P1 est \(\Delta Z_{\text{SP1}} \approx +1.942 \, \text{m}\).

Question 3 : Altitude du point P1 (\(Z_{\text{P1}}\))

Principe :

L'altitude d'un point P visé depuis une station S est calculée par : \(Z_{\text{P}} = Z_{\text{S}} + h_i + \Delta Z_{\text{SP}} - h_p\), où \(h_i\) est la hauteur de l'instrument à la station S, \(\Delta Z_{\text{SP}}\) est la dénivelée entre l'axe optique et le prisme, et \(h_p\) est la hauteur du prisme au-dessus du point P.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{P}} = Z_{\text{S}} + h_i + \Delta Z_{\text{SP}} - h_p\]
Données spécifiques pour P1 :
  • Altitude de S (\(Z_{\text{S}}\)) : \(152.350 \, \text{m}\)
  • Hauteur de l'instrument (\(h_i\)) : \(1.580 \, \text{m}\)
  • Dénivelée \(\Delta Z_{\text{SP1}} \approx +1.942 \, \text{m}\)
  • Hauteur du prisme en P1 (\(h_{p,P1}\)) : \(1.600 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{P1}} &= Z_{\text{S}} + h_i + \Delta Z_{\text{SP1}} - h_{p,P1} \\ &= 152.350 \, \text{m} + 1.580 \, \text{m} + 1.942 \, \text{m} - 1.600 \, \text{m} \\ &= 153.930 \, \text{m} + 1.942 \, \text{m} - 1.600 \, \text{m} \\ &= 155.872 \, \text{m} - 1.600 \, \text{m} \\ &= 154.272 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'altitude du point P1 est \(Z_{\text{P1}} \approx 154.272 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la hauteur du prisme \(h_p\) en P1 était de \(1.500 \, \text{m}\) au lieu de \(1.600 \, \text{m}\), l'altitude \(Z_{\text{P1}}\) serait :

Question 4 : Dénivelée (\(\Delta Z_{\text{SP2}}\)) entre axe optique et prisme P2

Principe :

Similaire à la Q2, on calcule la dénivelée pour le point P2.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta Z = D_i \cdot \cos(A_z) \]
Données spécifiques pour P2 :
  • Distance Inclinée \(D_{i,P2} = 110.230 \, \text{m}\)
  • Angle Zénithal \(A_{z,P2} = 92.1750^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{SP2}} &= D_{i,P2} \cdot \cos(A_{z,P2}) \\ &= 110.230 \, \text{m} \cdot \cos(92.1750^\circ) \\ &= 110.230 \, \text{m} \cdot (-0.037948) \\ &\approx -4.183 \, \text{m} \end{aligned} \]

Un \(\Delta Z\) négatif indique que le point visé sur le prisme est plus bas que l'axe optique de l'instrument (visée descendante, car \(A_z > 90^\circ\)).

Résultat Question 4 : La dénivelée entre l'axe optique à S et le prisme en P2 est \(\Delta Z_{\text{SP2}} \approx -4.183 \, \text{m}\).

Question 5 : Altitude du point P2 (\(Z_{\text{P2}}\))

Principe :

Similaire à la Q3, on utilise la formule \(Z_{\text{P}} = Z_{\text{S}} + h_i + \Delta Z_{\text{SP}} - h_p\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{P}} = Z_{\text{S}} + h_i + \Delta Z_{\text{SP}} - h_p\]
Données spécifiques pour P2 :
  • Altitude de S (\(Z_{\text{S}}\)) : \(152.350 \, \text{m}\)
  • Hauteur de l'instrument (\(h_i\)) : \(1.580 \, \text{m}\)
  • Dénivelée \(\Delta Z_{\text{SP2}} \approx -4.183 \, \text{m}\)
  • Hauteur du prisme en P2 (\(h_{p,P2}\)) : \(1.850 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{P2}} &= Z_{\text{S}} + h_i + \Delta Z_{\text{SP2}} - h_{p,P2} \\ &= 152.350 \, \text{m} + 1.580 \, \text{m} + (-4.183 \, \text{m}) - 1.850 \, \text{m} \\ &= 153.930 \, \text{m} - 4.183 \, \text{m} - 1.850 \, \text{m} \\ &= 149.747 \, \text{m} - 1.850 \, \text{m} \\ &= 147.897 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'altitude du point P2 est \(Z_{\text{P2}} \approx 147.897 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si l'angle zénithal \(A_{z,P2}\) était de \(90^\circ\), la dénivelée \(\Delta Z_{\text{SP2}}\) serait :

Question 6 : Dénivelée entre P1 et P2 (\(\Delta Z_{\text{P1P2}}\))

Principe :

La dénivelée entre deux points P1 et P2 est la différence de leurs altitudes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta Z_{\text{P1P2}} = Z_{\text{P2}} - Z_{\text{P1}} \]
Données spécifiques :
  • \(Z_{\text{P1}} \approx 154.272 \, \text{m}\)
  • \(Z_{\text{P2}} \approx 147.897 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{P1P2}} &= 147.897 \, \text{m} - 154.272 \, \text{m} \\ &= -6.375 \, \text{m} \end{aligned} \]

Puisque la dénivelée est négative, le point P2 est plus bas que le point P1.

Résultat Question 6 : La dénivelée entre P1 et P2 est \(\Delta Z_{\text{P1P2}} \approx -6.375 \, \text{m}\). Le point P2 est plus bas que P1.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. Un angle zénithal de \(90^\circ\) indique une visée :

8. Dans la formule \(Z_{\text{P}} = Z_{\text{S}} + h_i + \Delta Z_{\text{SP}} - h_p\), si \(h_p\) augmente, l'altitude calculée \(Z_{\text{P}}\) :

9. La dénivelée \(\Delta Z_{\text{SP}}\) est négative lorsque :

Glossaire

Nivellement Indirect (ou Trigonométrique)
Méthode de détermination des différences d'altitude par mesure d'angles verticaux (ou zénithaux) et de distances (inclinées ou horizontales).
Altitude (\(Z\))
Hauteur d'un point par rapport à une surface de référence donnée (généralement le niveau moyen des mers).
Hauteur de l'Instrument (\(h_i\))
Distance verticale entre le point de station au sol et l'axe optique (axe des tourillons) de l'instrument topographique.
Hauteur du Prisme/Mire (\(h_p\))
Distance verticale entre le point au sol visé et le centre du prisme réflecteur (ou la graduation lue sur la mire).
Angle Zénithal (\(A_z\))
Angle mesuré dans un plan vertical, à partir de la direction du zénith (verticale ascendante) jusqu'à la ligne de visée. Varie de \(0^\circ\) (visée au zénith) à \(180^\circ\) (visée au nadir).
Angle Vertical (\(V\))
Angle mesuré dans un plan vertical, à partir de l'horizontale jusqu'à la ligne de visée. Positif pour une visée montante, négatif pour une visée descendante. \(V = 90^\circ - A_z\).
Distance Inclinée (\(D_i\))
Distance directe mesurée entre l'instrument et le prisme (ou la mire).
Dénivelée (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude entre deux points. Pour le nivellement indirect, \(\Delta Z_{\text{axe optique-prisme}} = D_i \cdot \cos(A_z)\).
Calcul des Altitudes en Topographie - Exercice d'Application

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