Études de cas pratique

EGC

Méthode Topométrique de Rayonnement

Méthode Topométrique de Rayonnement en Topographie

Méthode Topométrique de Rayonnement

Comprendre la Méthode de Rayonnement

La méthode de rayonnement (ou levé par rayonnement) est une technique topographique fondamentale utilisée pour déterminer les coordonnées de points d'intérêt à partir d'un point de station unique dont les coordonnées sont connues (ou d'une station orientée). Depuis ce point de station, l'opérateur mesure l'angle horizontal (gisement ou angle par rapport à une référence) et la distance horizontale vers chaque point à lever. Ces mesures polaires (angle et distance) sont ensuite converties en coordonnées cartésiennes (X, Y) pour chaque point rayonné. Cette méthode est rapide et efficace pour lever des détails autour d'un point de station accessible.

Données de l'étude

Un topographe est stationné au point S et a orienté son instrument en visant un point de référence connu R. Il doit déterminer les coordonnées de deux nouveaux points P1 et P2 par rayonnement.

Coordonnées du point de station S (en mètres) :

  • \(X_S = 500.000 \, \text{m}\)
  • \(Y_S = 1200.000 \, \text{m}\)

Gisement de la référence SR (orientement de la station) :

  • \(G_{SR} = 45.0000^\circ\)

Mesures effectuées depuis la station S vers les points P1 et P2 :

Point Visé Angle Horizontal Lu (\(L_H\))
(par rapport à la référence SR)		 Distance Horizontale (\(D_H\))
(en mètres)
P1 \(30.0000^\circ\) \(150.520 \, \text{m}\)
P2 \(110.0000^\circ\) \(205.350 \, \text{m}\)

Note : Les angles horizontaux lus (\(L_H\)) sont mesurés dans le sens horaire à partir de la direction de référence SR.

Schéma : Levé par Rayonnement
S (X_S, Y_S) R (Référence) G_SR P1 D_H1 L_H1 P2 D_H2 L_H2 N Levé par Rayonnement

Schéma illustrant le levé des points P1 et P2 par rayonnement depuis la station S, orientée sur R.

Questions à traiter

  1. Définir la méthode de rayonnement en topographie. Quels sont ses avantages et inconvénients ?
  2. Calculer le gisement de la visée SP1 (\(G_{\text{SP1}}\)).
  3. Calculer les coordonnées du point P1 (\(X_{\text{P1}}, Y_{\text{P1}}\)).
  4. Calculer le gisement de la visée SP2 (\(G_{\text{SP2}}\)).
  5. Calculer les coordonnées du point P2 (\(X_{\text{P2}}, Y_{\text{P2}}\)).
  6. Calculer la distance entre les points P1 et P2.

Correction : Méthode Topométrique de Rayonnement

Question 1 : Définition, avantages et inconvénients du rayonnement

Définition :

La méthode de rayonnement est une technique de levé topographique qui consiste à déterminer la position de points (dits "rayonnés") à partir d'un seul point de station connu et orienté. Pour chaque point rayonné, on mesure un angle horizontal (par rapport à une direction de référence ou un gisement connu) et une distance horizontale depuis la station.

Avantages :
  • Rapidité : Permet de lever de nombreux points rapidement depuis une seule station.
  • Simplicité : Les calculs pour déterminer les coordonnées des points rayonnés sont directs.
  • Efficacité pour les levés de détails : Idéal pour lever des objets, des limites de parcelles, des points caractéristiques du terrain autour de la station.
  • Moins de déplacements d'instrument si la zone à lever est bien couverte depuis la station.
Inconvénients :
  • Portée limitée : La précision diminue avec l'augmentation de la distance à la station. La portée est limitée par la capacité de l'instrument de mesure de distance.
  • Dépendance à la station : Une erreur sur les coordonnées de la station ou sur son orientation affecte tous les points rayonnés.
  • Obstacles : La visibilité directe entre la station et les points à lever est nécessaire.
  • Pas de contrôle indépendant direct : Les points sont déterminés par une seule série de mesures depuis la station, ce qui offre moins de possibilités de vérification interne que des méthodes comme le cheminement ou la triangulation pour les points principaux du canevas.
Résultat Question 1 : Le rayonnement est une méthode de levé de points depuis une station unique par mesures d'angles et de distances. Rapide et simple, elle est limitée par la portée et la visibilité, et sensible aux erreurs de station.

Question 2 : Gisement de la visée SP1 (\(G_{\text{SP1}}\))

Principe :

Le gisement d'une visée depuis la station S vers un point P (\(G_{\text{SP}}\)) est obtenu en ajoutant l'angle horizontal lu (\(L_H\)) vers P au gisement de la référence (\(G_{\text{SR}}\)). Les angles lus sont mesurés dans le sens horaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{\text{SP}} = (G_{\text{SR}} + L_H) \pmod{360^\circ}\]

L'opérateur modulo \(360^\circ\) assure que le gisement reste dans l'intervalle \([0^\circ, 360^\circ[\).

Données spécifiques pour P1 :
  • \(G_{\text{SR}} = 45.0000^\circ\)
  • \(L_{H,P1} = 30.0000^\circ\) (Angle horizontal lu pour P1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} G_{\text{SP1}} &= (45.0000^\circ + 30.0000^\circ) \pmod{360^\circ} \\ &= 75.0000^\circ \pmod{360^\circ} \\ &= 75.0000^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le gisement de la visée SP1 est \(G_{\text{SP1}} = 75.0000^\circ\).

Question 3 : Coordonnées du point P1 (\(X_{\text{P1}}, Y_{\text{P1}}\))

Principe :

Les coordonnées d'un point rayonné P sont calculées à partir des coordonnées de la station S, de la distance horizontale \(D_H\) de S à P, et du gisement \(G_{\text{SP}}\) de la visée SP.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ X_{\text{P}} = X_{\text{S}} + D_H \cdot \sin(G_{\text{SP}}) \]
\[ Y_{\text{P}} = Y_{\text{S}} + D_H \cdot \cos(G_{\text{SP}}) \]

Les fonctions trigonométriques (\(\sin, \cos\)) doivent utiliser l'angle en radians si c'est ce qu'elles attendent.

Données spécifiques pour P1 :
  • \(X_{\text{S}} = 500.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 1200.000 \, \text{m}\)
  • \(D_{H,P1} = 150.520 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{SP1}} = 75.0000^\circ\)
Calcul :

Conversion de \(G_{\text{SP1}}\) en radians : \(G_{\text{SP1,rad}} = 75.0000^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 1.3089969 \, \text{rad}\)

\[ \begin{aligned} X_{\text{P1}} &= 500.000 + 150.520 \cdot \sin(75.0000^\circ) \\ &= 500.000 + 150.520 \cdot 0.9659258 \\ &\approx 500.000 + 145.380 \\ &\approx 645.380 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P1}} &= 1200.000 + 150.520 \cdot \cos(75.0000^\circ) \\ &= 1200.000 + 150.520 \cdot 0.2588190 \\ &\approx 1200.000 + 38.956 \\ &\approx 1238.956 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Les coordonnées du point P1 sont environ \(X_{\text{P1}} \approx 645.380 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P1}} \approx 1238.956 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la distance horizontale \(D_{H,P1}\) était de \(100.000 \, \text{m}\) (avec le même gisement), la coordonnée \(X_{\text{P1}}\) serait :

Question 4 : Gisement de la visée SP2 (\(G_{\text{SP2}}\))

Principe :

Similaire à la Q2, le gisement de la visée SP2 est obtenu en ajoutant l'angle horizontal lu (\(L_H\)) vers P2 au gisement de la référence (\(G_{\text{SR}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{\text{SP}} = (G_{\text{SR}} + L_H) \pmod{360^\circ}\]
Données spécifiques pour P2 :
  • \(G_{\text{SR}} = 45.0000^\circ\)
  • \(L_{H,P2} = 110.0000^\circ\) (Angle horizontal lu pour P2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} G_{\text{SP2}} &= (45.0000^\circ + 110.0000^\circ) \pmod{360^\circ} \\ &= 155.0000^\circ \pmod{360^\circ} \\ &= 155.0000^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le gisement de la visée SP2 est \(G_{\text{SP2}} = 155.0000^\circ\).

Question 5 : Coordonnées du point P2 (\(X_{\text{P2}}, Y_{\text{P2}}\))

Principe :

Similaire à la Q3, on utilise les coordonnées de S, la distance \(D_{H,P2}\) et le gisement \(G_{\text{SP2}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ X_{\text{P}} = X_{\text{S}} + D_H \cdot \sin(G_{\text{SP}}) \]
\[ Y_{\text{P}} = Y_{\text{S}} + D_H \cdot \cos(G_{\text{SP}}) \]
Données spécifiques pour P2 :
  • \(X_{\text{S}} = 500.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 1200.000 \, \text{m}\)
  • \(D_{H,P2} = 205.350 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{SP2}} = 155.0000^\circ\)
Calcul :

Conversion de \(G_{\text{SP2}}\) en radians : \(G_{\text{SP2,rad}} = 155.0000^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 2.7052603 \, \text{rad}\)

\[ \begin{aligned} X_{\text{P2}} &= 500.000 + 205.350 \cdot \sin(155.0000^\circ) \\ &= 500.000 + 205.350 \cdot 0.4226183 \\ &\approx 500.000 + 86.796 \\ &\approx 586.796 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P2}} &= 1200.000 + 205.350 \cdot \cos(155.0000^\circ) \\ &= 1200.000 + 205.350 \cdot (-0.9063078) \\ &\approx 1200.000 - 186.100 \\ &\approx 1013.900 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Les coordonnées du point P2 sont environ \(X_{\text{P2}} \approx 586.796 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P2}} \approx 1013.900 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Un gisement de \(155^\circ\) se situe dans quel quadrant ?

Question 6 : Distance entre les points P1 et P2

Principe :

La distance entre deux points P1(\(X_{\text{P1}}, Y_{\text{P1}}\)) et P2(\(X_{\text{P2}}, Y_{\text{P2}}\)) est calculée en utilisant la formule de la distance euclidienne, similaire à la Q1.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ d_{\text{P1P2}} = \sqrt{(X_{\text{P2}} - X_{\text{P1}})^2 + (Y_{\text{P2}} - Y_{\text{P1}})^2} \]
Données spécifiques :
  • P1 : \(X_{\text{P1}} \approx 645.380 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P1}} \approx 1238.956 \, \text{m}\)
  • P2 : \(X_{\text{P2}} \approx 586.796 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P2}} \approx 1013.900 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{P1P2}} &= X_{\text{P2}} - X_{\text{P1}} \approx 586.796 - 645.380 = -58.584 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{P1P2}} &= Y_{\text{P2}} - Y_{\text{P1}} \approx 1013.900 - 1238.956 = -225.056 \, \text{m} \\ d_{\text{P1P2}} &= \sqrt{(-58.584)^2 + (-225.056)^2} \\ &= \sqrt{3432.089856 + 50650.203136} \\ &= \sqrt{54082.293} \\ &\approx 232.556 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La distance entre les points P1 et P2 est d'environ \(232.556 \, \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. Dans la méthode de rayonnement, les coordonnées d'un point sont calculées à partir de :

8. Le gisement d'une ligne est :

9. Si le gisement de la référence SR est \(0^\circ\) (Nord) et l'angle horizontal lu vers un point P est \(90^\circ\), le gisement SP est :

Glossaire

Rayonnement (Levé par)
Méthode de levé topographique consistant à déterminer la position de points par mesure d'un angle horizontal et d'une distance horizontale à partir d'une station connue et orientée.
Point de Station (S)
Point sur lequel l'instrument topographique (théodolite, station totale) est installé pour effectuer des mesures.
Référence (R)
Direction connue ou point de visée utilisé pour orienter l'instrument à la station et définir l'origine des angles horizontaux mesurés.
Angle Horizontal Lu (\(L_H\))
Angle mesuré dans le plan horizontal par l'instrument, généralement dans le sens horaire, à partir de la direction de référence vers le point visé.
Distance Horizontale (\(D_H\))
Distance entre la station et le point visé, réduite à l'horizontale.
Gisement (ou Azimuth)
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir d'une direction de référence (généralement le Nord géographique ou magnétique) jusqu'à une ligne ou une direction donnée.
Coordonnées Cartésiennes
Système de positionnement de points dans un plan (par exemple, X et Y, souvent Est et Nord respectivement en topographie) par rapport à des axes orthogonaux.
Méthode Topométrique de Rayonnement - Exercice d'Application

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