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Calcul la résistance d’une planche de bois

Calcul de la Résistance d’une Planche de Bois en Structure

Calcul de la Résistance d’une Planche de Bois

Contexte : Le bois, un matériau structurel durable et performant.

Le bois est l'un des plus anciens matériaux de construction, et il connaît un renouveau grâce à ses propriétés écologiques et mécaniques. En structure, son dimensionnement doit suivre des règles précises pour garantir la sécurité et la durabilité des ouvrages. Contrairement à l'acier, le bois est un matériau orthotrope dont la résistance dépend de nombreux facteurs : son essence, sa classe de résistance, l'humidité, la durée d'application des charges, etc. Cet exercice vous guidera à travers la vérification complète d'une solive de plancher en bois selon les principes de la norme Eurocode 5Norme européenne (EN 1995) qui définit les règles de conception et de calcul des structures en bois..

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche de l'ingénieur structure bois. Il ne s'agit pas seulement d'appliquer une formule, mais de comprendre comment les caractéristiques du matériau (obtenues via sa classe), les conditions d'usage (classe de service, durée des charges) et les exigences de sécurité (coefficients) se combinent pour aboutir à un dimensionnement fiable. Nous allons vérifier les trois critères fondamentaux : résistance à la flexion, au cisaillement et limitation de la flèche.

Objectifs Pédagogiques

  • Déterminer les charges de calcul à l'État Limite Ultime (ELU) et de Service (ELS).
  • Calculer la résistance de calcul en flexion et en cisaillement d'une section en bois.
  • Vérifier la sécurité d'une solive vis-à-vis de la flexion et du cisaillement.
  • Calculer la flèche d'une poutre sous charges de service.
  • Vérifier le confort et la durabilité en limitant la flèche calculée.

Données de l'étude

On étudie une solive de plancher d'habitation en bois résineux. La solive est simplement appuyée à ses deux extrémités. Elle supporte les charges du plancher (permanentes) et les charges d'exploitation (variables).

Schéma de la solive et de son chargement
q (G+Q) L = 4.0 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Classe de résistance du bois - C24 -
Dimensions de la section \(b \times h\) 75 x 225 \(\text{mm}\)
Portée entre appuis \(L\) 4.0 \(\text{m}\)
Charge permanente (hors poids propre) \(G_{\text{k}}\) 1.0 \(\text{kN/m}\)
Charge d'exploitation (variable) \(Q_{\text{k}}\) 1.5 \(\text{kN/m}\)
Conditions d'humidité - Classe de service 1 -
Durée des charges d'exploitation - Moyen terme -

Questions à traiter

  1. Déterminer les charges de calcul à l'ELU (\(q_{\text{d}}\)) et la combinaison de charges à l'ELS (\(q_{\text{ser}}\)).
  2. Vérifier la résistance de la solive à la flexion.
  3. Vérifier la résistance de la solive au cisaillement.
  4. Vérifier la flèche finale de la solive et conclure sur son dimensionnement.

Les bases du calcul des structures bois (Eurocode 5)

Avant la correction, revoyons les concepts fondamentaux du dimensionnement bois.

1. États Limites et Coefficients de Sécurité :
On vérifie la structure pour deux états : l'État Limite Ultime (ELU), qui concerne la ruine de la structure, et l'État Limite de Service (ELS), qui concerne son bon fonctionnement (confort, apparence). Pour l'ELU, on majore les charges avec des coefficients (\(1.35G_{\text{k}} + 1.5Q_{\text{k}}\)) et on minore la résistance du matériau avec un coefficient \(\gamma_{\text{M}}\).

2. Le coefficient \(k_{\text{mod}}\) :
La résistance du bois dépend de la durée d'application de la charge et de l'humidité ambiante. Le coefficient de modification \(k_{\text{mod}}\) prend en compte ces effets. Il est tabulé dans l'Eurocode 5 en fonction de la classe de service (1, 2 ou 3 pour l'humidité) et de la classe de durée de la charge (permanente, long, moyen, court terme, instantanée).

3. Vérification de la Résistance :
Le principe est toujours le même : la contrainte de calcul (\(\sigma_{\text{d}}\)) dans l'élément doit être inférieure ou égale à sa résistance de calcul (\(f_{\text{d}}\)). \[ \sigma_{\text{d}} \le f_{\text{d}} \quad \text{où} \quad f_{\text{d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \] \(f_{\text{k}}\) est la résistance caractéristique du matériau (ex: \(f_{\text{m,k}}\) pour la flexion), donnée par sa classe de résistance (ex: C24).

Correction : Calcul de la Résistance d’une Planche de Bois

Question 1 : Déterminer les charges de calcul (ELU et ELS)

Principe (le concept physique)

Pour garantir la sécurité, on ne calcule pas la structure avec les charges réelles (dites caractéristiques, \(G_{\text{k}}, Q_{\text{k}}\)), mais avec des charges majorées pour la vérification de la résistance (ELU). Pour la vérification du confort (flèche), on utilise une combinaison de charges non majorées plus réaliste (ELS). Le poids propre de la poutre est une charge permanente qu'il faut ajouter.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les coefficients de pondération (1.35 et 1.50) sont des facteurs de sécurité partiels qui couvrent les incertitudes sur les valeurs des charges, les modélisations imparfaites et les conséquences d'une défaillance. Ils sont définis dans l'Eurocode 0 (Bases de calcul des structures). La combinaison à l'ELS est dite "quasi-permanente" ou "fréquente" ou "caractéristique" selon ce que l'on veut vérifier ; ici on utilisera la combinaison caractéristique \(G_{\text{k}} + Q_{\text{k}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez aux charges comme des "scénarios". Le scénario ELU est un scénario "du pire" pour la résistance, où l'on imagine que les charges sont plus fortes que prévu. Le scénario ELS est un scénario "de tous les jours" pour vérifier que la structure reste confortable et ne se déforme pas excessivement.

Normes (la référence réglementaire)

Les combinaisons de charges sont définies dans l'EN 1990 (Eurocode 0). Les propriétés des classes de bois (masse volumique, résistances) sont données dans l'EN 338. Le coefficient \(k_{\text{mod}}\) est dans le tableau 3.1 de l'EN 1995-1-1 (Eurocode 5).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ q_{\text{d,ELU}} = 1.35 \cdot (G_{\text{k}} + G_{\text{pp}}) + 1.5 \cdot Q_{\text{k}} \]
\[ q_{\text{ser,ELS}} = (G_{\text{k}} + G_{\text{pp}}) + Q_{\text{k}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges sont uniformément réparties sur la longueur de la solive.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Bois C24 : masse volumique caractéristique \(\rho_{\text{k}} = 350 \, \text{kg/m}^3\)
  • Section : \(b=0.075 \, \text{m}\), \(h=0.225 \, \text{m}\)
  • Charges : \(G_{\text{k}} = 1.0 \, \text{kN/m}\), \(Q_{\text{k}} = 1.5 \, \text{kN/m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Il est plus simple de tout convertir en N et mm (ou kN et m) dès le début pour éviter les erreurs. Ici, nous travaillerons en kN et m, ce qui donnera des contraintes en kN/m² (kPa) ou MN/m² (MPa).

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition des charges caractéristiques
Charges sur la solivePoids Propre (Gpp)Plancher (Gk)Exploitation (Qk)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du poids propre (\(G_{\text{pp}}\)) :

\[ \begin{aligned} G_{\text{pp}} &= \text{Section} \times \rho_{\text{k}} \times g \\ &= (0.075 \, \text{m} \times 0.225 \, \text{m}) \times 350 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 57.9 \, \text{N/m} \approx 0.06 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul de la charge à l'ELU :

\[ \begin{aligned} q_{\text{d,ELU}} &= 1.35 \cdot (1.0 + 0.06) + 1.5 \cdot 1.5 \\ &= 1.431 + 2.25 \\ &= 3.681 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

3. Calcul de la charge à l'ELS :

\[ \begin{aligned} q_{\text{ser,ELS}} &= (1.0 + 0.06) + 1.5 \\ &= 2.56 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charges de calcul finales
Scénario ELUqd = 3.68 kN/mScénario ELSqser = 2.56 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons deux valeurs de charge : une charge "pondérée" de 3.68 kN/m pour les calculs de résistance, et une charge "de service" de 2.56 kN/m pour les calculs de déformation. La charge de calcul ELU est environ 44% plus élevée que la charge de service, ce qui représente la marge de sécurité réglementaire sur les charges.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier le poids propre ! Même s'il est souvent faible par rapport aux autres charges, son omission est une erreur. De plus, ne jamais mélanger les combinaisons : la vérification de résistance se fait TOUJOURS avec les charges ELU, la vérification de flèche avec les charges ELS.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • ELU (Résistance) : Charges majorées (\(1.35G+1.5Q\)).
  • ELS (Déformation/Confort) : Charges non majorées (\(G+Q\)).
  • Le poids propre est une charge permanente (G).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les bâtiments de stockage ou les toitures accessibles au public, les coefficients de sécurité sur les charges d'exploitation peuvent être encore plus élevés pour tenir compte de la plus grande incertitude et des conséquences plus graves d'une défaillance.

FAQ (pour lever les doutes)
Existe-t-il d'autres combinaisons de charges ?

Oui, l'Eurocode définit plusieurs autres combinaisons, notamment les combinaisons "fondamentales" (qui incluent plusieurs charges variables), "accidentelles" (pour les chocs, explosions) et "sismiques". L'ingénieur doit étudier toutes les combinaisons pertinentes pour son projet.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge de calcul à l'ELU est de 3.68 kN/m et la charge de service à l'ELS est de 2.56 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge d'exploitation \(Q_{\text{k}}\) était de 2.0 kN/m, quelle serait la nouvelle charge ELU en kN/m ?

Question 2 : Vérifier la résistance à la flexion

Principe (le concept physique)

La flexion génère des contraintes de traction et de compression dans la section de la poutre. La contrainte est maximale sur les fibres extrêmes (en haut et en bas). On doit vérifier que cette contrainte maximale de calcul (\(\sigma_{\text{m,d}}\)), générée par le moment fléchissant maximal à l'ELU, ne dépasse pas la capacité de résistance du bois en flexion (\(f_{\text{m,d}}\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance de calcul en flexion \(f_{\text{m,d}}\) est obtenue en ajustant la résistance caractéristique \(f_{\text{m,k}}\) (donnée par la classe C24) avec le coefficient \(k_{\text{mod}}\) (pour l'humidité et la durée) et en la divisant par le coefficient de sécurité partiel du matériau \(\gamma_{\text{M}}\). Pour le bois, \(\gamma_{\text{M}}\) vaut généralement 1.3.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La résistance du bois est comme le "salaire" de la poutre. La contrainte est comme ses "dépenses". Le but de l'ingénieur est de s'assurer que les dépenses (contraintes) ne dépassent jamais le salaire (résistance), en gardant une petite marge de sécurité.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de la contrainte de flexion est une base de la RdM. Les valeurs de \(f_{\text{m,k}}\) pour C24 (24 MPa) sont dans l'EN 338. Le \(k_{\text{mod}}\) pour Classe de service 1 et charge de moyen terme est de 0.8 (Tableau 3.1, EN 1995-1-1). Le \(\gamma_{\text{M}}\) est de 1.3.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vérification : \(\sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}}\)

\[ \sigma_{\text{m,d}} = \frac{M_{\text{d}}}{W_{\text{y}}} \quad \text{avec} \quad M_{\text{d}} = \frac{q_{\text{d}} L^2}{8} \quad \text{et} \quad W_{\text{y}} = \frac{b h^2}{6} \]
\[ f_{\text{m,d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{m,k}}}{\gamma_{\text{M}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre ne risque pas de déverser (flamber latéralement), ce qui est généralement le cas pour les solives de plancher tenues par le platelage.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(q_{\text{d}} = 3.681 \, \text{kN/m}\) (de Q1)
  • \(L = 4.0 \, \text{m}\)
  • \(b = 0.075 \, \text{m}\), \(h = 0.225 \, \text{m}\)
  • C24 : \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\)
  • Classe service 1, moyen terme : \(k_{\text{mod}} = 0.8\)
  • \(\gamma_{\text{M}} = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul du module de flexion \(W_{\text{y}}\) est récurrent. Pour les sections rectangulaires, mémoriser la formule \(bh^2/6\) est un gain de temps considérable.

Schéma (Avant les calculs)
Moment fléchissant ELU et contraintes attendues
Md = ?00Diagramme de Moment
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment de calcul \(M_{\text{d}}\) :

\[ \begin{aligned} M_{\text{d}} &= \frac{3.681 \, \text{kN/m} \cdot (4.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= 7.362 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul du module de flexion \(W_{\text{y}}\) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{y}} &= \frac{0.075 \, \text{m} \cdot (0.225 \, \text{m})^2}{6} \\ &\approx 0.0006328 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

3. Calcul de la contrainte de calcul \(\sigma_{\text{m,d}}\) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,d}} &= \frac{7.362 \, \text{kN} \cdot \text{m}}{0.0006328 \, \text{m}^3} \\ &\approx 11634 \, \text{kN/m}^2 \\ &\approx 11.63 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Calcul de la résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{m,d}} &= \frac{0.8 \cdot 24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 14.77 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

5. Vérification :

\[ 11.63 \, \text{MPa} \le 14.77 \, \text{MPa} \quad (\text{OK!}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la contrainte de flexion
σ_d = 11.63Résistance f_d = 14.77 MPaOK ✔️ (Taux = 79%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte agissant dans la poutre (11.63 MPa) est inférieure à sa capacité de résistance (14.77 MPa). La poutre résiste donc à la flexion. Le taux de travail est de \(11.63 / 14.77 \approx 79\%\), ce qui indique un dimensionnement correct, ni trop juste, ni surdimensionné.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier le coefficient \(k_{\text{mod}}\) ou de se tromper dans sa valeur. Il réduit significativement la résistance du bois et son omission peut conduire à un dimensionnement non sécuritaire. De même, bien utiliser la charge ELU pour ce calcul est impératif.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance en flexion dépend de la classe du bois (\(f_{\text{m,k}}\)), de l'humidité et de la durée (\(k_{\text{mod}}\)).
  • La contrainte de flexion dépend du moment maximal (\(M_{\text{d}}\)) et de la géométrie de la section (\(W_{\text{y}}\)).
  • La vérification est : Contrainte \(\le\) Résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le bois lamellé-collé permet de fabriquer des poutres de très grande taille et de formes courbes, impossibles à réaliser avec du bois massif. En collant de petites lamelles de bois de haute qualité, on obtient un produit d'ingénierie très performant avec une résistance en flexion supérieure à celle du bois massif de même essence.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la contrainte dépasse la résistance ?

Si \(\sigma_{\text{m,d}} > f_{\text{m,d}}\), la poutre ne respecte pas les exigences de sécurité de l'Eurocode. L'ingénieur doit alors la redimensionner, soit en augmentant sa hauteur (solution la plus efficace), soit en augmentant sa largeur, soit en choisissant une classe de bois plus résistante (ex: C30 au lieu de C24).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de flexion de calcul (11.63 MPa) est inférieure à la résistance de calcul (14.77 MPa). La solive est donc validée vis-à-vis de la résistance en flexion.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la solive était en bois C18 (\(f_{\text{m,k}}=18\) MPa), quelle serait sa résistance de calcul en flexion \(f_{\text{m,d}}\) en MPa ?

Question 3 : Vérifier la résistance au cisaillement

Principe (le concept physique)

L'effort tranchant, maximal aux appuis, génère des contraintes de cisaillement qui tendent à faire "glisser" les fibres de bois les unes sur les autres. On doit vérifier que cette contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{d}}\)) ne dépasse pas la résistance au cisaillement du bois (\(f_{\text{v,d}}\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une section rectangulaire, la distribution de la contrainte de cisaillement est parabolique, avec un maximum au centre de la section valant 1.5 fois la valeur moyenne (\(V_{\text{d}}/A\)). La vérification est donc \(\tau_{\text{d}} = 1.5 \cdot V_{\text{d}} / A \le f_{\text{v,d}}\). La résistance au cisaillement \(f_{\text{v,d}}\) est calculée de la même manière que pour la flexion, mais avec la résistance caractéristique au cisaillement \(f_{\text{v,k}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez pousser sur le dessus d'un jeu de cartes. Les cartes glissent les unes sur les autres. C'est l'effort de cisaillement. Dans une poutre, cet effort est maximal près des appuis, là où la charge est "transférée" au support.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de cisaillement est un résultat de la RdM (formule de Jourawski). La résistance \(f_{\text{v,k}}\) pour le bois C24 est de 4.0 MPa (EN 338). Les autres coefficients (\(k_{\text{mod}}\), \(\gamma_{\text{M}}\)) sont les mêmes que pour la flexion.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vérification : \(\tau_{\text{d}} \le f_{\text{v,d}}\)

\[ \tau_{\text{d}} = 1.5 \frac{V_{\text{d}}}{A} \quad \text{avec} \quad V_{\text{d}} = \frac{q_{\text{d}} L}{2} \quad \text{et} \quad A = b h \]
\[ f_{\text{v,d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{v,k}}}{\gamma_{\text{M}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On ne considère pas de réduction de l'effort tranchant près des appuis, ce qui est une approche conservative (sécuritaire).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(q_{\text{d}} = 3.681 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 4.0 \, \text{m}\)
  • \(A = 0.075 \, \text{m} \times 0.225 \, \text{m} = 0.016875 \, \text{m}^2\)
  • C24 : \(f_{\text{v,k}} = 4.0 \, \text{MPa}\)
  • \(k_{\text{mod}} = 0.8\), \(\gamma_{\text{M}} = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul de l'effort tranchant maximal est simple : c'est la moitié de la charge totale sur la poutre (\(q_{\text{d}} \times L\)).

Schéma (Avant les calculs)
Effort tranchant ELU et contraintes attendues
Vd = ?-Vd = ?Diagramme d'Effort Tranchant
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'effort tranchant de calcul \(V_{\text{d}}\) :

\[ \begin{aligned} V_{\text{d}} &= \frac{3.681 \, \text{kN/m} \cdot 4.0 \, \text{m}}{2} \\ &= 7.362 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul de la contrainte de cisaillement \(\tau_{\text{d}}\) :

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{d}} &= 1.5 \cdot \frac{7.362 \, \text{kN}}{0.016875 \, \text{m}^2} \\ &\approx 654.4 \, \text{kN/m}^2 \\ &\approx 0.65 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Calcul de la résistance au cisaillement \(f_{\text{v,d}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{v,d}} &= \frac{0.8 \cdot 4.0 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 2.46 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Vérification :

\[ 0.65 \, \text{MPa} \le 2.46 \, \text{MPa} \quad (\text{OK!}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la contrainte de cisaillement
τ_d = 0.65Résistance f_v,d = 2.46 MPaOK ✔️ (Taux = 26%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte de cisaillement est très faible par rapport à la résistance du bois (taux de travail de \(0.65/2.46 \approx 26\%\)). C'est très souvent le cas pour les poutres en bois de section rectangulaire pleine. Le cisaillement devient dimensionnant pour des poutres très courtes et très chargées, ou pour des poutres avec des entailles près des appuis.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur 1.5 pour les sections rectangulaires. Pour d'autres formes (comme les profilés en I), ce facteur est différent et le calcul est plus complexe. De plus, la résistance au cisaillement du bois est relativement faible par rapport à sa résistance en flexion, il ne faut donc jamais oublier de la vérifier.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le cisaillement est maximal aux appuis.
  • Pour une section rectangulaire, \(\tau_{\text{d}} = 1.5 \cdot V_{\text{d}} / A\).
  • Le cisaillement est rarement le critère principal pour les solives courantes, mais doit toujours être vérifié.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La rupture par cisaillement dans le bois se produit typiquement par un glissement le long du fil du bois. C'est pourquoi les assemblages (boulons, connecteurs) sont des points critiques pour le cisaillement, car ils peuvent induire des concentrations de contraintes qui amorcent ce type de rupture.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le cisaillement est-il maximal au centre de la section ?

Contrairement à la flexion, où les fibres extrêmes travaillent le plus, le cisaillement est un effort de glissement entre couches. L'effort de glissement est nul sur les faces supérieure et inférieure (il n'y a rien au-dessus ou en dessous pour "glisser" contre) et il est maximal sur l'axe neutre, au cœur de la section.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de cisaillement de calcul (0.65 MPa) est inférieure à la résistance de calcul (2.46 MPa). La solive est validée vis-à-vis du cisaillement.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était réduite à 2.0 m (mais avec la même charge au mètre qd), quelle serait la nouvelle contrainte de cisaillement en MPa ?

Question 4 : Vérifier la flèche et conclure

Principe (le concept physique)

La vérification de la flèche ne concerne pas la sécurité (rupture) mais le confort des usagers et l'intégrité des éléments non structuraux (cloisons, carrelages). Une flèche excessive peut provoquer une sensation d'insécurité ou des fissures. On calcule donc la déformation de la poutre sous les charges de service (ELS) et on la compare à une limite admissible, généralement une fraction de la portée (ex: L/300).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La flèche est calculée avec le module d'élasticité moyen du matériau (\(E_{\text{0,mean}}\)), car on s'intéresse au comportement moyen de la structure, et non à une valeur minimale de sécurité. La formule de la flèche pour une charge uniformément répartie est un classique de la RdM.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est souvent ce critère de "confort" qui dicte la taille d'une solive de plancher. Une solive peut être assez résistante pour ne pas casser, mais si elle est trop souple, le plancher "rebondira" sous les pas, ce qui est très désagréable. La limitation de la flèche garantit la rigidité nécessaire.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de la flèche est \(5qL^4/(384EI)\). Le module \(E_{\text{0,mean}}\) pour le C24 est de 11000 MPa (EN 338). Les limites de flèche sont recommandées dans l'Annexe Nationale de l'Eurocode 5. Une limite courante pour la flèche nette finale (prenant en compte le fluage) est L/300.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vérification : \(f_{\text{net,fin}} \le f_{\text{lim}}\)

\[ f_{\text{net,fin}} = \frac{5 \cdot q_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E_{\text{0,mean}} \cdot I_{\text{y}}} \quad \text{avec} \quad I_{\text{y}} = \frac{b h^3}{12} \]
\[ f_{\text{lim}} = \frac{L}{300} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On calcule la flèche finale, incluant l'effet du fluage du bois (déformation différée dans le temps). Pour simplifier, nous utiliserons la formule de la flèche instantanée, qui est une première approche souvent suffisante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(q_{\text{ser}} = 2.56 \, \text{kN/m} = 2.56 \, \text{N/mm}\)
  • \(L = 4000 \, \text{mm}\)
  • \(b = 75 \, \text{mm}\), \(h = 225 \, \text{mm}\)
  • C24 : \(E_{\text{0,mean}} = 11000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La puissance 4 dans la formule de la flèche signifie que la portée a un impact énorme. Doubler la portée multiplie la flèche par \(2^4 = 16\). C'est le paramètre le plus sensible dans le calcul de déformation.

Schéma (Avant les calculs)
Déformation attendue de la solive
f = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment quadratique \(I_{\text{y}}\) (en mm⁴) :

\[ \begin{aligned} I_{\text{y}} &= \frac{75 \cdot (225)^3}{12} \\ &\approx 7.119 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul de la flèche finale \(f_{\text{net,fin}}\) (en mm) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{net,fin}} &= \frac{5 \cdot (2.56 \, \text{N/mm}) \cdot (4000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (11000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (7.119 \times 10^7 \, \text{mm}^4)} \\ &\approx 10.9 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche limite \(f_{\text{lim}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{lim}} &= \frac{4000 \, \text{mm}}{300} \\ &\approx 13.3 \, \text{mm} \end{aligned} \]

4. Vérification :

\[ 10.9 \, \text{mm} \le 13.3 \, \text{mm} \quad (\text{OK!}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la flèche
f_calc = 10.9 mmFlèche Limite f_lim = 13.3 mmOK ✔️ (Taux = 82%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche calculée est inférieure à la limite admissible. Le plancher sera donc suffisamment rigide pour assurer le confort des utilisateurs et éviter les désordres dans les cloisons ou les revêtements de sol. Le taux de travail pour la flèche est de \(10.9 / 13.3 \approx 82\%\), ce qui est souvent le critère qui dimensionne les poutres en bois pour des portées moyennes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La cohérence des unités est CRUCIALE ici à cause de la puissance 4 sur la longueur L. Une erreur d'un facteur 10 (entre cm et mm par exemple) conduit à une erreur d'un facteur 10⁴ = 10 000 ! Il est fortement recommandé de tout passer en N et mm pour ce calcul. De plus, il faut bien utiliser la charge ELS et le module moyen \(E_{\text{0,mean}}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la flèche se fait à l'ELS (\(G+Q\)).
  • On utilise le module d'élasticité moyen \(E_{\text{0,mean}}\).
  • La flèche calculée doit être inférieure à une limite (souvent L/300 à L/500).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les planchers, on vérifie aussi souvent un critère de vibration. Une poutre peut avoir une flèche acceptable mais vibrer de manière inconfortable lorsque l'on marche dessus. L'Eurocode 5 propose des méthodes pour vérifier la fréquence propre du plancher et s'assurer qu'elle est suffisamment élevée pour garantir le confort vibratoire.

FAQ (pour lever les doutes)
La limite de flèche est-elle toujours L/300 ?

Non, c'est une valeur courante mais elle peut varier. Pour des éléments supportant des finitions fragiles (comme du plâtre ou du carrelage), on peut exiger une limite plus stricte, comme L/400 ou L/500. Pour des éléments de charpente non visibles, une limite plus souple comme L/250 peut être acceptée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche finale (10.9 mm) est inférieure à la flèche limite (13.3 mm). La solive est validée vis-à-vis de la déformation. Puisque les 3 critères (flexion, cisaillement, flèche) sont respectés, la solive est correctement dimensionnée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L passait à 5.0 m, quelle serait la nouvelle flèche en mm ?

Outil Interactif : Paramètres de la Solive

Modifiez les paramètres de la solive pour voir leur influence sur les taux de travail.

Paramètres d'Entrée
4.0 m
225 mm
1.5 kN/m
Résultats (Taux de Travail)
Flexion (\(\sigma_{\text{d}} / f_{\text{m,d}}\)) -
Cisaillement (\(\tau_{\text{d}} / f_{\text{v,d}}\)) -
Flèche (\(f_{\text{net}} / f_{\text{lim}}\)) -

Le Saviez-Vous ?

Le phénomène de fluage est particulièrement important pour le bois. Sous une charge constante, le bois continue de se déformer lentement au fil du temps. Les calculs de flèche à long terme selon l'Eurocode 5 intègrent ce phénomène via un coefficient \(k_{\text{def}}\), qui majore la déformation due aux charges permanentes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utilise-t-on des coefficients comme \(k_{\text{mod}}\) pour le bois et pas pour l'acier ?

L'acier est un matériau industriel très homogène et isotrope dont les propriétés varient peu avec la température (dans les gammes usuelles) ou l'humidité. Le bois, en tant que matériau naturel, est beaucoup plus sensible à son environnement (humidité) et à la manière dont il est chargé (durée). Les coefficients comme \(k_{\text{mod}}\) sont donc nécessaires pour ajuster sa résistance de référence à ses conditions réelles d'utilisation.

Est-ce que le critère de flèche est toujours le plus important ?

Pour les poutres en bois de portée courante (3 à 6 mètres) dans les bâtiments résidentiels, c'est très souvent le critère de flèche (à l'ELS) qui est "dimensionnant", c'est-à-dire que si la flèche est respectée, les critères de résistance (ELU) le sont aussi avec une marge confortable. Pour des poutres très courtes et très chargées, c'est le cisaillement qui peut devenir critique.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si une solive est utilisée en extérieur, non protégée (Classe de service 3), le coefficient \(k_{\text{mod}}\) sera...

2. Pour une poutre en bois, quel critère est généralement vérifié avec les charges non pondérées (ELS) ?

Eurocode 5 (EN 1995)
Norme européenne de référence pour la conception, le calcul et le dimensionnement des structures en bois.
\(k_{\text{mod}}\)
Coefficient de modification qui tient compte de l'effet de la durée de la charge et de la classe de service (humidité) sur la résistance du bois.
État Limite Ultime (ELU)
État qui correspond à la ruine ou à un endommagement majeur de la structure. Les calculs se font avec des charges majorées et des résistances minorées.
État Limite de Service (ELS)
État qui correspond à des critères de bon fonctionnement, de confort des usagers ou d'apparence de la construction (ex: limitation de la flèche).
Calcul de la Résistance d’une Planche de Bois

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