Calcul de la Charge Admissible d'une Panne en Bois

Comprendre le Calcul de la Charge Admissible d'une Panne en Bois

Vous êtes ingénieur structure bois et devez vérifier la capacité portante d'une panne de toiture en bois massif. La panne est simplement appuyée sur deux appuis et supporte les charges de couverture et de neige. Nous allons vérifier si la section choisie est adéquate vis-à-vis de la flexion et du cisaillement selon l'Eurocode 5.

Données

Géométrie et Structure :
- Type de panne : Bois massif rectangulaire
- Largeur (\(b\)) : 80 \(\text{mm}\)
- Hauteur (\(h\)) : 220 \(\text{mm}\)
- Portée de la panne (\(L\)) : 4.0 \(\text{m}\)
- Entraxe des pannes : 1.5 \(\text{m}\)
- Inclinaison de la toiture (\(\alpha\)) : 20 degrés
Charges Caractéristiques (surfaciques sur rampant) :
- Charge permanente (Couverture + isolation + plafond) : \(g_k = 0.50 \, \text{kN/m}^2\) (hors poids propre panne)
- Charge de neige : \(s_k = 0.80 \, \text{kN/m}^2\) (charge variable principale)
Matériau : Bois Massif C24
- Résistance caractéristique en flexion (\(f_{m,k}\)) : 24 \(\text{MPa}\)
- Résistance caractéristique en cisaillement (\(f_{v,k}\)) : 4.0 \(\text{MPa}\) (selon EN 338 pour C24)
- Poids volumique caractéristique (\(\rho_k\)) : 350 \(\text{kg/m}^3\) (valeur indicative pour C24)
- Module d'Young moyen (\(E_{0,mean}\)) : 11000 \(\text{MPa}\)
Conditions d'utilisation et Coefficients (Eurocode 5) :
- Classe de service : 2 (milieu extérieur protégé, non chauffé)
- Classe de durée de chargement : Moyen terme (pour la neige comme charge variable principale)
- Coefficient de modification (\(k_{mod}\)) : 0.8 (pour C24, classe service 2, moyen terme)
- Coefficient partiel matériau (\(\gamma_M\)) : 1.3 (pour bois massif)
- Coefficient de hauteur (\(k_h\)) : \((150/h)^{0.2} \le 1.3\) (pour \(h \ge 150\,\text{mm}\))
- Coefficients de sécurité charges (ELU) : \(\gamma_G = 1.35\), \(\gamma_Q = 1.5\)

Schéma : Panne et Charges

Questions

Calculer le poids propre linéique de la panne (\(g_{k,panne}\)).
Calculer les charges linéiques caractéristiques permanente (\(g_k\)) et variable (\(q_k\)) sur la panne, décomposées selon les axes locaux y et z de la panne.
Calculer les charges linéiques de calcul ELU (\(g_{d,y}\), \(g_{d,z}\), \(q_{d,y}\), \(q_{d,z}\)).
Calculer le moment fléchissant de calcul maximal (\(M_{y,Ed}\)) et l'effort tranchant de calcul maximal (\(V_{z,Ed}\)) dus aux charges verticales (z).
Calculer les résistances de calcul en flexion (\(f_{m,d}\)) et en cisaillement (\(f_{v,d}\)).
Vérifier la résistance de la panne en flexion et en cisaillement. Conclure sur l'adéquation de la section.

Correction : Calcul de la Charge Admissible d'une Panne en Bois

Question 1 : Calcul du poids propre linéique de la panne (\(g_{k,panne}\))

Principe :

Le poids propre linéique est le poids volumique caractéristique multiplié par la section transversale de la panne.

Données :

Largeur \(b = 80 \, \text{mm} = 0.08 \, \text{m}\)
Hauteur \(h = 220 \, \text{mm} = 0.22 \, \text{m}\)
Poids volumique caractéristique \(\rho_k = 350 \, \text{kg/m}^3\)
Accélération de la gravité \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul :

Aire \[ A = b \times h \] \[ A = 0.08 \, \text{m} \times 0.22 \, \text{m} \] \[ A = 0.0176 \, \text{m}^2 \]

Poids volumique moyen \[ \gamma_m = \rho_k \times g \] \[ \gamma_m = 350 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \] \[ \gamma_m \approx 3433.5 \, \text{N/m}^3 \]

g_{k,panne} = \gamma_m \times A \] \[ g_{k,panne} = 3433.5 \, \text{N/m}^3 \times 0.0176 \, \text{m}^2 \] \[ g_{k,panne} \approx 60.4 \, \text{N/m}

g_{k,panne} \approx 0.06 \, \text{kN/m}

Résultat Question 1 : Le poids propre linéique caractéristique de la panne est \(g_{k,panne} \approx 0.06 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Charges linéiques caractéristiques (\(g_k\), \(q_k\)) sur la panne

Principe :

Les charges surfaciques (couverture, neige) sont appliquées sur le rampant. Chaque panne reprend la charge sur une largeur correspondant à son entraxe. On calcule ensuite les charges linéiques sur la panne et on les décompose selon les axes locaux y (parallèle à la grande dimension de la section) et z (perpendiculaire) de la panne, en utilisant l'angle d'inclinaison \(\alpha\).

Charges surfaciques totales :

\(G_{surf} = g_{k,couv} + g_{k,poutres} = 0.50 + 0 = 0.50 \, \text{kN/m}^2\) (On suppose que le poids des poutres est déjà inclus ou négligeable pour la charge sur panne)
\(Q_{surf} = s_k = 0.80 \, \text{kN/m}^2\)

Charges linéiques verticales sur panne :

On multiplie les charges surfaciques par l'entraxe des pannes.

Entraxe = 1.5 m
\(g_{k,panne} = 0.06 \, \text{kN/m}\)

G_{lin,vert} = G_{surf} \times \text{Entraxe} + g_{k,panne} \] \[ G_{lin,vert} = (0.50 \, \text{kN/m}^2 \times 1.5 \, \text{m}) + 0.06 \, \text{kN/m} \] \[ G_{lin,vert} = 0.75 + 0.06 = 0.81 \, \text{kN/m}

Q_{lin,vert} = Q_{surf} \times \text{Entraxe} \] \[ Q_{lin,vert} = 0.80 \, \text{kN/m}^2 \times 1.5 \, \text{m} \] \[ Q_{lin,vert} = 1.20 \, \text{kN/m}

Décomposition selon les axes locaux (y, z) :

L'axe z est perpendiculaire à la pente (charge normale), l'axe y est parallèle à la pente (charge tangentielle). \(\alpha = 20^\circ\).

g_{k,z} = G_{lin,vert} \times \cos(\alpha) \] \[ g_{k,y} = G_{lin,vert} \times \sin(\alpha) \] \[ q_{k,z} = Q_{lin,vert} \times \cos(\alpha) \] \[ q_{k,y} = Q_{lin,vert} \times \sin(\alpha)

\(\cos(20^\circ) \approx 0.940\)
\(\sin(20^\circ) \approx 0.342\)

g_{k,z} = 0.81 \times 0.940 \approx 0.76 \, \text{kN/m} \] \[ g_{k,y} = 0.81 \times 0.342 \approx 0.28 \, \text{kN/m} \] \[ q_{k,z} = 1.20 \times 0.940 \approx 1.13 \, \text{kN/m} \] \[ q_{k,y} = 1.20 \times 0.342 \approx 0.41 \, \text{kN/m}

Résultat Question 2 : Les charges linéiques caractéristiques décomposées sont :

Permanentes : \(g_{k,z} \approx 0.76 \, \text{kN/m}\), \(g_{k,y} \approx 0.28 \, \text{kN/m}\)
Variables (Neige) : \(q_{k,z} \approx 1.13 \, \text{kN/m}\), \(q_{k,y} \approx 0.41 \, \text{kN/m}\)

Question 3 : Charges linéiques de calcul ELU

Principe :

On applique les coefficients de sécurité \(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\) aux charges caractéristiques décomposées.

g_{d,z} = \gamma_G g_{k,z} \quad ; \quad g_{d,y} = \gamma_G g_{k,y} \] \[ q_{d,z} = \gamma_Q q_{k,z} \quad ; \quad q_{d,y} = \gamma_Q q_{k,y}

Données :

\(g_{k,z} \approx 0.76 \, \text{kN/m}\) ; \(g_{k,y} \approx 0.28 \, \text{kN/m}\)
\(q_{k,z} \approx 1.13 \, \text{kN/m}\) ; \(q_{k,y} \approx 0.41 \, \text{kN/m}\)
\(\gamma_G = 1.35\) ; \(\gamma_Q = 1.5\)

Calcul :

g_{d,z} = 1.35 \times 0.76 \approx 1.03 \, \text{kN/m} \] \[ g_{d,y} = 1.35 \times 0.28 \approx 0.38 \, \text{kN/m} \] \[ q_{d,z} = 1.5 \times 1.13 \approx 1.70 \, \text{kN/m} \] \[ q_{d,y} = 1.5 \times 0.41 \approx 0.62 \, \text{kN/m}

Charge totale ELU selon z : \(p_{d,z} = g_{d,z} + q_{d,z} = 1.03 + 1.70 = 2.73 \, \text{kN/m}\)

Charge totale ELU selon y : \(p_{d,y} = g_{d,y} + q_{d,y} = 0.38 + 0.62 = 1.00 \, \text{kN/m}\)

Résultat Question 3 : Les charges linéiques de calcul ELU sont :

Selon z (perpendiculaire à la pente) : \(p_{d,z} \approx 2.73 \, \text{kN/m}\)
Selon y (parallèle à la pente) : \(p_{d,y} \approx 1.00 \, \text{kN/m}\)

Question 4 : Moment fléchissant (\(M_{y,Ed}\)) et Effort tranchant (\(V_{z,Ed}\)) maximaux

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée de portée \(L\) soumise à une charge uniformément répartie \(p\), le moment maximal est au milieu (\(pL^2/8\)) et l'effort tranchant maximal est aux appuis (\(pL/2\)). On considère ici la flexion principale autour de l'axe fort y (due aux charges selon z).

Données :

Charge ELU selon z : \(p_{d,z} = 2.73 \, \text{kN/m}\)
Portée \(L = 4.0 \, \text{m}\)

Calcul du Moment Maximal (\(M_{y,Ed}\)) :

M_{y,Ed} = \frac{p_{d,z} L^2}{8} = \frac{(2.73 \, \text{kN/m}) \times (4.0 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M_{y,Ed} = \frac{2.73 \times 16}{8} = 2.73 \times 2 = 5.46 \, \text{kN} \cdot \text{m}

Calcul de l'Effort Tranchant Maximal (\(V_{z,Ed}\)) :

V_{z,Ed} = \frac{p_{d,z} L}{2} = \frac{(2.73 \, \text{kN/m}) \times (4.0 \, \text{m})}{2} \] \[ V_{z,Ed} = \frac{10.92}{2} = 5.46 \, \text{kN}

Résultat Question 4 : Les sollicitations maximales de calcul sont :

Moment fléchissant : \(M_{y,Ed} = 5.46 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
Effort tranchant : \(V_{z,Ed} = 5.46 \, \text{kN}\)

Question 5 : Calcul des Résistances de Calcul (\(f_{m,d}\), \(f_{v,d}\))

Principe :

Les résistances de calcul sont obtenues à partir des résistances caractéristiques en divisant par le facteur partiel matériau \(\gamma_M\) et en multipliant par le coefficient de modification \(k_{mod}\) qui tient compte de la classe de service et de la durée de chargement. Pour la flexion, on applique aussi le coefficient de hauteur \(k_h\).

Données :

\(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\)
\(f_{v,k} = 4.0 \, \text{MPa}\)
\(k_{mod} = 0.8\)
\(\gamma_M = 1.3\)
\(h = 220 \, \text{mm}\)

Calcul de \(k_h\) :

k_h = \left(\frac{150}{h}\right)^{0.2} \] \[ k_h = \left(\frac{150}{220}\right)^{0.2} \] \[ k_h \approx (0.682)^{0.2} \approx 0.926

Comme \(k_h = 0.926 \le 1.3\), on utilise cette valeur.

Calcul de \(f_{m,d}\) (Résistance en flexion) :

f_{m,d} = \frac{f_{m,k} \times k_{mod} \times k_h}{\gamma_M} \] \[ f_{m,d} = \frac{24 \, \text{MPa} \times 0.8 \times 0.926}{1.3} \] \[ f_{m,d} \approx \frac{17.78}{1.3} \approx 13.68 \, \text{MPa}

Calcul de \(f_{v,d}\) (Résistance en cisaillement) :

f_{v,d} = \frac{f_{v,k} \times k_{mod}}{\gamma_M} \] \[ f_{v,d} = \frac{4.0 \, \text{MPa} \times 0.8}{1.3} \] \[ f_{v,d} \approx \frac{3.2}{1.3} \approx 2.46 \, \text{MPa}

Résultat Question 5 : Les résistances de calcul du bois C24 sont :

Flexion : \(f_{m,d} \approx 13.68 \, \text{MPa}\)
Cisaillement : \(f_{v,d} \approx 2.46 \, \text{MPa}\)

Question 6 : Vérification de la Résistance et Conclusion

Vérification en Flexion :

On calcule la contrainte maximale de flexion \(\sigma_{m,y,d}\) et on la compare à la résistance \(f_{m,d}\). Le module de flexion \(W_y\) pour une section rectangulaire est \(bh^2/6\).

\(M_{y,Ed} = 5.46 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 5.46 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
\(b = 80 \, \text{mm}\)
\(h = 220 \, \text{mm}\)

W_y = \frac{b h^2}{6} \] \[ W_y = \frac{80 \times (220)^2}{6} \] \[ W_y = \frac{80 \times 48400}{6} \approx 645333 \, \text{mm}^3

\sigma_{m,y,d} = \frac{M_{y,Ed}}{W_y} \] \[ \sigma_{m,y,d} = \frac{5.46 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{645333 \, \text{mm}^3} \] \[ \sigma_{m,y,d} \approx 8.46 \, \text{MPa}

\sigma_{m,y,d} \approx 8.46 \, \text{MPa} \le f_{m,d} \approx 13.68 \, \text{MPa} \quad (\text{OK})

La condition de résistance en flexion est vérifiée.

Vérification en Cisaillement :

On calcule la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_d\) et on la compare à la résistance \(f_{v,d}\). Pour une section rectangulaire, \(\tau_{max} = 1.5 \times V / A\).

\(V_{z,Ed} = 5.46 \, \text{kN} = 5460 \, \text{N}\)
\(A = b \times h = 80 \, \text{mm} \times 220 \, \text{mm} = 17600 \, \text{mm}^2\)

\tau_d = 1.5 \times \frac{V_{z,Ed}}{A} \] \[ \tau_d = 1.5 \times \frac{5460 \, \text{N}}{17600 \, \text{mm}^2} \] \[ \tau_d \approx 1.5 \times 0.310 \] \[ \tau_d = 0.465 \, \text{MPa}

\tau_d \approx 0.465 \, \text{MPa} \le f_{v,d} \approx 2.46 \, \text{MPa} \quad (\text{OK})

La condition de résistance au cisaillement est vérifiée.

Résultat Question 6 : La panne de section 80x220 mm en bois C24 est adéquate pour reprendre les charges de flexion et de cisaillement calculées à l'ELU selon l'Eurocode 5, avec les hypothèses prises.

(Une vérification de la déformation à l'ELS serait également nécessaire dans une étude complète).

Calcul de la Charge Admissible d’une Panne en Bois

Données

Schéma : Panne et Charges

Questions

Correction : Calcul de la Charge Admissible d'une Panne en Bois

Question 1 : Calcul du poids propre linéique de la panne (\(g_{k,panne}\))

Principe :

Données :

Calcul :

Question 2 : Charges linéiques caractéristiques (\(g_k\), \(q_k\)) sur la panne

Principe :

Charges surfaciques totales :

Charges linéiques verticales sur panne :

Décomposition selon les axes locaux (y, z) :

Question 3 : Charges linéiques de calcul ELU

Principe :

Données :

Calcul :

Question 4 : Moment fléchissant (\(M_{y,Ed}\)) et Effort tranchant (\(V_{z,Ed}\)) maximaux

Principe :

Données :

Calcul du Moment Maximal (\(M_{y,Ed}\)) :

Calcul de l'Effort Tranchant Maximal (\(V_{z,Ed}\)) :

Question 5 : Calcul des Résistances de Calcul (\(f_{m,d}\), \(f_{v,d}\))

Principe :

Données :

Calcul de \(k_h\) :

Calcul de \(f_{m,d}\) (Résistance en flexion) :

Calcul de \(f_{v,d}\) (Résistance en cisaillement) :

Question 6 : Vérification de la Résistance et Conclusion

Vérification en Flexion :

Vérification en Cisaillement :

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