Études de cas pratique

EGC

Calcul des angles en topographie

Calcul des Angles en Topographie

Comprendre les Angles en Topographie

En topographie, la mesure et le calcul des angles sont fondamentaux pour déterminer la position relative des points, implanter des ouvrages, ou réaliser des levés de terrain. Les angles peuvent être horizontaux (mesurés dans un plan horizontal) ou verticaux. Parmi les angles horizontaux, on distingue souvent le gisement (ou azimut), qui est l'angle orienté d'une direction par rapport à une direction de référence (généralement le Nord), et les angles intérieurs ou extérieurs d'un polygone formé par plusieurs points. Ces calculs se basent sur les coordonnées des points.

Données de l'étude

On dispose des coordonnées rectangulaires de trois points A, B et C.

Coordonnées des points (en mètres) :

  • Point A : \(X_A = 1000.00 \, \text{m}\), \(Y_A = 500.00 \, \text{m}\)
  • Point B : \(X_B = 1250.00 \, \text{m}\), \(Y_B = 650.00 \, \text{m}\)
  • Point C : \(X_C = 1100.00 \, \text{m}\), \(Y_C = 850.00 \, \text{m}\)

Les gisements seront calculés en degrés décimaux, orientés dans le sens horaire à partir du Nord (axe Y positif).

Schéma : Points et Angle Intérieur
A B C N β Calcul d'Angle Topographique

Représentation schématique des points A, B, C et de l'angle intérieur \(\beta\) au sommet B.

Questions à traiter

  1. Calculer les différences de coordonnées \(\Delta X_{AB}\) et \(\Delta Y_{AB}\).
  2. Calculer le gisement (\(G_{AB}\)) du segment AB en degrés décimaux.
  3. Calculer les différences de coordonnées \(\Delta X_{BC}\) et \(\Delta Y_{BC}\).
  4. Calculer le gisement (\(G_{BC}\)) du segment BC en degrés décimaux.
  5. Calculer le gisement inverse (\(G_{BA}\)) du segment AB.
  6. Calculer l'angle intérieur \(\beta = \angle ABC\) (tournant de A vers C autour de B, dans le sens horaire).

Correction : Calcul des Angles en Topographie

Question 1 : Différences de coordonnées \(\Delta X_{AB}\) et \(\Delta Y_{AB}\)

Principe :

Les différences de coordonnées entre deux points (par exemple, A et B) sont simplement la soustraction de leurs coordonnées respectives. \(\Delta X_{AB}\) est la différence des abscisses (coordonnées X) et \(\Delta Y_{AB}\) est la différence des ordonnées (coordonnées Y). Ces différences sont essentielles pour calculer la distance et l'orientation (gisement) du segment AB.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta X_{AB} = X_B - X_A\]
\[\Delta Y_{AB} = Y_B - Y_A\]
Données spécifiques :
  • Point A : \(X_A = 1000.00 \, \text{m}\), \(Y_A = 500.00 \, \text{m}\)
  • Point B : \(X_B = 1250.00 \, \text{m}\), \(Y_B = 650.00 \, \text{m}\)
Calcul :
\begin{aligned} \Delta X_{AB} &= X_B - X_A \\ &= 1250.00 \, \text{m} - 1000.00 \, \text{m} \\ &= 250.00 \, \text{m} \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta Y_{AB} &= Y_B - Y_A \\ &= 650.00 \, \text{m} - 500.00 \, \text{m} \\ &= 150.00 \, \text{m} \end{aligned}
Résultat Question 1 : \(\Delta X_{AB} = 250.00 \, \text{m}\) et \(\Delta Y_{AB} = 150.00 \, \text{m}\).

Question 2 : Gisement (\(G_{AB}\)) du segment AB

Principe :

Le gisement d'un segment AB est l'angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y positif) jusqu'à la direction du segment AB. Il se calcule à l'aide de la fonction arc tangente des différences de coordonnées \(\Delta X_{AB}\) et \(\Delta Y_{AB}\). Une attention particulière doit être portée au quadrant dans lequel se situe le segment pour ajuster correctement l'angle obtenu par la fonction arc tangente (qui donne généralement un résultat entre -90° et +90° ou -π/2 et +π/2 radians).

La formule de base est \(\alpha_0 = \arctan\left(\frac{|\Delta X|}{|\Delta Y|}\right)\). L'ajustement du quadrant est :

  • Si \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y > 0\) (Quadrant 1) : \(G = \alpha_0\)
  • Si \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y < 0\) (Quadrant 2) : \(G = 180^\circ - \alpha_0\) (ou \(200 \text{ gon} - \alpha_0\))
  • Si \(\Delta X < 0\) et \(\Delta Y < 0\) (Quadrant 3) : \(G = 180^\circ + \alpha_0\) (ou \(200 \text{ gon} + \alpha_0\))
  • Si \(\Delta X < 0\) et \(\Delta Y > 0\) (Quadrant 4) : \(G = 360^\circ - \alpha_0\) (ou \(400 \text{ gon} - \alpha_0\))
Cas particuliers : Si \(\Delta Y = 0\), \(G = 90^\circ\) si \(\Delta X > 0\), \(G = 270^\circ\) si \(\Delta X < 0\). Si \(\Delta X = 0\), \(G = 0^\circ\) si \(\Delta Y > 0\), \(G = 180^\circ\) si \(\Delta Y < 0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta X_{AB}}{\Delta Y_{AB}}\right) \quad \text{(puis ajustement de quadrant)}\]

En degrés, la fonction `atan2(deltaY, deltaX)` donne directement l'angle dans le bon quadrant (attention à l'ordre des arguments), puis on peut l'ajuster pour être positif et par rapport au Nord. Ici, nous utilisons \(\arctan(\Delta X / \Delta Y)\) et ajustons.

Données spécifiques :
  • \(\Delta X_{AB} = 250.00 \, \text{m}\)
  • \(\Delta Y_{AB} = 150.00 \, \text{m}\)
Calcul :

\(\Delta X_{AB} > 0\) et \(\Delta Y_{AB} > 0\), donc nous sommes dans le premier quadrant (Nord-Est).

\[ \begin{aligned} G_{AB} &= \arctan\left(\frac{250.00}{150.00}\right) \\ &= \arctan(1.6666...) \end{aligned} \]

En utilisant une calculatrice (mode degrés) :

\[ G_{AB} \approx 59.036^\circ \]
Résultat Question 2 : Le gisement du segment AB est \(G_{AB} \approx 59.04^\circ\).

Question 3 : Différences de coordonnées \(\Delta X_{BC}\) et \(\Delta Y_{BC}\)

Principe :

Similaire à la question 1, on calcule les différences de coordonnées entre le point B et le point C.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta X_{BC} = X_C - X_B\]
\[\Delta Y_{BC} = Y_C - Y_B\]
Données spécifiques :
  • Point B : \(X_B = 1250.00 \, \text{m}\), \(Y_B = 650.00 \, \text{m}\)
  • Point C : \(X_C = 1100.00 \, \text{m}\), \(Y_C = 850.00 \, \text{m}\)
Calcul :
\begin{aligned} \Delta X_{BC} &= X_C - X_B \\ &= 1100.00 \, \text{m} - 1250.00 \, \text{m} \\ &= -150.00 \, \text{m} \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta Y_{BC} &= Y_C - Y_B \\ &= 850.00 \, \text{m} - 650.00 \, \text{m} \\ &= 200.00 \, \text{m} \end{aligned}
Résultat Question 3 : \(\Delta X_{BC} = -150.00 \, \text{m}\) et \(\Delta Y_{BC} = 200.00 \, \text{m}\).

Question 4 : Gisement (\(G_{BC}\)) du segment BC

Principe :

On utilise la même méthode que pour \(G_{AB}\), en faisant attention au quadrant. Ici, \(\Delta X_{BC} < 0\) et \(\Delta Y_{BC} > 0\), ce qui correspond au quatrième quadrant (Nord-Ouest).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\alpha_0 = \arctan\left(\frac{|\Delta X_{BC}|}{|\Delta Y_{BC}|}\right)\]
\[G_{BC} = 360^\circ - \alpha_0 \quad (\text{pour le quadrant Nord-Ouest})\]
Données spécifiques :
  • \(\Delta X_{BC} = -150.00 \, \text{m}\)
  • \(\Delta Y_{BC} = 200.00 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \alpha_0 &= \arctan\left(\frac{|-150.00|}{|200.00|}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{150.00}{200.00}\right) \\ &= \arctan(0.75) \\ &\approx 36.8699^\circ \end{aligned} \]

Ajustement pour le quadrant Nord-Ouest (\(\Delta X < 0, \Delta Y > 0\)) :

\[ \begin{aligned} G_{BC} &= 360^\circ - 36.8699^\circ \\ &\approx 323.1301^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le gisement du segment BC est \(G_{BC} \approx 323.13^\circ\).

Quiz Intermédiaire 2 : Un gisement de \(270^\circ\) correspond à quelle direction ?

Question 5 : Gisement inverse (\(G_{BA}\))

Principe :

Le gisement inverse \(G_{BA}\) est l'orientation du segment BA, c'est-à-dire le gisement de B vers A. Il est obtenu en ajoutant ou en soustrayant \(180^\circ\) (ou \(200\) grades) au gisement direct \(G_{AB}\). Si \(G_{AB} < 180^\circ\), on ajoute \(180^\circ\). Si \(G_{AB} \geq 180^\circ\), on soustrait \(180^\circ\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{BA} = G_{AB} + 180^\circ \quad (\text{si } G_{AB} < 180^\circ)\]
\[G_{BA} = G_{AB} - 180^\circ \quad (\text{si } G_{AB} \geq 180^\circ)\]
Données spécifiques :
  • \(G_{AB} \approx 59.036^\circ\)
Calcul :

Puisque \(G_{AB} \approx 59.036^\circ < 180^\circ\), on ajoute \(180^\circ\).

\[ \begin{aligned} G_{BA} &= 59.036^\circ + 180^\circ \\ &= 239.036^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le gisement inverse \(G_{BA}\) est \(\approx 239.04^\circ\).

Question 6 : Angle intérieur \(\beta = \angle ABC\)

Principe :

L'angle intérieur \(\beta\) au sommet B, tournant dans le sens horaire de la direction BA vers la direction BC, est calculé par la différence entre le gisement de la visée avant (\(G_{BC}\)) et le gisement de la visée arrière (\(G_{BA}\)). Si le résultat est négatif, on ajoute \(360^\circ\) (ou \(400\) grades) pour obtenir un angle positif.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\beta = G_{BC} - G_{BA}\]

Si \(\beta < 0\), alors \(\beta = \beta + 360^\circ\).

Données spécifiques :
  • \(G_{BC} \approx 323.1301^\circ\)
  • \(G_{BA} \approx 239.036^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \beta &= 323.1301^\circ - 239.036^\circ \\ &\approx 84.0941^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'angle intérieur \(\beta = \angle ABC\) est \(\approx 84.09^\circ\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le gisement d'une direction est mesuré :

2. Si le gisement \(G_{AB} = 45^\circ\), le gisement inverse \(G_{BA}\) est :

3. Pour calculer un angle intérieur à un sommet B (venant de A, allant vers C), on utilise :

Glossaire

Topographie
Technique de représentation sur un plan des formes et détails visibles sur la surface terrestre.
Coordonnées Rectangulaires (X, Y, Z)
Système de localisation d'un point dans un espace à trois dimensions. X et Y sont les coordonnées planimétriques (Est/Ouest, Nord/Sud), et Z est l'altitude.
Gisement (ou Azimut)
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir d'une direction de référence (généralement le Nord géographique ou le Nord Lambert) jusqu'à une direction donnée.
Gisement Inverse
Gisement d'une direction opposée à un gisement direct. \(G_{BA} = G_{AB} \pm 180^\circ\) (ou \(\pm 200\) grades).
Angle Intérieur
Dans un polygone, angle formé par deux côtés adjacents, mesuré à l'intérieur du polygone.
Arc tangente (\(\arctan\) ou \(\tan^{-1}\))
Fonction mathématique inverse de la tangente, utilisée pour trouver un angle à partir du rapport des côtés d'un triangle rectangle.
Grade (ou Gon)
Unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 grades. \(100 \text{ grades} = 90^\circ\).
Calcul des Angles en Topographie - Exercice d'Application

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