Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Force Résultante de l’Eau

Calcul de la Force Résultante de l’Eau en Hydraulique

Calcul de la Force Résultante de l’Eau en Hydraulique

Comprendre la Force Résultante Hydrostatique

Lorsqu'une surface plane est immergée dans un fluide au repos, elle est soumise à des forces de pression hydrostatique. La somme vectorielle de ces forces élémentaires est appelée la force résultante hydrostatique. La connaissance de la magnitude de cette force et de son point d'application (le centre de poussée) est essentielle pour la conception et la vérification de la stabilité des ouvrages hydrauliques tels que les vannes, les barrages, les parois de réservoirs, les écoutilles de navires, etc. Une mauvaise estimation de cette force peut conduire à des défaillances structurelles.

Données de l'étude

On considère une vanne rectangulaire verticale fermant une ouverture dans la paroi d'un réservoir rempli d'eau. La surface libre de l'eau est ouverte à l'atmosphère.

Caractéristiques du fluide et de l'environnement :

  • Fluide : Eau
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Caractéristiques de la vanne et du réservoir :

  • Hauteur totale d'eau dans le réservoir au-dessus du sommet de la vanne : Non pertinent directement pour la force sur la vanne, mais la profondeur totale est \(H = 4 \, \text{m}\).
  • Vanne rectangulaire verticale :
    • Hauteur de la vanne (\(h_{\text{vanne}}\)) : \(2 \, \text{m}\)
    • Largeur de la vanne (\(L_{\text{vanne}}\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
    • Profondeur du sommet de la vanne par rapport à la surface libre (\(h_1\)) : \(1 \, \text{m}\)
Schéma : Vanne rectangulaire immergée
Surface libre Vanne P1 P2 FR CP CDG h1 hvanne Lvanne yG yP

Schéma d'une vanne rectangulaire verticale immergée et diagramme de pression.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression relative (\(P_1\)) au sommet de la vanne.
  2. Calculer la pression relative (\(P_2\)) à la base de la vanne.
  3. Déterminer l'aire (\(A_{\text{vanne}}\)) de la vanne.
  4. Calculer la profondeur du centre de gravité (CDG) de la vanne (\(y_G\)) par rapport à la surface libre de l'eau.
  5. Calculer la pression relative (\(P_G\)) au centre de gravité de la vanne.
  6. Calculer la magnitude de la force hydrostatique résultante (\(F_R\)) s'exerçant sur la vanne.
  7. Calculer la profondeur du centre de poussée (\(y_P\)) par rapport à la surface libre de l'eau.

Correction : Calcul de la Force Résultante de l'Eau

Question 1 : Pression relative (\(P_1\)) au sommet de la vanne

Principe :

La pression relative hydrostatique à une profondeur \(h\) est donnée par \(P = \rho g h\).

Données spécifiques :
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Profondeur du sommet de la vanne (\(h_1\)) : \(1 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_1 &= \rho g h_1 \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1 \, \text{m} \\ &= 9810 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pression relative au sommet de la vanne est \(P_1 = 9810 \, \text{Pa}\).

Question 2 : Pression relative (\(P_2\)) à la base de la vanne

Principe :

La profondeur de la base de la vanne est \(h_2 = h_1 + h_{\text{vanne}}\). La pression relative est calculée de la même manière.

Données spécifiques :
  • \(h_1 = 1 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la vanne (\(h_{\text{vanne}}\)) : \(2 \, \text{m}\)
  • \(\Rightarrow\) Profondeur de la base de la vanne (\(h_2\)) : \(1 \, \text{m} + 2 \, \text{m} = 3 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= \rho g h_2 \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 3 \, \text{m} \\ &= 29430 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La pression relative à la base de la vanne est \(P_2 = 29430 \, \text{Pa}\).

Question 3 : Aire (\(A_{\text{vanne}}\)) de la vanne

Principe :

L'aire d'une surface rectangulaire est le produit de sa hauteur par sa largeur.

Données spécifiques :
  • Hauteur de la vanne (\(h_{\text{vanne}}\)) : \(2 \, \text{m}\)
  • Largeur de la vanne (\(L_{\text{vanne}}\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\text{vanne}} &= h_{\text{vanne}} \times L_{\text{vanne}} \\ &= 2 \, \text{m} \times 1.5 \, \text{m} \\ &= 3 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'aire de la vanne est \(A_{\text{vanne}} = 3 \, \text{m}^2\).

Question 4 : Profondeur du centre de gravité (\(y_G\)) de la vanne

Principe :

Pour une vanne rectangulaire verticale, le centre de gravité (CDG) est situé à mi-hauteur de la vanne. Sa profondeur par rapport à la surface libre est la profondeur du sommet de la vanne plus la moitié de la hauteur de la vanne.

Données spécifiques :
  • Profondeur du sommet de la vanne (\(h_1\)) : \(1 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la vanne (\(h_{\text{vanne}}\)) : \(2 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_G &= h_1 + \frac{h_{\text{vanne}}}{2} \\ &= 1 \, \text{m} + \frac{2 \, \text{m}}{2} \\ &= 1 \, \text{m} + 1 \, \text{m} \\ &= 2 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La profondeur du centre de gravité de la vanne est \(y_G = 2 \, \text{m}\).

Question 5 : Pression relative (\(P_G\)) au centre de gravité de la vanne

Principe :

La pression au centre de gravité est calculée en utilisant la profondeur du centre de gravité \(y_G\).

Données spécifiques :
  • \(y_G = 2 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_G &= \rho g y_G \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 2 \, \text{m} \\ &= 19620 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La pression relative au centre de gravité de la vanne est \(P_G = 19620 \, \text{Pa}\).

Quiz Intermédiaire 1 : La pression au centre de gravité d'une surface plane immergée est-elle toujours la moyenne des pressions au sommet et à la base de cette surface ?

Question 6 : Magnitude de la force hydrostatique résultante (\(F_R\))

Principe :

La force hydrostatique résultante sur une surface plane immergée est le produit de la pression au centre de gravité de la surface par l'aire de cette surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_R = P_G \times A_{\text{vanne}} \]
Données spécifiques :
  • \(P_G = 19620 \, \text{Pa}\)
  • \(A_{\text{vanne}} = 3 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_R &= 19620 \, \text{Pa} \times 3 \, \text{m}^2 \\ &= 58860 \, \text{N} \end{aligned} \]

Soit \(58.86 \, \text{kN}\).

Résultat Question 6 : La magnitude de la force hydrostatique résultante sur la vanne est \(F_R = 58860 \, \text{N}\) (ou \(58.86 \, \text{kN}\)).

Question 7 : Profondeur du centre de poussée (\(y_P\))

Principe :

Le centre de poussée (\(y_P\)) est le point d'application de la force résultante. Pour une surface plane verticale, il est situé en dessous du centre de gravité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ y_P = y_G + \frac{I_G}{y_G A_{\text{vanne}}} \]

Où \(I_G\) est le moment d'inertie de l'aire de la vanne par rapport à un axe horizontal passant par son centre de gravité. Pour une vanne rectangulaire de largeur \(L_{\text{vanne}}\) et hauteur \(h_{\text{vanne}}\), \(I_G = \frac{L_{\text{vanne}} h_{\text{vanne}}^3}{12}\).

Données spécifiques :
  • \(y_G = 2 \, \text{m}\)
  • \(A_{\text{vanne}} = 3 \, \text{m}^2\)
  • \(L_{\text{vanne}} = 1.5 \, \text{m}\)
  • \(h_{\text{vanne}} = 2 \, \text{m}\)
Calcul :

Moment d'inertie \(I_G\) :

\[ \begin{aligned} I_G &= \frac{L_{\text{vanne}} h_{\text{vanne}}^3}{12} \\ &= \frac{1.5 \, \text{m} \times (2 \, \text{m})^3}{12} \\ &= \frac{1.5 \times 8}{12} \, \text{m}^4 \\ &= \frac{12}{12} \, \text{m}^4 \\ &= 1 \, \text{m}^4 \end{aligned} \]

Position du centre de poussée \(y_P\) :

\[ \begin{aligned} y_P &= y_G + \frac{I_G}{y_G A_{\text{vanne}}} \\ &= 2 \, \text{m} + \frac{1 \, \text{m}^4}{2 \, \text{m} \times 3 \, \text{m}^2} \\ &= 2 \, \text{m} + \frac{1}{6} \, \text{m} \\ &= 2 \, \text{m} + 0.1666... \, \text{m} \\ &\approx 2.167 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le centre de poussée est donc situé à environ \(2.167 \, \text{m}\) de la surface libre de l'eau.

Résultat Question 7 : La profondeur du centre de poussée sur la vanne est \(y_P \approx 2.167 \, \text{m}\) depuis la surface libre de l'eau.

Quiz Intermédiaire 2 : Pour une surface plane verticale immergée, le centre de poussée est-il toujours au même endroit que le centre de gravité ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. La force hydrostatique résultante sur une surface plane immergée :

9. Si une vanne rectangulaire est immergée plus profondément (tout en gardant la même orientation et les mêmes dimensions), la force résultante sur elle :

10. Le moment d'inertie \(I_G\) d'une surface par rapport à son axe centroïdal est utilisé dans le calcul :

Glossaire

Force Hydrostatique Résultante (\(F_R\))
Force unique qui produit le même effet que l'ensemble des forces de pression hydrostatique réparties sur une surface immergée.
Centre de Poussée (\(y_P\))
Point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface immergée. Il est généralement situé en dessous du centre de gravité pour les surfaces non horizontales.
Centre de Gravité (CDG ou \(y_G\))
Point géométrique d'une surface où l'on peut considérer que toute son aire est concentrée. Pour une surface plane, c'est son centroïde.
Moment d'Inertie de Surface (\(I_G\))
Caractéristique géométrique d'une surface qui décrit comment ses points sont distribués par rapport à un axe donné. Pour le calcul du centre de poussée, on utilise le moment d'inertie par rapport à l'axe horizontal passant par le centre de gravité de la surface.
Pression Hydrostatique
Pression exercée par un fluide au repos, due à la gravité. Elle est égale à \(P = \rho g h\), où \(\rho\) est la masse volumique du fluide, \(g\) l'accélération due à la gravité, et \(h\) la profondeur.
Calcul de la Force Résultante de l’Eau - Exercice d'Application

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