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Étude de l’Adhérence Béton-Composite (PRFC)

Exercice : Adhérence Béton-PRFC

Étude de l'Adhérence Béton-Composite (PRFC)

Contexte : Le Renforcement des Structures en Béton Armé.

L'utilisation de PRFCPolymères Renforcés de Fibres de Carbone : un matériau composite léger et très résistant, utilisé pour le renforcement structurel. (Polymères Renforcés de Fibres de Carbone) est une technique moderne et efficace pour réhabiliter ou augmenter la capacité portante des structures en béton armé (poutres, dalles, poteaux). Ces matériaux sont collés à la surface du béton à l'aide de résines époxy.

La performance de ce renforcement dépend de manière critique de la qualité de l'adhérenceLiaison mécanique et chimique entre deux matériaux, ici entre la colle (résine) et le support en béton. à l'interface béton-colle-composite. C'est cette liaison qui assure le transfert des efforts de la structure existante vers le renfort. Une défaillance prématurée de cette liaison (décollement) annule tout le bénéfice du renforcement et peut être fragile.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à analyser les résultats d'un essai d'adhérence (dit "pull-off" ou d'arrachement), à identifier les modes de ruine potentiels et à calculer les grandeurs clés qui régissent le dimensionnement de ces renforts, notamment la longueur d'ancrage.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre les mécanismes de transfert de charge à l'interface béton-PRFC.
  • Identifier les différents modes de ruineDifférentes manières par lesquelles un assemblage peut casser (ex: rupture du composite, décollement, rupture du béton). d'un assemblage collé.
  • Calculer la contrainte de traction dans le composite et la contrainte de cisaillement moyenne à l'interface.
  • Estimer la longueur d'ancrage efficace nécessaire pour éviter un décollement prématuré.

Données de l'étude

On analyse un essai d'arrachement (pull-off) sur un plat en PRFC collé sur un support en béton de classe C25/30. Le dispositif d'essai applique une force de traction \(F\) au plat composite.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Classe de résistance du béton C25/30 (\(f_{ck} = 25 \text{ MPa}\))
Largeur du plat PRFC (\(b\)) 50 mm
Épaisseur du plat PRFC (\(t_f\)) 1.2 mm
Module d'Young du PRFC (\(E_f\)) 165 000 MPa (ou 165 GPa)
Résistance en traction du PRFC (\(f_f\)) 2 800 MPa
Longueur collée (\(L\)) 200 mm
Schéma de l'essai d'arrachement (Pull-off)
Support Béton (C25/30) Plat PRFC (L = 200 mm) F (Force de traction) Interface collée
Paramètre de l'Essai Description ou Formule Symbole Valeur
Force de rupture mesurée Force maximale atteinte lors de l'essai \(F_{\text{max}}\) 18,0 kN
Mode de ruine observé Arrachement du béton de surface sous la colle - Rupture cohésive béton

Questions à traiter

  1. Calculer la section \(A_f\) du plat en PRFC.
  2. Calculer la contrainte de traction \(\sigma_f\) dans le plat PRFC au moment de la rupture (à \(F_{\text{max}}\)).
  3. Comparer cette contrainte \(\sigma_f\) à la résistance en traction du PRFC \(f_f\). Qu'en concluez-vous sur le mode de ruine ?
  4. Calculer la contrainte de cisaillement moyenne \(\tau_m\) à l'interface sur la longueur collée \(L\).
  5. Sachant qu'une formule empirique (issue du *fib* Model Code) donne la contrainte d'adhérence de calcul \(\tau_{\text{max}} \approx 1.8 \cdot \frac{f_{\text{ctm}}}{1.5}\) (avec \(f_{\text{ctm}} = 2.56 \text{ MPa}\) pour un C25/30), calculer cette valeur et la comparer à \(\tau_m\).

Les bases sur l'Adhérence Béton-PRFC

Le transfert d'effort entre le béton et le plat PRFC se fait par cisaillementContrainte parallèle à la surface de collage, qui tend à faire glisser les matériaux l'un sur l'autre. à l'interface collée. Ce transfert n'est pas uniforme.

1. Distribution des contraintes
Lorsqu'on tire sur le plat, la contrainte de cisaillement \(\tau(x)\) est maximale à l'extrémité chargée et décroît (souvent exponentiellement) le long de la longueur collée. Après une certaine distance, appelée longueur d'ancrageLongueur minimale de collage nécessaire pour transférer la totalité de l'effort sans décollement. efficace (\(L_e\)), la contrainte devient quasiment nulle. Augmenter la longueur de collage au-delà de \(L_e\) n'augmente pas la force transmissible.

Correction : Étude de l'Adhérence Béton-Composite (PRFC)

Question 1 : Calculer la section \(A_f\) du plat en PRFC.

Principe

La section (ou aire) d'un profilé rectangulaire se calcule simplement en multipliant sa largeur par son épaisseur. C'est la surface qui va reprendre l'effort de traction.

Mini-Cours

La section droite (ou aire) : En Résistance des Matériaux (RDM), la section est fondamentale. C'est la surface "coupée" perpendiculairement à l'effort. Pour un effort de traction simple, la contrainte est la force divisée par cette section. Plus la section est grande, plus elle peut reprendre d'effort (ou plus la contrainte est faible pour une force donnée).

Remarque Pédagogique

La première étape de tout calcul de RDM est presque toujours d'identifier correctement les caractéristiques géométriques de l'élément étudié (longueur, largeur, épaisseur, aire, inertie...). Une erreur ici se propage à tous les calculs suivants.

Normes

Le calcul de l'aire d'un rectangle est une convention géométrique universelle et n'est pas spécifique à une norme de génie civil (Eurocode, ACI, etc.).

Formule(s)

Section (Aire) d'un rectangle

\[ A_f = b \times t_f \]
Hypothèses

On suppose que le plat a une section rectangulaire constante sur toute sa longueur.

Donnée(s)

Nous utilisons les dimensions du plat PRFC fournies dans l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Largeur du plat\(b\)50mm
Épaisseur du plat\(t_f\)1.2mm
Astuces

Vérifiez toujours que les unités de vos données d'entrée sont cohérentes. Ici, "mm" multiplié par "mm" donnera un résultat en "mm²", ce qui est bien l'unité d'une section. C'est parfait pour la suite des calculs de contrainte (en N/mm² = MPa).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la section droite du plat PRFC.

Section droite du plat PRFC
b = 50 mm t_f = 1.2 mm
Calcul(s)

Application de la formule

On remplace les valeurs de la largeur (\(b = 50 \text{ mm}\)) et de l'épaisseur (\(t_f = 1.2 \text{ mm}\)) dans la formule de la section.

\[ \begin{aligned} A_f &= 50 \text{ mm} \times 1.2 \text{ mm} \\ &= 60 \text{ mm}^2 \end{aligned} \]

Le résultat est une section de 60 millimètres carrés. C'est cette surface qui va résister à l'effort de traction.

Schéma (Après les calculs)

Aucun schéma supplémentaire n'est nécessaire pour ce calcul simple.

Réflexions

La section est de 60 mm². C'est une très faible surface comparée à une barre d'acier traditionnelle (ex: un HA10 a une section de 78.5 mm²). Cela met en évidence la haute performance du PRFC : il peut reprendre d'énormes efforts avec très peu de matière.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre l'épaisseur \(t_f\) (1.2 mm) avec la largeur \(b\) (50 mm). L'erreur la plus commune est d'oublier un "0" ou de mal placer la virgule lors de la multiplication.

Points à retenir

La section d'un renfort PRFC est toujours sa largeur multipliée par son épaisseur. Cette valeur \(A_f\) est la base du calcul de la contrainte de traction.

Le saviez-vous ?

Les plats PRFC sont fabriqués par un procédé appelé "pultrusion". Les fibres de carbone sont tirées (pull) à travers un bain de résine puis dans une filière chauffante qui donne au plat sa forme rectangulaire finale et polymérise la résine.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Pourquoi utilise-t-on des mm² et pas des m² ?

En génie civil, et particulièrement en RDM, il est standard de travailler en Mégapascals (MPa). Or, \(1 \text{ MPa} = 1 \text{ N/mm}^2\). Utiliser des Newtons (N) et des millimètres (mm, mm²) permet donc d'obtenir directement des résultats en MPa sans conversion, ce qui simplifie grandement les calculs.

Résultat Final
La section du plat en PRFC est \(A_f = 60 \text{ mm}^2\).
A vous de jouer

Si on utilisait un plat de 80 mm de large et 1.4 mm d'épaisseur, quelle serait sa section \(A_f\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Section droite (Aire).
  • Formule Essentielle : \(A_f = b \times t_f\).
  • Résultat : \(A_f = 60 \text{ mm}^2\).

Question 2 : Calculer la contrainte de traction \(\sigma_f\) dans le plat PRFC au moment de la rupture (à \(F_{\text{max}}\)).

Principe

La contrainte normale (ici, de traction) est définie comme la force appliquée divisée par la section sur laquelle elle s'applique. Nous utilisons la force maximale mesurée lors de l'essai pour savoir quelle était la contrainte dans le plat *au moment exact* où le système a cédé.

Mini-Cours

Contrainte de Traction (\(\sigma\)) : C'est une mesure de l'effort interne par unité de surface. Imaginez que vous tirez sur un élastique : la force que vous appliquez se répartit sur toute la section de l'élastique. Cette "force répartie" est la contrainte. Elle s'exprime en Pascals (Pa) ou, plus couramment, en Mégapascals (MPa).

Remarque Pédagogique

Cette question est cruciale. Elle permet de savoir *combien* le composite "travaillait" réellement au moment où la rupture (qui, on le sait, s'est produite dans le béton) a eu lieu. C'est le premier pas pour comprendre l'efficacité du système d'ancrage.

Normes

La définition de la contrainte (\(\sigma = F/A\)) est un principe fondamental de la mécanique des milieux continus, commun à toutes les normes.

Formule(s)

Contrainte de traction

\[ \sigma_f = \frac{F_{\text{max}}}{A_f} \]
Hypothèses

On suppose que la force de traction \(F_{\text{max}}\) est uniformément répartie sur la section \(A_f\) du composite au niveau de l'application de l'effort.

Donnée(s)

Nous utilisons la force maximale de l'essai et la section calculée à la question 1.

ParamètreSymboleValeurUnité
Force de rupture mesurée\(F_{\text{max}}\)18.0kN
Section du plat (Q1)\(A_f\)60mm²
Astuces

Le duo d'unités (N) et (mm²) est votre meilleur ami en RDM. Puisque \(1 \text{ MPa} = 1 \text{ N/mm}^2\), convertissez toujours vos forces en Newtons (N) et vos sections en millimètres carrés (mm²) pour obtenir un résultat directement en Mégapascals (MPa).

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation de l'effort de traction sur la section du plat.

Effort sur la section Af
Section Af Fmax σf = Fmax / Af
Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la force

Pour obtenir un résultat en MPa (qui sont des N/mm²), nous devons d'abord convertir la force de kilonewtons (kN) en Newtons (N). On sait que \(1 \text{ kN} = 1000 \text{ N}\).

\[ \begin{aligned} F_{\text{max}} &= 18.0 \text{ kN} \\ &= 18.0 \times 1000 \text{ N} \\ &= 18\,000 \text{ N} \end{aligned} \]

La force de rupture maximale est donc de 18 000 Newtons.

Étape 2 : Calcul de la contrainte

Maintenant, on applique la formule \(\sigma_f = F_{\text{max}} / A_f\) en utilisant la force en Newtons (\(F_{\text{max}} = 18\,000 \text{ N}\)) et la section en mm² calculée à la question 1 (\(A_f = 60 \text{ mm}^2\)).

\[ \begin{aligned} \sigma_f &= \frac{18\,000 \text{ N}}{60 \text{ mm}^2} \\ &= 300 \text{ N/mm}^2 \\ &= 300 \text{ MPa} \end{aligned} \]

La contrainte dans le plat au moment de la rupture est de 300 N/mm², ce qui équivaut à 300 Mégapascals (MPa).

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma de résultat nécessaire, le résultat est une valeur scalaire.

Réflexions

La contrainte subie par le plat au moment de la rupture était de 300 MPa. Est-ce beaucoup ? Est-ce peu ? Pour le savoir, il faut comparer cette valeur à la résistance maximale du matériau, ce qui est l'objet de la question suivante.

Points de vigilance

Attention aux unités ! La force est en kilonewtons (kN) et la section en millimètres carrés (mm²). Le résultat sera en kN/mm², ce qui n'est pas standard. Il faut convertir les kN en Newtons (N) pour obtenir un résultat direct en Mégapascals (MPa), car \(1 \text{ N/mm}^2 = 1 \text{ MPa}\).

Points à retenir
  • La contrainte est la force divisée par la section : \(\sigma = F/A\).
  • L'utilisation des N et des mm² est la clé pour travailler en MPa.
Le saviez-vous ?

Les fibres de carbone de haute performance utilisées en génie civil ont des résistances en traction (\(f_f\)) qui peuvent dépasser 3000 ou 4000 MPa. À titre de comparaison, les aciers d'armature courants ont une limite élastique de 500 MPa. Le PRFC est donc, à poids égal, incroyablement plus résistant.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Qu'est-ce qu'un Mégapascal (MPa) ?

Un Pascal (Pa) est une force de 1 Newton appliquée sur 1 mètre carré. C'est une unité très petite. Un Mégapascal (MPa) vaut un million de Pascals. Très commodément pour les ingénieurs, 1 MPa équivaut aussi à 1 Newton appliqué sur 1 millimètre carré (1 N/mm²), ce qui correspond parfaitement aux échelles de force et de section utilisées en génie civil.

Résultat Final
La contrainte de traction dans le PRFC au moment de la ruine est \(\sigma_f = 300 \text{ MPa}\).
A vous de jouer

Si la force de rupture avait été de 24 kN, quelle aurait été la contrainte dans le plat ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Contrainte de traction.
  • Formule Essentielle : \(\sigma_f = F_{\text{max}} / A_f\).
  • Point de Vigilance : Convertir kN en N (18 kN = 18 000 N).
  • Résultat : \(\sigma_f = 300 \text{ MPa}\).

Question 3 : Comparer cette contrainte \(\sigma_f\) à la résistance en traction du PRFC \(f_f\). Qu'en concluez-vous sur le mode de ruine ?

Principe

On compare la contrainte réelle subie par le matériau (\(\sigma_f\)) à sa capacité maximale avant rupture (\(f_f\)). Cela permet d'identifier si le matériau lui-même a cédé, ou si la rupture est due à un autre phénomène. C'est l'identification du "maillon le plus faible".

Mini-Cours

Vérification à l'État Limite Ultime (ELU) : En dimensionnement de structures, on compare toujours la sollicitation (ce que la structure subit, \(\sigma_f\)) à la résistance (ce que la structure peut supporter, \(f_f\)). Pour que la structure soit stable, il faut toujours que : Sollicitation \(\le\) Résistance. Si la rupture se produit alors que la sollicitation est bien inférieure à la résistance du matériau, cela signifie que la rupture a eu lieu ailleurs (par exemple, dans la connexion).

Remarque Pédagogique

Cette comparaison est fondamentale. Elle nous montre que ce n'est pas le plat PRFC qui a cassé. Le système a cédé bien avant que le composite n'ait pu être utilisé à son plein potentiel. La rupture est donc une rupture "fragile" d'ancrage.

Normes

Les guides de dimensionnement (comme l'Eurocode ou les avis techniques) définissent les différents modes de ruine à vérifier. La rupture du PRFC en traction est un mode, mais le décollement (cohésif béton) en est un autre, souvent dimensionnant.

Formule(s)

Ratio d'utilisation

\[ \text{Ratio} = \frac{\sigma_f}{f_f} \]
Hypothèses

On suppose que la valeur \(f_f = 2800 \text{ MPa}\) est la résistance garantie du matériau.

Donnée(s)

On utilise le résultat de la Q2 et la donnée d'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Contrainte calculée (Q2)\(\sigma_f\)300MPa
Résistance du PRFC\(f_f\)2 800MPa
Astuces

Quand vous comparez deux valeurs, calculer le ratio en pourcentage (\(\frac{300}{2800} \times 100\%\)) est souvent plus parlant qu'une simple comparaison. "10.7 %" est plus visuel que "300 < 2800".

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison visuelle des modes de ruine.

Modes de Ruine Possibles
Cas 1: Rupture PRFC (σf = ff) - Non observé Cas 2: Rupture Béton (σf < ff) - Observé
Calcul(s)

Comparaison

On compare la contrainte calculée à la Q2 (\(\sigma_f = 300 \text{ MPa}\)) avec la résistance du matériau donnée dans l'énoncé (\(f_f = 2800 \text{ MPa}\)).

\[ \sigma_f = 300 \text{ MPa} \quad \ll \quad f_f = 2\,800 \text{ MPa} \]

La contrainte subie est très largement inférieure (symbole \(\ll\)) à la résistance du plat. Cela confirme que le plat lui-même n'a pas cassé.

Ratio d'utilisation

Pour mieux visualiser l'écart, on calcule le ratio de la contrainte subie par rapport à la contrainte maximale possible.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_f}{f_f} &= \frac{300}{2800} \\ &\approx 0.107 \text{ (soit 10.7 \%)} \end{aligned} \]

Le plat n'était utilisé qu'à environ 10.7 % de sa capacité de traction lorsque la ruine est survenue.

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma de résultat nécessaire.

Réflexions

La contrainte dans le plat PRFC au moment de la rupture n'est que de 10.7 % de sa capacité maximale. Le plat n'a donc pas cassé. La rupture s'est produite *avant* que le composite n'ait pu développer sa pleine résistance.

Cela confirme l'observation de l'énoncé : la rupture n'est pas une rupture du matériau PRFC, mais une rupture du système d'attache (l'adhérence). Le "maillon faible" de la chaîne n'était pas le composite, mais l'interface ou le béton lui-même.

Points de vigilance

Ne jamais supposer que c'est le matériau le plus "moderne" (le PRFC) qui est dimensionnant. Dans les assemblages de matériaux, c'est très souvent l'interface ou le matériau le plus "traditionnel" (le béton) qui constitue le point faible.

Points à retenir

C'est la problématique centrale du renforcement par PRFC : le matériau est si résistant qu'il est très difficile de l'ancrer pour utiliser sa pleine capacité. La rupture se produit presque toujours par décollement (cohésive béton).

Le saviez-vous ?

Pour éviter ce mode de ruine, la préparation de la surface du béton est l'étape la plus critique. On réalise un "sablage" ou un "grenaillage" pour enlever la laitance (couche de surface fragile) et exposer les granulats, afin d'assurer une adhérence mécanique profonde de la résine.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Pourquoi la rupture dans le béton est-elle "fragile" ?

Une rupture est dite "fragile" lorsqu'elle survient brutalement, sans signe avant-coureur (comme une déformation plastique importante). L'acier est "ductile" (il s'étire beaucoup avant de casser). Le béton en traction est "fragile" (il fissure et casse net). Le décollement est similaire à une rupture en traction du béton, il est donc fragile et doit être évité en conception.

Résultat Final
\(\sigma_f \ll f_f\). Le composite est largement sous-utilisé. La rupture est bien une rupture d'adhérence (cohésive béton, comme indiqué), ce qui est un mode de ruine fragile.
A vous de jouer

Si la résistance du PRFC avait été de 2000 MPa (au lieu de 2800), quel aurait été le ratio d'utilisation ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Comparaison Sollicitation vs Résistance.
  • Analyse : \(\sigma_f (300 \text{ MPa}) \ll f_f (2800 \text{ MPa})\).
  • Conclusion : Le PRFC n'a pas cassé. La rupture vient de l'ancrage (décollement cohésif béton).

Question 4 : Calculer la contrainte de cisaillement moyenne \(\tau_m\) à l'interface sur la longueur collée \(L\).

Principe

La force de traction \(F_{\text{max}}\) est transmise du composite au béton via la surface collée (l'interface). On peut calculer une contrainte de cisaillement *moyenne* (\(\tau_m\)) en supposant (de manière simplifiée) que cette force est uniformément répartie sur toute la surface de collage.

Mini-Cours

Contrainte de Cisaillement (\(\tau\)) : Alors que la contrainte normale (\(\sigma\)) est perpendiculaire à la section, la contrainte de cisaillement (\(\tau\)) est *parallèle* à la section. Ici, elle agit le long de la surface de collage, empêchant le plat de "glisser" par rapport au béton.

Remarque Pédagogique

C'est une simplification importante. En réalité, la contrainte de cisaillement n'est PAS uniforme. Elle est maximale près du point de traction (là où \(F_{\text{max}}\) est appliquée) et nulle à l'extrémité libre. \(\tau_m\) est une moyenne qui "lisse" ce pic.

Normes

La formule \(\tau = F / A_{\text{cisaillement}}\) est une définition de base. Les normes l'utilisent comme point de départ pour des modèles plus complexes.

Formule(s)

Surface de collage (cisaillement)

\[ A_{\text{colle}} = b \times L \]

Contrainte de cisaillement moyenne

\[ \tau_m = \frac{F_{\text{max}}}{A_{\text{colle}}} = \frac{F_{\text{max}}}{b \times L} \]
Hypothèses

La principale hypothèse ici est que la contrainte de cisaillement est uniformément répartie sur la surface \(A_{\text{colle}}\).

Donnée(s)

On utilise les données de l'essai et de la géométrie.

ParamètreSymboleValeurUnité
Force de rupture mesurée\(F_{\text{max}}\)18 000N
Largeur du plat\(b\)50mm
Longueur collée\(L\)200mm
Astuces

Ne confondez pas la surface de traction (\(A_f = b \times t_f\)) avec la surface de collage (\(A_{\text{colle}} = b \times L\)). La première résiste à la traction, la seconde transfère l'effort par cisaillement.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la surface de collage soumise au cisaillement.

Surface de Collage (Vue de dessous)
Surface Acolle τm = Fmax / Acolle L = 200 mm b = 50 mm
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la surface de collage

On applique la formule \(A_{\text{colle}} = b \times L\) avec la largeur (\(b = 50 \text{ mm}\)) et la longueur collée (\(L = 200 \text{ mm}\)). C'est la surface sur laquelle la colle transfère l'effort.

\[ \begin{aligned} A_{\text{colle}} &= 50 \text{ mm} \times 200 \text{ mm} \\ &= 10\,000 \text{ mm}^2 \end{aligned} \]

La surface de collage totale est de 10 000 millimètres carrés.

Étape 2 : Calcul de la contrainte moyenne

On applique la formule \(\tau_m = F_{\text{max}} / A_{\text{colle}}\) avec la force en Newtons (\(F_{\text{max}} = 18\,000 \text{ N}\)) et la surface de collage (\(A_{\text{colle}} = 10\,000 \text{ mm}^2\)).

\[ \begin{aligned} \tau_m &= \frac{18\,000 \text{ N}}{10\,000 \text{ mm}^2} \\ &= 1.8 \text{ N/mm}^2 \\ &= 1.8 \text{ MPa} \end{aligned} \]

La contrainte de cisaillement *moyenne* répartie sur l'interface est donc de 1.8 MPa.

Schéma (Après les calculs)

Distribution réelle (pic) vs. Distribution moyenne (uniforme) de la contrainte τ.

Distribution du Cisaillement τ
Distribution de τ Extrémité chargée (x=0) Extrémité libre (x=L) τ(x) (Réelle) τm (Moyenne)
Réflexions

Cette valeur de 1.8 MPa représente la "force d'adhérence" moyenne sur toute la longueur. En réalité, la contrainte n'est pas uniforme : elle est bien plus élevée près de l'extrémité chargée et faible plus loin. \(\tau_m\) est une valeur simplifiée mais utile pour les comparaisons.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser la surface de *collage* (\(b \times L\)) et non la surface de *traction* (\(b \times t_f\)). C'est une erreur fréquente. La traction et le cisaillement ne s'appliquent pas sur la même surface.

Points à retenir
  • La force de traction est transmise par cisaillement sur la surface collée.
  • La contrainte de cisaillement moyenne est \(\tau_m = F / (b \times L)\).
Le saviez-vous ?

Ce phénomène de pic de contrainte à l'extrémité est appelé "Shear Lag" (ou traînage de cisaillement). C'est à cause de lui qu'il existe une "longueur d'ancrage efficace" : au-delà de cette longueur, le cisaillement transféré est si faible que le matériau supplémentaire ne travaille presque pas.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Si la contrainte n'est pas uniforme, pourquoi calculer la moyenne ?

C'est une première approche simplifiée. Elle permet de quantifier rapidement la performance globale de l'adhérence lors d'un essai. C'est un indicateur utile pour comparer différentes colles ou différentes préparations de surface, même s'il ne reflète pas le pic de contrainte réel.

Résultat Final
La contrainte de cisaillement moyenne à l'interface est \(\tau_m = 1.8 \text{ MPa}\).
A vous de jouer

Si on avait utilisé un plat de 100 mm de large (au lieu de 50) et que la force de rupture était la même (18 kN), quelle aurait été la \(\tau_m\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Contrainte de cisaillement moyenne.
  • Formule Essentielle : \(\tau_m = F_{\text{max}} / (b \times L)\).
  • Surface de collage : \(A_{\text{colle}} = 50 \times 200 = 10\,000 \text{ mm}^2\).
  • Résultat : \(\tau_m = 1.8 \text{ MPa}\).

Question 5 : Calculer la contrainte d'adhérence de calcul \(\tau_{\text{max,calc}}\) (modèle *fib*) et la comparer à \(\tau_m\).

Principe

Les codes de calcul (comme le *fib* Model Code) fournissent des formules pour estimer la résistance d'adhérence maximale \(\tau_{\text{max,calc}}\) (ou de calcul) en fonction des propriétés du béton, car on sait que la rupture se produit dans le béton (cohésive béton).

Mini-Cours

La résistance au décollement est directement liée à la résistance en traction du béton \(f_{\text{ctm}}\). Une formule simplifiée issue du *fib* Model Code 2010 pour la contrainte d'adhérence caractéristique est \(f_{b} \approx k_b \cdot \sqrt{f_{ck}}\). Pour le calcul de dimensionnement, on utilise des valeurs de calcul (avec coefficients partiels). La formule donnée dans l'énoncé est une simplification de ces approches normatives.

Remarque Pédagogique

Nous comparons une valeur *expérimentale moyenne* (\(\tau_m\)) à une valeur *théorique de calcul* (\(\tau_{\text{max,calc}}\)). La valeur de calcul inclut des coefficients de sécurité (\(\gamma_c = 1.5\)) et est basée sur des modèles qui tentent de prédire le pic de contrainte, et non la moyenne.

Normes

La formule est tirée des recommandations du *fib* (Fédération internationale du béton) Model Code, qui sert de base à de nombreuses normes nationales et à l'Eurocode pour le dimensionnement des renforts.

Formule(s)

Contrainte d'adhérence de calcul (donnée)

\[ \tau_{\text{max,calc}} \approx 1.8 \cdot \frac{f_{\text{ctm}}}{\gamma_c} \]

Nous utilisons la valeur donnée \(f_{\text{ctm}} = 2.56 \text{ MPa}\) (valeur tabulée pour un béton C25/30) et \(\gamma_c = 1.5\) (coefficient de sécurité partiel standard pour le béton).

Hypothèses

On suppose que la formule empirique du *fib* est applicable à notre situation (béton C25/30, bonne préparation de surface).

Donnée(s)

Données du béton et de la formule.

ParamètreSymboleValeurUnité
Résistance moyenne en traction\(f_{\text{ctm}}\)2.56MPa
Coefficient partiel béton\(\gamma_c\)1.5-
Astuces

Ne soyez pas surpris que la contrainte moyenne de l'essai (\(\tau_m\)) soit inférieure à la contrainte de calcul (\(\tau_{\text{max,calc}}\)). La moyenne est toujours inférieure au pic ! Les modèles de calcul sont conçus pour être sécuritaires et prédire la force de décollement en se basant sur le pic, et non la moyenne.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma spécifique pour ce calcul normatif.

Calcul(s)

Calcul de \(\tau_{\text{max,calc}}\)

On applique la formule empirique donnée, en remplaçant \(f_{\text{ctm}}\) par la valeur pour un béton C25/30 (\(2.56 \text{ MPa}\)) et \(\gamma_c\) par le coefficient de sécurité (\(1.5\)).

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{max,calc}} &= 1.8 \times \frac{2.56 \text{ MPa}}{1.5} \\ &\approx 3.07 \text{ MPa} \end{aligned} \]

La valeur de calcul (théorique et sécuritaire) de la résistance à l'adhérence est d'environ 3.07 MPa.

Comparaison

On compare la valeur moyenne mesurée lors de l'essai (Q4) à la valeur de calcul théorique.

\[ \tau_m = 1.8 \text{ MPa} \quad < \quad \tau_{\text{max,calc}} = 3.07 \text{ MPa} \]

La contrainte moyenne mesurée (1.8 MPa) est bien inférieure à la contrainte de pic admissible par le calcul (3.07 MPa), ce qui est attendu et cohérent.

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma de résultat nécessaire.

Réflexions

La contrainte moyenne \(\tau_m = 1.8 \text{ MPa}\) est inférieure à la contrainte de calcul maximale admissible \(\tau_{\text{max,calc}} = 3.07 \text{ MPa}\). Cela est cohérent. La valeur \(\tau_m\) est une *moyenne* sur 200 mm, alors que \(\tau_{\text{max,calc}}\) est une *valeur de pic* admissible localement. L'essai montre que le système a cédé (à \(F_{\text{max}}\)) avant d'atteindre la résistance théorique de calcul, ce qui peut être dû à la dispersion des résultats ou au fait que la longueur d'ancrage efficace était plus courte que 200 mm.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(f_{ck}\) (résistance en compression), \(f_{\text{ctm}}\) (résistance moyenne en traction) et \(\tau_{\text{max}}\) (résistance d'adhérence au cisaillement). Ces trois valeurs sont liées (plus le béton est résistant en compression, plus il l'est en traction et à l'adhérence) mais elles sont distinctes et ont des valeurs différentes.

Points à retenir
  • La résistance de l'ancrage PRFC dépend de la résistance en traction du béton (\(f_{\text{ctm}}\)).
  • Les formules normatives (comme celle du *fib*) permettent d'estimer la résistance de calcul au décollement.
Le saviez-vous ?

Le *fib* (Fédération internationale du béton) est une organisation scientifique mondiale qui publie des "Model Codes". Ce ne sont pas des lois, mais des documents de référence si avancés qu'ils servent de base à l'écriture des futures normes officielles, comme les Eurocodes.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Qu'est-ce que le coefficient \(\gamma_c = 1.5\) ?

C'est un coefficient de sécurité partiel appliqué au matériau "béton". Il prend en compte les incertitudes sur la résistance réelle du béton sur site par rapport à celle mesurée en laboratoire. On divise la résistance caractéristique par 1.5 pour obtenir une résistance de calcul sécuritaire.

Résultat Final
La contrainte d'adhérence de calcul est \(\tau_{\text{max,calc}} \approx 3.07 \text{ MPa}\). La contrainte moyenne mesurée (1.8 MPa) est inférieure.
A vous de jouer

Si le béton était plus performant (C50/60, \(f_{\text{ctm}} \approx 4.1 \text{ MPa}\)), quelle serait la \(\tau_{\text{max,calc}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Résistance d'adhérence de calcul (normative).
  • Formule : \(\tau_{\text{max,calc}} \approx 1.8 \cdot f_{\text{ctm}} / \gamma_c\).
  • Comparaison : \(\tau_m (1.8 \text{ MPa}) < \tau_{\text{max,calc}} (3.07 \text{ MPa})\).
  • Conclusion : Cohérent, la moyenne est inférieure au pic théorique.

Outil Interactif : Calcul de la Longueur d'Ancrage Efficace

La longueur d'ancrage efficace (\(L_e\)) est la longueur minimale nécessaire pour développer la rupture par décollement (cohésive béton). Une formule simplifiée est \(L_e = \sqrt{\frac{E_f \cdot t_f}{n \cdot \tau_{\text{max,calc}}}}\). On prendra \(n \approx 2\) et \(\tau_{\text{max,calc}} \approx 0.5 \sqrt{f_{ck}}\) (simplification ACI/USA).
Simulez l'effet de \(f_{ck}\) et \(t_f\) sur \(L_e\).

Paramètres d'Entrée
25 MPa
1.2 mm
Résultats Clés
Contrainte adhérence \(\tau_{\text{max}}\) (MPa) -
Longueur Ancrage \(L_e\) (mm) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel est l'objectif principal du calcul de la section \(A_f\) (Question 1) ?

2. Si la force \(F_{\text{max}}\) est en kilonewtons (kN), par quoi faut-il la multiplier pour l'avoir en Newtons (N) ?

3. La contrainte de cisaillement \(\tau\) à l'interface le long du plat est :

4. D'après l'exercice (Q2 et Q3), pourquoi le plat PRFC n'a-t-il pas atteint sa pleine résistance (2800 MPa) ?

5. Que se passe-t-il si on colle un plat sur une longueur \(L\) très supérieure à la longueur d'ancrage efficace \(L_e\) ?

Glossaire

Adhérence
Ensemble des forces (mécaniques et chimiques) qui assurent la liaison entre deux matériaux en contact, ici entre la résine époxy et le support en béton.
Cisaillement (Contrainte de, \(\tau\))
Contrainte agissant parallèlement à la surface d'un corps (par ex. le long de l'interface de collage), tendant à faire glisser les parties les unes sur les autres.
Longueur d'Ancrage (\(L_e\))
Longueur de collage minimale nécessaire pour qu'un renfort (comme un plat PRFC) puisse transmettre la totalité de son effort de traction à la structure support (béton) sans décollement prématuré.
Mode de Ruine
Manière dont un composant ou un assemblage structurel cède sous charge (ex: rupture du PRFC, décollement à l'interface, arrachement du béton).
PRFC (Polymère Renforcé de Fibres de Carbone)
Matériau composite hautes performances, constitué de fibres de carbone très résistantes noyées dans une matrice polymère (résine). Utilisé pour le renforcement structurel en raison de sa grande résistance et de sa légèreté.
Rupture Cohésive (Béton)
Mode de rupture où le décollement se produit à l'intérieur même du support en béton (la couche superficielle du béton est arrachée), par opposition à une rupture à l'interface colle-béton (adhésive).
Exercice : Adhérence Béton-PRFC

D'autres exercices de Béton Armé:

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