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Cisaillement d’une Section Rectangulaire en Bois

Calcul du Cisaillement d’une Section Rectangulaire en Bois

Cisaillement d’une Section Rectangulaire en Bois

Contexte : Le point faible du bois, une vérification essentielle.

Si la flexion est souvent le premier mode de défaillance envisagé pour une poutre, le cisaillement est particulièrement critique pour les structures en bois. Le bois, matériau anisotrope, est sensible au glissement de ses fibres les unes par rapport aux autres. Une contrainte de cisaillement trop élevée, notamment près des appuis, peut entraîner une rupture brutale. La vérification au cisaillement, encadrée par l'Eurocode 5, est donc une étape non négociable dans la conception de toute structure bois, qu'il s'agisse d'une solive de plancher ou d'une panne de toiture. Cet exercice vous guidera à travers la vérification complète au cisaillement d'une poutre en bois.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une vérification réglementaire typique de l'ingénieur structure bois. Nous allons passer des charges externes (force ponctuelle) aux efforts internes (effort tranchant), puis aux contraintes dans la matière, pour enfin comparer ces contraintes à la résistance du matériau, affectée de coefficients normatifs. C'est le cœur du métier : garantir la sécurité en appliquant des règles de calcul éprouvées.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'effort tranchant maximal dans une poutre sur appuis simples.
  • Déterminer le moment statique d'une demi-section rectangulaire.
  • Appliquer la formule de Jourawski pour calculer la contrainte de cisaillement maximale.
  • Se familiariser avec la vérification au cisaillement selon l'Eurocode 5.
  • Comprendre l'influence des coefficients \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_{\text{M}}\) sur la résistance de calcul.

Données de l'étude

On étudie une solive de plancher en bois massif de classe de résistance C24, simplement appuyée à ses extrémités. Elle est soumise à une charge ponctuelle concentrée en son milieu, représentant par exemple la descente de charge d'une cloison. On négligera le poids propre de la poutre pour cet exercice.

Schéma de la solive et des efforts
F L = 4000 mm Section Bois C24 h b
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée entre appuis \(L\) 4000 \(\text{mm}\)
Largeur de la section \(b\) 75 \(\text{mm}\)
Hauteur de la section \(h\) 220 \(\text{mm}\)
Charge ponctuelle (ELU) \(F_{\text{d}}\) 15 \(\text{kN}\)
Classe de service - 2 -
Durée de la charge - Moyenne durée -

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort tranchant maximal de calcul \(V_{\text{Ed}}\) dans la solive.
  2. Calculer le moment statique maximal \(S_{\text{max}}\) de la section.
  3. Calculer la contrainte de cisaillement maximale de calcul \(\tau_{\text{d}}\).
  4. Vérifier la résistance au cisaillement de la solive selon l'Eurocode 5.

Les bases du Cisaillement dans les Poutres

Avant de commencer la correction, rappelons les concepts fondamentaux du cisaillement.

1. L'Effort Tranchant :
L'effort tranchant, noté \(V\) ou \(T\), est un effort interne qui représente la tendance des sections transversales d'une poutre à glisser verticalement l'une par rapport à l'autre. Pour une poutre sur deux appuis avec une charge au centre, il est constant et maximal (en valeur absolue) entre un appui et la charge, et vaut la moitié de la charge.

2. La Contrainte de Cisaillement (Formule de Jourawski) :
L'effort tranchant engendre des contraintes de cisaillement \(\tau\) dans la section. Contrairement à la flexion, ces contraintes ne sont pas maximales aux extrémités mais au centre de la section (sur l'axe neutre). Elles sont données par la formule de Jourawski : \[ \tau = \frac{V \cdot S}{I \cdot b} \] Où \(S\) est le moment statique de la surface au-dessus (ou en dessous) du point de calcul.

3. Cas d'une Section Rectangulaire :
Pour une section rectangulaire, la distribution des contraintes de cisaillement est parabolique. La formule se simplifie et la contrainte maximale (à l'axe neutre) devient : \[ \tau_{\text{max}} = 1.5 \cdot \frac{V}{A} \] Où \(A\) est l'aire totale de la section (\(b \cdot h\)). C'est cette formule simplifiée que nous utiliserons.

Correction : Cisaillement d’une Section Rectangulaire en Bois

Question 1 : Calculer l'effort tranchant maximal de calcul (\(V_{\text{Ed}}\))

Principe (le concept physique)

L'effort tranchant est la résultante des forces verticales qui agissent sur un côté d'une coupure imaginaire de la poutre. Dans notre cas symétrique, chaque appui reprend la moitié de la charge totale appliquée. L'effort tranchant est donc simplement égal à la réaction d'appui. Il est maximal juste à côté de l'appui et reste constant jusqu'à la charge centrale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme d'effort tranchant (DET) est une représentation graphique de la variation de l'effort tranchant le long de la poutre. Pour des charges ponctuelles, le DET est constant par morceaux. La valeur de l'effort tranchant en un point est la somme algébrique de toutes les forces verticales à gauche de ce point. Le saut dans le diagramme au droit d'une charge est égal à l'intensité de cette charge.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous essayez de cisailler la poutre avec une paire de ciseaux géants. L'effort tranchant est la force que vous devez appliquer sur les lames. Cet effort est le plus intense juste à côté des points de support (les appuis), là où la poutre essaie de "casser" net.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des efforts internes à partir des charges externes est une étape fondamentale de l'analyse structurelle, dont les principes sont décrits dans l'Eurocode 0 (Bases de calcul) et l'Eurocode 5 pour les applications au bois. Les charges elles-mêmes sont définies par l'Eurocode 1.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une poutre sur appuis simples avec une charge ponctuelle \(F_{\text{d}}\) au milieu :

\[ V_{\text{Ed}} = \frac{F_{\text{d}}}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est en équilibre statique, que les appuis sont parfaits (un articulé, un simple appui) et que la charge est bien à l'état limite ultime (ELU), d'où l'indice "d" pour "design" (calcul).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge ponctuelle de calcul, \(F_{\text{d}} = 15 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! La charge est donnée en kilonewtons (kN). Pour être cohérent avec les calculs de contraintes en N et mm (pour obtenir des MPa), il faut immédiatement la convertir en Newtons. 1 kN = 1000 N.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de l'Effort Tranchant (Forme attendue)
+V_Ed = ?-V_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Convertir la charge en Newtons :

\[ \begin{aligned} F_{\text{d}} &= 15 \, \text{kN} \\ &= 15000 \, \text{N} \end{aligned} \]

2. Calculer l'effort tranchant maximal :

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{15000 \, \text{N}}{2} \\ &= 7500 \, \text{N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de l'Effort Tranchant (Valeurs calculées)
+7.5 kN-7.5 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de 7500 N représente la force de "cisaillement" maximale que la section de la poutre doit être capable de supporter. C'est cette force qui va être utilisée pour calculer la contrainte dans le matériau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre l'effort tranchant (une force, en N) avec le moment fléchissant (un moment, en N·m). Pour des cas de charge plus complexes (charges réparties, plusieurs charges ponctuelles), le calcul des réactions d'appui et le tracé du diagramme complet sont nécessaires pour identifier la valeur maximale de \(V_{\text{Ed}}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'effort tranchant est un effort interne de glissement.
  • Pour une charge centrée, \(V_{\text{max}}\) est égal à la réaction d'appui, soit \(F/2\).
  • Le diagramme d'effort tranchant est essentiel pour visualiser sa variation le long de la poutre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les profilés métalliques en "I", c'est l'âme (la partie verticale) qui reprend la quasi-totalité de l'effort tranchant, tandis que les semelles (les parties horizontales) reprennent principalement le moment fléchissant. C'est un exemple parfait d'optimisation de la forme d'une section.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'effort tranchant change-t-il de signe au milieu ?

Le changement de signe reflète le changement de direction des forces. À gauche de la charge, les forces (réaction d'appui) poussent la section vers le haut par rapport à la droite. À droite de la charge, la situation s'inverse. Le point où l'effort tranchant passe par zéro correspond toujours à un maximum (ou minimum) du moment fléchissant.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort tranchant maximal de calcul est \(V_{\text{Ed}} = 7500 \, \text{N}\) (ou 7.5 kN).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge \(F_{\text{d}}\) était de 20 kN, quel serait l'effort tranchant \(V_{\text{Ed}}\) en Newtons ?

Question 2 : Calculer le moment statique maximal (\(S_{\text{max}}\))

Principe (le concept physique)

Le moment statique \(S\) en un point d'une section est une mesure de la "quantité de surface" située d'un côté de ce point, pondérée par sa distance à l'axe neutre. Il est utilisé dans la formule de Jourawski pour quantifier comment la surface participe à la reprise du cisaillement. Pour le cisaillement maximal, qui se produit à l'axe neutre, on calcule le moment statique de la demi-section (la partie au-dessus ou en dessous de l'axe neutre) par rapport à cet axe.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, le moment statique est le premier moment d'aire, défini par l'intégrale \(S_z = \int_A y \cdot dA\). Pour une forme composée, on peut le calculer en utilisant le théorème de Varignon (le moment statique de la forme totale est la somme des moments statiques de ses parties). Il est maximal à l'axe neutre et nul pour la section entière (car l'axe neutre passe par le centre de gravité).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au moment statique comme à un indicateur de "déséquilibre" d'une surface par rapport à un axe. Plus la surface est grande et plus son centre de gravité est loin de l'axe, plus son moment statique est important. C'est cette grandeur qui, combinée à l'effort tranchant, génère le "flux de cisaillement" dans la poutre.

Normes (la référence réglementaire)

Le moment statique est une propriété géométrique fondamentale. Son calcul n'est pas directement défini par une norme, mais il est une étape indispensable pour appliquer les formules de vérification de contraintes (comme celle de Jourawski) qui, elles, sont au cœur des normes de calcul comme l'Eurocode 5.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le moment statique d'une surface \(A'\) par rapport à un axe est le produit de cette surface par la distance \(y_G\) de son centre de gravité à l'axe. Pour la demi-section rectangulaire (surface au-dessus de l'axe neutre) :

\[ \begin{aligned} S_{\text{max}} &= A' \cdot y_G \\ &= \left(b \cdot \frac{h}{2}\right) \cdot \left(\frac{h}{4}\right) \\ &= \frac{b \cdot h^2}{8} \end{aligned} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est un rectangle plein et homogène. L'axe neutre pour la flexion simple coïncide donc avec l'axe de symétrie horizontal, situé à h/2 du bord.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Largeur de la section, \(b = 75 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section, \(h = 220 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La formule \(bh^2/8\) est un raccourci très pratique et à mémoriser pour les sections rectangulaires. Elle évite de devoir recalculer à chaque fois l'aire de la demi-section et la position de son centre de gravité.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul du Moment Statique de la Demi-Section
Axe Neutrey_G = h/4A' = b*h/2
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec les dimensions en mm. L'unité sera des mm³.

\[ \begin{aligned} S_{\text{max}} &= \frac{b \cdot h^2}{8} \\ &= \frac{75 \, \text{mm} \cdot (220 \, \text{mm})^2}{8} \\ &= \frac{75 \cdot 48400}{8} \, \text{mm}^3 \\ &= 453750 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Section avec Moment Statique Calculé
S_max = 453 750 mm³
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 453 750 mm³ n'a pas de signification physique directe, mais elle est une propriété géométrique essentielle qui quantifie la contribution de la moitié de la section à la résistance au cisaillement. C'est une étape de calcul intermédiaire cruciale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de confondre le moment statique (\(S\), en mm³) avec le moment quadratique ou moment d'inertie (\(I\), en mm⁴). Les formules et les unités sont différentes. Assurez-vous de bien utiliser \(h^2\) et non \(h^3\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment statique \(S\) est une propriété géométrique (\(\text{Aire} \times \text{distance}\)).
  • Pour le cisaillement maximal, on le calcule pour la demi-section par rapport à l'axe neutre.
  • Pour une section rectangulaire, la formule simple est \(S_{\text{max}} = bh^2/8\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour un profilé en I, le moment statique maximal (à l'axe neutre) est calculé en additionnant le moment statique de la semelle supérieure et celui de la moitié de l'âme. Cela démontre que la semelle, bien que loin de l'axe, contribue de manière significative au moment statique total.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le moment statique est-il maximal à l'axe neutre ?

Parce que le produit de l'aire par la distance de son centre de gravité à l'axe est maximal pour la demi-section. Si l'on considère une surface plus petite (plus proche du bord), l'aire diminue plus vite que la distance n'augmente, et le produit diminue. Si l'on considère une surface plus grande (dépassant l'axe neutre), une partie de la surface se retrouve de l'autre côté de l'axe, créant un moment statique de signe opposé qui réduit la valeur totale.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment statique maximal est de 453 750 mm³.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour une section de 100 mm x 300 mm, quel serait le moment statique maximal en mm³ ?

Question 3 : Calculer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{d}}\))

Principe (le concept physique)

La contrainte de cisaillement est la force de cisaillement (effort tranchant) répartie sur la section. Comme la répartition n'est pas uniforme (elle est parabolique pour une section rectangulaire), on utilise une formule simplifiée pour trouver directement la valeur maximale au point le plus critique, c'est-à-dire au niveau de l'axe neutre de la poutre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La distribution parabolique vient de la formule de Jourawski (\(\tau = VS/Ib\)). Pour une section rectangulaire, \(I\) et \(b\) sont constants. Le moment statique \(S\) d'une surface comprise entre le bord et une ordonnée \(y\) est une fonction du second degré en \(y\). La contrainte \(\tau\) suit donc cette variation parabolique, nulle aux bords (où \(S=0\)) et maximale au centre (où \(S=S_{\text{max}}\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la contrainte de cisaillement moyenne, qui serait simplement la force divisée par l'aire (\(V/A\)). Pour une section rectangulaire, la réalité physique est que la contrainte au centre est 50% plus élevée que cette moyenne. Le facteur 1.5 est donc un coefficient de forme qui corrige la vision simpliste d'une contrainte uniforme.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 autorise explicitement l'utilisation de la formule simplifiée \(\tau_{\text{d,max}} = 1.5 \cdot V_{\text{Ed}} / A\) pour les sections rectangulaires pleines en bois, ce qui simplifie grandement les calculs par rapport à l'application complète de la formule de Jourawski.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section rectangulaire, la contrainte de cisaillement maximale est :

\[ \tau_{\text{d,max}} = 1.5 \cdot \frac{V_{\text{Ed}}}{A} = 1.5 \cdot \frac{V_{\text{Ed}}}{b \cdot h} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la formule simplifiée pour une section rectangulaire est applicable. On suppose également que la contrainte est la contrainte de calcul à l'ELU.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort tranchant de calcul, \(V_{\text{Ed}} = 7500 \, \text{N}\)
  • Largeur de la section, \(b = 75 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section, \(h = 220 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le facteur 1.5 est spécifique aux rectangles pleins. Pour un cercle, ce serait 4/3 (\(\approx 1.33\)). Pour un profilé en I, la contrainte maximale dans l'âme peut être bien supérieure à 1.5 fois la moyenne, car l'âme est très fine. Connaître ces ordres de grandeur permet d'éviter des erreurs.

Schéma (Avant les calculs)
Distribution Parabolique du Cisaillement
τ_max?τ=0τ=0
Calcul(s) (l'application numérique)

En utilisant les unités N et mm, le résultat sera en N/mm², c'est-à-dire en MPa.

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{d,max}} &= 1.5 \cdot \frac{V_{\text{Ed}}}{b \cdot h} \\ &= 1.5 \cdot \frac{7500 \, \text{N}}{75 \, \text{mm} \cdot 220 \, \text{mm}} \\ &= 1.5 \cdot \frac{7500}{16500} \, \text{MPa} \\ &\approx 1.5 \cdot 0.4545 \, \text{MPa} \\ &\approx 0.68 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Distribution avec Valeur Maximale Calculée
0.68 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de 0.68 MPa représente la sollicitation maximale que les fibres de bois doivent supporter pour ne pas glisser les unes par rapport aux autres. C'est cette valeur de "stress" interne que nous allons comparer à la capacité de résistance du matériau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur 1.5 ! Calculer simplement la contrainte moyenne \(V/A\) sous-estimerait la contrainte réelle de 33% et conduirait à un dimensionnement potentiellement dangereux. C'est une erreur très fréquente chez les débutants.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de cisaillement n'est pas uniforme dans une section.
  • Pour un rectangle, elle est parabolique et maximale au centre.
  • La formule à retenir est \(\tau_{\text{max}} = 1.5 \cdot V/A\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans le béton armé, l'effort tranchant est repris non pas par le béton seul (qui est fragile en traction diagonale induite par le cisaillement), mais par des armatures spécifiques appelées "cadres", "étriers" ou "épingles", qui sont des barres d'acier pliées perpendiculaires à l'axe de la poutre.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette contrainte est-elle horizontale ou verticale ?

Les deux ! Le principe de réciprocité des contraintes de cisaillement (théorème de Cauchy) stipule que la contrainte de cisaillement sur un plan horizontal est égale à celle sur un plan vertical au même point. C'est la contrainte horizontale (parallèle au fil du bois) qui est la plus critique pour ce matériau.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de cisaillement maximale de calcul est \(\tau_{\text{d}} \approx 0.68 \, \text{MPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la hauteur de la poutre était de 300 mm au lieu de 220 mm, quelle serait la nouvelle contrainte \(\tau_{\text{d}}\) en MPa ?

Question 4 : Vérifier la résistance au cisaillement (Eurocode 5)

Principe (le concept physique)

La vérification finale consiste à s'assurer que la contrainte maximale générée par les charges (\(\tau_{\text{d}}\)) est inférieure ou égale à la capacité de résistance du matériau (\(f_{\text{v,d}}\)). Pour le bois, cette résistance n'est pas une valeur fixe ; elle dépend des conditions d'humidité (classe de service) et de la durée d'application des charges, ce qui est pris en compte par le coefficient \(k_{\text{mod}}\). De plus, un coefficient de sécurité sur le matériau (\(\gamma_{\text{M}}\)) est appliqué pour tenir compte des incertitudes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La philosophie des Eurocodes est basée sur les états limites. On compare une sollicitation de calcul (côté des charges, majorées par des coefficients) à une résistance de calcul (côté du matériau, minorée par des coefficients). La résistance de calcul \(f_{\text{d}}\) est obtenue à partir de la résistance caractéristique \(f_{\text{k}}\) (valeur statistique ayant 95% de chance d'être dépassée), modifiée par \(k_{\text{mod}}\) et divisée par \(\gamma_{\text{M}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à cette vérification comme à un bilan de "demande" vs "capacité". La "demande" est la contrainte \(\tau_{\text{d}}\) que la charge impose à la poutre. La "capacité" est la résistance \(f_{\text{v,d}}\) que la poutre peut offrir dans les conditions données. Pour que la structure soit sûre, la capacité doit toujours être supérieure ou égale à la demande.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 (norme EN 1995-1-1) régit le calcul des structures en bois. Il fournit les résistances caractéristiques des matériaux (comme \(f_{\text{v,k}}\) pour le bois C24), les coefficients de sécurité (\(\gamma_{\text{M}}\)) et les facteurs de modification (\(k_{\text{mod}}\)) à utiliser pour obtenir la résistance de calcul.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La condition de vérification est :

\[ \tau_{\text{d}} \le f_{\text{v,d}} \]

Avec la résistance de calcul au cisaillement définie par :

\[ f_{\text{v,d}} = k_{\text{mod}} \cdot \frac{f_{\text{v,k}}}{\gamma_{\text{M}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les valeurs des coefficients \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_{\text{M}}\) sont correctement choisies à partir des tableaux de l'Eurocode 5 en fonction des conditions de l'énoncé (bois massif, classe de service 2, charge de moyenne durée).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On doit extraire les valeurs de l'Eurocode 5 ou de tables standards :

  • Contrainte calculée, \(\tau_{\text{d}} = 0.68 \, \text{MPa}\)
  • Pour le bois C24, la résistance caractéristique au cisaillement est \(f_{\text{v,k}} = 4.0 \, \text{MPa}\).
  • Pour une charge de moyenne durée en classe de service 2, \(k_{\text{mod}} = 0.8\).
  • Pour le bois massif, le coefficient partiel de sécurité est \(\gamma_{\text{M}} = 1.3\).
Astuces(Pour aller plus vite)

Le ratio \(\tau_{\text{d}} / f_{\text{v,d}}\) est appelé "taux de travail" ou "unity check". Il doit être inférieur ou égal à 1.0 (ou 100%). Le calculer donne une idée immédiate de la marge de sécurité disponible. Un taux de 0.28 signifie que l'on n'utilise que 28% de la capacité de la poutre au cisaillement.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte vs Résistance
τ_d = 0.68Résistance f_v,d = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la résistance de calcul au cisaillement \(f_{\text{v,d}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{v,d}} &= k_{\text{mod}} \cdot \frac{f_{\text{v,k}}}{\gamma_{\text{M}}} \\ &= 0.8 \cdot \frac{4.0 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 2.46 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Comparer la contrainte à la résistance :

\[ \tau_{\text{d}} \le f_{\text{v,d}} \quad \Rightarrow \quad 0.68 \, \text{MPa} \le 2.46 \, \text{MPa} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance
τ_d=0.68Résistance f_v,d=2.46 MPaVÉRIFIÉ ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La condition est largement vérifiée (0.68 MPa est bien inférieur à 2.46 MPa). Le taux de travail est de \(0.68 / 2.46 \approx 28\%\), ce qui indique que la solive a une marge de sécurité très confortable vis-à-vis du cisaillement pour cette charge. En pratique, cela signifie que la flexion ou la déformation (flèche) sera probablement le critère de dimensionnement principal pour cette poutre, et non le cisaillement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier les coefficients \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_{\text{M}}\). Utiliser la résistance caractéristique \(f_{\text{v,k}}\) directement dans la vérification est une erreur grave qui surestime la résistance de la poutre et peut conduire à un dimensionnement non sécuritaire. Le choix du bon \(k_{\text{mod}}\) en fonction de la classe de service et de la durée de la charge est crucial.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification au cisaillement compare la contrainte appliquée \(\tau_{\text{d}}\) à la résistance de calcul \(f_{\text{v,d}}\).
  • La résistance de calcul dépend de la résistance caractéristique (\(f_{\text{v,k}}\)), de la durée de la charge et de l'humidité (\(k_{\text{mod}}\)), et d'un facteur de sécurité (\(\gamma_{\text{M}}\)).
  • La condition à respecter est toujours : Sollicitation \(\le\) Résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le coefficient \(k_{\text{mod}}\) est unique au calcul du bois. Il traduit le comportement rhéologique du bois : sa résistance diminue avec le temps sous une charge constante (fluage) et avec l'augmentation de sa teneur en humidité. C'est un concept fondamental qui n'a pas d'équivalent direct dans le calcul de l'acier ou du béton.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la vérification n'est pas respectée ?

Si \(\tau_{\text{d}} > f_{\text{v,d}}\), la poutre n'est pas conforme à la réglementation et présente un risque de rupture par cisaillement. L'ingénieur doit alors la redimensionner : soit en augmentant la section (généralement la hauteur \(h\)), soit en choisissant une classe de bois plus résistante (par exemple C30 au lieu de C24), soit en réduisant les charges ou les portées si possible.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La condition de résistance est vérifiée : \( \tau_{\text{d}} = 0.68 \, \text{MPa} \le f_{\text{v,d}} = 2.46 \, \text{MPa} \). La solive est donc correctement dimensionnée vis-à-vis du cisaillement.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la force maximale \(F_{\text{d}}\) (en kN) que cette solive peut supporter avant que le cisaillement ne devienne critique (\(\tau_{\text{d}} = f_{\text{v,d}}\)) ?

Outil Interactif : Paramètres du Cisaillement

Explorez l'influence des différents paramètres sur la vérification au cisaillement.

Paramètres d'Entrée
15 kN
220 mm
Résultats de la Vérification
Contrainte \(\tau_{\text{d}}\) (MPa) -
Résistance \(f_{\text{v,d}}\) (MPa) -
Taux de travail (\(\tau_{\text{d}} / f_{\text{v,d}}\)) -

Le Saviez-Vous ?

La formule de la contrainte de cisaillement \(\tau = V S / I b\) a été développée par l'ingénieur et mathématicien franco-russe Dmitri Jourawski vers 1855. Il l'a établie en étudiant les contraintes dans les poutres en bois des ponts ferroviaires, après avoir observé des ruptures par cisaillement longitudinal que la théorie de la flexion de l'époque ne pouvait pas expliquer.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la contrainte de cisaillement est-elle maximale au milieu et nulle en haut et en bas ?

C'est l'inverse de la contrainte de flexion. Imaginez les fibres de la poutre comme un jeu de cartes. Quand vous pliez le jeu, les cartes glissent les unes sur les autres. Ce glissement est maximal au milieu du jeu (l'axe neutre) et nul pour les cartes extrêmes (qui n'ont pas de carte au-dessus ou en dessous avec laquelle glisser). La contrainte de cisaillement mesure l'intensité de ce glissement interne.

Est-ce que le cisaillement est toujours moins critique que la flexion ?

Non. En général, pour les poutres longues et élancées, la flexion est dimensionnante. Mais pour les poutres courtes et hautes soumises à de fortes charges, ou pour les poutres avec des entailles près des appuis, le cisaillement devient souvent le mode de rupture critique, surtout dans un matériau comme le bois.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans une poutre rectangulaire en bois, la contrainte de cisaillement maximale se situe...

2. Si on utilise la même poutre en bois dans un environnement très humide (Classe de service 3), sa résistance de calcul au cisaillement va...

Effort Tranchant (V)
Effort interne dans une poutre qui tend à faire glisser verticalement les sections transversales les unes par rapport aux autres. Unité : Newton (N) ou ses multiples (kN).
Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Contrainte interne agissant parallèlement à la surface d'une section. Pour le bois, on s'intéresse au cisaillement longitudinal (parallèle au fil du bois). Unité : Pascal (Pa) ou MPa.
Eurocode 5
Norme européenne (EN 1995) pour la conception et le calcul des structures en bois. Elle définit les règles de sécurité, les propriétés des matériaux et les méthodes de vérification.
Cisaillement d’une Section Rectangulaire en Bois

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