EGC

Capacité Portante d’une Semelle Isolée

Capacité Portante d’une Semelle Isolée en Géotechnique

Capacité Portante d’une Semelle Isolée

Contexte : Assurer la stabilité des structures, le rôle des fondations.

En géotechnique, la capacité portanteLa contrainte maximale que le sol peut supporter avant de céder (rupture par poinçonnement). C'est une valeur cruciale pour dimensionner les fondations d'un ouvrage. est la pression maximale que le sol peut supporter sans risque de rupture. Le calcul des fondations, comme les semelles isolées sous les poteaux d'un bâtiment, est une étape fondamentale du génie civil. Un mauvais dimensionnement peut entraîner des tassements excessifs, voire l'effondrement de la structure. Cet exercice vous guidera à travers la méthode de Terzaghi, une approche classique et fondamentale, pour vérifier la sécurité d'une semelle vis-à-vis du risque de poinçonnement du sol.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche de l'ingénieur géotechnicien. À partir des caractéristiques du sol (obtenues via des essais en laboratoire ou in-situ) et de la géométrie de la fondation, nous allons calculer la charge maximale que le sol peut reprendre, puis la comparer à la charge réelle de la structure en appliquant un coefficient de sécurité. C'est le cœur du dimensionnement des fondations superficielles.

Objectifs Pédagogiques

  • Déterminer les facteurs de capacité portante (Nc, Nq, Nγ) en fonction de l'angle de frottement du sol.
  • Appliquer la formule de Terzaghi pour calculer la contrainte de rupture du sol.
  • Calculer la charge admissible en appliquant un coefficient de sécurité.
  • Vérifier la stabilité d'une fondation sous une charge de service donnée.
  • Se familiariser avec les unités et les ordres de grandeur en géotechnique (m, kN, kPa).

Données de l'étude

On étudie une semelle de fondation carrée, isolée, qui supporte un poteau d'un bâtiment. La semelle est encastrée dans un sol homogène dont les caractéristiques ont été déterminées par des essais géotechniques. On souhaite vérifier sa sécurité vis-à-vis de la rupture par poinçonnement.

Schéma de la Semelle Isolée
Niveau du terrain naturel P B = 2.0 m Df = 1.5 m Sol : γ = 18 kN/m³ c' = 15 kPa φ' = 25°
Paramètre Symbole Valeur Unité
Largeur de la semelle \(B\) 2.0 \(\text{m}\)
Profondeur d'encastrement \(D_f\) 1.5 \(\text{m}\)
Poids volumique du sol \(\gamma\) 18 \(\text{kN/m}^3\)
Cohésion effective du sol \(c'\) 15 \(\text{kPa}\)
Angle de frottement effectif \(\phi'\) 25 \(\text{degrés}\)
Charge de service appliquée \(P_{\text{ser}}\) 800 \(\text{kN}\)
Coefficient de sécurité \(FS\) 3 -

Questions à traiter

  1. Déterminer les facteurs de portance \(N_c\), \(N_q\) et \(N_\gamma\) pour un angle de frottement \(\phi' = 25^\circ\).
  2. Calculer la contrainte de rupture (capacité portante ultime) \(q_{\text{ult}}\) de la fondation.
  3. En déduire la contrainte admissible (capacité portante de service) \(q_{\text{adm}}\) du sol.
  4. Calculer la contrainte appliquée par la fondation et vérifier la sécurité vis-à-vis du poinçonnement.

Les bases de la Capacité Portante

Avant la correction, revoyons la théorie de Terzaghi pour les fondations superficielles.

1. Les Facteurs de Portance (\(N_c, N_q, N_\gamma\)) :
Ces trois facteurs adimensionnels représentent la contribution de chaque composante de la résistance du sol : la cohésion (\(N_c\)), la surcharge latérale due à l'encastrement (\(N_q\)) et le poids du sol sous la fondation (\(N_\gamma\)). Ils ne dépendent que de l'angle de frottement interne \(\phi'\) du sol. Plus \(\phi'\) est élevé, plus ces facteurs augmentent de manière exponentielle.

2. L'Équation de Terzaghi :
L'équation générale de la capacité portante ultime (\(q_{\text{ult}}\)) combine ces trois effets. Pour une semelle filante (infiniment longue), la formule de base est : \[ q_{\text{ult}} = c'N_c + \gamma D_f N_q + 0.5 \gamma B N_\gamma \] Pour d'autres formes (carrée, circulaire), on ajoute des facteurs de forme pour ajuster chaque terme.

3. La Contrainte Admissible et la Sécurité :
La contrainte ultime est une valeur de rupture. En pratique, on ne s'autorise à utiliser qu'une fraction de cette résistance. On divise la contrainte ultime par un facteur de sécurité (\(FS\)), généralement de 3 en géotechnique, pour obtenir la contrainte admissible \(q_{\text{adm}}\). \[ q_{\text{adm}} = \frac{q_{\text{ult}}}{FS} \] On vérifie ensuite que la contrainte réellement appliquée par la structure est inférieure à cette valeur admissible.

Correction : Capacité Portante d’une Semelle Isolée

Question 1 : Déterminer les facteurs de portance

Principe (le concept physique)

Les facteurs de portance traduisent la manière dont le sol se mobilise pour résister à l'enfoncement de la fondation. Ils sont issus de l'analyse de l'équilibre d'un volume de sol sous la semelle au moment de la rupture. Chaque facteur quantifie une source de résistance : la "colle" du sol (cohésion, \(N_c\)), le "confinement" dû à la profondeur (surcharge, \(N_q\)), et la "masse" du sol qui doit être soulevée (poids, \(N_\gamma\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ces facteurs proviennent de solutions analytiques ou numériques de l'équilibre plastique. Les formules les plus courantes (celles de Prandtl, Terzaghi, Meyerhof, Vesic) sont des approximations basées sur des modèles de rupture. Par exemple, pour \(N_q\) et \(N_c\) : \[ N_q = e^{\pi \tan(\phi')} \tan^2(45^\circ + \phi'/2) \] \[ N_c = (N_q - 1) \cot(\phi') \] La formule pour \(N_\gamma\) est plus débattue, et on utilise souvent des abaques (graphiques) ou des formules empiriques.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

En pratique, personne ne calcule ces facteurs à la main. Les ingénieurs utilisent des tableaux, des abaques ou des logiciels. L'important est de comprendre que ces facteurs sont extrêmement sensibles à l'angle de frottement \(\phi'\). Une petite incertitude sur \(\phi'\) (par exemple, 28° au lieu de 25°) peut changer radicalement le résultat final.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7, la norme européenne pour le calcul géotechnique, fournit des formules et des abaques pour le calcul de ces facteurs. Elle introduit également des coefficients de sécurité partiels sur les actions et les résistances du sol, ce qui rend l'approche un peu différente de la méthode globale du facteur de sécurité unique utilisée dans cet exercice académique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour \(\phi' = 25^\circ\), les valeurs des facteurs de portance sont classiquement données par les abaques de Terzaghi (ou calculées par des formules approchées) :

\[ \text{Pour } \phi' = 25^\circ \Rightarrow \begin{cases} N_c \approx 20.7 \\ N_q \approx 10.7 \\ N_\gamma \approx 10.9 \end{cases} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol est homogène et que les valeurs des paramètres (\(c', \phi'\)) sont représentatives de la masse de sol concernée. On utilise les facteurs de Terzaghi, valables pour une rupture générale (cas des sols denses).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Angle de frottement effectif, \(\phi' = 25^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Ayez en tête quelques ordres de grandeur. Pour un sol purement frottant (\(c'=0\)) comme un sable sec, la portance vient de \(N_q\) et \(N_\gamma\). Pour un sol purement cohérent (\(\phi'=0\)) comme une argile saturée, \(N_q=1\), \(N_\gamma=0\) et \(N_c\) vaut \( \pi + 2 \approx 5.14\). Notre cas est intermédiaire.

Schéma (Avant les calculs)
Abaque des Facteurs de Portance (Principe)
φ' (°)ValeurNcNqNγ25°
Calcul(s) (l'application numérique)

Il n'y a pas de calcul à proprement parler, il s'agit d'une lecture dans un abaque ou un tableau. Pour \(\phi' = 25^\circ\), les valeurs sont directement extraites.

Schéma (Après les calculs)
Valeurs des Facteurs de Portance pour φ'=25°
Nc = 20.7Nq = 10.7Nγ = 10.9
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces trois nombres (20.7, 10.7, 10.9) sont les "multiplicateurs" qui vont amplifier les contributions de la cohésion, de la surcharge et du poids du sol. Ils forment la base du calcul de résistance qui suit.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Il existe plusieurs jeux de facteurs (Terzaghi, Meyerhof, Vesic, Hansen...). Ils donnent des résultats légèrement différents. Assurez-vous d'utiliser un jeu de facteurs cohérent avec les formules de capacité portante et les facteurs de forme que vous utilisez. Ne mélangez pas les auteurs !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les facteurs \(N_c, N_q, N_\gamma\) ne dépendent que de l'angle de frottement \(\phi'\).
  • Ils augmentent très rapidement avec \(\phi'\).
  • On les trouve dans des abaques ou des tableaux normalisés.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Sur la Lune, le poids volumique du sol (\(\gamma\)) est environ 6 fois plus faible que sur Terre. Les termes de portance liés à \(N_q\) et \(N_\gamma\) seraient donc beaucoup plus faibles. La cohésion, qui est une propriété électrochimique, resterait la même. Les fondations des futures bases lunaires devront prendre en compte cette faible gravité !

FAQ (pour lever les doutes)
Ces facteurs sont-ils valables pour tous les types de sols ?

Ces facteurs sont développés pour une rupture "générale", typique des sols denses ou raides. Pour les sols très lâches, une rupture par "poinçonnement local" peut se produire. Dans ce cas, les normes recommandent d'utiliser des valeurs réduites de cohésion et d'angle de frottement dans les calculs pour être plus sécuritaire.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Pour \(\phi' = 25^\circ\), les facteurs de portance sont : \(N_c = 20.7\), \(N_q = 10.7\) et \(N_\gamma = 10.9\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un sol plus résistant avec \(\phi' = 30^\circ\), le facteur \(N_q\) est d'environ 18.4. Lequel des autres facteurs augmentera le plus en proportion ?

Question 2 : Calculer la contrainte de rupture (q_ult)

Principe (le concept physique)

La contrainte de rupture est la somme des trois contributions à la résistance du sol, chacune pondérée par son facteur de portance et corrigée par un facteur de forme. On additionne la résistance due à la cohésion, la résistance due à la surcharge à la base de la semelle, et la résistance due au poids du coin de sol sous la fondation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une semelle carrée, l'équation de Terzaghi est modifiée par des facteurs de forme (\(s_c, s_q, s_\gamma\)) pour tenir compte de l'effet tridimensionnel de la rupture, qui est plus favorable que le cas bidimensionnel d'une semelle filante. Les valeurs classiques pour une semelle carrée sont : \[ s_c = 1.3, \quad s_q = 1.0, \quad s_\gamma = 0.8 \] L'équation devient alors : \( q_{\text{ult}} = 1.3 c'N_c + \gamma D_f N_q + 0.4 \gamma B N_\gamma \). (Note: 0.4 = 0.5 * 0.8)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez les trois termes comme trois piliers qui soutiennent la fondation. Le premier pilier (cohésion) est constant. Le deuxième (surcharge) dépend de la profondeur à laquelle vous enterrez la fondation. Le troisième (poids) dépend de la taille de la fondation elle-même. Pour un sol sans cohésion, il est crucial d'avoir une fondation large et/ou profonde pour mobiliser les deux autres termes.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes modernes (Eurocode 7) incluent non seulement des facteurs de forme, mais aussi des facteurs d'inclinaison de la charge et du terrain, et des facteurs de profondeur plus complexes que la simple surcharge. L'équation générale est donc plus complète, mais le principe de base reste la somme de ces trois contributions.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'équation de la capacité portante ultime pour une semelle carrée est :

\[ q_{\text{ult}} = 1.3 \cdot c' \cdot N_c + \gamma \cdot D_f \cdot N_q + 0.4 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_\gamma \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge est centrée et verticale. La nappe phréatique est supposée être très profonde et ne pas influencer la capacité portante. Le sol est homogène sous la fondation.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(c' = 15 \, \text{kPa}\)
  • \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(D_f = 1.5 \, \text{m}\)
  • \(B = 2.0 \, \text{m}\)
  • \(N_c = 20.7\), \(N_q = 10.7\), \(N_\gamma = 10.9\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! La géotechnique utilise le plus souvent le mètre (m) et le kilonewton (kN). La pression est donc en kN/m², ce qui est exactement un kilopascal (kPa). Assurez-vous que toutes vos données sont dans ce système (kN, m) avant de commencer le calcul. Ici, c'est déjà le cas.

Schéma (Avant les calculs)
Les Trois Termes de la Capacité Portante
Cohésion1.3c'Nc+SurchargeγDfNq+Poids du sol0.4γBNγq_ult = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule chaque terme séparément :

\[ \begin{aligned} \text{Terme de cohésion} &= 1.3 \cdot c' \cdot N_c \\ &= 1.3 \cdot 15 \cdot 20.7 \\ &= 403.65 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Terme de surcharge} &= \gamma \cdot D_f \cdot N_q \\ &= 18 \cdot 1.5 \cdot 10.7 \\ &= 288.9 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Terme de poids} &= 0.4 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_\gamma \\ &= 0.4 \cdot 18 \cdot 2.0 \cdot 10.9 \\ &= 156.96 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

On les additionne :

\[ \begin{aligned} q_{\text{ult}} &= 403.65 + 288.9 + 156.96 \\ &= 849.51 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contributions à la Capacité Portante Ultime
Cohésion (404 kPa)Surcharge (289 kPa)Poids (157 kPa)q_ult ≈ 850 kPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte ultime que le sol peut supporter est d'environ 850 kPa. On remarque que dans ce cas précis (sol avec cohésion et frottement), le terme de cohésion est prépondérant, mais les deux autres termes apportent une contribution significative à la résistance globale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier les facteurs de forme pour les semelles carrées/circulaires, ou d'utiliser les mauvais. Une autre erreur est de mal gérer les unités, par exemple en mélangeant kPa et Pa, ou kN et N.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La portance ultime est la somme de 3 termes : cohésion, surcharge, poids.
  • La forme de la semelle influence la portance via les facteurs de forme.
  • La cohérence des unités (kN, m, kPa) est cruciale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les fondations sur des sols purement argileux saturés en condition non drainée (\(\phi_u=0\)), l'équation se simplifie énormément : \(q_{\text{ult}} \approx 5.14 \cdot c_u\). La capacité portante ne dépend ni de la taille de la fondation, ni de sa profondeur ! C'est un cas particulier très important en géotechnique.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le facteur de forme pour la surcharge \(s_q\) est-il égal à 1.0 ?

Certains auteurs, comme Meyerhof ou Vesic, proposent des facteurs de forme \(s_q\) supérieurs à 1 pour les semelles carrées. Cependant, la formulation originale de Terzaghi, plus conservative, considère que l'effet 3D n'améliore pas significativement la contribution de la surcharge, d'où un facteur de 1.0. C'est une des différences entre les méthodes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La capacité portante ultime du sol sous la fondation est d'environ 850 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la cohésion c' était nulle (sable pur), quelle serait la nouvelle capacité portante ultime en kPa ?

Question 3 : Calculer la contrainte admissible (q_adm)

Principe (le concept physique)

La contrainte admissible est la contrainte de service que l'on s'autorise à appliquer sur le sol. Elle est obtenue en divisant la contrainte de rupture par un facteur de sécurité global. Ce facteur de sécurité a pour but de couvrir les incertitudes sur les charges appliquées, sur les propriétés du sol, et sur les limites du modèle de calcul utilisé. En géotechnique, les incertitudes sont grandes, ce qui justifie un facteur de sécurité élevé (typiquement 3).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le concept de facteur de sécurité global (\(FS\)) est l'approche la plus ancienne. Les normes modernes (comme l'Eurocode 7) utilisent une approche semi-probabiliste avec des facteurs partiels. On applique des facteurs majorants sur les charges (\(\gamma_F\)) et des facteurs minorants sur les résistances du sol (\(\gamma_M\)). La vérification devient : \(E_d \le R_d\), où \(E_d\) est la valeur de calcul de l'effet des actions et \(R_d\) la valeur de calcul de la résistance. Le résultat final est similaire, mais l'approche est jugée plus rationnelle.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le facteur de sécurité n'est pas juste un chiffre arbitraire. Il est le reflet de notre ignorance ! Plus les études de sol sont complètes et fiables, plus on peut potentiellement réduire ce facteur (avec l'accord des normes). Pour des ouvrages temporaires ou moins critiques, un FS de 2.5 peut être accepté, tandis que pour des structures très sensibles, il peut monter à 4.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction (comme l'Eurocode 7 en Europe) définissent les valeurs minimales des facteurs de sécurité (globaux ou partiels) à utiliser en fonction du type d'ouvrage, de la qualité des reconnaissances géotechniques et des conséquences d'une éventuelle rupture.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule est une simple division :

\[ q_{\text{adm}} = \frac{q_{\text{ult}}}{FS} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le facteur de sécurité de 3 est approprié pour cet ouvrage et ce niveau d'étude géotechnique. On considère que ce facteur couvre toutes les incertitudes de manière globale.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte de rupture, \(q_{\text{ult}} = 849.51 \, \text{kPa}\) (de Q2)
  • Facteur de sécurité, \(FS = 3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un prédimensionnement rapide, un ingénieur expérimenté peut parfois estimer directement la contrainte admissible à partir des caractéristiques du sol, sans passer par le calcul complet de la contrainte ultime. Par exemple, pour un sable de compacité moyenne, on peut estimer une contrainte admissible de l'ordre de 150-250 kPa. Cela permet de vérifier rapidement un ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)
Le Principe du Facteur de Sécurité
Résistance Ultime du Sol (q_ult)Zone de Service (q_adm)Marge de Sécurité (FS)
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} q_{\text{adm}} &= \frac{849.51 \, \text{kPa}}{3} \\ &\approx 283.17 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Réduction de la Capacité par le Facteur de Sécurité
q_ult ≈ 850 kPaq_adm ≈ 283 kPa÷ 3
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte maximale que l'on s'autorise à appliquer sur le sol est de 283 kPa. C'est cette valeur qui servira de référence pour vérifier la sécurité de la fondation. Toute contrainte appliquée supérieure à cette valeur est considérée comme inacceptable du point de vue de la sécurité à la rupture.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier d'appliquer le facteur de sécurité. Concevoir une fondation en se basant sur la contrainte ultime conduirait à une structure sans aucune marge de sécurité, ce qui est extrêmement dangereux. Le choix du facteur de sécurité dépend du niveau de confiance dans les données et de la classe de l'ouvrage.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte admissible est la contrainte de rupture divisée par le facteur de sécurité.
  • Le facteur de sécurité (\(FS\)) couvre les incertitudes.
  • En géotechnique, \(FS\) est souvent égal à 3 pour les fondations.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans l'industrie aérospatiale, les facteurs de sécurité sont beaucoup plus faibles, souvent autour de 1.25 ou 1.5. Cela est rendu possible par une connaissance extrêmement précise des matériaux et des charges, et par la nécessité absolue d'optimiser le poids. En génie civil, le poids n'est pas aussi critique et les incertitudes sur le sol sont bien plus grandes, d'où des facteurs de sécurité plus élevés.

FAQ (pour lever les doutes)
Ce facteur de sécurité protège-t-il aussi contre les tassements ?

Pas directement. Un facteur de sécurité de 3 sur la rupture garantit généralement que les tassements resteront dans une plage acceptable pour les fondations sur sols granulaires (sables, graviers). Cependant, pour les sols fins (argiles, limons), les tassements peuvent être très importants même avec un FS de 3. Une vérification distincte du tassement est alors obligatoire.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La capacité portante admissible du sol est d'environ 283 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si les normes imposaient un facteur de sécurité plus strict de 3.5, quelle serait la nouvelle contrainte admissible en kPa ?

Question 4 : Vérifier la sécurité de la fondation

Principe (le concept physique)

La dernière étape consiste à comparer la "demande" (la contrainte appliquée par la structure) à la "capacité" (la contrainte que le sol peut supporter en toute sécurité). On calcule la contrainte effective sous la semelle en divisant la charge totale par la surface de la semelle. Si cette contrainte appliquée est inférieure à la contrainte admissible, la fondation est considérée comme sûre vis-à-vis du risque de rupture par poinçonnement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte calculée \(q_{\text{ser}} = P_{\text{ser}}/A\) est une simplification qui suppose une répartition uniforme de la pression sous la semelle. C'est une hypothèse acceptable pour une semelle rigide sur un sol homogène avec une charge centrée. En réalité, la distribution des contraintes est plus complexe : elle est plus élevée au centre pour les sols argileux et plus élevée sur les bords pour les sols sableux.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une balance. D'un côté, vous mettez la charge de votre bâtiment (\(q_{\text{ser}}\)). De l'autre, la résistance admissible de votre sol (\(q_{\text{adm}}\)). Tant que le plateau "résistance" est plus lourd que le plateau "charge", votre structure est en sécurité. Notre travail d'ingénieur est de s'assurer que ce déséquilibre est toujours en faveur de la sécurité.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification \(q_{\text{ser}} \le q_{\text{adm}}\) est la forme la plus simple de la vérification à l'État Limite de Service (ELS) ou Ultime (ELU) selon l'approche. Les normes spécifient les combinaisons de charges à utiliser pour calculer \(P_{\text{ser}}\) (ou la charge ultime \(P_{\text{ult}}\)) en tenant compte des charges permanentes, des charges d'exploitation, du vent, de la neige, etc.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul de la surface de la semelle (\(A\)) :

\[ A = B \times B = B^2 \]

2. Calcul de la contrainte appliquée (\(q_{\text{ser}}\)) :

\[ q_{\text{ser}} = \frac{P_{\text{ser}}}{A} \]

3. Condition de vérification :

\[ q_{\text{ser}} \le q_{\text{adm}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge de service \(P_{\text{ser}}\) inclut le poids propre de la fondation et du poteau. Si ce n'était pas le cas, il faudrait l'ajouter à la charge appliquée. On suppose une répartition uniforme des contraintes sous la semelle.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de service, \(P_{\text{ser}} = 800 \, \text{kN}\)
  • Largeur de la semelle, \(B = 2.0 \, \text{m}\)
  • Contrainte admissible, \(q_{\text{adm}} = 283.17 \, \text{kPa}\) (de Q3)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut aussi faire la vérification directement sur les charges. On calcule la charge admissible de la fondation : \(P_{\text{adm}} = q_{\text{adm}} \times A\). Ensuite, on vérifie simplement que \(P_{\text{ser}} \le P_{\text{adm}}\). C'est mathématiquement équivalent et parfois plus intuitif. Ici, \(P_{\text{adm}} = 283.17 \times 4 = 1132.7 \, \text{kN}\). On vérifie bien que \(800 \le 1132.7\).

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison : Contrainte Appliquée vs. Admissible
q_appliquée = ?q_admissible≤
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la surface :

\[ \begin{aligned} A &= (2.0 \, \text{m})^2 \\ &= 4.0 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul de la contrainte appliquée :

\[ \begin{aligned} q_{\text{ser}} &= \frac{800 \, \text{kN}}{4.0 \, \text{m}^2} \\ &= 200 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

3. Vérification :

\[ 200 \, \text{kPa} \le 283.17 \, \text{kPa} \Rightarrow \text{Condition VÉRIFIÉE} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Sécurité
q_appliquée = 200 kPaq_admissible = 283 kPaSÉCURITÉ OK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte appliquée par le bâtiment (200 kPa) est bien inférieure à la contrainte maximale que le sol peut supporter en toute sécurité (283 kPa). La marge de sécurité réelle est de \(283.17 / 200 \approx 1.4\), en plus du facteur de sécurité de 3 déjà inclus. La fondation est donc correctement dimensionnée et ne risque pas de poinçonner le sol.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien utiliser la charge de service (\(P_{\text{ser}}\)) pour la vérification. Ne pas confondre avec des charges ultimes ou non pondérées. De plus, cet exercice ne vérifie que la rupture du sol. Un dimensionnement complet de fondation doit aussi vérifier les tassements, qui peuvent être le critère dimensionnant pour les sols argileux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte appliquée est la charge divisée par la surface.
  • La sécurité est assurée si la contrainte appliquée est inférieure à la contrainte admissible.
  • La vérification de la portance est une des deux vérifications majeures (avec les tassements).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les icebergs posent un problème de "capacité portante inversée". Le sol marin doit supporter le poids de l'iceberg, mais parfois, la base de l'iceberg s'érode et crée des "pieds". Si la contrainte sur ces pieds devient trop grande, ils peuvent poinçonner le fond marin, déstabilisant l'iceberg et provoquant son renversement brutal, un danger majeur pour la navigation et les plateformes pétrolières.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si la condition n'est pas vérifiée ?

Si \(q_{\text{ser}} > q_{\text{adm}}\), la fondation n'est pas sûre. L'ingénieur a plusieurs options : 1) Augmenter la taille de la semelle (augmenter B) pour réduire la contrainte appliquée. 2) Approfondir la fondation (augmenter Df) pour augmenter la capacité portante. 3) Améliorer le sol sous la fondation (par compactage, injection...). 4) Changer de type de fondation pour un système plus performant (radier, pieux...).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte appliquée est de 200 kPa. Comme 200 kPa < 283 kPa, la fondation est stable vis-à-vis du poinçonnement.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle charge de service maximale (en kN) cette semelle pourrait-elle supporter, en respectant la contrainte admissible ?

Outil Interactif : Paramètres de Fondation

Modifiez les paramètres du sol et de la semelle pour voir leur influence sur la capacité portante.

Paramètres d'Entrée
25 °
15 kPa
2.0 m
Résultats Clés
Contrainte Ultime (kPa) -
Contrainte Admissible (kPa) -
Charge Admissible (kN) -

Le Saviez-Vous ?

La Tour de Pise est l'exemple le plus célèbre de problème de capacité portante. Son inclinaison est due à une fondation inadéquate (seulement 3 mètres de profondeur) sur un sous-sol d'argile molle et de sable instable. La capacité portante était bien plus faible d'un côté que de l'autre, provoquant un tassement différentiel qui a fait pencher la tour dès le début de sa construction au 12ème siècle.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la nappe phréatique est proche de la fondation ?

La présence d'eau a un effet très défavorable. Elle réduit le poids volumique du sol (il faut utiliser le poids déjaugé) et peut diminuer la cohésion et l'angle de frottement. La capacité portante peut être réduite de moitié, voire plus. C'est un paramètre absolument critique à prendre en compte dans un projet réel.

La méthode de Terzaghi est-elle toujours utilisée ?

Oui, elle reste une référence pour sa simplicité et son approche pédagogique. Cependant, les normes modernes comme l'Eurocode 7 utilisent des formulations plus complexes (méthodes de Vesic ou Hansen) qui prennent en compte plus de paramètres, comme l'inclinaison de la charge, la forme de la fondation de manière plus précise, ou l'inclinaison du terrain.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour augmenter significativement la capacité portante d'une semelle sur un sol sableux (c'=0), la solution la plus efficace est...

2. Si des essais en laboratoire révèlent que l'angle de frottement du sol a été surestimé, la capacité portante réelle sera...

Capacité Portante (q)
Contrainte (pression) maximale que le sol peut supporter avant la rupture. Unité : Pascal (Pa) ou ses multiples (kPa).
Cohésion (c')
Résistance intrinsèque du sol au cisaillement, indépendante de la contrainte normale. C'est la "colle" du sol. Typique des argiles. Unité : kPa.
Angle de Frottement (φ')
Paramètre décrivant la résistance au cisaillement du sol qui augmente avec la contrainte normale. C'est le "grain" du sol. Typique des sables. Unité : degrés.
Semelle Isolée
Type de fondation superficielle, généralement de forme carrée ou rectangulaire, qui reprend la charge d'un seul poteau.
Capacité Portante d’une Semelle Isolée

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