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Système d’Irrigation à Partir d’une Rivière Locale

Exercice : Système d’Irrigation à Partir d’une Rivière Locale

Système d’Irrigation à Partir d’une Rivière Locale

Contexte : L'ingénierie hydraulique au service de l'agriculture.

Un agriculteur souhaite irriguer une parcelle de 5 hectares dédiée à la culture du maïs. Pour cela, il envisage de pomper l'eau d'une rivière située en contrebas de son champ. Votre mission est de dimensionner l'installation de pompage en déterminant le débit nécessaire, les pertes de charge dans la conduite et la puissance requise pour la pompe. Cet exercice vous guidera à travers les étapes clés du calcul d'un réseau hydraulique simple, un problème courant pour les ingénieurs.

Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique permet d'appliquer les principes fondamentaux de la mécanique des fluides, notamment le théorème de Bernoulli et le calcul des pertes de chargePerte d'énergie d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes linéaires) et aux obstacles comme les coudes ou vannes (pertes singulières)., à un cas d'étude concret et pertinent.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le débit volumique requis pour une application d'irrigation.
  • Déterminer le régime d'écoulement à l'aide du nombre de Reynolds.
  • Calculer les pertes de charge linéaires et singulières dans une conduite.
  • Appliquer le théorème de Bernoulli pour calculer la Hauteur Manométrique Totale (HMT).
  • Estimer la puissance hydraulique nécessaire pour une pompe.

Données de l'étude

Le système est composé d'une pompe aspirant l'eau de la rivière via une crépine et la refoulant dans une conduite jusqu'au point le plus haut du champ.

Schéma de l'installation
Modélisation du système de pompage
P Point A (Z_A) Point B (Z_B) ΔZ = H_géo L, D, k
Paramètre Symbole Valeur Unité
Surface à irriguer S 5 ha
Besoin en eau journalier B 8 mm/jour
Durée d'irrigation journalière t 10 h/jour
Dénivelé géométrique (Z_B - Z_A) H_géo 25 m
Longueur totale de la conduite L 350 m
Diamètre intérieur de la conduite D 100 mm
Matériau de la conduite - PVC -
Rugosité du PVC k 0.015 mm
Viscosité cinématique de l'eau (à 20°C) ν (nu) 1.004 x 10⁻⁶ m²/s
Coefficients de perte de charge singulière ΣK 11.5 -

Questions à traiter

  1. Calculer le débit volumique (Q_v) que la pompe doit fournir en m³/s.
  2. Déterminer la vitesse de l'écoulement (v) dans la conduite, puis calculer le nombre de Reynolds (Re) pour caractériser le régime d'écoulement.
  3. Calculer le coefficient de perte de charge linéaire (λ) puis la valeur des pertes de charge linéaires (ΔH_lin).
  4. Calculer la valeur des pertes de charge singulières (ΔH_sing).
  5. Calculer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) et en déduire la puissance hydraulique (P_h) requise.

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur quelques principes fondamentaux de la mécanique des fluides appliqués aux écoulements dans les conduites.

1. Théorème de Bernoulli pour un système avec pompe
L'équation de Bernoulli généralisée entre deux points A (surface de la rivière) et B (sortie de la conduite) s'écrit : \[ \frac{P_A}{\rho g} + \frac{v_A^2}{2g} + z_A + H_{\text{pompe}} = \frac{P_B}{\rho g} + \frac{v_B^2}{2g} + z_B + \Delta H_{\text{total}} \] Où \(H_{\text{pompe}}\) est la hauteur manométrique apportée par la pompe (HMT) et \(\Delta H_{\text{total}}\) la somme de toutes les pertes de charge.

2. Calcul des pertes de charge
Les pertes d'énergie, ou pertes de charge (\(\Delta H\)), se décomposent en deux catégories :
- Linéaires (ou régulières) : dues au frottement du fluide sur les parois de la conduite. On les calcule avec la formule de Darcy-Weisbach : \[ \Delta H_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \] - Singulières : dues aux accidents de parcours (coudes, vannes, etc.). On les calcule ainsi : \[ \Delta H_{\text{sing}} = \sum K \frac{v^2}{2g} \] Le coefficient \(\lambda\) dépend de la rugosité relative (\(k/D\)) et du nombre de Reynolds.

Correction : Système d’Irrigation à Partir d’une Rivière Locale

Question 1 : Calcul du débit volumique (Q_v)

Principe

Le débit correspond au volume d'eau total nécessaire chaque jour, réparti sur la durée de pompage journalière. Il faut d'abord calculer le volume total puis le diviser par le temps pour obtenir un débit.

Mini-Cours

Le débit est une mesure fondamentale en hydraulique. Il représente la quantité de fluide qui s'écoule à travers une section par unité de temps. Pour des besoins agricoles, il est souvent calculé à partir du volume d'eau nécessaire sur une période donnée (la journée) et de la durée disponible pour l'apporter (temps de pompage).

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème d'ingénierie est de s'assurer de la cohérence des unités. Une erreur de conversion entre les hectares, les millimètres et les heures est la source d'erreur la plus fréquente. Prenez l'habitude de tout convertir dans le Système International (m, s, kg) avant de commencer le moindre calcul.

Normes

Bien qu'il n'y ait pas de norme réglementaire stricte pour ce calcul de base, les recommandations agronomiques (comme les tables de besoin en eau par culture) et les bonnes pratiques d'ingénierie dictent la méthode de calcul du volume et du débit requis.

Formule(s)

Formule du volume

\[ V = S \times B \]

Formule du débit

\[ Q_v = \frac{V}{t} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous faisons les hypothèses suivantes :

  • Le besoin en eau de 8 mm/jour est uniforme sur toute la parcelle.
  • L'évaporation durant l'irrigation est négligeable.
  • Le débit de la pompe est constant pendant toute la durée de fonctionnement.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Surface à irriguerS5ha
Besoin en eau journalierB8mm/jour
Durée d'irrigationt10h/jour
Astuces

Pour vérifier rapidement l'ordre de grandeur, retenez qu'un débit de 1 L/s correspond à 3.6 m³/h. Vous pouvez ainsi rapidement convertir votre résultat final pour voir s'il semble cohérent avec des débits de pompes commerciales.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du Volume d'Eau Nécessaire
Surface SB
Calcul(s)

Étape 1 : Conversion des unités

Conversion de la surface S :

\[ \begin{aligned} S &= 5 \text{ ha} \\ &= 5 \times 10^4 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Conversion du besoin en eau B :

\[ \begin{aligned} B &= 8 \text{ mm/jour} \\ &= 0.008 \text{ m/jour} \end{aligned} \]

Conversion de la durée d'irrigation t :

\[ \begin{aligned} t &= 10 \text{ h/jour} \\ &= 10 \times 3600 \text{ s/jour} \\ &= 36000 \text{ s/jour} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul du volume journalier

\[ \begin{aligned} V &= S \times B \\ &= (5 \times 10^4 \text{ m}^2) \times (0.008 \text{ m}) \\ &= 400 \text{ m}^3 \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul du débit volumique

\[ \begin{aligned} Q_v &= \frac{V}{t} \\ &= \frac{400 \text{ m}^3}{36000 \text{ s}} \\ &\approx 0.0111 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Débit Volumique
Qv = V / tVolume V
Réflexions

Le débit de 11.1 L/s est un débit relativement standard pour une pompe d'irrigation destinée à une parcelle de cette taille. Il servira de base pour tous les calculs de vitesse et de pertes de charge qui suivront.

Points de vigilance

Attention aux unités ! Ne divisez jamais un volume en m³ par un temps en heures sans convertir ce dernier en secondes. C'est une erreur classique qui fausse tous les résultats suivants.

Points à retenir

Pour déterminer un débit à partir d'un besoin :
1. Calculer le volume total (Surface × Hauteur d'eau).
2. Convertir la durée de fonctionnement en secondes.
3. Diviser le volume par le temps.

Le saviez-vous ?

Les besoins en eau des cultures varient énormément. Le maïs, comme dans cet exercice, est l'une des cultures les plus gourmandes en eau, pouvant nécessiter jusqu'à 8000 m³ par hectare sur toute sa saison de croissance, l'équivalent de 800 mm de pluie !

FAQ
Pourquoi utilise-t-on le mm/jour comme unité pour le besoin en eau ?

C'est une convention agronomique très pratique. 1 mm d'eau sur 1 hectare (10 000 m²) correspond exactement à 10 m³ d'eau. C'est une conversion facile à retenir (1 mm -> 10 m³/ha).

Résultat Final
Le débit requis pour l'irrigation est d'environ 0.0111 m³/s (soit 11.1 L/s).
A vous de jouer

Si la durée d'irrigation était réduite à 8 heures par jour, quel serait le nouveau débit requis en L/s ?

Question 2 : Vitesse (v) et Nombre de Reynolds (Re)

Principe

La vitesse est le rapport du débit par la section de la conduite. Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension qui permet de savoir si l'écoulement est laminaire (faibles vitesses, fluide visqueux) ou turbulent (hautes vitesses, fluide peu visqueux), ce qui est crucial pour le calcul des pertes de charge.

Mini-Cours

Le nombre de Reynolds (Re) compare les forces d'inertie (qui tendent à créer des tourbillons et de la turbulence) aux forces de viscosité (qui tendent à amortir ces mouvements). Un Re faible (< 2000) indique un écoulement laminaire, où les filets de fluide sont parallèles. Un Re élevé (> 4000) indique un écoulement turbulent, chaotique, qui est le cas le plus courant en ingénierie.

Remarque Pédagogique

Le calcul de la vitesse est une étape intermédiaire mais essentielle. Une vitesse trop élevée (> 2-3 m/s) peut causer des problèmes d'érosion et de "coups de bélier". Une vitesse trop faible peut entraîner le dépôt de sédiments dans la conduite. 1.41 m/s est une valeur tout à fait acceptable.

Normes

Les bureaux d'études en hydraulique suivent des recommandations pour la vitesse maximale dans les conduites selon le matériau, afin de limiter l'usure et les phénomènes vibratoires. Par exemple, pour le PVC, on cherche souvent à rester en dessous de 2.5 m/s.

Formule(s)

Formule de la vitesse

\[ v = \frac{Q_v}{A} \quad \text{avec} \quad A = \frac{\pi D^2}{4} \]

Formule du nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{v D}{\nu} \]
Hypothèses

On suppose que la conduite est pleine et que l'écoulement est établi (les caractéristiques ne changent pas le long de la conduite).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumiqueQ_v0.0111m³/s
Diamètre intérieurD100mm
Viscosité cinématiqueν1.004 x 10⁻⁶m²/s
Astuces

Pour calculer la section A, utilisez directement la formule \(\pi D^2 / 4\). Évitez de calculer le rayon \(R\) puis de faire \(\pi R^2\), cela ajoute une étape de calcul et une source d'erreur potentielle.

Schéma (Avant les calculs)
Section de la conduite
Dv, Qv
Calcul(s)

Calcul de la section de la conduite (A)

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.1 \text{ m})^2}{4} \\ &\approx 0.00785 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse (v)

\[ \begin{aligned} v &= \frac{0.0111 \text{ m}^3/\text{s}}{0.00785 \text{ m}^2} \\ &\approx 1.41 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Calcul du nombre de Reynolds (Re)

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.41 \text{ m/s} \times 0.1 \text{ m}}{1.004 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}} \\ &\approx 140438 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Régimes d'écoulement
Laminaire (Re < 2000)Turbulent (Re > 4000)
Réflexions

Le nombre de Reynolds est très supérieur à 4000, ce qui indique que l'écoulement est turbulent. C'est le cas le plus courant dans les applications d'ingénierie hydraulique.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les unités utilisées dans la formule de Reynolds sont des unités de base du SI (m, m/s, m²/s). Une erreur fréquente est d'oublier de convertir le diamètre de mm en m.

Points à retenir

La vitesse est inversement proportionnelle au carré du diamètre (\(v \propto 1/D^2\)). Le nombre de Reynolds est un indicateur clé : s'il est > 4000, l'écoulement est turbulent, ce qui conditionne le calcul du coefficient de frottement \(\lambda\).

Le saviez-vous ?

Le nombre de Reynolds doit son nom à Osborne Reynolds, un ingénieur et physicien irlandais qui a popularisé son usage en 1883. Ses expériences, où il injectait un filet d'encre dans un tube en verre, ont permis de visualiser pour la première fois la transition spectaculaire entre les régimes laminaire et turbulent.

FAQ
La viscosité de l'eau change-t-elle beaucoup ?

Oui, la viscosité de l'eau dépend de la température. À 5°C, elle est d'environ 1.52 x 10⁻⁶ m²/s, alors qu'à 30°C, elle tombe à 0.8 x 10⁻⁶ m²/s. Pour des calculs précis, il est important d'utiliser la valeur correspondant à la température de l'eau pompée.

Résultat Final
La vitesse de l'eau est de 1.41 m/s et le nombre de Reynolds est d'environ 140 438, confirmant un régime d'écoulement turbulent.
A vous de jouer

Recalculez la vitesse (en m/s) si l'on utilisait une conduite de 120 mm de diamètre intérieur pour le même débit.

Question 3 : Pertes de charge linéaires (ΔH_lin)

Principe

Les pertes de charge linéaires représentent l'énergie dissipée par frottement le long de la conduite. Elles dépendent de la longueur, du diamètre, de la vitesse et d'un coefficient de frottement \(\lambda\) qui, pour un régime turbulent, est déterminé par la rugosité de la conduite et le nombre de Reynolds.

Mini-Cours

La formule de Darcy-Weisbach est universelle pour le calcul des pertes de charge linéaires. La difficulté réside dans la détermination de \(\lambda\). Pour les écoulements turbulents en conduites rugueuses, le diagramme de Moody est l'outil de référence historique. Il met en relation Re, la rugosité relative k/D, et \(\lambda\). Les formules comme celle de Haaland sont des approximations mathématiques très précises de ce diagramme.

Remarque Pédagogique

Notez bien comment les différents paramètres influencent les pertes de charge : elles augmentent avec la longueur (L) et le carré de la vitesse (v²), mais diminuent avec le diamètre (D). C'est pourquoi augmenter légèrement le diamètre d'une conduite peut réduire considérablement les pertes d'énergie.

Normes

Les normes de plomberie et de génie civil (comme les DTU en France) ne dictent pas les formules à utiliser mais peuvent imposer des valeurs de rugosité à prendre en compte pour différents matériaux de tuyauterie, garantissant ainsi une marge de sécurité dans les calculs.

Formule(s)

Formule de Haaland (pour le coefficient de frottement)

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \approx -1.8 \log_{10} \left[ \left(\frac{k/D}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{Re} \right] \]

Formule de Darcy-Weisbach (pour les pertes de charge linéaires)

\[ \Delta H_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \]
Hypothèses

On suppose que la rugosité 'k' est uniforme sur toute la longueur de la conduite et ne varie pas dans le temps (pas de corrosion ou d'entartrage significatif).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitessev1.41m/s
Nombre de ReynoldsRe140438-
Rugositék0.015mm
DiamètreD100mm
LongueurL350m
Astuces

Le terme \(v^2/(2g)\) est appelé "hauteur dynamique". Calculez-le une seule fois et réutilisez-le pour le calcul des pertes linéaires et singulières, cela vous fera gagner du temps.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Ligne de Charge
ConduiteLigne de charge (Énergie)Pente = ΔH lin / L
Calcul(s)

Conversion de la rugosité k

\[ k = 0.015 \text{ mm} = 0.000015 \text{ m} \]

Calcul de la rugosité relative (k/D)

\[ \begin{aligned} \frac{k}{D} &= \frac{0.000015 \text{ m}}{0.1 \text{ m}} \\ &= 0.00015 \end{aligned} \]

Calcul du coefficient de frottement \(\lambda\)

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda}} &\approx -1.8 \log_{10} \left[ \left(\frac{0.00015}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{140438} \right] \\ &\approx 7.84 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda &\approx \left(\frac{1}{7.84}\right)^2 \\ &\approx 0.0162 \end{aligned} \]

Calcul des pertes de charge linéaires (\(\Delta H_{\text{lin}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{lin}} &= \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \\ &= 0.0162 \times \frac{350 \text{ m}}{0.1 \text{ m}} \times \frac{(1.41 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &= 56.7 \times 0.1013 \\ &\approx 5.76 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Ligne de Charge
ConduiteLigne de charge (Énergie)Pente = 5.76m / 350m
Réflexions

Une perte de 5.76 m de "charge" signifie que l'énergie dissipée par frottement sur les 350 m de conduite est équivalente à l'énergie qu'il faudrait pour élever l'eau de 5.76 m verticalement. Ce n'est pas une valeur négligeable.

Points de vigilance

La formule de Haaland (ou Colebrook) est complexe. Vérifiez bien les parenthèses sur votre calculatrice. De plus, assurez-vous que la rugosité 'k' et le diamètre 'D' sont dans la même unité (mètres) avant de calculer la rugosité relative.

Points à retenir

Les pertes linéaires sont une composante majeure des pertes totales dans les longues conduites. Elles sont calculées via la formule de Darcy-Weisbach, dont le principal défi est de déterminer le coefficient \(\lambda\) en fonction de Re et k/D.

Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody, publié en 1944, a été une révolution pour les ingénieurs. Avant cela, le calcul de \(\lambda\) était extrêmement fastidieux et reposait sur de multiples formules empiriques au domaine de validité limité. Ce seul graphique a synthétisé des décennies de recherche en hydraulique.

FAQ
Peut-on toujours utiliser la formule de Haaland ?

La formule de Haaland est une excellente approximation pour les écoulements turbulents (Re > 4000). Pour un écoulement laminaire (Re < 2000), le calcul est beaucoup plus simple : \(\lambda = 64 / Re\).

Résultat Final
Les pertes de charge dues au frottement dans la conduite sont de 5.76 mètres.
A vous de jouer

Calculez les pertes de charge linéaires (en m) si la conduite était en fonte (rugosité k = 0.26 mm) au lieu du PVC.

Question 4 : Pertes de charge singulières (ΔH_sing)

Principe

Les pertes de charge singulières sont causées par les "accidents" de la tuyauterie : coudes, vannes, élargissements, crépines... Chaque accident est caractérisé par un coefficient K. On somme l'effet de tous ces accidents.

Mini-Cours

Chaque singularité perturbe l'écoulement, créant des zones de turbulence et des décollements de filets fluides qui dissipent de l'énergie. Le coefficient K est un nombre sans dimension, déterminé expérimentalement, qui quantifie l'importance de cette perte. Les catalogues des fabricants de matériel hydraulique fournissent les valeurs de K pour leurs produits (coudes, vannes, etc.).

Remarque Pédagogique

Dans les réseaux longs et droits, les pertes linéaires sont prédominantes. Dans les réseaux courts et tortueux (comme la plomberie d'un bâtiment ou un local technique), les pertes singulières peuvent devenir majoritaires. Il est donc crucial de ne jamais les négliger.

Normes

Il n'y a pas de norme unique, mais des ouvrages de référence en hydraulique (comme le "Mémento des pertes de charge" de I.E. Idel'cik) sont des bibles pour les ingénieurs et compilent des milliers de coefficients K pour toutes les situations imaginables.

Formule(s)
\[ \Delta H_{\text{sing}} = (\sum K) \frac{v^2}{2g} \]
Hypothèses

On suppose que les singularités sont suffisamment espacées pour que leurs effets ne s'influencent pas mutuellement. Si deux coudes sont très proches, la perte réelle peut être différente de la somme des deux pertes individuelles.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Somme des coefficientsΣK11.5-
Vitessev1.41m/s
Astuces

Comme mentionné précédemment, réutilisez la valeur de la hauteur dynamique \(v^2/(2g)\) calculée pour les pertes linéaires. Ici, \(v^2/(2g) \approx 0.1013\) m.

Schéma (Avant les calculs)
Localisation des Singularités
PCrépineCoudeSortie
Calcul(s)

Calcul de la hauteur dynamique (\(v^2/2g\))

\[ \begin{aligned} \frac{v^2}{2g} &= \frac{(1.41 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &\approx 0.1013 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul des pertes de charge singulières (\(\Delta H_{\text{sing}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{sing}} &= (\sum K) \times \frac{v^2}{2g} \\ &= 11.5 \times 0.1013 \text{ m} \\ &\approx 1.17 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Effet des pertes de charge sur la ligne d'énergie
ConduiteLigne de chargeΔH singΔH singPente = ΔH lin / L
Réflexions

Les pertes singulières (1.17 m) sont environ 5 fois plus faibles que les pertes linéaires (5.76 m). Ceci est typique d'un réseau de refoulement relativement long et simple. Le rapport serait très différent dans un circuit plus complexe.

Points de vigilance

Ne jamais oublier de compter toutes les singularités. Une vanne, une crépine, ou même la sortie de la conduite dans le réservoir, sont souvent oubliées alors qu'elles contribuent aux pertes.

Points à retenir

Les pertes singulières s'ajoutent aux pertes linéaires. Elles sont proportionnelles au carré de la vitesse et à un coefficient K qui caractérise chaque "accident" sur le parcours du fluide.

Le saviez-vous ?

Le "coup de bélier" est un phénomène de surpression destructeur qui se produit à la fermeture rapide d'une vanne. L'onde de choc qui se propage est directement liée à l'énergie cinétique (\(v^2/2g\)) qui est brutalement stoppée. C'est une forme extrême de "perte de charge" singulière instantanée.

FAQ
Est-ce que la pompe génère une perte de charge singulière ?

Non, la pompe est la machine qui fournit de l'énergie au système pour compenser les pertes de charge et le dénivelé. Elle n'est pas une perte, mais un gain. Cependant, les raccords et vannes situés juste avant et après la pompe créent bien des pertes singulières.

Résultat Final
Les pertes de charge dues aux singularités sont de 1.17 mètres.
A vous de jouer

Si l'on ajoutait deux coudes à 90° supplémentaires (K=0.75 chacun) sur le circuit, quelle serait la nouvelle valeur des pertes de charge singulières en m ?

Question 5 : HMT et Puissance Hydraulique (P_h)

Principe

La Hauteur Manométrique Totale (HMT) représente l'énergie totale que la pompe doit fournir au fluide (par unité de poids) pour vaincre le dénivelé et compenser toutes les pertes de charge. La puissance hydraulique est le produit de cette énergie par le débit-poids du fluide.

Mini-Cours

La HMT est le critère principal pour choisir une pompe. Chaque pompe possède une "courbe caractéristique" (fournie par le fabricant) qui montre la HMT qu'elle peut fournir pour un débit donné. Le point de fonctionnement du système se trouve à l'intersection de cette courbe et de la "courbe du réseau" (la HMT requise par le circuit en fonction du débit).

Remarque Pédagogique

Analysez les composantes de la HMT : 25 m pour le dénivelé, et environ 7 m pour les pertes de charge totales. On voit que la plus grande partie de l'énergie de la pompe sert à monter l'eau. C'est une information clé pour l'optimisation : réduire les pertes de charge est utile, mais c'est le dénivelé qui est le facteur dominant ici.

Normes

Les normes sur les pompes (comme la norme ISO 9906) définissent les classes de rendement et les protocoles d'essai que les fabricants doivent suivre pour garantir les performances annoncées de leurs machines.

Formule(s)

Formule de la Hauteur Manométrique Totale

\[ \text{HMT} \approx H_{\text{géo}} + \frac{v_B^2}{2g} + \Delta H_{\text{lin}} + \Delta H_{\text{sing}} \]

Formule de la puissance hydraulique

\[ P_{\text{h}} = Q_v \times \rho \times g \times \text{HMT} \]
Hypothèses

On suppose que la pression à la surface de la rivière (point A) et à la sortie de la conduite (point B) est la pression atmosphérique (elles sont donc égales et s'annulent dans le calcul). On suppose aussi que la vitesse à la surface de la rivière est nulle (v_A ≈ 0).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Hauteur géométriqueH_géo25m
Hauteur dynamiquev²/2g0.1013m
Pertes linéairesΔH_lin5.76m
Pertes singulièresΔH_sing1.17m
Débit volumiqueQ_v0.0111m³/s
Masse volumique de l'eauρ1000kg/m³
Accélération de la pesanteurg9.81m/s²
Astuces

Pour obtenir une puissance directement en kilowatts (kW), vous pouvez utiliser une formule simplifiée si le fluide est de l'eau : \(P_{\text{h}} (\text{kW}) \approx Q_v (\text{m}^3/\text{s}) \times \text{HMT} (\text{m}) \times 9.81\). C'est une approximation très utilisée en bureau d'études.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma général de l'installation
PPoint A (Z_A)Point B (Z_B)ΔZ = H_géoL, D, k
Calcul(s)

Calcul de la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

\[ \begin{aligned} \text{HMT} &\approx H_{\text{géo}} + \frac{v_B^2}{2g} + \Delta H_{\text{lin}} + \Delta H_{\text{sing}} \\ &= 25 \text{ m} + 0.1013 \text{ m} + 5.76 \text{ m} + 1.17 \text{ m} \\ &= 32.03 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la puissance hydraulique (\(P_{\text{h}}\))

\[ \begin{aligned} P_{\text{h}} &= Q_v \times \rho \times g \times \text{HMT} \\ &= 0.0111 \times 1000 \times 9.81 \times 32.03 \\ &\approx 3485 \text{ W} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Courbes caractéristiques : Pompe vs Réseau
Q (m³/s)H (m)Courbe pompeCourbe réseauQ_vHMTPoint defonctionnement
Réflexions

La puissance hydraulique de 3485 W (soit ~3.5 kW) est la puissance réellement transmise à l'eau. La puissance électrique consommée par la pompe sera supérieure en raison du rendement de la pompe et du moteur (généralement, \(P_{\text{elec}} = P_{\text{h}} / \eta_{\text{total}}\)).

Points de vigilance

Ne confondez pas la puissance hydraulique (transmise au fluide) et la puissance électrique (consommée par le moteur). L'écart entre les deux est dû au rendement global de la pompe, qui est toujours inférieur à 1 (souvent entre 0.6 et 0.8).

Points à retenir

La HMT est la somme de 4 composantes : hauteur géométrique, pression (souvent nulle), hauteur dynamique (\(v^2/2g\)) et pertes de charge totales. C'est la valeur clé pour sélectionner une pompe.

Le saviez-vous ?

Les premières pompes à eau, connues sous le nom de "vis d'Archimède", datent du 3ème siècle avant J.-C. Bien que leur principe soit très différent des pompes centrifuges modernes, elles démontrent que le besoin de vaincre un dénivelé pour déplacer de l'eau est une préoccupation millénaire de l'ingénierie.

FAQ
Pourquoi ajoute-t-on le terme \(v_B^2/2g\) dans la HMT ?

Ce terme représente l'énergie cinétique que possède l'eau à la sortie de la conduite. La pompe doit non seulement monter l'eau et compenser les frottements, mais aussi la mettre en mouvement, lui donner une certaine vitesse. Cette énergie cinétique est donc bien fournie par la pompe.

Résultat Final
La HMT requise est de 32.03 m et la puissance hydraulique de la pompe doit être d'environ 3.5 kW.
A vous de jouer

Quelle serait la puissance électrique consommée (en kW) si le rendement global de la pompe (moteur + hydraulique) était de 70% (0.7) ?

Outil Interactif : Simulateur de Puissance

Utilisez cet outil pour voir comment la longueur de la conduite et le dénivelé influencent la puissance nécessaire. Le débit et le diamètre sont fixes, basés sur l'exercice.

Paramètres d'Entrée
350 m
25 m
Résultats Clés
Pertes de charge totales (m) -
Puissance hydraulique (kW) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel est l'objectif principal du calcul du nombre de Reynolds ?

2. Les pertes de charge linéaires sont directement proportionnelles à :

3. Que représente la Hauteur Manométrique Totale (HMT) ?

4. Si l'on double le diamètre d'une conduite, pour un même débit, la vitesse de l'eau est...

5. Lequel de ces éléments ne génère PAS de perte de charge singulière ?

Débit Volumique (Q_v)
Le volume de fluide qui traverse une section donnée par unité de temps. Son unité est le m³/s.
Pertes de Charge (ΔH)
La perte d'énergie (exprimée en mètres de colonne de fluide) subie par un fluide en mouvement à cause des frottements (linéaires) et des obstacles (singulières).
Hauteur Manométrique Totale (HMT)
L'énergie totale que la pompe doit fournir au fluide pour atteindre le point final avec la pression et la vitesse requises, en compensant le dénivelé et les pertes de charge.
Nombre de Reynolds (Re)
Un nombre adimensionnel utilisé en mécanique des fluides pour caractériser le régime d'un écoulement. Il représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses.
Système d’Irrigation à Partir d’une Rivière Locale

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