Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Distribution de Pression

Calcul de la Distribution de Pression en Hydraulique

Calcul de la Distribution de Pression en Hydraulique

Comprendre la Distribution de Pression Hydrostatique

La pression hydrostatique est la pression exercée par un fluide au repos, due à la force de la gravité. Elle augmente linéairement avec la profondeur. Comprendre la distribution de cette pression est fondamental en ingénierie hydraulique pour la conception de structures immergées ou retenant des fluides, telles que les barrages, les réservoirs, les vannes, les conduites, etc. Ce calcul permet de déterminer les forces exercées par le fluide sur les parois et de dimensionner correctement ces ouvrages pour assurer leur stabilité et leur sécurité.

Données de l'étude

On étudie un réservoir rempli d'eau, ouvert à l'atmosphère, et une vanne rectangulaire verticale située sur l'une de ses parois.

Caractéristiques du fluide et de l'environnement :

  • Fluide : Eau
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)) : \(101325 \, \text{Pa}\)

Caractéristiques du réservoir et de la vanne :

  • Hauteur totale d'eau dans le réservoir (\(H\)) : \(5 \, \text{m}\)
  • Points d'intérêt pour le calcul de pression :
    • Point A : à la surface libre de l'eau.
    • Point B : à une profondeur \(h_B = 2 \, \text{m}\) sous la surface libre.
    • Point C : au fond du réservoir (\(h_C = H\)).
  • Vanne rectangulaire verticale :
    • Hauteur de la vanne (\(h_v\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
    • Largeur de la vanne (\(L_v\)) : \(1 \, \text{m}\)
    • Profondeur du sommet de la vanne par rapport à la surface libre (\(h_s\)) : \(1 \, \text{m}\)
Schéma : Réservoir d'eau avec vanne immergée
A (Surface) B C (Fond) Vanne hB = 2 m H = 5 m hs = 1 m hv = 1.5 m Base vanne Patm h

Schéma d'un réservoir d'eau avec indication des points de calcul et de la vanne immergée.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression relative et la pression absolue au point A (surface libre de l'eau).
  2. Calculer la pression relative et la pression absolue au point B, situé à une profondeur \(h_B = 2 \, \text{m}\).
  3. Calculer la pression relative et la pression absolue au point C, situé au fond du réservoir (\(h_C = H = 5 \, \text{m}\)).
  4. Représenter graphiquement le diagramme de distribution des pressions relatives sur une paroi verticale du réservoir, de la surface jusqu'au fond.
  5. Calculer la pression relative au sommet (\(P_{\text{rel,sommet,v}}\)) et à la base (\(P_{\text{rel,base,v}}\)) de la vanne rectangulaire.
  6. Déterminer la résultante des forces de pression hydrostatique (\(F_p\)) s'exerçant sur la vanne.
  7. Déterminer la position du centre de poussée (\(y_p\)) sur la vanne, mesurée à partir de la surface libre de l'eau.

Correction : Calcul de la Distribution de Pression

Question 1 : Pression relative et absolue au point A

Principe :

Le point A est à la surface libre de l'eau, en contact avec l'atmosphère. La pression relative est la pression par rapport à la pression atmosphérique. La pression absolue est la somme de la pression relative et de la pression atmosphérique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{rel}} = \rho g h \] \[ P_{\text{abs}} = P_{\text{rel}} + P_{\text{atm}} \]

Où \(h\) est la profondeur par rapport à la surface libre.

Données spécifiques :
  • Point A : \(h_A = 0 \, \text{m}\) (à la surface)
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(P_{\text{atm}} = 101325 \, \text{Pa}\)
Calcul :

Pression relative au point A :

\[ \begin{aligned} P_{\text{rel,A}} &= \rho g h_A \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 0 \, \text{m} \\ &= 0 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Pression absolue au point A :

\[ \begin{aligned} P_{\text{abs,A}} &= P_{\text{rel,A}} + P_{\text{atm}} \\ &= 0 \, \text{Pa} + 101325 \, \text{Pa} \\ &= 101325 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Pression relative au point A : \(P_{\text{rel,A}} = 0 \, \text{Pa}\)
  • Pression absolue au point A : \(P_{\text{abs,A}} = 101325 \, \text{Pa}\)

Question 2 : Pression relative et absolue au point B

Principe :

La pression hydrostatique augmente avec la profondeur. Le point B est situé à une profondeur \(h_B\).

Données spécifiques :
  • Profondeur du point B (\(h_B\)) : \(2 \, \text{m}\)
Calcul :

Pression relative au point B :

\[ \begin{aligned} P_{\text{rel,B}} &= \rho g h_B \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 2 \, \text{m} \\ &= 19620 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Pression absolue au point B :

\[ \begin{aligned} P_{\text{abs,B}} &= P_{\text{rel,B}} + P_{\text{atm}} \\ &= 19620 \, \text{Pa} + 101325 \, \text{Pa} \\ &= 120945 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • Pression relative au point B : \(P_{\text{rel,B}} = 19620 \, \text{Pa}\)
  • Pression absolue au point B : \(P_{\text{abs,B}} = 120945 \, \text{Pa}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Si la masse volumique du fluide doublait, comment la pression relative au point B changerait-elle ?

Question 3 : Pression relative et absolue au point C (fond du réservoir)

Principe :

Le point C est au fond du réservoir, à la profondeur maximale \(H\).

Données spécifiques :
  • Profondeur du point C (\(h_C = H\)) : \(5 \, \text{m}\)
Calcul :

Pression relative au point C :

\[ \begin{aligned} P_{\text{rel,C}} &= \rho g H \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 5 \, \text{m} \\ &= 49050 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Pression absolue au point C :

\[ \begin{aligned} P_{\text{abs,C}} &= P_{\text{rel,C}} + P_{\text{atm}} \\ &= 49050 \, \text{Pa} + 101325 \, \text{Pa} \\ &= 150375 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • Pression relative au point C : \(P_{\text{rel,C}} = 49050 \, \text{Pa}\)
  • Pression absolue au point C : \(P_{\text{abs,C}} = 150375 \, \text{Pa}\)

Question 4 : Diagramme de distribution des pressions relatives

Principe :

La pression hydrostatique relative varie linéairement avec la profondeur \(h\), partant de zéro à la surface libre et atteignant sa valeur maximale au fond. Le diagramme est donc triangulaire.

Représentation graphique :
Diagramme des Pressions Relatives
Surface (h=0, P_rel=0) Fond (h=H) Prel,max Profondeur (h) Paroi Pression

Le diagramme montre que la pression relative est nulle à la surface et augmente linéairement jusqu'à \(\rho g H\) au fond du réservoir.

Résultat Question 4 : Le diagramme de distribution des pressions relatives sur une paroi verticale est un triangle dont la base (au fond) est \(P_{\text{rel,max}} = \rho g H\) et la hauteur est \(H\).

Question 5 : Pression relative au sommet et à la base de la vanne

Principe :

La pression relative en un point est donnée par \(P_{\text{rel}} = \rho g h\), où \(h\) est la profondeur de ce point par rapport à la surface libre.

Données spécifiques :
  • Profondeur du sommet de la vanne (\(h_s\)) : \(1 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la vanne (\(h_v\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • \(\Rightarrow\) Profondeur de la base de la vanne (\(h_{\text{base,v}}\)) : \(h_s + h_v = 1 \, \text{m} + 1.5 \, \text{m} = 2.5 \, \text{m}\)
Calcul :

Pression relative au sommet de la vanne :

\[ \begin{aligned} P_{\text{rel,sommet,v}} &= \rho g h_s \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1 \, \text{m} \\ &= 9810 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Pression relative à la base de la vanne :

\[ \begin{aligned} P_{\text{rel,base,v}} &= \rho g (h_s + h_v) \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times (1 \, \text{m} + 1.5 \, \text{m}) \\ &= 1000 \times 9.81 \times 2.5 \\ &= 24525 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 :
  • Pression relative au sommet de la vanne : \(P_{\text{rel,sommet,v}} = 9810 \, \text{Pa}\)
  • Pression relative à la base de la vanne : \(P_{\text{rel,base,v}} = 24525 \, \text{Pa}\)

Question 6 : Résultante des forces de pression (\(F_p\)) sur la vanne

Principe :

La résultante des forces de pression hydrostatique sur une surface plane immergée est égale au produit de la pression au centre de gravité (CDG) de la surface par l'aire de cette surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_p = P_G \cdot A_v = (\rho g h_G) \cdot A_v \]

Où \(h_G\) est la profondeur du centre de gravité de la vanne, et \(A_v\) est l'aire de la vanne.

Données spécifiques :
  • Hauteur de la vanne (\(h_v\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Largeur de la vanne (\(L_v\)) : \(1 \, \text{m}\)
  • Profondeur du sommet de la vanne (\(h_s\)) : \(1 \, \text{m}\)
  • \(\Rightarrow\) Aire de la vanne (\(A_v\)) : \(L_v \times h_v = 1 \, \text{m} \times 1.5 \, \text{m} = 1.5 \, \text{m}^2\)
  • \(\Rightarrow\) Profondeur du centre de gravité de la vanne (\(h_G\)) : \(h_s + \frac{h_v}{2} = 1 \, \text{m} + \frac{1.5 \, \text{m}}{2} = 1 \, \text{m} + 0.75 \, \text{m} = 1.75 \, \text{m}\)
Calcul :

Pression au centre de gravité de la vanne :

\[ \begin{aligned} P_G &= \rho g h_G \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1.75 \, \text{m} \\ &= 17167.5 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Résultante des forces de pression :

\[ \begin{aligned} F_p &= P_G \times A_v \\ &= 17167.5 \, \text{Pa} \times 1.5 \, \text{m}^2 \\ &= 25751.25 \, \text{N} \end{aligned} \]

Soit environ \(25.75 \, \text{kN}\).

Résultat Question 6 : La résultante des forces de pression sur la vanne est \(F_p \approx 25751.25 \, \text{N}\) (ou \(25.75 \, \text{kN}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la largeur de la vanne doublait, comment la force de pression \(F_p\) changerait-elle (en supposant les autres dimensions et profondeurs inchangées) ?

Question 7 : Position du centre de poussée (\(y_p\)) sur la vanne

Principe :

Le centre de poussée est le point d'application de la résultante des forces de pression. Pour une surface plane verticale, il est situé plus bas que le centre de gravité en raison de la distribution non uniforme de la pression (qui augmente avec la profondeur).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ y_p = y_G + \frac{I_G}{y_G A_v} \]

Où :
\(y_p\) = profondeur du centre de poussée depuis la surface libre.
\(y_G\) = profondeur du centre de gravité de la vanne depuis la surface libre (\(h_G\)).
\(A_v\) = aire de la vanne.
\(I_G\) = moment d'inertie de l'aire de la vanne par rapport à un axe horizontal passant par son centre de gravité. Pour une vanne rectangulaire de largeur \(L_v\) et hauteur \(h_v\), \(I_G = \frac{L_v h_v^3}{12}\).

Données spécifiques :
  • \(y_G = h_G = 1.75 \, \text{m}\)
  • \(A_v = 1.5 \, \text{m}^2\)
  • \(L_v = 1 \, \text{m}\)
  • \(h_v = 1.5 \, \text{m}\)
Calcul :

Moment d'inertie \(I_G\) :

\[ \begin{aligned} I_G &= \frac{L_v h_v^3}{12} \\ &= \frac{1 \, \text{m} \times (1.5 \, \text{m})^3}{12} \\ &= \frac{1 \times 3.375}{12} \, \text{m}^4 \\ &= 0.28125 \, \text{m}^4 \end{aligned} \]

Position du centre de poussée \(y_p\) :

\[ \begin{aligned} y_p &= y_G + \frac{I_G}{y_G A_v} \\ &= 1.75 \, \text{m} + \frac{0.28125 \, \text{m}^4}{1.75 \, \text{m} \times 1.5 \, \text{m}^2} \\ &= 1.75 \, \text{m} + \frac{0.28125}{2.625} \, \text{m} \\ &= 1.75 \, \text{m} + 0.1071428... \, \text{m} \\ &\approx 1.8571 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le centre de poussée est donc situé à environ \(1.857 \, \text{m}\) de la surface libre de l'eau.

Résultat Question 7 : La position du centre de poussée sur la vanne est \(y_p \approx 1.857 \, \text{m}\) depuis la surface libre de l'eau.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. La pression relative au fond d'un réservoir rempli d'un liquide dépend de :

9. Le centre de poussée sur une surface plane immergée verticalement est toujours :

10. L'unité Pascal (Pa) est équivalente à :

Glossaire

Pression
Force exercée par unité de surface. En hydraulique, elle est souvent exprimée en Pascals (Pa) ou ses multiples (kPa, MPa).
Pression Relative (ou Manométrique)
Pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique locale. Elle est nulle à la surface libre d'un liquide en contact avec l'atmosphère.
Pression Absolue
Pression mesurée par rapport au vide absolu. \(P_{\text{abs}} = P_{\text{rel}} + P_{\text{atm}}\).
Hydrostatique
Branche de la mécanique des fluides qui étudie les fluides au repos et les pressions qu'ils exercent.
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse d'un fluide par unité de volume (ex: \(\text{kg/m}^3\)). Pour l'eau, elle est typiquement de \(1000 \, \text{kg/m}^3\).
Centre de Gravité (CDG ou G)
Point géométrique d'une surface où l'on peut considérer que toute son aire est concentrée.
Centre de Poussée (CP ou P)
Point d'application de la résultante des forces de pression hydrostatique sur une surface immergée. Il ne coïncide généralement pas avec le centre de gravité pour les surfaces non horizontales.
Pascal (Pa)
Unité de mesure de la pression dans le Système International, équivalente à un Newton par mètre carré (\(\text{N/m}^2\)).
Calcul de la Distribution de Pression en Hydraulique - Exercice d'Application

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