Distance géodésique entre deux points

1. Calcul de l’angle central entre A et B

Qu’est-ce qu’un angle central ? : C’est l’angle formé au centre de la Terre par les deux rayons joignant le centre terrestre à chacune des villes A et B. Pour deux points sur le même méridien, cet angle représente la différence de latitude entre les deux emplacements.
Pourquoi convertir en radians ? : En mathématiques, les formules de longueur d’arc sur une sphère utilisent des radians (unités où \(2\pi\) radians = 360°). Il faut donc passer des degrés (°) aux radians pour que la formule fonctionne.

Formule

\[ \Delta\varphi = \bigl|\varphi_B - \varphi_A\bigr| \times \frac{\pi}{180} \]

Données

• Différence de latitude : \(\varphi_B - \varphi_A = 47^\circ - 45^\circ = 2^\circ\)
• Facteur de conversion degré → radian : 1° = \(\frac{\pi}{180}\) radians

Calcul

Étape 1 : Multiplier la différence de latitude par le facteur de conversion :
\[ 2^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{180} \]
Étape 2 : Simplifier la fraction :
\[ \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90} \]
Étape 3 : Calculer la valeur numérique :
\[ \frac{\pi}{90} \approx 0{,}0349066\ \mathrm{rad} \]

2. Calcul de la distance géodésique

Qu’est-ce qu’une distance géodésique ? : C’est la distance la plus courte à la surface d’une sphère entre deux points, ici le long du méridien.
Pourquoi un grand cercle ? : Tout méridien est un demi-grand cercle. La longueur de l’arc de grand cercle se calcule en multipliant l’angle central (en radians) par le rayon de la sphère.

Formule

\[ s = R \times \Delta\varphi \]

Données

• Rayon de la Terre : \(R = 6\,371\ \mathrm{km}\)
• Angle central : \(\Delta\varphi \approx 0{,}0349066\ \mathrm{rad}\)

Calcul

Étape 1 : Appliquer la formule :
\[ s = 6\,371\ \mathrm{km} \times 0{,}0349066\ \mathrm{rad} \]
Étape 2 : Effectuer la multiplication :
\[ s \approx 222{,}39\ \mathrm{km} \]

Résultat final

La distance géodésique entre les villes A (45 ° N) et B (47 ° N) le long du même méridien est ≈ 222,39 km.