Dimensionnement d'un Contreventement en Bois

Comprendre le Rôle du Contreventement

Un système de contreventement est un "squelette" secondaire essentiel dans une structure, conçu pour résister aux efforts horizontaux comme le vent ou les séismes. Sans contreventement, un portique simple se déformerait comme un parallélogramme. En ajoutant une barre diagonale, on crée des triangles, rendant la structure indéformable et stable. Cette diagonale travaille soit en compression (elle est "poussée"), soit en traction (elle est "tirée"). La vérification la plus critique pour ces éléments souvent élancés est leur résistance au flambementPhénomène d'instabilité d'un élément comprimé qui, au lieu de s'écraser, se courbe brutalement sous l'effet de la charge. lorsqu'ils sont comprimés.

Remarque Pédagogique : Cet exercice se concentre sur la justification de la barre diagonale elle-même, notamment face au risque de flambement. Une conception complète exigerait aussi de dimensionner les assemblages à chaque extrémité de la diagonale pour s'assurer qu'ils peuvent transmettre l'effort calculé.

Données de l'étude

On étudie le contreventement ci-dessous, soumis à un effort de vent de 10 kN en tête.

Géométrie, matériau et conditions :

Hauteur du portique (\(h\)) : 2.50 m
Largeur du portique (\(L\)) : 4.00 m
Force de vent (\(F_{\text{vent,d}}\)) : 10 kN (valeur de calcul)
Diagonale en bois massif de classe C24
Section de la diagonale : 45 mm x 145 mm
Conditions : Classe de service 2, charge de courte durée (vent)
Coefficient de sécurité partiel (\(\gamma_{\text{M}}\)) : 1.3

Portique de Contreventement

Questions à traiter

Calculer l'angle (\(\alpha\)) et la longueur (\(L_{\text{diag}}\)) de la diagonale.
Déterminer l'effort de compression de calcul (\(N_{\text{c,d}}\)) dans la barre.
Vérifier la stabilité de la barre au flambement.

Question 1 : Géométrie et Effort dans la Diagonale

Principe :

La géométrie du système (hauteur, largeur) permet de calculer la longueur de la diagonale par le théorème de Pythagore et son angle par trigonométrie. L'effort dans la diagonale est ensuite déduit de la force horizontale par une simple projection.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Dans un portique contreventé par une seule diagonale, celle-ci doit pouvoir travailler à la fois en traction et en compression, selon le sens du vent. On dimensionne donc toujours pour le cas le plus défavorable, qui est quasi-systématiquement la compression à cause du risque de flambement.

Calcul(s) :

1. Longueur et Angle

\begin{aligned} L_{\text{diag}} &= \sqrt{h^2 + L^2} = \sqrt{2.5^2 + 4.0^2} \approx 4.72 \, \text{m} \\ \alpha &= \arctan\left(\frac{h}{L}\right) = \arctan\left(\frac{2.5}{4.0}\right) \approx 32.0^\circ \end{aligned}

2. Effort de compression

\begin{aligned} N_{\text{c,d}} &= \frac{F_{\text{vent,d}}}{\cos(\alpha)} = \frac{10 \, \text{kN}}{\cos(32.0^\circ)} \\ &= 11.79 \, \text{kN} \end{aligned}

Résultat Question 1 : L'effort de compression dans la barre est \(N_{\text{c,d}} \approx 11.8 \, \text{kN}\).

Question 2 : Vérification au Flambement

Principe :

On vérifie que la contrainte de compression de calcul (\(\sigma_{\text{c},0,\text{d}}\)) est inférieure à la résistance de calcul en compression, elle-même réduite par un facteur de flambement \(k_c\). Ce facteur dépend de l'élancement de la barre.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le flambement se produit toujours selon l'axe de plus faible inertie. Pour une section rectangulaire, il s'agit de l'axe parallèle au plus petit côté. Ici, la barre flambera "hors du plan" du portique, car l'inertie est plus faible selon l'épaisseur de 45 mm.

Formule(s) utilisée(s) :

\sigma_{\text{c},0,\text{d}} \le k_{\text{c}} \cdot f_{\text{c},0,\text{d}}

Avec \(f_{\text{c},0,\text{d}} = k_{\text{mod}} \frac{f_{\text{c},0,\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}}\) et \(k_c\) dépendant de l'élancement \(\lambda_{\text{rel,c}}\).

Calcul(s) :

1. Propriétés de la section et du matériau (C24)

\begin{aligned} A &= 45 \times 145 = 6525 \, \text{mm}^2 \\ i_y &= \frac{45}{\sqrt{12}} = 13.0 \, \text{mm} \quad (\text{rayon de giration}) \\ f_{\text{c},0,\text{k}} &= 21 \, \text{MPa} \\ E_{0.05} &= 7.4 \, \text{GPa} \end{aligned}

2. Élancement

\begin{aligned} \lambda_y &= \frac{L_{\text{diag}}}{i_y} = \frac{4720 \, \text{mm}}{13.0 \, \text{mm}} = 363 \quad (\text{> limite EC5}) \end{aligned}

Cet élancement est très élevé, la barre est instable. En pratique, on la maintiendrait latéralement. Pour l'exercice, supposons une longueur de flambement réduite à \(L_{cr} = 2.36\) m (maintenue à mi-longueur).

\begin{aligned} \lambda_y &= \frac{2360}{13.0} = 181.5 \\ \lambda_{\text{rel,c}} &= \frac{\lambda_y}{\pi} \sqrt{\frac{f_{\text{c},0,\text{k}}}{E_{0.05}}} = \frac{181.5}{\pi}\sqrt{\frac{21}{7400}} = 3.07 \end{aligned}

3. Facteur de flambement \(k_c\)

\begin{aligned} k_y &= 0.5 \left(1 + 0.1(\lambda_{\text{rel,c}} - 0.3) + \lambda_{\text{rel,c}}^2\right) = 5.86 \\ k_{\text{c}} &= \frac{1}{k_y + \sqrt{k_y^2 - \lambda_{\text{rel,c}}^2}} = 0.092 \end{aligned}

4. Vérification

\begin{aligned} \sigma_{\text{c},0,\text{d}} &= \frac{11800 \, \text{N}}{6525 \, \text{mm}^2} = 1.81 \, \text{MPa} \\ f_{\text{c},0,\text{d}} &= 0.90 \times \frac{21}{1.3} = 14.5 \, \text{MPa} \\ k_c \cdot f_{\text{c},0,\text{d}} &= 0.092 \times 14.5 = 1.34 \, \text{MPa} \end{aligned}

Résultat Question 2 : \(1.81 \, \text{MPa} > 1.34 \, \text{MPa}\). La barre ne résiste pas au flambement.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre	Valeur Calculée
Effort de compression (\(N_{\text{c,d}}\))	Cliquez pour révéler
Contrainte de compression (\(\sigma_{\text{c},0,\text{d}}\))	Cliquez pour révéler
Facteur de flambement (\(k_c\))	Cliquez pour révéler
Résistance au flambement (\(k_c f_{\text{c},0,\text{d}}\))	Cliquez pour révéler
Vérification	Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : La diagonale est remplacée par une section plus épaisse de 95 x 145 mm. Est-elle maintenant suffisante pour résister au flambement ? Calculez la nouvelle contrainte résistante et concluez.

Résistance \(k_c f_{\text{c},0,\text{d}}\) (en MPa) =

Pièges à Éviter

Longueur de flambement : Ne pas confondre la longueur géométrique de la barre (\(L_{\text{diag}}\)) et sa longueur de flambement (\(L_{cr}\)), qui dépend des conditions d'appuis à ses extrémités.

Axe de flambement : Le flambement se produit autour de l'axe faible. Pour un rectangle, le rayon de giration pertinent est \(i = b / \sqrt{12}\) où \(b\) est la plus petite dimension de la section.

Utiliser le bon module d'élasticité : Pour les calculs de stabilité comme le flambement, l'Eurocode 5 requiert d'utiliser la valeur au 5ème percentile, \(E_{0.05}\), et non la valeur moyenne \(E_{0,\text{mean}}\).

Simulation Interactive de la Stabilité

Variez les paramètres pour voir leur impact sur la résistance au flambement.

Paramètres de Simulation

Force Horizontale (kN) 10 kN

Hauteur du portique (m) 2.5 m

Section du bois

Vérification de la Stabilité

Contrainte appliquée (\(\sigma_{\text{c},0,\text{d}}\))

Résistance au flambement (\(k_c f_{\text{c},0,\text{d}}\))

Vérification

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Contreventement en X : Si on ajoute une seconde diagonale pour former un X, une diagonale sera comprimée et l'autre tendue. Souvent, on ne considère que la diagonale tendue pour la reprise des efforts, ce qui évite le problème complexe du flambement. Les deux barres peuvent alors être beaucoup plus élancées.

2. Flambement hors plan : Dans cet exercice, on a supposé que la barre pouvait flamber librement. En réalité, elle est souvent fixée à d'autres éléments (panneaux, etc.) qui peuvent la maintenir et réduire sa longueur de flambement, augmentant ainsi considérablement sa résistance.

3. Voiles travaillants : Une autre méthode de contreventement consiste à utiliser des panneaux (OSB, contreplaqué) cloués sur le portique. Le panneau agit alors comme une âme pleine, appelée "voile travaillant", qui reprend les efforts de cisaillement sur toute sa surface. Le calcul est alors complètement différent.

Le Saviez-Vous ?

Au Japon, les pagodes traditionnelles en bois à plusieurs étages résistent aux séismes grâce à un poteau central massif, le "shinbashira". Ce poteau n'est pas connecté à la structure principale ; il oscille indépendamment lors d'un séisme, agissant comme un amortisseur à masse accordée pour dissiper l'énergie et stabiliser la tour. C'est un système de contreventement sismique ancestral et incroyablement efficace.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la force du vent change de direction ?

Si le vent vient de l'autre côté, la diagonale qui était comprimée devient tendue, et vice-versa si un système en X est en place. L'effort en traction est de même magnitude que l'effort de compression (\(N_{\text{t,d}} = N_{\text{c,d}}\)). La vérification en traction est plus simple car il n'y a pas de risque de flambement, mais la résistance des assemblages aux extrémités devient souvent le point critique.

Comment choisir la section de bois initiale ?

Le choix initial est souvent basé sur l'expérience ou un pré-dimensionnement. Une règle empirique est de viser un élancement \(\lambda\) inférieur à une certaine valeur (ex: 120-150) pour éviter un comportement trop instable. On peut estimer la section nécessaire pour ne pas dépasser cette limite, puis vérifier par le calcul.

Pourquoi la compression est-elle plus complexe que la traction ?

En traction, un élément rompt lorsque la contrainte atteint la résistance du matériau (\(f_t\)). En compression, un élément peut rompre bien avant d'atteindre la résistance du matériau (\(f_c\)) à cause du phénomène d'instabilité de forme appelé flambement. La capacité réelle dépend alors fortement de la géométrie (longueur, section) et des conditions d'appuis, ce qui complexifie le calcul.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour rendre une barre en bois plus résistante au flambement, la solution la plus efficace est :

D'augmenter sa longueur.
D'augmenter son épaisseur (sa plus petite dimension).
D'utiliser une classe de bois avec une résistance \(f_{c,0,k}\) plus élevée.

2. Le facteur \(k_c\) représente :

Un facteur de réduction de la résistance dû au risque de flambement.
La résistance du bois à la compression.
Un facteur lié à la durée de la charge.

Glossaire

Contreventement: Dispositif structurel (souvent des diagonales) destiné à assurer la stabilité d'un ouvrage vis-à-vis des efforts horizontaux (vent, séisme).
Flambement: Phénomène d'instabilité d'un élément comprimé qui, au lieu de s'écraser, se courbe brutalement sous l'effet de la charge. Il affecte principalement les pièces longues et minces (élancées).
Élancement (\(\lambda\)): Rapport entre la longueur de flambement d'une pièce et son rayon de giration. C'est une mesure de la "minceur" de la pièce, qui détermine sa sensibilité au flambement.
Eurocode 5 (EN 1995): Ensemble de normes européennes pour la conception et le calcul des structures en bois.