Calcul de pente en topographie

Calcul de Pente en Topographie

Contexte : La pente topographiqueLa pente est une mesure de l'inclinaison d'un terrain. Elle s'exprime généralement en pourcentage (%), en degrés (°), ou en ratio (m/m)..

Le calcul de la pente est une opération fondamentale en topographie et en génie civil. Il permet de quantifier l'inclinaison d'un terrain, une donnée indispensable pour la conception de routes, de voies ferrées, de réseaux d'assainissement ou pour l'analyse des risques naturels comme les glissements de terrain. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul de la pente entre deux points dont les coordonnées tridimensionnelles (X, Y, Z) sont connues.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser le calcul fondamental de la pente entre deux points, une compétence essentielle pour l'analyse de terrain et la conception de projets d'aménagement.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la définition d'une pente topographique et ses différentes expressions.
Calculer la distance horizontale entre deux points à partir de leurs coordonnées.
Calculer la dénivelée (différence d'altitude) entre deux points.
Exprimer une pente en pourcentage (%) et en degrés (°).

Données de l'étude

Un géomètre a effectué un relevé topographique et a déterminé les coordonnées de deux points A et B sur un terrain. L'objectif est de calculer la pente de la ligne droite qui relie ces deux points.

Représentation des points A et B

Point	Coordonnée X	Coordonnée Y	Altitude Z
A	150.00 m	200.00 m	450.00 m
B	350.00 m	320.00 m	465.50 m

Questions à traiter

Calculer la distance horizontale (Dh) entre les points A et B.
Calculer la dénivelée (ΔZ) entre les points A et B.
Calculer la pente (P) en pourcentage (%) entre A et B.
Calculer la pente en degrés (°).

Les bases du calcul de pente

Pour déterminer la pente entre deux points, il faut connaître deux grandeurs fondamentales : la distance qui les sépare sur un plan horizontal et leur différence d'altitude, aussi appelée dénivelée.

1. Distance Horizontale (Dh)
C'est la distance "à vol d'oiseau" si le terrain était plat. On la calcule avec le théorème de Pythagore en utilisant les coordonnées X et Y des deux points.\[ D_h = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} \]

2. Dénivelée (ΔZ)
C'est simplement la différence verticale (d'altitude) entre les deux points. \[ \Delta Z = Z_B - Z_A \]

3. Pente (P)
La pente est le rapport de la dénivelée sur la distance horizontale. Pour l'exprimer en pourcentage : \[ P(\%) = \frac{\Delta Z}{D_h} \times 100 \] Pour l'exprimer en degrés : \[ \alpha(°) = \arctan\left(\frac{\Delta Z}{D_h}\right) \]

Correction : Calcul de Pente en Topographie

Question 1 : Calculer la distance horizontale (Dh)

Principe (le concept physique)

La distance horizontale est la distance qui sépare les projections des points A et B sur un plan parfaitement horizontal (planimétrie). On l'obtient en appliquant le théorème de Pythagore dans le plan (X,Y) aux différences de coordonnées, comme si on regardait le terrain depuis le ciel.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En géomatique, on travaille dans des systèmes de coordonnées cartésiennes. Pour des relevés locaux, on peut considérer le système comme un plan euclidien à deux dimensions (X, Y) pour les calculs planimétriques. La distance entre deux points \(A(X_A, Y_A)\) et \(B(X_B, Y_B)\) dans ce plan est la norme du vecteur \(\vec{AB}\), ce qui correspond à la formule de Pythagore.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez un triangle rectangle sur une carte. Les deux côtés de l'angle droit sont les différences de coordonnées (ΔX et ΔY). La distance horizontale que vous cherchez est l'hypoténuse de ce triangle. Cette visualisation aide à ne jamais oublier la formule.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul est un fondement de la géométrie et n'est pas régi par une "norme" au sens strict. Cependant, toutes les normes de topographie et de systèmes de projection cartographique (comme le RGF93 et la projection associée Lambert-93 en France) reposent sur ces principes de calcul de distance dans un plan.

Formule(s) (l'outil mathématique)

D_h = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}

\Delta X = X_B - X_A

\Delta Y = Y_B - Y_A

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère que les coordonnées sont exprimées dans un système de projection cartographique localement plan.
Pour cette distance, la courbure de la Terre est négligée, ce qui est une hypothèse valide pour des projets de génie civil courants.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coordonnées Point A	\( (X_{\text{A}}, Y_{\text{A}}) \)	(150.00, 200.00)	\(\text{m}\)
Coordonnées Point B	\( (X_{\text{B}}, Y_{\text{B}}) \)	(350.00, 320.00)	\(\text{m}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

La plupart des calculatrices scientifiques ont une fonction "POL" (polaire) qui convertit des coordonnées rectangulaires (ΔX, ΔY) en coordonnées polaires (distance, angle). En entrant POL(200, 120), vous obtiendrez directement la distance horizontale (233.24 m).

Schéma (Avant les calculs)

Vue en plan du triangle rectangle formé par ΔX et ΔY

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul de ΔX et ΔY

\begin{aligned} \Delta X &= 350.00 - 150.00 \\ &= 200.00 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta Y &= 320.00 - 200.00 \\ &= 120.00 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de Dh

\begin{aligned} D_h &= \sqrt{(200.00)^2 + (120.00)^2} \\ &= \sqrt{40000 + 14400} \\ &= \sqrt{54400} \\ &\Rightarrow D_h \approx 233.24 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la distance horizontale calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat de 233.24 m représente la distance que l'on parcourrait sur une carte entre les points A et B. C'est la base de référence pour tous les calculs de pente, car la pente est définie par rapport à l'horizontale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre les différences au carré ou d'oublier la racine carrée finale. Assurez-vous également que les coordonnées X et Y sont dans la même unité (ici, les mètres) avant de commencer le calcul.

Points à retenir (maîtriser la question)

La distance horizontale est l'hypoténuse d'un triangle formé par ΔX et ΔY.
La formule est : \( D_h = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \).
Cette distance est toujours positive.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le théorème de Pythagore, connu depuis l'Antiquité (Babyloniens, Égyptiens), est l'un des outils les plus fondamentaux et les plus utilisés en ingénierie, de la topographie à la mécanique des structures en passant par l'électricité.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La distance horizontale entre les points A et B est de 233.24 m (arrondi à 2 décimales).

A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Calculez la distance horizontale pour un point C(400, 500) et D(450, 600).

Question 2 : Calculer la dénivelée (ΔZ)

Principe (le concept physique)

La dénivelée est la différence de hauteur, ou d'altitude, entre deux points. C'est une mesure purement verticale. Un résultat positif signifie que le point d'arrivée est plus haut que le point de départ (montée), et un résultat négatif indique une descente.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'altitude (Z) est mesurée par rapport à une surface de référence appelée "datum vertical". En France métropolitaine, le datum officiel est le NGF-IGN69, dont le niveau zéro correspond au niveau moyen de la mer mesuré par le marégraphe de Marseille. La dénivelée est donc une mesure relative entre deux points, mais chaque altitude est une mesure absolue par rapport à ce datum.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul est une simple soustraction : "altitude finale moins altitude initiale". Le signe du résultat est très important : il vous indique immédiatement si vous montez ou si vous descendez. Ne l'oubliez pas !

Normes (la référence réglementaire)

Les réseaux de nivellement nationaux (comme le NGF-IGN69) sont les références réglementaires qui garantissent que les altitudes mesurées sur tout le territoire sont cohérentes entre elles. Les calculs de dénivelée doivent toujours être faits entre des points rattachés au même système altimétrique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

\Delta Z = Z_B - Z_A

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les altitudes Zₐ et Zₑ sont exprimées dans le même datum vertical.
Les instruments de mesure sont considérés comme parfaitement calibrés.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Altitude Point A	\(Z_{\text{A}}\)	450.00	\(\text{m}\)
Altitude Point B	\(Z_{\text{B}}\)	465.50	\(\text{m}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour ce calcul simple, il n'y a pas vraiment d'astuce, si ce n'est de bien poser l'opération pour éviter une erreur de calcul mental. L'important est la rigueur.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation de la dénivelée sur un axe vertical

Calcul(s) (l'application numérique)

\begin{aligned} \Delta Z &= 465.50 - 450.00 \\ &= +15.50 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la dénivelée calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat de +15.50 m est clair : le point B est 15.50 mètres plus haut que le point A. C'est une information cruciale pour comprendre le relief du terrain et pour calculer la pente.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur principale est l'inversion des termes (faire Zₐ - Zₑ), ce qui donnerait le bon chiffre mais avec le mauvais signe. Respectez toujours l'ordre "point final moins point initial" pour avoir un signe cohérent avec le sens du parcours.

Points à retenir (maîtriser la question)

La dénivelée est la différence d'altitude : \( \Delta Z = Z_{\text{final}} - Z_{\text{initial}} \).
Le signe du résultat indique le sens de la pente : positif pour une montée, négatif pour une descente.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le nivellement de précision, qui sert à déterminer les altitudes, peut atteindre une exactitude de l'ordre de quelques millimètres sur plusieurs kilomètres. Il est essentiel pour les grands ouvrages comme les tunnels ou les ponts à très longue portée.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La dénivelée entre les points A et B est de +15.50 m.

A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Quelle est la dénivelée si l'on va du point B (465.50 m) au point A (450.00 m) ?

Question 3 : Calculer la pente (P) en pourcentage (%)

Principe (le concept physique)

La pente en pourcentage exprime la dénivelée pour 100 mètres de distance horizontale. C'est une manière très intuitive de représenter l'inclinaison. Une pente de 10% signifie que l'on s'élève de 10 mètres chaque fois que l'on parcourt 100 mètres à l'horizontale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le pourcentage est une expression d'un rapport (ou d'une fraction) ramené à une base de 100. Dans notre cas, le rapport est \( \frac{\Delta Z}{D_h} \). En le multipliant par 100, on obtient le nombre d'unités verticales gagnées (ou perdues) pour 100 unités horizontales parcourues.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au pourcentage comme à une "recette" : pour 100 "parts" de distance horizontale, combien de "parts" de dénivelée ajoutez-vous ? Cette image aide à bien ancrer la signification du pourcentage.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction et d'aménagement fixent des pentes maximales en pourcentage. Par exemple, pour l'accessibilité des personnes à mobilité réduite, une rampe ne doit généralement pas dépasser 5%. Une route de montagne peut atteindre 10-12%, et une voie de chemin de fer dépasse rarement 2.5%.

Formule(s) (l'outil mathématique)

P(\%) = \frac{\Delta Z}{D_h} \times 100

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la pente est constante entre les points A et B (on calcule la pente de la droite qui les relie).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Dénivelée (ΔZ) = 15.50 m
Distance Horizontale (Dh) = 233.24 m

Astuces (Pour aller plus vite)

Calculez d'abord la division \( \frac{15.50}{233.24} \), puis décalez simplement la virgule de deux rangs vers la droite pour obtenir le pourcentage. Cela revient à multiplier par 100.

Schéma (Avant les calculs)

Le triangle de la pente

Calcul(s) (l'application numérique)

\begin{aligned} P(\%) &= \frac{15.50}{233.24} \times 100 \\ &= 0.06645 \times 100 \\ &\Rightarrow P(\%) \approx 6.65 \% \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la pente en pourcentage

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une pente de 6.65% est une pente modérée. C'est une pente confortable pour une route, mais qui commencerait à être exigeante pour une voie ferrée ou une rampe d'accès pour fauteuil roulant. Le pourcentage donne une idée très concrète de l'effort à fournir pour gravir cette pente.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'inverser la division (\( \frac{D_h}{\Delta Z} \)). Rappelez-vous toujours que la pente, c'est "le vertical divisé par l'horizontal".

Points à retenir (maîtriser la question)

Pente (%) = (Dénivelée / Distance Horizontale) × 100.
C'est une mesure de l'élévation verticale pour 100 unités de distance horizontale.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En conception routière, on ne parle pas seulement de pente longitudinale (dans l'axe de la route), mais aussi de "dévers" (pente transversale), qui est crucial pour évacuer l'eau de pluie de la chaussée et qui est généralement de 2.5%.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La pente de la ligne AB est de 6.65 %.

A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Si une route a une dénivelée de 10 m sur une distance horizontale de 200 m, quelle est sa pente en % ?

Question 4 : Calculer la pente en degrés (°)

Principe (le concept physique)

La pente peut aussi être vue comme l'angle géométrique \(\alpha\) que fait la ligne de terrain avec le plan horizontal. Cet angle se calcule à l'aide des fonctions trigonométriques, en particulier l'arc-tangente, car nous connaissons les deux côtés de l'angle droit du triangle de la pente (ΔZ et Dh).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle est définie comme le rapport de la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent. Ici, \( \tan(\alpha) = \frac{\Delta Z}{D_h} \). Pour trouver l'angle \(\alpha\) lui-même, on utilise la fonction réciproque, l'arc-tangente : \( \alpha = \arctan\left(\frac{\Delta Z}{D_h}\right) \).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne confondez jamais pente en % et angle en degrés. Une pente de 100% n'est pas un mur vertical (90°), mais un terrain qui monte de 100m pour 100m parcourus à l'horizontale, ce qui correspond à un angle de 45°. C'est une erreur très courante.

Normes (la référence réglementaire)

En géotechnique, l'angle de talus naturel (l'angle maximal auquel un matériau comme le sable ou le gravier peut tenir sans s'effondrer) est toujours exprimé en degrés. C'est une donnée cruciale pour la stabilité des terrassements.

Formule(s) (l'outil mathématique)

\alpha(°) = \arctan\left(\frac{\Delta Z}{D_h}\right)

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la pente est constante entre les points A et B.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Rapport de pente = \( \frac{\Delta Z}{D_h} = \frac{15.50}{233.24} \approx 0.06645 \)

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour des pentes faibles (inférieures à 10%), la valeur de l'angle en degrés est approximativement égale à la pente en pourcentage divisée par 1.75. Ici : 6.65 / 1.75 ≈ 3.8. C'est une bonne méthode pour vérifier rapidement un ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Le triangle de la pente

Calcul(s) (l'application numérique)

\begin{aligned} \alpha(°) &= \arctan\left(\frac{15.50}{233.24}\right) \\ &= \arctan(0.06645) \\ &\Rightarrow \alpha(°) \approx 3.80° \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de l'angle de la pente

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un angle de 3.80° peut sembler petit, mais sur une longue distance, il produit une dénivelée significative. Cette valeur angulaire est moins intuitive que le pourcentage pour la plupart des gens, mais elle est fondamentale pour les calculs trigonométriques plus poussés (calculs de gisement, de coordonnées, etc.).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" (DEG) et non "radians" (RAD) ou "grades" (GRAD) lorsque vous utilisez la fonction \(\arctan\). Une erreur de mode de calcul est une source de fautes très fréquente en trigonométrie.

Points à retenir (maîtriser la question)

Angle (°) = \(\arctan\)(Dénivelée / Distance Horizontale).
La fonction à utiliser sur la calculatrice est \(\arctan\) ou \(tan^{-1}\).
Vérifiez toujours le mode de votre calculatrice (DEG).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La rue la plus pentue du monde se trouve à Harlech, au Pays de Galles. La rue Ffordd Pen Llech a une pente maximale enregistrée de 37.45% (soit environ 20.5°), un véritable défi pour les automobilistes et les cyclistes !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'angle de la pente de la ligne AB avec l'horizontale est de 3.80°.

A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Un terrain a une pente de 10%. Quel est son angle en degrés ? (arrondir à 2 décimales)

Outil Interactif : Simulateur de Pente

Utilisez cet outil pour visualiser instantanément comment la pente (en % et en degrés) varie en fonction de la distance horizontale et de la dénivelée. Entrez les valeurs de l'exercice pour vérifier vos résultats !

Paramètres d'Entrée

Distance Horizontale (m) 233 m

Dénivelée (m) 15.5 m

Résultats Clés

Pente (%) -

Angle (°) -

Glossaire

Pente: Rapport entre la dénivelée et la distance horizontale entre deux points. C'est une mesure de l'inclinaison du terrain.
Dénivelée: Différence d'altitude (coordonnée Z) entre deux points.
Distance Horizontale: Distance entre deux points après projection sur un plan horizontal. Elle ne tient pas compte des différences d'altitude.
Topographie: Science qui permet la mesure puis la représentation sur un plan ou une carte des formes et détails visibles sur le terrain.

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