Études de cas pratique

EGC

Calcul de Pente en Terrassement

Calcul de Pente en Terrassement

Comprendre le Calcul de Pente en Terrassement

La pente est une mesure de l'inclinaison d'une surface par rapport à l'horizontale. En terrassement, le calcul et la gestion des pentes sont fondamentaux pour de nombreuses applications, telles que la construction de routes, de voies ferrées, de plateformes, l'aménagement de terrains pour le drainage, ou encore l'analyse de la stabilité des talus. Une pente incorrecte peut entraîner des problèmes d'écoulement des eaux, d'érosion, ou même des instabilités structurelles.

La pente peut être exprimée de plusieurs manières :

  • En pourcentage (%) : C'est le rapport entre le dénivelé vertical (\(\Delta Z\)) et la distance horizontale (\(L\)), multiplié par 100. \(Pente (\%) = (\Delta Z / L) \times 100\).
  • En rapport (ou fraction) : Par exemple, 1/50 (ou 1:50) signifie 1 unité de dénivelé vertical pour 50 unités de distance horizontale. On trouve aussi des notations H/V (Horizontal/Vertical) pour les talus, par exemple 2/1 (2H:1V).
  • En angle (\(\alpha\)) : C'est l'angle que fait la surface inclinée avec l'horizontale, souvent exprimé en degrés. \(\tan(\alpha) = \Delta Z / L\).

Cet exercice se concentrera sur le calcul de la pente à partir de données d'altitude et de distance, ainsi que sur la détermination d'altitudes en fonction d'une pente donnée.

Données de l'étude

On étudie le profil d'un terrain entre deux points A et B pour un projet de canalisation.

  • Altitude du point A (\(Z_A\)) : \(152.75 \, \text{m}\)
  • Altitude du point B (\(Z_B\)) : \(150.25 \, \text{m}\)
  • Distance horizontale entre A et B (\(L_{AB}\)) : \(80.0 \, \text{m}\)
Schéma : Profil de Terrain et Pente
A (ZA) B (ZB) α L_AB ΔZ Calcul de Pente

Schéma illustrant la pente entre deux points A et B.

Questions à traiter

  1. Calculer la différence d'altitude (\(\Delta Z_{AB}\)) entre les points A et B.
  2. Calculer la pente (\(P_{AB}\)) du terrain entre A et B en pourcentage (%).
  3. Calculer l'angle de la pente (\(\alpha_{AB}\)) en degrés.
  4. Un point C est situé à \(30 \, \text{m}\) horizontalement du point A (vers B). Quelle serait l'altitude du point C (\(Z_C\)) si le terrain avait une pente uniforme calculée précédemment ?

Correction : Calcul de Pente en Terrassement

Question 1 : Différence d'Altitude (\(\Delta Z_{AB}\))

Principe :

La différence d'altitude (ou dénivelé) entre deux points est la soustraction de leurs altitudes respectives. Le signe indiquera si la pente est montante ou descendante par rapport au sens A vers B.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{AB} = Z_B - Z_A\]

Note : Si l'on s'intéresse à la valeur absolue du dénivelé ou à une pente descendante, on peut aussi calculer \(|Z_A - Z_B|\) ou \(Z_A - Z_B\). Pour une pente, le signe est important.

Données spécifiques :
  • Altitude du point A (\(Z_A\)) : \(152.75 \, \text{m}\)
  • Altitude du point B (\(Z_B\)) : \(150.25 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{AB} &= 150.25 \, \text{m} - 152.75 \, \text{m} \\ &= -2.50 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que le point B est plus bas que le point A, donc la pente est descendante de A vers B. Le dénivelé est de 2.50 m.

Résultat Question 1 : La différence d'altitude est \(\Delta Z_{AB} = -2.50 \, \text{m}\).

Question 2 : Pente (\(P_{AB}\)) en Pourcentage

Principe :

La pente en pourcentage est le rapport entre la différence d'altitude (\(\Delta Z_{AB}\)) et la distance horizontale (\(L_{AB}\)), multiplié par 100. Une pente descendante sera négative.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{AB} (\%) = \frac{\Delta Z_{AB}}{L_{AB}} \times 100\]
Données spécifiques :
  • Différence d'altitude (\(\Delta Z_{AB}\)) : \(-2.50 \, \text{m}\)
  • Distance horizontale (\(L_{AB}\)) : \(80.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{AB} (\%) &= \frac{-2.50 \, \text{m}}{80.0 \, \text{m}} \times 100 \\ &= -0.03125 \times 100 \\ &= -3.125 \% \end{aligned} \]

La pente du terrain entre A et B est de -3.125% (descendante).

Résultat Question 2 : La pente du terrain est \(P_{AB} = -3.125\%\).

Question 3 : Angle de la Pente (\(\alpha_{AB}\)) en Degrés

Principe :

L'angle de la pente (\(\alpha\)) est l'angle formé par la surface du terrain et l'horizontale. Sa tangente est égale au rapport du dénivelé sur la distance horizontale. \(\tan(\alpha) = \Delta Z / L\). On utilise la fonction arc tangente (arctan ou tan⁻¹) pour trouver l'angle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tan(\alpha_{AB}) = \frac{|\Delta Z_{AB}|}{L_{AB}}\] \[\alpha_{AB} = \arctan\left(\frac{|\Delta Z_{AB}|}{L_{AB}}\right)\]

On utilise la valeur absolue du dénivelé pour obtenir l'angle géométrique de la pente.

Données spécifiques :
  • \(|\Delta Z_{AB}| = 2.50 \, \text{m}\)
  • \(L_{AB} = 80.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tan(\alpha_{AB}) &= \frac{2.50}{80.0} = 0.03125 \\ \alpha_{AB} &= \arctan(0.03125) \end{aligned} \]

Pour convertir les radians en degrés, on multiplie par \((180/\pi)\).

\[ \alpha_{AB} \approx 0.03124 \, \text{radians} \times \frac{180}{\pi} \approx 1.790^\circ \]
Résultat Question 3 : L'angle de la pente est \(\alpha_{AB} \approx 1.79^\circ\).

Quiz Intermédiaire 1 : Une pente de 100% correspond à un angle de :

Question 4 : Altitude du Point C (\(Z_C\))

Principe :

Le point C est situé à une distance \(L_{AC} = 30 \, \text{m}\) de A, le long de la pente initiale de -3.125%. La différence d'altitude entre A et C (\(\Delta Z_{AC}\)) est le produit de cette distance par la pente (en décimal).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{AC} = L_{AC} \times \frac{P_{AB} (\%)}{100}\] \[Z_C = Z_A + \Delta Z_{AC}\]
Données spécifiques :
  • Distance de A à C (\(L_{AC}\)) : \(30.0 \, \text{m}\)
  • Pente de A à B (\(P_{AB}\)) : \(-3.125\%\)
  • Altitude de A (\(Z_A\)) : \(152.75 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{AC} &= 30.0 \, \text{m} \times \frac{-3.125}{100} \\ &= 30.0 \, \text{m} \times (-0.03125) \\ &= -0.9375 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Z_C &= 152.75 \, \text{m} + (-0.9375 \, \text{m}) \\ &= 152.75 \, \text{m} - 0.9375 \, \text{m} \\ &= 151.8125 \, \text{m} \end{aligned} \]

L'altitude du point C serait d'environ 151.81 m.

Résultat Question 4 : L'altitude du point C est \(Z_C \approx 151.81 \, \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. Une pente de 0% signifie que le terrain est :

6. Si la différence d'altitude \(\Delta Z\) est positive entre un point 1 et un point 2 (dans le sens 1 vers 2), la pente est :

7. Pour convertir une pente en rapport (V/H) en pourcentage, on :

Glossaire

Pente
Inclinaison d'une surface par rapport à l'horizontale. Elle mesure le rapport entre le dénivelé (différence d'altitude) et la distance horizontale.
Altitude (Z)
Hauteur d'un point par rapport à un niveau de référence donné (par exemple, le niveau de la mer).
Dénivelé (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude entre deux points.
Distance Horizontale (\(L\))
Distance mesurée horizontalement entre deux points.
Terrassement
Ensemble des travaux de modification du relief d'un terrain, généralement par des mouvements de terre (déblais et remblais).
Talus
Surface de terrain en pente, créée par des travaux de terrassement ou existant naturellement.
Point Kilométrique (PK)
Système de repérage de la position le long d'un axe linéaire (route, voie ferrée, canalisation).
Calcul de Pente en Terrassement - Exercice d'Application

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