Calcul de Remblais et Déblais

Comprendre le calcul de remblais et déblais

Vous êtes ingénieur en génie civil et travaillez sur la préparation d’un site pour la construction d’un nouveau bâtiment. Le terrain est en pente et doit être nivelé. Vous allez devoir déterminer le volume de terre à excaver (déblai) et le volume de terre nécessaire pour le remblai.

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Données:

• Le terrain mesure 50 mètres par 30 mètres.
• La pente naturelle du terrain est uniforme et présente une déclivité de 5%.
• Le niveau de référence pour la construction (NRC) est fixé à 1 mètre au-dessus du point le plus bas du terrain naturel.
• Le terrain descend linéairement de 0 à 2,5 mètres sur la longueur de 50 mètres
• Le sol est composé à 60% de sable et à 40% d’argile.
• Le coefficient de foisonnement de l’argile est de 1,2 et celui du sable est de 1,1.

Pour Comprendre le Calcul de Pente en Terrassement, cliquez sur le lien.

Questions:

1. Calcul du Volume de Déblai: Déterminer le volume de terre à excaver pour atteindre le NRC.

2. Calcul du Volume de Remblai: Déterminer le volume de terre nécessaire pour le remblai en tenant compte du coefficient de foisonnement.

3. Analyse du Bilan des Volumes: Déterminer si le site nécessite l’importation ou l’exportation de terre supplémentaire.

4. Estimation des Coûts: Fournir une estimation sommaire des coûts de l’opération de terrassement, sachant que le coût moyen d’excavation est de 10€/m³, le coût de transport de la terre est de 5€/m³ pour l’importation/exportation, et le coût de mise en place et de compactage du remblai est de 7€/m³.

Correction : Calcul de remblais et déblais

1. Calcul du Volume de Déblai

Le volume de déblai (terre à excaver) correspond à la portion du terrain située au-dessus du Niveau de Référence pour la Construction (NRC).

• Le terrain descend linéairement de 0 m (point le plus bas) à 2,5 m (point le plus haut) sur la longueur de 50 m.
• Le NRC est fixé à 1 m au-dessus du point le plus bas (soit une altitude de 1 m).
• Concrètement, de 0 à 20 m le long du terrain (en projection horizontale), la hauteur naturelle du sol est inférieure à 1 m : on a donc besoin de remblai.
• De 20 à 50 m le long du terrain, la hauteur naturelle du sol va de 1 m à 2,5 m : cette partie est au-dessus de 1 m et doit donc être excavée (déblai).

Formule:

Pour trouver le volume de déblai, on intègre la différence \((\text{Altitude du terrain} – \text{NRC})\) sur la portion du terrain où cette différence est positive, puis on multiplie par la largeur (30 m).

En notation mathématique, entre \(x = 20\, \text{m}\) et \(x = 50\, \text{m}\), l’altitude du terrain est donnée par une pente linéaire:

\[ E(x) = 0 + \frac{2,5\,m}{50\,m} \times x \] \[ E(x) = 0,05\,x \]

On soustrait le NRC (1 m): \((E(x)-1)\). Le volume élémentaire est \((E(x)-1) \times 30\, \text{dx}\).

Le volume total de déblai se calcule donc par l’intégrale :

\[ V_{\text{déblai}} = 30 \times \int_{x=20}^{x=50} (0,05\,x – 1)\,dx. \]

Données:

• Longueur totale du terrain : \(L=50\, \text{m}\)
• Largeur du terrain : \(l = 30\, \text{m}\)
• Pente linéaire : de 0 m à 2,5 m sur 50 m
• NRC : 1 m d’élévation
• Partie à excaver : \(x\) de 20 m à 50 m

Calcul:

Intégrale à résoudre:

\[ = \int (0,05\,x – 1)\,dx \] \[ = \int 0,05\,x\,dx – \int 1\,dx \] \[ = 0,05 \times \frac{x^2}{2} – x \] \[ = 0,025\,x^2 – x. \]

Évaluation entre 20 m et 50 m :

• À \(x=50\):

\[ = 0,025 \times 50^2 – 50 \] \[ = 0,025 \times 2500 – 50 \] \[ = 62,5 – 50 \] \[ = 12,5. \]

• À \(x=20\):

\[ = 0,025 \times 20^2 – 20 \] \[ = 0,025 \times 400 – 20 \] \[ = 10 – 20 \] \[ = -10. \]

• Différence:

\[ = 12,5 – (-10) = 12,5 + 10 \] \[ = 22,5. \]

Multiplication par la largeur (30 m) :

\[ V_{\text{déblai}} = 30 \times 22,5 \] \[ V_{\text{déblai}} = 675\,m^3. \]

Le volume de déblai (terre située au-dessus de 1 m) est de \(675\,m^3\).

2. Calcul du Volume de Remblai

Le volume de remblai (terre à ajouter) correspond à la portion du terrain située en dessous du NRC (1 m). Sur la portion de 0 à 20 m en longueur, l’altitude du sol varie linéairement de 0 m à 1 m.

Formule:

On intègre la différence \((\text{NRC} – \text{Altitude du terrain})\) sur la zone où la NRC est supérieure à l’altitude naturelle, puis on multiplie par la largeur (30 m).

Sur \(x \in [0, 20]\),

\[ E(x) = 0,05\,x, \quad NRC = 1. \]

Le volume élémentaire est \((1 – E(x)) \times 30\,dx\).

Le volume total de remblai se calcule par :

\[ V_{\text{remblai}} = 30 \times \int_{x=0}^{x=20} (1 – 0,05\,x)\,dx. \]

Données:

• Zone à remblayer : de \(x=0\, \text{m}\) à \(x=20\, \text{m}\)
• NRC : 1 m
• Largeur du terrain : 30 m

Calcul:

Intégrale à résoudre:

\[ = \int (1 – 0,05\,x)\,dx \] \[ = \int 1\,dx – \int 0,05\,x\,dx \] \[ = x – 0,05 \times \frac{x^2}{2} \] \[ = x – 0,025\,x^2. \]

Évaluation entre 0 m et 20 m:

• À \(x=20\):

\[ = 20 – 0,025 \times 20^2 \] \[ = 20 – 0,025 \times 400 \] \[ = 20 – 10 = 10. \]

• À \(x=0\):

\[ 0 – 0,025 \times 0 = 0. \]

• Différence:

\[ 10 – 0 = 10. \]

Multiplication par la largeur (30 m) :

\[ V_{\text{remblai}} = 30 \times 10 \] \[ V_{\text{remblai}} = 300\,m^3. \]

Le volume de remblai (terre à apporter pour atteindre l’altitude de 1 m) est de \(300\,m^3\).

3. Analyse du Bilan des Volumes

• Nous avons 675 m³ de terre à excaver (déblai).
• Nous avons besoin de 300 m³ pour le remblai.
• Il faut ensuite tenir compte du coefficient de foisonnement pour estimer le volume loose (en vrac) après excavation, mais la première comparaison se fait en volume “in situ” (tel qu’il est naturellement).

Bilan brut en volume in situ:

\[ \text{Surplus (in situ)} = V_{\text{déblai}} – V_{\text{remblai}} \] \[ \text{Surplus (in situ)} = 675 – 300 \] \[ \text{Surplus (in situ)} = 375\,m^3. \]

Cela signifie que le site produit plus de terre qu’il n’en consomme pour le remblai : il y a donc \(375\,m^3\) à exporter.

3.a) Prise en compte du foisonnement:

Le problème mentionne 60 % de sable et 40 % d’argile, avec :

• Coefficient de foisonnement sable = 1,1
• Coefficient de foisonnement argile = 1,2

Le coefficient moyen de foisonnement :

\[ = 1,1 \times 60\% + 1,2 \times 40\% \] \[ = 0,6 \times 1,1 + 0,4 \times 1,2 \] \[ = 0,66 + 0,48 \] \[ = 1,14. \]

• Si 1 m³ est excavé “in situ”, il se transforme en 1,14 m³ en vrac (loose).
• Le volume in situ de déblai (675 m³) correspond donc à environ \(675 \times 1,14 \approx 769,5\,m^3\) en vrac.
• Le volume in situ nécessaire au remblai (300 m³), s’il est prélevé sur ce déblai, va aussi connaître des effets de compactage/foisonnement.

Cependant, le bilan simplifié “in situ” suffit à conclure que le site est excédentaire : 375 m³ (in situ) de terre en trop.

Conclusion:

Le bilan global montre un excédent de terre de \(375\,m^3\) (in situ) à exporter.

4. Estimation des Coûts de l’Opération de Terrassement

On demande une estimation sommaire basée sur :

• Coût moyen d’excavation : 10 €/m³ (probablement par m³ “in situ”)
• Coût de transport (import/export) : 5 €/m³
• Coût de mise en place et de compactage du remblai : 7 €/m³

Explication:

1. Excavation : facturée sur le volume que l’on va réellement excaver (déblai), en m³ “in situ”.
2. Transport : facturé sur le volume exporté (ou importé).
3. Mise en place/compactage du remblai : facturé sur le volume de remblai “in situ” que l’on doit mettre en place.

Formule générale de coût

Coût total = (Déblai in situ \(\times\) \(C_{\text{excavation}}\)) + (Surplus à transporter \(\times\) \(C_{\text{transport}}\)) + (\(V_{\text{remblai in situ}}\) \(\times\) \(C_{\text{compactage}}\))

Données numériques:

• \(V_{\text{déblai}} = 675\,m^3\)
• \(V_{\text{remblai}} = 300\,m^3\)
• \(\text{Surplus (in situ) à exporter} = 375\,m^3\)
• \(C_{\text{excavation}} = 10\,€/m^3\)
• \(C_{\text{transport}} = 5\,€/m^3\)
• \(C_{\text{compactage}} = 7\,€/m^3\)

Calcul:

Coût d’excavation:

\[ = 675\,m^3 \times 10\,€/m^3 \] \[ = 6750\,€. \]

Coût de transport du surplus:

\[ = 375\,m^3 \times 5\,€/m^3 \] \[ = 1875\,€. \]

Coût de mise en place et compactage du remblai:

\[ = 300\,m^3 \times 7\,€/m^3 \] \[ = 2100\,€. \]

Somme totale:

\[ = 6750\,€ + 1875\,€ + 2100\,€ \] \[ = 10\,725\,€. \]

Conclusion:

Le coût total estimatif des travaux de terrassement (excavation, transport du surplus, mise en place/compactage du remblai) est : \(10\,725\,€\) (estimation sommaire).

Ainsi, il n’est pas nécessaire d’importer de la terre, mais un volume de 375 m³ doit être évacué hors du site.

Calcul de remblais et déblais

D’autres exercices de terrassement :

• Coefficient de Foisonnement en Terrassement
• Excavation et Remblayage en terrassement
• Calcul des Fouilles en terrassement