Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Hauteur d’une Pente

Calcul de la Hauteur d’une Pente en Terrassement

Comprendre le Calcul de la Hauteur d'une Pente

En terrassement, il est fréquent de devoir créer des talus ou des rampes avec une inclinaison précise. Connaître la hauteur verticale (ou dénivelée) de cette pente est essentiel pour calculer les volumes de terre à déplacer, pour s'assurer de la stabilité de l'ouvrage, ou pour implanter correctement des éléments. Cette hauteur est directement liée à la distance horizontale sur laquelle la pente s'étend et à l'inclinaison de cette pente (exprimée en pourcentage ou en degrés).

Données de l'étude

Nous devons déterminer la hauteur (dénivelée) pour deux profils de talus différents.

Profil de Talus 1 :

  • Distance horizontale de projection du talus (\(D_{\text{h1}}\)) : \(25.00 \, \text{m}\)
  • Pente souhaitée (\(p_1\)) : \(15\%\) (montante)
  • Altitude du pied du talus (point bas, \(Z_{\text{bas1}}\)) : \(50.00 \, \text{m}\)

Profil de Talus 2 :

  • Distance horizontale de projection du talus (\(D_{\text{h2}}\)) : \(30.00 \, \text{m}\)
  • Angle de la pente (\(\alpha_2\)) : \(10^\circ\) (montante)
Schéma : Hauteur d'une Pente
Distance Horizontale (Dh) Hauteur / Dénivelée (ΔZ) Pente (p, α) α Pied Tête Profil d'un Talus

Représentation d'un talus avec sa distance horizontale, sa hauteur (dénivelée) et sa pente.

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur (dénivelée \(\Delta Z_1\)) du premier talus, en utilisant la pente en pourcentage.
  2. Déterminer l'altitude de la tête du premier talus (\(Z_{\text{haut1}}\)).
  3. Calculer la hauteur (dénivelée \(\Delta Z_2\)) du second talus, en utilisant l'angle de la pente en degrés.

Correction : Calcul de la Hauteur d'une Pente

Question 1 : Hauteur (\(\Delta Z_1\)) du premier talus (pente en %)

Principe :

La hauteur d'une pente, aussi appelée dénivelée, est la différence verticale d'altitude entre le point le plus bas et le point le plus haut de la pente. Si on connaît la distance horizontale sur laquelle la pente s'étend et le pourcentage de cette pente, on peut calculer cette hauteur. Une pente de \(p\%\) signifie que pour chaque 100 unités de distance horizontale, on monte (ou descend) de \(p\) unités verticalement. Donc, pour trouver la hauteur totale sur une distance horizontale donnée (\(D_{\text{h1}}\)), on multiplie cette distance par la pente exprimée sous forme décimale (c'est-à-dire \(p/100\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_1 = \frac{p_1 (\text{en %})}{100} \times D_{\text{h1}}\]
Données spécifiques :
  • Distance horizontale du talus 1 (\(D_{\text{h1}}\)) : \(25.00 \, \text{m}\)
  • Pente du talus 1 (\(p_1\)) : \(15\%\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_1 &= \frac{15}{100} \times 25.00 \, \text{m} \\ &= 0.15 \times 25.00 \, \text{m} \\ &= 3.75 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La hauteur (dénivelée) du premier talus est \(\Delta Z_1 = 3.75 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si une route a une pente de 10% sur 200m de distance horizontale, quelle est la dénivelée ?

Question 2 : Altitude de la tête du premier talus (\(Z_{\text{haut1}}\))

Principe :

L'altitude de la tête du talus (le point le plus haut) est simplement l'altitude du pied du talus (le point le plus bas) à laquelle on ajoute la hauteur (dénivelée) du talus que nous venons de calculer. Si la pente était descendante, on soustrairait cette hauteur. Dans notre cas, la pente est montante (15%), donc la tête du talus sera plus haute que son pied.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{haut1}} = Z_{\text{bas1}} + \Delta Z_1\]
Données spécifiques :
  • Altitude du pied du talus 1 (\(Z_{\text{bas1}}\)) : \(50.00 \, \text{m}\)
  • Hauteur (dénivelée) du talus 1 (\(\Delta Z_1\)) : \(3.75 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{haut1}} &= 50.00 \, \text{m} + 3.75 \, \text{m} \\ &= 53.75 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'altitude de la tête du premier talus est \(Z_{\text{haut1}} = 53.75 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le pied d'un talus est à \(120.00 \, \text{m}\) d'altitude et que sa tête est à \(122.40 \, \text{m}\), quelle est la dénivelée du talus ?

Question 3 : Hauteur (\(\Delta Z_2\)) du second talus (pente en degrés)

Principe :

Lorsqu'une pente est donnée par son angle (\(\alpha_2\)) avec l'horizontale, on utilise la trigonométrie pour trouver la hauteur (dénivelée \(\Delta Z_2\)). Dans le triangle rectangle formé par la distance horizontale (\(D_{\text{h2}}\)), la hauteur (\(\Delta Z_2\)) et la ligne de pente, la hauteur est le côté opposé à l'angle \(\alpha_2\), et la distance horizontale est le côté adjacent. La relation qui lie ces trois éléments est la tangente de l'angle : \(\tan(\alpha_2) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{\Delta Z_2}{D_{\text{h2}}}\). Pour trouver \(\Delta Z_2\), on multiplie donc la distance horizontale par la tangente de l'angle de la pente. Assurez-vous que votre calculatrice est réglée en mode "degrés" pour calculer la tangente d'un angle donné en degrés.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tan(\alpha_2) = \frac{\Delta Z_2}{D_{\text{h2}}}\]
\[\Delta Z_2 = D_{\text{h2}} \times \tan(\alpha_2)\]
Données spécifiques :
  • Distance horizontale du talus 2 (\(D_{\text{h2}}\)) : \(30.00 \, \text{m}\)
  • Angle de la pente du talus 2 (\(\alpha_2\)) : \(10^\circ\)
Calcul :

D'abord, calculons la tangente de l'angle \(\alpha_2\) :

\[ \tan(10^\circ) \approx 0.1763 \]

Ensuite, calculons la dénivelée \(\Delta Z_2\) :

\[ \begin{aligned} \Delta Z_2 &= 30.00 \, \text{m} \times \tan(10^\circ) \\ &\approx 30.00 \, \text{m} \times 0.1763 \\ &\approx 5.29 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La hauteur (dénivelée) du second talus est \(\Delta Z_2 \approx 5.29 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Si la distance horizontale est de 50m et l'angle de pente est de 0°, la dénivelée est de :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La hauteur d'une pente (dénivelée) est calculée en multipliant la distance horizontale par :

2. Si une pente est de 20% et la distance horizontale est de 50m, la hauteur de la pente est de :

3. L'altitude de la tête d'un talus (point haut) est égale à :

Glossaire

Talus
Surface de terrain en pente, naturelle ou artificielle (créée par l'homme lors de travaux de terrassement, comme un remblai ou un déblai).
Hauteur d'une Pente (ou Dénivelée \(\Delta Z\))
Différence d'altitude verticale entre le point le plus bas (pied) et le point le plus haut (tête) d'une pente ou d'un talus.
Distance Horizontale (\(D_{\text{h}}\))
Distance entre deux points mesurée sur un plan horizontal. C'est la "base" du triangle formé par la pente.
Pente (\(p\))
Mesure de l'inclinaison d'une surface. Peut être exprimée en pourcentage (%) ou en degrés (°).
Pente en Pourcentage (\(p\%\))
Indique la dénivelée pour 100 unités de distance horizontale. Calculée par \(p\% = (\Delta Z / D_{\text{h}}) \times 100\).
Pente en Degrés (\(\alpha^\circ\))
Angle que fait la ligne de pente avec le plan horizontal.
Pied de talus
Point le plus bas d'un talus ou d'une pente.
Tête de talus
Point le plus haut d'un talus ou d'une pente.
Tangente (\(\tan\))
En trigonométrie, dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle sur la longueur du côté adjacent à l'angle.
Calcul de la Hauteur d’une Pente en Terrassement - Exercice d'Application

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